初中数学中考冲刺 辅助圆（定点定长）培优练习（含解析）

初中数学中考冲刺 辅助圆（定点定长）培优练习

参考答案

一．选择题

1．解：∵点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），

∴OA＝3，OB＝4，

∴AB＝＝5，

∴AC′＝5，AC＝5，

∴C′点坐标为（2，0）；C点坐标为（﹣8，0）．

故选：D．

2．解：连接AM，

∵点B和M关于AP对称，

∴AB＝AM＝3，

∴M在以A圆心，3为半径的圆上，

∴当A，M，C三点共线时，CM最短，

∵AC＝，AM＝AB＝3，

∴CM＝5﹣3＝2，

故选：A．

3．解：∵AB＝AC＝AD，

∴点B、C、D在以A为圆心的圆上，

∴∠BDC＝∠CAB，∠DBC＝∠DAC，

∵∠DAC＝k∠CAB，

∴∠DBC＝k∠CAB＝k×2∠BDC＝k∠BDC，

故选：A．

4．解：如图，由题意：CA＝CD＝CE，以C为圆心CA为半径，作⊙C．

∵∠EAD＝∠DCE，∠AED＝∠ACD，

∴∠EDB＝∠EAD+∠AED＝（∠ACD+∠ECD）＝45°，故①②正确，

当△BDC是等腰三角形时，易知DC＝DB，

∴∠DCB＝∠B，

∵∠ACD+∠DCB＝90°，∠CAD+∠B＝90°，

∴∠ACD＝∠CAD，

∴DC＝DA，

∵CA＝CD，

∴AC＝CD＝AD，

∴△ACD是等边三角形，故③正确，

当∠B＝22.5°时，易知∠CAD＝∠CDA＝67.5°，

∴∠ACD＝180°﹣2×67.5°＝45°，

∴∠DCA＝∠DCE＝45°，

∵CA＝AE，CD＝CD，

∴△ACD≌△ECD（SAS），故④正确．

故选：D．

5．解：点D在⊙C上运动时，点E在以F为圆心的圆上运动，要使AE最大，则AE过F，连接CD，

∵△ABC是等边三角形，AB是直径，

∴EF⊥BC，

∴F是BC的中点，

∵E为BD的中点，

∴EF为△BCD的中位线，

∴CD∥EF，

∴CD⊥BC，

BC＝8，CD＝4，

故BD＝＝＝4，

故选：B．

6．解：如图，连接DF、BF．

∵FE⊥AB，AE＝EB，

∴FA＝FB，

∵AF＝2AE，

∴AF＝AB＝FB，

∴△AFB是等边三角形，

∵AF＝AD＝AB，

∴点A是△DBF的外接圆的圆心，

∴∠FDB＝∠FAB＝30°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，∠ADB＝∠DBC＝45°，

∴∠FAD＝∠FBC，

∴△FAD≌△FBC，

∴∠ADF＝∠FCB＝15°，

∴∠DOC＝∠OBC+∠OCB＝60°．

解法二：连接BF．易知∠FCB＝15°，∠DOC＝∠OBC+∠FCB＝45°+15°＝60°

故选：A．

二．填空题

7．解：过点A作AM⊥BD于M．

∵AB＝AC＝AD，

∴∠CAD＝2∠CBD＝30°，

∴∠ADC＝∠ACD＝75°，

∵AB＝AD，AM⊥BD，

∴BM＝DM，

∵BD＝AB，

∴＝，

∴cos∠ABM＝，

∴∠ABM＝∠ADB＝30°，

∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝45°．

故答案为：45°．

8．解：

∵AB＝AC＝AD＝3，

∴点B，C，D在以A为圆心，AB长为半径的同一个圆上，以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于P，连接DP，

∵DC∥AB，

∴＝，

∴DP＝CB＝2，BP＝3+3＝6，

∵PB是⊙A的直径，

∴∠PDB＝90°，

∴BD＝＝＝4．

故答案为：4．

9．解：连接CE，作EG⊥BC于G，

∵AE＝EF＝2，

∴点F在以E为圆心，AE为半径的圆上运动，

在Rt△CDE中，由勾股定理得，

CE＝＝＝2，

∴FC的最小值为CE﹣2＝2﹣2，

∵∠DAB＝∠ABC＝∠BGE＝90°，

∴四边形ABGE是矩形，

∴EG＝AB＝4，

∴点F到线段BC的最短距离是2，

故答案为：2﹣2，2．

三．解答题

10．解：以A为圆心，以a为半径作圆．延长BA交⊙A于E点，连接ED；（1分）

∵AB∥CD，

∴∠CAB＝∠DCA，∠DAE＝∠CDA；

∵AC＝AD，∴∠DCA＝∠CDA，

∴∠DAE＝∠CAB；（2分）

在△ABC和△DAE中，；

∴△CAB≌△DAE，（3分）

∴ED＝BC＝b（4分）

∵BE是直径，

∴∠EDB＝90°

在Rt△EDB中，

ED＝b，BE＝2a，

由勾股定理得ED2+BD2＝BE2

∴（5分）

∴．（6分）

11．解：如图，延长FP交AB于M，

∵FP＝CF＝2，

∴点P在以F为圆心，CF为半句多圆上运动，

当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小，

∵∠A＝∠A，∠AMF＝∠C＝90°，

∴△AMF∽△ACB，

∴，

∵CF＝2，AC＝6，BC＝8，

∴AF＝4，AB＝＝10，

∴，

∴FM＝3.2，

∵PF＝CF＝2，

∴PM＝1.2，

∴点P到边AB距离的最小值为1.2．

12．解：∵AB＝AC＝AD，

∴B，C，D在以A为圆心，以AB为半径的同一个圆上，

∴∠BDC＝∠BAC，∠DBC＝∠DAC＝23°，

∵∠BDC＝2∠DBC＝∠DAC＝46°，

∴∠BAC＝2∠BDC＝2×46°＝92°．

13．解：连接GF，取GF中点O，连接BO，EO，

∵BE⊥AC，

∴∠AEB＝∠BEC＝90°，

∵EG、EF分别平分∠AEB和∠CEB，

∴∠GEB＝∠FEB＝45°，

∴∠GEF＝90°，

在Rt△GBF和Rt△GEF中，BO，EO分别是斜边的中线，

∴BO＝GO＝FO，EO＝GO＝FO，

∴BO＝EO＝GO＝FO，

∴G、B、F、E四点在以O为圆心，BO为半径的圆上，

∴∠BGF＝∠BEF＝45°，

∴△GBF是等腰直角三角形，

∴GB＝FB．

14．解：（1）如图1中，

∵AB＝AC，BD＝BC，AB＝BD，

∴AB＝BC＝AC，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝60°，

∵BA＝BC＝BD，

∴A、C、D三点在⊙B上，

∴∠ADC＝∠ABC＝30°．

（2）如图2中，连接BE．

∵∠DBC＝90°，DE＝EC，

∴BE＝EC＝DE，∵AB＝AC，

∴AE垂直平分BC，

∴BG＝CG，设BG＝CG＝a，则BC＝BD＝2a，

∵BF＝BC，

∴BF＝FG，

∵BD∥AG，

∴△BFD∽△GFA，

∴＝＝1，

∴BD＝AG＝2a，

在Rt△ABG中，∵AB2＝AG2+BG2，

∴16＝a2+4a2，

∴a2＝，

∴S四边形ABCD＝•BC•AG+•BC•BD＝×2a×2a+×2a×2a＝4a2＝．

15．解：（1）证明：作△BDC的外接圆，延长DE交圆于点F，连接CF、AF，如图所示，

则有∠DBC＝∠DFC＝30°．

∵DE垂直平分AC，

∴AF＝FC，

∴∠AFE＝∠CFE＝30°，

∴∠AFC＝60°，

∴△AFC是等边三角形，

∴AF＝AC．

∵AB＝AC，

∴AF＝AC＝AB，

∴点A为所作圆的圆心，

∴AB＝AD．

（2）①若PA＝PB，

则∠ABC＝∠BAP．

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB．

∵∠DAC＝2∠DBC＝60°，

∴∠APB＝∠PAC+∠ACB＝60°+∠ACB，

∴∠APB＝60°+∠ABC．

∵∠ABC+∠BAP+∠APB＝180°，

∴3∠ABC+60°＝180°，

解得：∠ABC＝40°

②若BA＝BP，

同理可得：∠ABC＝20°．

③AB＝AP，

此时P与C重合，

则D与E重合，

不符合题意，故舍去．

综上所述：当△ABP是等腰三角形时，∠ABC的度数为40°或20°．

16．（1）解：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，

∴DA＝DC，∠ADC＝90°，

∵DC＝DE，

∴DA＝DC＝DE，

以D为圆心，DA为半径作⊙D，

∵∠AEC＝∠ADC，

∴∠AEC＝45°．

（2）证明：如图2中，作BH⊥AE于H，CM⊥AE于M，DN⊥CM交CM的延长线于N，连接OD，EF．

∵DA＝DE，AO＝OE，

∴DO⊥AE，

∴∠AHB＝AOD＝∠BAD＝90°，

∴∠BAH+∠DAO＝90°，∠BAH+∠ABH＝90°，

∴∠ABH＝∠DAO，

∴△ABH≌△DAO（AAS），

∴AH＝DO，BH＝AO＝OE，

∵∠BOF＝90°，

∴∠EOF+∠BOH＝90°，∠BOH+∠OBH＝90°，

∴∠EOF＝∠HBO，

∵BH＝OE，OB＝OF，

∴△BHO≌△OEF（SAS），

∴∠OEF＝∠BHO＝90°，OH＝EF，

∴EF⊥AE，

易证△CDN≌△ADO（AAS），

∴DN＝OD＝AH，CN＝AO，

∵∠N＝∠OMN＝∠DOM＝90°，

∴四边形ODNM是矩形，

∵DO＝DN，

∴四边形ODNM是正方形，

∴NM＝OD＝AH，

∴CM＝OH＝EF，

∵CM∥EF，

∴四边形CMEF是平行四边形，

∴CF∥AE．

（3）解：如图3中，作EH⊥CD于H，EF⊥BC交BC的延长线于F，在CF上取一点N，使得FN＝EF，连接EN，设EF＝FN＝a．

∵∠CDE＝45°，DC＝DE，

∴∠DCE＝∠DEC＝67.5°，

∴∠ECF＝90°﹣67.5°＝22.5°，

∵∠ENF＝∠FEN＝45°，∠ENF＝∠NCE+∠CEN，

∴∠NCE＝∠NEC＝22.5°，

∴CN＝EN＝a，

∵四边形EHCF是矩形，

∴EH＝CF＝a+a，

∵DH＝EH，

∴BC＝CD＝2a+a，

∵S△BCE＝1，

∴•（2a+a）•a＝1，

整理得：a2＝2﹣，

∴正方形的面积＝（2a+a）2＝4+2．

17．解：（1）如图1中，连接AD．

∵B，D关于直线AM对称，

∴AD＝AB，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°，

以A为圆心AB为半径画圆，

∵∠BDC＝∠BAC，

∴∠BDC＝30°．

（2）如图2中，连接AD，以A为圆心，AB为半径作圆，在优弧BC上取一点N，连接BN，CN．

∵∠N＝∠BAC＝30°，

∴∠BDC＝180°﹣30°＝150°，

∴∠BDE＝180°﹣150°＝30°，

∵BE＝DE，

∴∠EBD＝∠EDB＝30°，

∴∠BEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°．

（3）当直线AM在△ABC的外侧时，CD＝BC．

理由：如图3﹣1中，在EC上取一点K，使得EK＝EB，连接BK．

∵DE＝EB＝EC，BE＝EK，

∴EK＝KC，

∵∠BEC＝∠D+∠EBD＝60°，

∴△EBK是等边三角形，

∴∠EKB＝60°，

∵KB＝KC，

∴∠KBC＝∠KCB，

∵∠EKB＝∠KBC+∠KCB＝60°，

∴∠KBC＝∠KCB＝30°，∵∠D＝30°，

∴∠D＝∠KCB，

∴BD＝BC，

作BH⊥CD于H，则DH＝CH＝BC•cos30°＝BC，

∴DC＝2DH＝BC．

如图3﹣2中，当直线AM与线段BC相交时，BC＝CD．

理由：作BK⊥CE交CE的延长线于K．

设CD＝DE＝BE＝m，

∵∠BEC＝120°，

∴∠BEK＝60°，

∴EK＝BE＝m，BK＝m，

∴BC＝＝＝m．

∴BC＝CD．

18．解：（1）如图1中，

∵∠A＝90°，∠B＝45°，

∴∠B＝∠C＝45°，

∴AC＝AB，

∵EC＝AC，BD＝AB，

∴EC＝DB．

（2）延长BA交D1E1于F，如图2中，设AC交BD1于K．

在△ABD1和△ACE1中

，

∴△ABD1≌△ACE1

∴∠ABD1＝∠ACE1，CE1＝BD1

∵∠ABK+∠AKB＝90°，∵∠AKB＝∠CKP，

∴∠ACP+∠CKP＝90°

∴∠CPD1＝90°

∴∠CAD1＝45°，

∴∠BAD1＝135°

∴∠D1AF＝45°＝∠AD1E1，

在Rt△AD1E1中，AD1＝AE1＝2，

∴AF＝D1F＝D1E1＝＝；

∵∠AFD1＝90°，

∴CE12＝BD12＝BF2+FD12＝20+8．

（3）如图

作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，

∵D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，

当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，

此时四边形AD1PE1是正方形，PD1＝2，

则BD1＝＝2 ，

∴∠ABP＝30°，

∴PB＝2+2 ，

∴点P到AB所在直线的距离的最大值为：PG＝1+．

∴△PAB的面积最大值为 AB×PG＝2+2 ，

故答案为2+2 ．