北师大版八年级数学下册分式与分式方程 回顾与思考_(4)（教案）

分式与分式方程 回顾与思考

【授课类型】

复习课

【教学目标】

知识与技能：使学生系统了解本章的知识体系及知识内容，了解分式、分式方程的概念，体会分式、分式方程的模型思想，进一步发展符号感；使学生在掌握通分、约分的基础上进一步掌握分式的运算法则及它们之间的内在联系。在熟练掌握分式运算的基础上，进一步熟悉掌握分式方程的解法及其应用。

过程与方法：经历观察、归纳、类比的学习过程，提高分析问题，解决问题的能力和应用意识，获得解代数问题的常用方法，并感受到代数学习的价值。

情感态度与价值观：在学习中，突出 合情推理能力的培养，注重自主探索、合作交流等学习方法的形成，体会分式的运算在实际生活中的应用价值。

【教学重点】

（1）熟练而准确地掌握分式运算。

（2）熟练掌握分式方程的解法及应用。

【教学难点】

分式、分式方程的模型思想的建立以及分式和分式方程的应用。

教法与学法指导：分式的内容在初中数学中占有重要地位，特别是分式的混合运算，我们应重视本章知识的复习。分式这一章的内容对学生来说看似较简单，而实际掌握情况却恰恰相反，学生在具体应用中出现的错误较多，主要体现在分式的化简及分式方程的应用上。因此，本课主要采取“提出问题——自主解决问题——合作纠正问题——巩固深化问题”的复习流程，充分相信学生，让学生综合运用所学知识解决数学问题，让其发表见解，合作交流，时时归纳总结，使学生产生更广泛的迁移，多方位多角度的培养学生的创新思维能力，以促进学生主体性的发展。让学生在自主与合作学习中提升解题能力。

【教学准备】

多媒体课件

【教学过程】

一、激情引入、建构网络

师：我们完成了分式这一章的学习和探讨，及时进行归纳总结，形成知识体系，查缺补漏，对我们灵活性、综合性的解决问题，以求厚积薄发有很大的好处。现在我们就对分式这一章进行梳理归纳，希望人人达标过关，（教师用激扬的语气问）大家有没有信心？

生：（齐声响亮的回答）有! 

设计意图：让学生明确本节课的任务，教师用调动性的语言，激起学生学习的积极性，从而树立了学习的信心。从学生响亮的回答中可以看到学生的积极性和学习的欲望已经被调动起来，实现了导入的目的。

师：很好。 请大家独自回忆所学内容后，小组合作交流，明白本章知识及知识间的联系，构建出本章的知识框架图，形成小组的研讨成果，3分钟后要展示你们小组的成果呦！

生：积极构建知识框架图，并合作交流各自的知识框架图。

处理办法：教师巡视，了解建构情况，参与他们的讨论和交流，适时点拨，用实物投影展示小组的知识框架图，进行适当点评。框架图不一定是一种，只要合理就行。

师：同学们，你们构建的知识框架图都非常棒，下面是老师构建的知识框架图，请你们给老师点评一下(投影展示)

要求：认真观看知识框架图，明确本章知识点及知识之间的联系，大胆发表自己的想法

生1：全面体现了知识学习的先后顺序及知识间的联系。

生2：看出约分和通分的依据是分式的基本性质。

生3：可以看出解分式方程时勿忘记检验。

……

师：你们掌握的不错呀! 就是不知道应用怎样？

设计意图：部分若在课上展示，则显得枯燥无味，不会引起学生回顾知识的兴趣。以知识树的形式出现在课堂上，让学生通过合作交流构建知识框架，让学生总结知识点及探讨知识间的联系，训练构建知识框架的能力，这样一方面可以提高学生共同归纳的兴趣，另一方面可以更清晰、形象的反应各知识点的联系。既为以后的知识构建打下基础，又能加深学生对本章知识的理解，从而提高对本章知识的运用能力。

实际效果：学生的兴趣浓厚，能够积极合作交流归纳建构分式的知识框架图，学生对“通分的关键是寻找最简公分母”这一知识点忘记的较多。

二、尝试联系，重温旧知

师：下面我们就分块更详细的对本章知识进行复习探讨，加深对本章知识的认识和应用。

专题一：分式的概念

师：（多媒体显示知识训练1）请同学们独立的完成下面问题，并思考以下问题（1）分式有意义的条件是什么？（2）分式无意义的条件是什么？（3）分式的值为零的条件是什么？（4）通过做此题，你认为应注意什么？

知识训练1：（抢答题，先说考查知识点，再说结果）

(2012黑龙江)如果分式的值为零，那么等于(   )

A．     B．    C． 或      D． 或

生：独立完成后，互相校对并交流思考。

生1：这题考查我们分式的概念，即分式何时有意义、无意义、值为零。要使代数

的值为零，则，所以选B。

生2：不对，还有，选C。

师：这两位同学的答案不一致，到底谁说的正确？请同学们交流一下。

生：（交流讨论）

生3：这两位同学说的都不对。

生3：要使代数式的值为零，则解不等式组得，选A．

师：『点拨』这位同学思路非常清晰。本题是一个易错题，往往有的同学认为选C，而本题的实质是求不等式组的解集。思考过程中要体现“分母不为”且“绝对值为非负数”，求得解是，使分母等于的值舍去即可得到答案。

师生讨论解决问题

（1）分式有意义的条件        分母不为零；（2）分式无意义的条件         分母为零；（3）分式的值为零的条件        分子为零且分母不为零（4）首先要注意审清题意，弄清三者的区别与联系，尤其是分式值为零的题目，常常在此设置陷阱。

变式训练：1．为何值时，分式的值为正数？

2．已知时，分式无意义，时，分式的值为零，求的值。

处理办法：两名同学到黑板板演，其他同学在下面完成，然后集体点评。

答案：（1）    （2)

点评：主要考查分式有无意义的灵活运用的能力，让学生综合运用分式的概念进行计算，注意知识点之间的联系。

设计意图：分式有意义、无意义、值为零的条件是重要的考点，在复习的过程中不可忽视，它往往结合绝对值、二次根式有意义的条件进行考查，学生在这方面经常会产生考虑问题不全面的现象。因此，在本题的处理上，充分发挥学生的合作、交流意识，更好地把握此类题。

实际效果：学生在争论中，教师鼓励学生交流，创造生生互助，共同提高的学习氛围。

专题二：分式的性质

师：（多媒体显示知识训练2）请同学们独立的完成下面问题，并思考以下问题：约分应该注意什么？

    知识训练2．分式中的未知的分母是(    )

A．   B．   C．     D．

生1：（1）选D．

师：（补充提问）D答案的依据是什么？

生1：依据是分子与分母同时除以一个不为零的整式，分式的值不变；

师：（继续追问）很好。你怎么解得的答案呢？

生2：根据分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘以一个不为零的整式，分式的值不变，分子   分母 ，然后约去得到

师：『温馨提示』依据分式基本性质对分式做恒等变形时，（1）必须是分子分母同一变化，（2）其运算只能是乘法或除法，（3）所乘（除以）的整式不能为0。

师生讨论结果：约分应该注意什么呢？

若分子分母都是单项式            直接约去分子、分母中的公因式即可；

若分子或分母是多项式             先因式分解            再将公因式约去。

变式训练：

1．不改变分式的值，使分式的分子、分母不含负号。 (1)    (2)  。

2． 通分： ，

处理办法：两名同学到黑板板演，其他同学在下面完成，然后集体点评。

答案：   （1）；   

（2) ；   

师：大家做得非常好，这离不开同学们平时的努力。下面请大家反思：在通分时，应该注意什么？

生：先思考，再互相交流、讨论，互相补充。

师生讨论解决：

①各分母因式分解；（当分母已经是因式分解形态时，这步可以省略）

②寻找最简公分母；

③根据分式基本性质，把各分式的分子、分母乘同一整式，化异分母为最简公分母。

设计意图：分式的基本性质是分式的通分与约分的重要依据，特别是分子分母为多项式的情况，学生容易出现运算和符号的错误，通过知识训练和变式训练进一步让学生熟悉分式性质的应用，并能明确约分和通分的注意事项，以便更好地系统学习。

实际效果：知识训练的正确率较高，但有部分同学不能正确的分解因式；变式训练有少部分同学出现符号的错误。在教师的强调后，都能够加深记忆。

专题三：分式有关运算

师：我们在进行分式的化简和运算时往往需要类比分数的化简和运算进行， 下面我们观察分式有关运算与分数的运算有什么异同，列表如下：（课件展示）

师：下面请同学们对照表格记忆后再完成训练，并畅所欲言展示你有什么做法及想法？ （多媒体显示知识训练3）

知识训练3：

1．计算：

生1：（实物投影展示）原式=。

生：不对。（部分同学产生争议）

师：为什么不对？小组交流一下。

生2：（实物投影展示）我们学习过乘法的分配律，但没有除法的分配律所以这道题应该按照混合运算的顺序，即：先乘除，后加减，同一级运算，按从左到右的顺序进行，有括号，先算括号内的。，所以：原式=。

生：（对比两位同学的思考过程，明确错误原因）

师：（提醒注意）在进行分式的混合运算时，千万不要忽略运算顺序。

设计意图：本环节旨在纠错，因为学生在分式的混合运算中经常会为了简化运算而忽略运算顺序，或者是乱用运算律，这些现象应该在复习中着重指出，并强调，以引起学生的注意。

实际效果：有小部分同学还是直接运用乘法的分配律，经过同学间的互查互纠的交流过程中，基本能纠正。

2．（2012六盘水）先化简代数式，再从﹣2，2，0三个数中选一个恰当的数作为的值代入求值。

生：先将前面括号里面的通分，将后面的分式的分子、分母分解因式后，把除法变为乘法，然后再约分化简，最后代入求值。

（板书）解：原式===

∵若使分式有意义∴x只能取0。

 当x=0时，原式=2

反思回味：对于化简求值的问题，一定先化简，然后再进行代入求值。本题属于开放型试题，在选择值时应注意分式有意义的条件。

变式训练：

1．（2012湖南常德）化简：

2．（2012•重庆）先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解。

处理办法：两名同学到黑板板演，其他同学在下面完成，然后集体点评。

答案：1．解：原式===

2．解：原式===

又由①解得：，由②解得：，

∴不等式组的解集为，其整数解为

∴当时，原式

点评：主要考查分式的化简求值，注意分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母是多项式，应先将多项式分解因式后再约分。让学生综合运用分式的性质进行计算，还要注意知识点之间的联系。

设计意图：不论知识训练还是变式训练，我都尽量选择学生的易错点和创新的题型，训练学生对问题的观察和分析能力，抓住题意领会要考的知识点，进而训练学生的分式化简计算，通过计算中的错误，反思易错的地方，引起以后的注意，提高计算能力。

专题四  分式方程

师：（多媒体显示知识训练4）比较解分式方程和解整式方程 ，你的疑惑在于分式方

程                         所以          是不可忽视的步骤。

  知识训练4:（2012山西）解方程：。

思路导引：本题的最简公分母是，方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解。 最后一定要检验

解：方程两边同时乘以），得，

化简，，解得

检验：时，

所以，是原方程的解。

师:大家思考解分式方程的一般步骤是什么呢？

师生总结:（1）转化：确定最简公分母，去分母，在分式方程的两边都乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程；

（2）解：解这个整式方程，得出整式方程的根；

（3）验：将整式方程的根代入最简公分母（或原方程）进行检验，看能否使原分式方程有意义；

（4）写：写出分式方程的根。

温馨提示:在分式方程的解法中注意（1）去分母时，分式方程两边都乘以各分母的最简公分母，不要漏乘；（2）验 根是解分式方程中必不可少的步骤，通过 验 根 可以把方程中产生的不适合原方程的根（即增根）去掉。 (3)。当分母是多项式，又能进行因式分解时，应先进行因式分解，再确定最简公分母。解分式方程一定注意要代入最简公分母验根。

变式训练:

1． (2012四川巴中)已知关于x的方程有增根，则m的值是_____

2．（2012上海）解方程：。

师:请同学们独立完成上面二题，完成后互相校对你们的结果。

生：认真解题后，交流校对。并及时订正，做到查缺补漏。

设计意图：主要考查分式方程的解法，解题关键是确定最简公分母，注意分母是多项式需要根据实际先进行因式分解，再确定最简公分母，同时解分式方程能考查学生的运算能力、合情推理等综合能力，解分式方程要注意检验，否则容易产生增根！

专题五：分式方程应用

师：（多媒体显示知识训练5）数学来源于生活应用于生活，下面就让我们欣赏分式方程是怎样应用于生活的呢？看看哪位同学能够快速的找出等量关系？

   知识训练5：（2012山东泰安）一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，共需付工费102000元；如果甲、乙两公司单独完成此项公程，乙公司所用时间是甲公司的1．5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元。

（1）甲、乙公司单独完成此项工程，各需多少天？

（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司施工费较少？

生1：乙公司所用时间=甲公司的1．5倍；甲、乙两公司合做1天=这项工程的。

生2：乙每天施工费=甲 每天施工费－1500元；甲乙合做12天的施工费= 102000元

师：大家等量关系找得很好。那么哪位同学会列分式方程呢？

生板书：解：设甲公司单独完成此工程天，则乙公司单独完成此项工程天，根据题意，得，解之得，，经检验知是方程的解，，故甲乙两公司单独完成此工程各需要20天，30天。

（2）设甲公司每天的施工费元，则乙公司每天的施工费元，根据题意，可得，解之得，。甲公司单独完成此工程所需施工费： （元）乙单独完成此工程所需施工费：（元），故甲公司的施工费较少。

师：这位同学做得对吗？（对！生齐答）那么大家思考列分式方程解应用题有哪些步骤？

生：互相合作，各抒己见议论纷纷。

师生总结：

变式训练：2012贵州贵阳）为了全面提升中小学教师的综合素质，贵阳市将对教师的专业知识每三年进行一次考核。某校决定为全校数学教师每人购买一本义务教育《数学课程标准(2011年版)》（以下简称《标准》），同时每人配套购买一本《数学课程标准(2011年版)解读》（以下简称《解读》）。其中《解读》的单价比《标准》的单价多25元。若学校购买《标准》用了378元，购买《解读》用了1053元，请问《标准》和《解读》的单价各是多少元？

师：请同学们独立完成上面题目，完成后互相校对你们的结果。

生：认真解题后，交流校对。并及时订正，做到查缺补漏。

处理办法：两名同学板演，其余同学在下面完成，然后集体订正、分析交流，找出错误和错误的原因。

设计意图：列方程解应用题是中考必考查的内容，首先要认真审题，抓住题中的关键字、关键词，找出相等的数量关系，列出符合题意的方程。 本题是分式方程应用题，特别要注意检验步骤中包含了检验所得的解的两层含义。通过练习提高了学生的分析问题、解决问题及的能力。

三、知识稳步提高

师：通过对本章知识的分块复习探讨，大家对本章知识的认识和应用都得到了加强。下面就让我们运用知识解决问题。

知识训练6：已知，求的值

生：独立思考后，小组交流讨论，组长汇集答案，准备汇报讨论成果。

师：时间到，谁先来展示。

组1：我们首先把去分母得到即，然后代入

(板书)：解1：

原式=====

组2：我们得到后，再求出然后代入

(板书)：解2： 

原式=====

组3：我们将的分子和分母都除以得到然后代入

(板书)：解3：由题意可知  的分子和分母都除以可得：

原式====

……

处理方法：教师引导分析解题思路 然后板书，学生口头回答后板书并总结解决此类问题的方法。

温馨提示：此题考查了分式的性质，包括分式通分及约分。善于观察发现已知条件与待求分式之间的关系是解决此类问题的关键。注意分式的性质的灵活运用。

变式训练：1．(2012·菏泽)已知，则=________。

2．(2012·南京)已知=0，先化简后求的值。

处理方法：让一三五组通过讨论尝试解决（1）让二四六组通过讨论尝试解决（2）并各让一名学生在黑板上板演，然后师生评判纠错。

设计意图：设计本环节旨在巩固知识要点，提高学生的运算能力和分析解决问题的能力，无论是知识训练还是变式训练都由学生来做，在很大程度上提高了学生复习的积极性，而且容易发现解题过程中的错误，对错误印象比较深刻，对提高运算的正确率有帮助，同时训练学生的思维敏捷性和解题的规范性。

四、反思总结、能力升华

师：通过本节课的学习，你都掌握了哪些数学知识，运用了哪些数学思想方法？你还有什么疑难问题吗？

生：学生总结反思自己的所学所得，畅谈收获，互相交流，吸取营养，形成完整的知识体系。

设计意图：通过让学生积极反思所学，大胆发言，谈收获或困惑，目的是让学生对本节课所学的几个方面的专题作一个条理的，清晰的认识，从而揭示问题的本质，养成数学思考和反思总结的习惯。

四、达标检测、反馈矫正

A组（必做题）1．(2012·重庆)若分式的值为零，则x的值为(   )。

 A．          B．  或        C．        D．

2．(2012，钦州)如果把的x与y都扩大10倍，那么这个代数式的值（   ）

A．不变     B．  扩大50倍     C．扩大10倍     D．缩小到原来的

3．（2012东营）先化简，再求代数式的值，

其中是不等式组的整数解。

4． (2012苏州)解方程    (2012广安)

5．（2012北京）列方程或方程组解应用题：

据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用。已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍 少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量。

B组(选做题)

（1）(2012·南京)已知=0，先化简后求的值。

（2）(2011呼和浩特)若，试求A、B的值

注意：时间8分钟，1-3题，每小题5分，4-5题，每小题10分，你要加油，准确快速计算，祝你成功！

设计意图：检测学生对本节课的知识掌握情况，设置时间目的是让学生全身心投入，快速准确的计算，设置分值，批改后看看自己的达标情况，每一个小题考查了不同的知识点，检测了对本章知识掌握情况，对没有达标的学生确立为辅导对象，进行教师和优秀生共同帮扶活动，使其过关。

实际效果：课堂时间掌控不好，学生完成速度较慢，多数同学没时间选做B组题。

【作业布置】

1.课后习题

【教学反思】

优点：本课在复习时重点突出，围绕分式的有关概念、分式的基本性质、分式的运算、分式方程的概念及应用进行设计，首先在知识框架引领下，以知识训练及变式训练的方式帮助学生回顾本章的内容，整个教学过程都为学生提供展示自己的舞台，充分相信学生，让学生在独立解答、小组讨论、自主讲解的过程中查缺补漏、归纳提高本章知识。教师在讲评的过程中发现学生的闪光点，及时鼓励学生、赞扬学生，同时引导其他学生发现讲解学生思维的误区，以便对学生在今后思考问题时的思维方法、语言表达及书写的规范性做更好的指导。

不足：教师的语言指导性不够，学生讲解的不够清晰。由于学生对知识的理解及归纳的深度还不够，所以就需要教师在课堂上的引导语言要到位，学生的讲解才不会费时费力，才能达到预期目的。

改进：在以后的教学中要提前做好学情调查工作，以便更好地指导学生进行方法的总结和归纳，对于学生在课堂上出现的突发情况，需要调动学生的积极力量进行纠正或深化，这样教学效果会更好。