考点18 概率-2022年中考数学高频考点专题突破（全国通用）（解析版）

这是一份考点18 概率-2022年中考数学高频考点专题突破（全国通用）（解析版），共53页。试卷主要包含了必然事件，不可能事件，随机事件等内容，欢迎下载使用。
考点18.概率
知识框架：


基础知识点：
知识点1-1 事件的分类
1．必然事件：在一定条件下一定会发生的事件，它的概率是1．
2．不可能事件：在一定条件下一定不会发生的事件，它的概率是0．
3．随机事件：在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件，它的概率是0~1之间．
知识点1-2概率的计算
1．公式法：P（A）=，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数．
2．列举法
1）列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，应不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法求事件发生的概率．
2）画树状图法：当一次试验要涉及2个或更多的因素时，通常采用画树状图来求事件发生的概率．
知识点1-3利用频率估计概率
1．定义：一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定在某个常数P附近，因此，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率．
2．适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，我们一般要通过统计频率来估计概率．
3．方法：进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个常数时，该常数就可认为是这个事件发生的概率．
知识点1-4 概率的应用
概率是和实际结合非常紧密的数学知识，可以对生活中的某些现象做出评判，如解释摸奖、评判游戏活动的公平性、数学竞赛获奖的可能性等等，还可以对某些事件做出决策．

重难点题型
题型1事件的分类
【解题技巧】1)．一般地，不确定事件发生的可能性是有大小的，它的大小要由它在整个问题中所占比例的大小来确定，它占整体的比例大，它的可能性就大，它占整体的比例小，它的可能性就小，不确定事件发生的概率在0到1之间，不包括0和1．
2)．必然事件发生的机率是100%，即概率为1，不可能事件发生的机率为0，即概率为0．
1．（2020·江苏泰州市·中考真题）如图，电路图上有个开关、、、和个小灯泡，同时闭合开关、或同时闭合开关、都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（ ）

A．只闭合个开关 B．只闭合个开关 C．只闭合个开关 D．闭合个开关
【答案】B
【分析】观察电路发现，闭合或闭合或闭合三个或四个，则小灯泡一定发光，从而可得答案．
【详解】解：由小灯泡要发光，则电路一定是一个闭合的回路，
只闭合个开关，小灯泡不发光，所以是一个不可能事件，所以A不符合题意；
闭合个开关，小灯泡发光是必然事件，所以D不符合题意；
只闭合个开关，小灯泡有可能发光，也有可能不发光，所以B符合题意；
只闭合个开关，小灯泡一定发光，是必然事件，所以C不符合题意．故选B．
【点睛】本题结合物理知识考查的是必然事件，不可能事件，随机事件的概念，掌握以上知识是解题的关键．
2．（2020·辽宁沈阳市·中考真题）下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球 B．任意买一张电影票，座位号是3的倍数
C．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 D．汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯
【答案】A
【分析】根据概率事件的定义理解逐一判断即可．
【详解】A：只有白球的盒子里摸出的球一定是白球，故此选项正确
B：任意买一张电影票，座位号是随机的，是随机事件，故此选项错误
C：掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为，是随机事件，故此选项错误
D：汽车走过一个红绿灯路口时，绿灯的概率为，是随机事件，故此选项错误故答案选A
【点睛】本题主要考查了概率的事件分类问题，根据必然事件，在一定条件下，事件必然会发生的定义判断是解题的关键．
3．（2020·内蒙古通辽市·中考真题）下列事件中是不可能事件的是(　　　)
A．守株待兔 B．瓮中捉鳖 C．水中捞月 D．百步穿杨
【答案】C
【分析】不可能事件是一定不会发生的事件，依据定义即可判断．
【详解】解：A、守株待兔，不一定就能达到，是随机事件，故选项不符合；
B、瓮中捉鳖是必然事件，故选项不符合；
C、水中捞月，一定不能达到，是不可能事件，选项不符合；
D、百步穿杨，未必达到，是随机事件，故选项不符合；故选C.
【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．（2020·湖北襄阳市·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件
B．“汽车累积行驶，从未出现故障”是不可能事件
C．襄阳气象局预报说“明天的降水概率为”，意味着襄阳明天一定下雨
D．若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定
【答案】D
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型，以及方差的性质逐一分析即可．
【详解】A. “买中奖率为的奖券10张，中奖”是随机事件，故不符合题意；
B. “汽车累积行驶，从未出现故障”是随机事件，故不符合题意；
C. 襄阳气象局预报说“明天的降水概率为”，但是襄阳明天只是有可能下雨，故不符合题意；
D. 若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，该说法正确，故符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型，以及方差的性质等内容，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，以及方差越小，数据越稳定．
5．（2020·湖北武汉市·中考真题）两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（ ）
A．两个小球的标号之和等于1 B．两个小球的标号之和等于6
C．两个小球的标号之和大于1 D．两个小球的标号之和大于6
【答案】B
【分析】随机事件是指在某个条件下有可能发生有可能不会发生的事件，根据此定义即可求解．
【详解】解：从两个口袋中各摸一个球，其标号之和最大为6，最小为2，
选项A：“两个小球的标号之和等于1”为不可能事件，故选项A错误；
选项B：“两个小球的标号之和等于6”为随机事件，故选项B正确；
选项C：“两个小球的标号之和大于1”为必然事件，故选项C错误；
选项D：“两个小球的标号之和大于6”为不可能事件，故选项D错误．故选：B．
【点睛】本题考查了随机事件、不可能事件、必然事件的概念，熟练掌握各事件的定义是解决本题的关键．
6．（2020·四川攀枝花市·中考真题）下列事件中，为必然事件的是（ ）．
A．明天要下雨 B． C． D．打开电视机，它正在播广告
【答案】B
【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
【详解】解：根据题意，结合必然事件的定义可得：
A、明天要下雨不一定发生，不是必然事件，故选项错误；
B、一个数的绝对值为非负数，故是必然事件，故选项正确；
C、，故不是必然事件，故选项错误；
D、打开电视机，它不一定正在播广告，有可能是其他节目，故不是必然事件，故选项错误；故选B.
【点睛】本题考查了必然事件，关键是理解必然事件是一定会发生的事件．解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．

题型2概率（几何概型）的计算
【解题技巧】
1．（2020·湖北随州市·中考真题）如图，中，点，，分别为，，的中点，点，，分别为，，的中点，若随机向内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为____．

【答案】
【分析】根据三角形的中位线定理建立面积之间的关系,按规律求解，再根据概率公式进行求解即可．
【详解】根据三角形中位线定理可得第二个三角形的各边长都等于最大三角形各边的一半,并且这两个三角形相似,那么第二个△DEF的面积=△ABC的面积
那么第三个△MPN的面积=△DEF的面积=△ABC的面积
∴若随机向内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为: 故答案为：
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，概率公式,解决本题的关键是利用三角形的中位线定理得到第三个三角形的面积与第一个三角形的面积的关系，以及概率公式．
2．（2020·浙江衢州市·中考真题）如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用“Ⅱ”所示区域所占圆周角除以360，进而得出答案．
【详解】解：由扇形统计图可得，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是：．故选：A．
【点睛】此题主要考查了概率公式，正确理解概率的求法是解题关键．
3．（2020·山西中考真题）如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接菱形对角线，设大矩形的长=2a，大矩形的宽=2b，可得大矩形的面积，根据题意可得菱形的对角线长，从而求出菱形的面积，根据“顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形”，可得小矩形的长，宽分别是菱形对角线的一半，可求出小矩形的面积，根据阴影部分的面积=菱形的面积-小矩形的面积可求出阴影部分的面积，再求出阴影部分与大矩形面积之比即可得到飞镖落在阴影区域的概率．
【详解】解：如图，连接EG，FH，

设AD=BC=2a，AB=DC=2b，则FH=AD=2a，EG=AB=2b，
∵四边形EFGH是菱形，∴S菱形EFGH===2ab，
∵M，O，P，N点分别是各边的中点，∴OP=MN=FH=a，MO=NP=EG=b，
∵四边形MOPN是矩形，∴S矩形MOPN=OPMO=ab，∴S阴影= S菱形EFGH-S矩形MOPN=2ab-ab=ab，
∵S矩形ABCD=ABBC=2a2b=4ab，∴飞镖落在阴影区域的概率是，故选B．
【点睛】本题考查了几何概率问题．用到的知识点是概率=相应的面积与总面积之比．
4．（2020·江苏苏州市·中考真题）一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是___________．

【答案】
【分析】先求出黑色方砖在整个地面中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．
【详解】解：∵由图可知，黑色方砖6块，共有16块方砖，
∴黑色方砖在整个区域中所占的比值=，∴小球停在黑色区域的概率是；故答案为：
【点睛】本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率=相应的面积与总面积之比．
5．（2020·辽宁本溪市·中考真题）下图是由全等的小正方形组成的图案，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是_________．

【答案】
【分析】先设阴影部分的面积是5x，得出整个图形的面积是9x，再根据几何概率的求法即可得出答案．
【详解】解：设阴影部分的面积是5x，则整个图形的面积是9x，
则这个点取在阴影部分的概率是．故答案为：．
【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
6．（2020·山东德州市·中考真题）如图，在的正方形网格中，有4个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意1个白色的小正方形（每个白色小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是________．

【答案】
【分析】根据轴对称的定义，确定可以构成轴对称图形的情况，根据概率公式求解即可．
【详解】解：如图，图中共有12个白色正方形，其中涂黑1个使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的共有2种情况，所以概率为P=．
故答案为：
【点睛】本题考查了列举法求概率，轴对称图形的判定，熟知求概率公式和轴对称图形的概念是解题关键．

题型3 随机事件（等可能事件）的概率
【解题技巧】用列举法解题时，一定要注意各种情况出现的可能性务必相同，不要出现重复、遗漏等现象．
1．（2020·浙江绍兴市·中考真题）如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．则小球从E出口落出的概率是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点B、C、D处都是等可能情况，从而得到在四个出口E、F、G、H也都是等可能情况，然后概率的意义列式即可得解．
【详解】解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，
小球最终落出的点共有E、F、G、H四个，所以小球从E出口落出的概率是：；故选：C．
【点睛】此题考查的是求概率问题，掌握概率公式是解决此题的关键．
2．（2020·辽宁阜新市·中考真题）掷一枚质地均匀的硬币5次，其中3次正面朝上，2次正面朝下，则再次掷出这枚硬币，正面朝下的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用概率的意义分析得出答案．
【详解】解：∵掷质地均匀硬币的试验，每次正面向上和向下的概率相同，
∴再次掷出这枚硬币，正面朝上的概率是：故选：D．
【点睛】此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的意义是解题关键．
3．（2020·贵州贵阳市·中考真题）在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字“1”“2”“3”“4”“5”“6”，在试验次数很大时，数字“6”朝上的频率的变化趋势接近的值是_____．
【答案】
【分析】随着试验次数的增多，变化趋势接近与理论上的概率．
【详解】解：如果试验的次数增多，出现数字“6”的频率的变化趋势是接近．故答案为：．
【点睛】实验次数越多，出现某个数的变化趋势越接近于它所占总数的概率．
4．（2020·辽宁葫芦岛市·中考真题）一个不透明的口袋中有4个红球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，则摸到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
【详解】解：摸到红球的概率为：．故选D．
【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5．（2020·湖南张家界市·中考真题）新学期开学，刚刚组建的七年级（1）班有男生30人，女生24人，欲从该班级中选出一名值日班长，任何人都有同样的机会，则这班选中一名男生当值日班长的概率是_____．
【答案】
【分析】先求出全班的学生数，再根据概率公式进行求解即可．
【详解】全班共有学生30+24=54（人），
其中男生30人，则这班选中一名男生当值日班长的概率是=，故答案为：．
【点睛】本题考查了简单的概率计算，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
6．（2020·湖南湘潭市·中考真题）为庆祝建党99周年，某校八年级（3）班团支部为了让同学们进一步了解中国科技的发展，给班上同学布置了一项课外作业，从选出的以下五个内容中任选部分内容进行手抄报的制作：、“北斗卫星”：、“时代”；、“智轨快运系统”；、“东风快递”；、“高铁”．统计同学们所选内容的频数，绘制如图所示的折线统计图，则选择“时代”的频率是（ ）

A．0.25 B．0.3 C．25 D．30
【答案】B
【分析】先计算出八年级（3）班的全体人数，然后用选择“5G时代”的人数除以八年级（3）班的全体人数即可．
【详解】由图知，八年级（3）班的全体人数为：（人）
选择“5G时代”的人数为：30人∴选择“时代”的频率是：故选：B．
【点睛】本题考查了频数分布直方图的读取，及相应频率的计算，熟知以上知识是解题的关键．
7．（2020·江苏镇江市·中考真题）一只不透明的袋子中装有5个红球和1个黄球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸出红球的概率等于_____．
【答案】
【分析】根据概率计算公式，用红球的个数除以球的总个数即可得．
【详解】解：∵袋子中共有5+1＝6个小球，其中红球有5个，
∴搅匀后从中任意摸出1个球，摸出红球的概率等于，故答案为：．
【点睛】本题考查了概率计算，熟练掌握概率计算方法是解答的关键．
8．（2020·辽宁锦州市·中考真题）在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为，则______．
【答案】8
【分析】直接利用概率公式列出概率计算式，即可求出a的值．
【详解】解：由题意可知从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为，
∴，∴，故答案为：8．
【点睛】本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

题型4利用频率估计概率
【解题技巧】在大量重复试验中，随着统计数据的增大，频率稳定在某个常数左右，将该常数作为概率的估计值，两者的区别在于：频率是通过多次试验得到的数据，而概率是理论上事件发生的可能性，二者并不完全相同．
1．（2020·辽宁盘锦市·中考真题）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下．
身高




人数
60
260
550
130
根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是（ ）
A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87
【答案】C
【分析】先计算出样本中身高不低于170cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解．
【详解】解：样本中身高不低于170cm的频率，
所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于170cm的概率是0.68．故选：C．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
2．（2020·辽宁营口市·中考真题）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数
20
80
100
200
400
1000
“射中九环以上”的次数
18
68
82
168
327
823
“射中九环以上”的频率（结果保留两位小数）
0.90
0.85
0.82
0.84
0.82
0.82
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（　　）
A．0.90 B．0.82 C．0.85 D．0.84
【答案】B
【分析】根据大量的实验结果稳定在0.82左右即可得出结论．
【详解】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82附近，
∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.82．故选：B．
【点睛】本题主要考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键．
3．（2020·辽宁鞍山市·中考真题）在一个不透明的袋子中装有6个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有20次摸到红球，估计袋子中白球的个数约为_________．
【答案】24
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．
【详解】解：∵共试验100次，其中有20次摸到红球，∴白球所占的比例为：，
设袋子中共有白球x个，则，解得：x=24，经检验：x=24是原方程的解，故答案为：24．
【点睛】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．
4．（2020·湖南邵阳市·中考真题）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
【详解】假设不规则图案面积为x，由已知得：长方形面积为20，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为： ，
当事件A实验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，综上有：，解得．故选：B．
【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．
4．（2020·江苏扬州市·中考真题）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的苏康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为________．

【答案】2.4
【分析】求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形面积得60%计算即可；
【详解】∵正方形的二维码的边长为2cm，∴正方形二维码的面积为，
∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴黑色部分的面积占正方形二维码面积得60%，∴黑色部分的面积约为：，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率进行求解，准确立即数据的意义是解题的关键．
5．（2020·浙江台州市·中考真题）新冠疫情期间，某校开展线上教学，有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择其中一种．为分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查学习参与度，数据整理结果如表（数据分组包含左端值不包含右端值）．
参与度
人数
方式
0.2～0.4
0.4～0.6
0.6～0.8
0.8～1
录播
4
16
12
8
直播
2
10
16
12
（1）你认为哪种教学方式学生的参与度更高？简要说明理由．（2）从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一位学生，估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是多少？（3）该校共有800名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为1：3，估计参与度在0.4以下的共有多少人？
【答案】（1）“直播”教学方式学生的参与度更高，理由见解析；（2）30%；（3）50人
【分析】（1）根据表格数据得出两种教学方式参与度在0.6以上的人数，比较即可作出判断；
（2）用表格中“直播”教学方式学生参与度在0.8以上的人数除以被调查的总人数即可估计对应概率；
（3）先根据“录播”和“直播”的人数之比为1：3及该校学生总人数求出“直播”、“录播”人数，再分别乘以两种教学方式中参与度在0.4以下人数所占比例求出对应人数，再相加即可得出答案．
【详解】解：（1）“直播”教学方式学生的参与度更高：
理由：“直播”参与度在0.6以上的人数为28人，“录播”参与度在0.6以上的人数为20人，参与度在0.6以上的“直播”人数远多于“录播”人数，∴“直播”教学方式学生的参与度更高；
（2）12÷40=0.3=30%，答：估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是30%；
（3）“录播”总学生数为800×=200（人），“直播”总学生数为800×=600（人），
∴“录播”参与度在0.4以下的学生数为200×=20（人），
“直播”参与度在0.4以下的学生数为600×=30（人），∴参与度在0.4以下的学生共有20+30=50（人）．
【点睛】本题考查了概率的计算，弄清题意，正确分析，确定计算方法是解题关键．
6．（2020·广西中考真题）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数






“射中环以上”的次数






“射中环以上”的频率(结果保留小数点后两位)






根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是_______(结果保留小数点后一位)．
【答案】0.8
【分析】根据大量的实验结果稳定在0.8左右即可得出结论．
【详解】∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8附近，
∴这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率大约是0.8．故答案为：0.8．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
7．（2020·内蒙古呼和浩特市·中考真题）公司以3元/的成本价购进柑橘，并希望出售这些柑橘能够获得12000元利润，在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，需要先进行“柑橘损坏率”统计，再大约确定每千克柑橘的售价，右面是销售部通过随机取样，得到的“柑橘损坏率”统计表的一部分，由此可估计柑橘完好的概率为_______（精确到0.1）；从而可大约每千克柑橘的实际售价为_______元时（精确到0.1），可获得12000元利润．
柑橘总质量
损坏柑橘质量
柑橘损坏的频率（精确到0.001）
…
…
…
250
24.75
0.099
300
30.93
0.103
350
35.12
0.100
450
44.54
0.099
500
50.62
0.101
【答案】0.9
【分析】利用频率估计概率得到随实验次数的增多，柑橘损坏的频率越来越稳定在0.1左右，由此可估计柑橘完好率大约是0.9；设每千克柑橘的销售价为x元，然后根据“售价-进价=利润”列方程解答．
【详解】解：从表格可以看出，柑橘损坏的频率在常数0.1左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明显，所以柑橘的完好率应是1-0.1=0.9；
设每千克柑橘的销售价为x元，则应有10000×0.9x-3×10000=12000，解得x=．
所以去掉损坏的柑橘后，水果公司为了获得12000元利润，完好柑橘每千克的售价应为元，
故答案为：0.9，．
【点睛】本题考查了用频率估计概率的知识，用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．得到售价与利润的等量关系是解决问题的关键．

题型5 用树状图法求概率
【解题技巧】
1．（2020·湖北武汉市·中考真题）某班从甲、乙、丙、丁四位选中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】画出树状图展示所有12种等可能的结果数，再根据概率公式即可求解．
【详解】画树状图为：

∴P（选中甲、乙两位）=故选C．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
2．（2020·四川绵阳市·中考真题）将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，则恰有一个篮子为空的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出恰有一个篮子为空的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：三个不同的篮子分别用A、B、C表示，根据题意画图如下：

共有9种等可能的情况数，其中恰有一个篮子为空的有6种，
则恰有一个篮子为空的概率为．故选：A．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
3．（2020·黑龙江牡丹江市·中考真题）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于5的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号之和等于5的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号之和等于5的有4种情况，
∴两次摸出的小球标号之和等于5的概率是：.故选C.
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比．
4．（2020·新疆中考真题）在四张背面完全相同的卡片上分别印有正方形、正五边形、正六边形、圆的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中随机抽取两张，则抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：分别用A、B、C、D表示正方形、正五边形、正六边形、圆，
其中正方形、正六边形、圆是中心对称图形， 画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的有6种情况，
∴抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为：． 故选：C．
【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
5．（2020·山东东营市·中考真题）如图，随机闭合开关，，中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】画出树状图，找出所有等可能的结果，计算即可.
【详解】根据题意画出树状图如下：

共有6种等可能的结果，能让两盏灯泡同时发光的有2种情况，∴，故选C.
【点睛】本题考查了列表法与树状图法，正确的画出树状图是解决此题的关键.
6．（2020·陕西中考真题）小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同．试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次．（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率；（2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由频率定义即可得出答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的情况，利用概率公式求解即可求得答案.
【详解】解：（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，这10次中摸出红球的频率＝＝；
（2）画树状图得：

∵共有16种等可能的结果，两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的有2种情况，
∴两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率＝＝.
【点睛】此题考查事件概率：列举法求事件的概率，还考查了频率的定义，正确理解概率事件中“放回”或“不放回”事件是解此类问题的关键.
7．（2020·江苏盐城市·中考真题）生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图）来表示不同的信息，类似地，可通过在矩形网格中，对每一个小方格涂加色或不涂色所得的图形来表示不同的信息，例如：网格中只有一个小方格，如图，通过涂器色或不涂色可表示两个不同的信息．

（1）用树状图或列表格的方法，求图可表示不同信息的总个数：（图中标号表示两个不同位置的小方格，下同）

（2）图为的网格图．它可表示不同信息的总个数为 ；

（3）某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用的网格图来表示各人身份信息，若该校师生共人，则的最小值为 ；
【答案】（1）见解析；（2）16；（3）3
【分析】（1）根据题意画出树状图即可求解；（2）根据题意画出树状图即可求解；（3）根据（1）（2）得到规律即可求出n的值．
【详解】解：画树状图如图所示：

图的网格可以表示不同信息的总数个数有个．
（2）画树状图如图所示：图④2×2的网格图可以表示不同信息的总数个数有16=24个，故答案为：16．

（3）依题意可得3×3网格图表示不同信息的总数个数有29=512＞，
故则的最小值为3，故答案为：3．
【点睛】此题主要考查画树状图与找规律，解题的关键是根据题意画出树状图．
8．（2020·吉林长春市·中考真题）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为、，图案为“保卫和平”的卡片记为）

【答案】树状图见解析，
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意画树状图如下：

共有9种等可能的情况数，其中两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的有1种，
∴（两次抽取的卡片上图案都是“保卫和平”）．
【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

题型6用列表法求概率
【解题技巧】
1．（2020·山东临沂市·中考真题）从马鸣、杨豪、陆畅，江宽四人中抽调两人参加“寸草心”志愿服务队，恰好抽到马鸣和杨豪的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出所选两人恰好是马鸣和杨豪的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】解：列表得：

所有等可能的情况有12种，其中恰好抽到马鸣和杨豪的情况有2种，
恰好抽到马鸣和杨豪的概率是，故选C.
【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
2．（2020·黑龙江牡丹江市·朝鲜族学校中考真题）现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同，从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到两个球颜色相同的结果数，利用概率公式计算可得．
【详解】解：列表如下：

黄
红
红
红
（黄，红）
（红，红）
（红，红）
红
（黄，红）
（红，红）
（红，红）
白
（黄，白）
（红，白）
（红，白）
由表知，共有9种等可能结果，其中摸出的两个球颜色相同的有4种结果，
所以摸出的两个球颜色相同的概率为．故选：B．
【点睛】本题考查了列表法与树状图的知识以及概率公式，解题的关键是能够用列表或列树状图将所有等可能的结果列举出来，难度不大．
3．（2020·湖南中考真题）今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．

【答案】（1）160人；（2）100万元；（3）2.15万；（4）
【分析】（1）因为总人数已知，由轻症患者所占的百分比即可求出其的人数；（2）求出该市危重症患者所占的百分比，即可求出其共花费的钱数；（3）用加权平均数公式求出各种患者的平均费用即可；（4）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中B、D两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：（1）轻症患者的人数＝200×80%＝160（人）；
（2）该市为治疗危重症患者共花费钱数＝200×（1﹣80%﹣15%）×10＝100（万元）；
（3）所有患者的平均治疗费用＝＝2.15（万元）；
（4）列表得：

A
B
C
D
E
A

（B，A）
（C，A）
（D，A）
（E，A）
B
（A，B）

（C，B）
（D，B）
（E，B）
C
（A，C）
（B，C）

（D，C）
（E，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）

（E，D）
E
（A，E）
（B，E）
（C，E）
（D，E）

由列表格，可知：共有20种等可能的结果，恰好选中B、D两位同学的有2种情况，
∴P（恰好选中B、D）＝＝．
【点睛】此题主要考查统计与概率，解题的关键是熟知列表的方法及概率公式的应用．
4．（2020·湖北宜昌市·中考真题）宜昌景色宜人，其中三峡大坝、清江画廊、三峡人家景点的景色更是美不胜收．某民营单位为兼顾生产和业余生活，决定在下设的A，B，C三部门利用转盘游戏确定参观的景点，两转盘各部分圆心角大小以及选派部门、旅游景点等信息如图．

（1）若规定老同志相对偏多的部门选中的可能性大，试判断这个部门是哪个部门？请说明理由；
（2）设选中C部门游三峡大坝的概率为，选中B部门游清江画廊或者三峡人家的概率为，请判断，大小关系，并说明理由．
【答案】（1）C部门，理由见解析；（2）P1=P2，理由见解析
【分析】（1）利用圆心角为360°，A,B,C分别占90°，90°和180°，分别求出所占百分比即可;
（2）列出所有可能的情况，然后得出C，B所占比例，即可得出结果.
【详解】解：（1）C部门，
理由：∵∴
（2），理由：

A
B


三峡大坝（D）




清江画廊（E）




三峡人家（F）




备注：部门转盘平均分成了4等份，C部门占两份分别用，表示
由表可得，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等，其中C选中三峡大坝的结果有2种，B选中清江画廊或者三峡人家的结果有2种 ∴ ∴
【点睛】本题考查了扇形图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．关键是分析扇形图，得到相关的数据信息．
5．（2020·山西中考真题）年国家提出并部署了“新基建”项目，主要包含“特高压，城际高速铁路和城市轨道交通，基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩”等．《新基建中高端人才市场就业吸引力报告》重点刻画了“新基建”中五大细分领域（基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩）总体的人才与就业机会．下图是其中的一个统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：

（1）填空：图中年“新基建”七大领域预计投资规模的中位数是______亿元；
（2）甲，乙两位待业人员，仅根据上面统计图中的数据，从五大细分领域中分别选择了“基站建设”和“人工智能”作为自己的就业方向，请简要说明他们选择就业方向的理由各是什么；
（3）小勇对“新基建”很感兴趣，他收集到了五大细分领域的图标，依次制成编号为，，，，的五张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将这五张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为（基站建设）和（人工智能）的概率．

【答案】（1）；（2）甲更关注在线职位增长率，在“新基建”五大细分领域中，年第一季度“基站建设”在线职位与年同期相比增长率最高；乙更关注预计投资规模，在“新基建”五大细分领域中，“人工智能”在年预计投资规模最大；（3）
【分析】(1)根据中位数的定义判断即可．(2)根据图象分析各个优势,表达出来即可．(3)利用列表法或树状图的方法算出概率即可．
【详解】(1)将数据从小到大排列:100,160,200,300,300,500,640,中位数为:．故答案为:300
(2)解：甲更关注在线职位增长率，在“新基建”五大细分领域中，年第一季度“基站建设”在线职位与年同期相比增长率最高；
乙更关注预计投资规模，在“新基建”五大细分领域中，“人工智能”在年预计投资规模最大
(3)解：列表如下：
第二张
第一张



































由列表(或画树状图)可知一共有种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性都相同，其中抽到“”和“”的结果有种．所以，(抽到“”和“”)．
【点睛】本题考查统计图的数据分析及概率计算,关键在于从图像中获取有用信息．
6．（2020·贵州贵阳市·中考真题）“2020第二届贵阳市应急科普知识大赛”的比赛中有一个抽奖活动．规则是：准备3张大小一样，背面完全相同的卡片，3张卡片的正面所写内容分别是《消防知识手册》《辞海》《辞海》，将它们背面朝上洗匀后任意抽出一张，抽到卡片后可以免费领取卡片上相应的书籍．
（1）在上面的活动中，如果从中随机抽出一张卡片，记下内容后不放回，再随机抽出一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2张卡片都是《辞海》的概率；
（2）再添加几张和原来一样的《消防知识手册》卡片，将所有卡片背面朝上洗匀后，任意抽出一张，使得抽到《消防知识手册》卡片的概率为，那么应添加多少张《消防知识手册》卡片？请说明理由．
【答案】（1）图表见解析，；（2）应添加4张《消防知识手册》卡片，理由见解析
【分析】（1）根据题意画出列表，由概率公式即可得出答案；
（2）设应添加x张《消防知识手册》卡片，由概率公式得出方程，解方程即可．
【详解】解：（1）先将《消防知识手册》《辞海》《辞海》分别记作，，，然后列表如下：
第2次
第1次















总共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，而2张卡片都是《辞海》的有2种：，
所以，（2张卡片都是《辞海》）；
（2）设再添加张和原来一样的《消防知识手册》卡片，由题意得：，解得，，
经检验，是原方程的根，答：应添加4张《消防知识手册》卡片．
【点睛】本题考查了列表法以及概率公式，熟悉相关性质是解题的关键．
7．（2020·江苏镇江市·中考真题）智慧的中国古代先民发明了抽象的符号来表达丰富的含义．例如，符号“”有刚毅的含义，符号“”有愉快的含义．符号中的“”表示“阴”，“”表示“阳”，类似这样自上而下排成的三行符号还有其他的含义．所有这些三行符号中，每一行只有一个阴或一个阳，且出现阴、阳的可能性相同．（1）所有这些三行符号共有　 　种；
（2）若随机画一个这样的三行符号，求“画出含有一个阴和两个阳的三行符号”的概率．
【答案】（1）8；（2）．
【分析】（1）用列举法举出所有等可能的结果数即可；
（2）根据（1）列举的结果数和概率公式即可得出答案．
【详解】解：（1）共有8种等可能的情况数，分别是：阴，阴，阴；阴，阳，阴；阴，阴，阳；阳，阴，阴；阳，阳，阴；阳，阴，阳；阴，阳，阳；阳、阳、阳；故答案为：8；
（2）根据第（1）问一个阴、两个阳的共有3种，则有一个阴和两个阳的三行符号”的概率是．
【点睛】本题考查了用列举法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况之比．
8．（2020·吉林中考真题）“中国结”是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物，如图，现有三张正面印有“中国结”图案的不透明卡片，，，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，小吉同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求小吉同学抽出的两张卡片中含有卡片的概率．

【答案】两张卡片中含有A的概率为，详解见解析．
【分析】分别使用树状图法或列表法将小吉同学抽取卡片的结果表示出来，第一次共有3种不同的抽取情况，第二次同样也有3种不同的抽取情况，所有等可能出现的结果有9种，找出含有A卡片的抽取结果，即可算出概率．
【详解】解：解法一：画树状图，根据题意，画树状图结果如下：

由树状图可以看出，所有等可能出现的概率一共有9种，而两张卡片中含有A卡片的结果有5种，所以P（小吉抽到两张卡片中有A卡片）=．
解法二：用列表法，根据题意，列表结果如下：

结果为：（第一次抽取情况，第二次抽取情况）
由表可以看出，所有等可能出现的概率一共有9种，而两张卡片中含有A卡片的结果有5种，所以P（小吉抽到两张卡片中有A卡片）=．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，用图表的形式将第一次、第二次抽取所可能发生的情况一一列出，避免遗漏．

题型7概率的应用
【解题技巧】游戏是否公平在于可能性是否相等，即可能性相等，游戏公平；可能性不相等，则游戏不公平．
1．（2020·山东威海市·）小伟和小梅两位同学玩掷骰子的游戏，两人各掷一次均匀的骰子，以掷出的点数之差的绝对值判断输赢．若所得数值等于，，，则小伟胜：若所得数值等于，，，则小梅胜
（1）请利用表格分别求出小伟、小梅获胜的概率

















































（2）判断上述游戏是否公平．如果公平，请说明理由；如果不公平，请利用上表修改游戏规则，以确保游戏的公平性
【答案】（1）P（小伟胜）＝，P（小梅胜）＝；（2）游戏不公平；修改为：两次掷出的点数之差的绝对值为1，2，则小伟胜；否则小梅胜．
【分析】（1）利用列表法表示所有可能出现的结果情况，并求出小伟胜、小梅胜的概率；（2）依据获胜的概率判断游戏的公平性，修改规则时，利用差的绝对值的形式，使两人获胜的概率相等即可．
【详解】
解：（1）用列表法表示所有可能出现的结果如下：

表中总共有36种可能的结果，每一种结果出现的可能性相同，“差的绝对值”为0，1，2共有24种，“差的绝对值”为3，4，5的共有12种，∴P（小伟胜）＝＝，P（小梅胜）＝＝，
答：小伟胜的概率是，小梅胜的概率是；
（2）∵≠，∴游戏不公平；
根据表格中“差的绝对值”的不同情况，要使游戏公平，即两人获胜的概率相等，
于是修改为：两次掷出的点数之差的绝对值为1，2，则小伟胜；否则小梅胜，这样小伟、小梅获胜的概率均为．
【点睛】此题主要考查了游戏的公平性，通过列举出所有的可能结果，求出相应的概率是解决问题的关键．
2．（2020·四川中考真题）为了加强学生的垃圾分类意识，某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A．优秀； B．良好； C．及格：D．不及格．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表．
垃圾分类知识测试成绩统计表
测试等级
百分比
人数
A．优秀
5%
20
B．良好

60
C．及格
45%
m
D．不及格
n

请结合统计表，回答下列问题：（1）求本次参与调查的学生人数及m，n的值；（2）如果测试结果为“良好”及以上即为对垃圾分类知识比较了解，已知该校学生总数为5600人，请根据本次抽样调查的数据估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数；（3）为了进一步在学生中普及垃圾分类知识，学校准备再开展一次关于垃圾分类的知识竞赛，要求每班派一人参加．某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加．班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4．然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
【答案】（1）400人，；（2）1120人；（3）不公平，树状图见解析
【分析】（1）由优秀的人数除以所占比例得出本次参与调查的学生人数；进而求出m和n的值；
（2）由总人数乘以良好和优秀所占比例即可；（3）先画树状图展示所有12种等可能的结果，找出和为奇数的结果有8种，再计算出小明参加和小亮参加的概率，比较两概率的大小可判断这个游戏规则是否公平．
【详解】（1）本次参与调查的学生人数为：20÷5%=400（人），m=400×45%=180，
∵400﹣20﹣60﹣180=140，∴n=140÷400×100%=35%；
（2）5600×=1120（人），即估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数为1120人；
（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中和为奇数的结果有8种，
∴P（小明参加）==，P（小亮参加）=1﹣=，∵≠，∴这个游戏规则不公平．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法、游戏的公平性、统计表、样本估计总体以及概率公式等知识；画出树状图是解题的关键．
3．（2020·内蒙古赤峰市·中考真题）如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面，并分别标有1，2，3，4四个数字；如图2，等边三角形ABC的三个顶点处各有-个圆圈.丫丫和甲甲想玩跳圈游戏，游戏的规则为：游戏者从圜A起跳，每投掷一次骰子，骰子着地的一面点数是几，就沿着三角形的边逆时针方向连续跳跃几个边长.如:若第一次掷得点数为2，就逆时针连续跳2个边长，落到圈C；若第二次掷得点数为4，就从圈C继续逆时针连续跳4个边长，落到圈A.
（1）丫丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈A的概率为 ；
（2） 丫丫和甲甲一起玩眺圈游戏: 丫丫随机投掷一次骰子，甲甲随机投掷两次骰子，都以最终落回到圈A为胜者.这个游戏规则公平吗?请说明理由.

【答案】（1） ；（2）公平，理由见详解
【分析】（1）分别计算投掷点数为1、2、3、4时，丫丫跳跃后回到圈A的次数，再按概率公式计算求解；
（2）分别计算投掷点数为1、2、3、4时，丫丫和甲甲跳跃后回到圈A的次数，再按概率公式计算求解；
【详解】解：（1）当投掷点为1时，丫丫跳跃后到圈B；当投掷点为2时，丫丫跳跃后到圈C；当投掷点为3时，丫丫跳跃后到圈A；当投掷点为4时，丫丫跳跃后到圈B；
如图，
，
共3种等可能的结果，丫丫跳跃后到圈A只有一次，故答案为：．
（2）由（1）知丫丫随机投掷一次骰子，跳跃后回到圈A的概率为 ；甲甲随机投掷两次骰子，如图

共有等可能的情况有9种，其中甲甲跳跃后到圈A共3次，
P甲甲= 这个游戏公平．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意根据题意画树状图，然后利用概率=所求情况数与总情况数之比求解是关键．
4．（2020·山东青岛市·中考真题）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：，是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形、同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．

【答案】这个游戏对双方公平，理由见解析
【分析】画出树状图，求出配成紫色的概率即可求解．
【详解】解：这个游戏对双方公平，理由如下：如图，

∵由树状图可知，所有可能发生的组合有6种，能配成紫色的组合有3种，
∴P（紫色）=，∴这个游戏对双方公平．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．画出树状图，求出他们各自获胜的概率是解答本题的关键．
5．（2020·甘肃镇原·初三学业考试）在一个不透明的口袋里装有四个分别标有1、2、3、4的小球，它们的形状、大小等完全相同．小明先从口袋里随机不放回地取出一个小球，记下数字为x；小红在剩下有三个小球中随机取出一个小球，记下数字y．
（1）计算由x、y确定的点（x，y）在函数y=﹣x+6图象上的概率；
（2）小明、小红约定做一个游戏，其规则是：若x、y满足xy＞6，则小明胜；若x、y满足xy＜6，则小红胜．这个游戏规则公平吗？说明理由；若不公平，怎样修改游戏规则才对双方公平．
【答案】（1）；（2）不公平，游戏规则可改为：若x、y满足xy≥6，则小明胜；若x、y满足xy＜6，则小红胜．
【分析】（1）画树形图，展示所有可能的12种结果，其中有点（2，4），（4，2）满足条件，根据概率的概念计算即可；（2）先根据概率的概念分别计算出P（小明胜）和P（小红胜）；判断游戏规则不公平．然后修改游戏规则，使它们的概率相等．
【解析】解：（1）画树形图：

所以共有12个点：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），其中满足y=﹣x+6的点有（2，4），（4，2），
所以点（x，y）在函数y=﹣x+6图象上的概率=；
（2）满足xy＞6的点有（2，4），（4，2），（4，3），（3，4），共4个；
满足xy＜6的点有（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（3，1），（4，1），共6个，
所以P（小明胜）=；P（小红胜）=；∵≠，∴游戏规则不公平．
游戏规则可改为：若x、y满足xy≥6，则小明胜；若x、y满足xy＜6，则小红胜．
【点睛】本题考查了关于游戏公平性的问题：先利用图表或树形图展示所有可能的结果数，然后计算出两个事件的概率，若它们的概率相等，则游戏公平；若它们的概率不相等，则游戏不公平．
6．（2020·辽宁台安·初三二模）一个不透明的袋子里装有4个小球，分别标有1，2，3，7四个数字，这些小球除所标数字不同外，其余方面完全相同，甲、乙两人每次同时从袋子中各随机摸出一个小球，记下小球上的数字，并计算它们的和.（1）请用画树状图或列表的方法，求两数和是8的概率；
（2）甲、乙两人想用这种方法做游戏，他们规定：若两数之和是2的倍数时，甲得3分；若两数之和是3的倍数时，乙得2分；当两数之和是其他数值时，两人均不得分.你认为这个游戏公平吗？请说明理由；若你认为不公平，请你修改得分规则，使游戏公平．
【答案】（1）画树形图见解析，两数和是8的概率；
（2）游戏不公平，理由见解析；将得分规则修改为：当两数和是2的倍数时，甲得2分，当两数和是3的倍数时，乙得3分，当两数之和是其他数值时，两人均不得分．
【分析】（1）根据题意画树状图或列表，然后根据树状图或表格求得所有等可能的结果与两数和是8的情况，利用概率公式即可求得答案；（2）首先求得两数之和是2的倍数与两数之和是3的倍数的概率，然后比较得分，得分相同，则公平，否则不公平．
【解析】（1）画树形图，

两数和是8的概率
(2)∵两数之和是2的倍数的有6种情况，两数之和是3的倍数的有4种情况，
∴P(两数之和是2的倍数)==，P(两数之和是3的倍数)==，
∵×3≠×2，∴游戏不公平．
应该为：当两数之和是2的倍数时，甲得2分，当两数之和是3的倍数时，乙得3分，当两数之和是其它数值时，两人均不得分．
③设非规则图形的面积为，用频率估计概率，即频率概率（掷入非规则图形内），
故，所以．（合理即可）
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
7．（2020·内蒙古呼伦贝尔·初三二模）小明、小亮两人用如图所示的两个分隔均匀的转盘做游戏：分别转动两个转盘，转盘停止后，将两个指针所指数字相加（若指针恰好停在分割线上，则重转一次）．如果这两个数字之和小于8（不包括8），则小明获胜；否则小亮获胜．

（1）填空：转动转盘B，转盘停止后，指针指向偶数的概率为　 　．
（2）用列表法（或树状图）分别求出两人获胜的概率．
（3）这个游戏对双方公平吗？若你认为不公平，如何修改规则才能使该游戏对双方公平？
【答案】（1）；（2）P（小明获胜）＝，P（小亮获胜）＝；（3）游戏不公平，改为：两个数字之和小于等于8时，小明获胜，否则小亮获胜．
【分析】（1）转盘B一共有三种等可能的情况，指针为偶数的情况只有一种：数字6，即指针指向偶数的概率可求；
（2）用树状图或列表法将两次转盘可能出现的结果一一列出，并求出两次转盘数字之和，即可求得小明、小亮的获胜概率；
（3）因为两者获胜的概率不相同，所以游戏不公平，改变游戏规则使得两者的获胜概率相等即可．
【解析】解：（1）转盘B一共有三种等可能的情况，指针为偶数的情况只有一种：数字6，即指针指向偶数的概率为；
（2）树状图：转盘A一共有四种等可能的情况，转盘B一共有三种等可能的情况，结果共有12种等可能的情况，

两数之和小于8的情况有3种，即，其余情况是小亮获胜，即；
列表法：转盘A一共有四种等可能的情况，转盘B一共有三种等可能的情况，结果共有12种等可能的情况，

两数之和小于8的情况有3种，即，其余情况是小亮获胜，即；
（3）∵两者获胜的概率不相同，∴游戏不公平，可将游戏规则改为：两个数字之和小于等于8时，小明获胜，否则小亮获胜．
【点睛】本题主要考察了求事件发生的概率、列表法或树状图法求概率、游戏公平性判断，解题的关键在于无一遗漏地列出可能发生的情况．

题型8 概率与方程（不等式）结合
【解题技巧】
1．（2020·全国初三课时练习）已知一个口袋中装有六个完全相同的小球，小球上分别标有﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2六个数，搅均后一次从中摸出一个小球，将小球上的数用a表示，则摸出小球上的a值恰好使函数y＝ax的图象经过二、四象限，且使方程，有实数解的概率是_____．
【答案】
【分析】先根据题意得出符合要求的a的值,再利用概率公式计算即可求得答案.
【解析】解：∵当y＝ax的图象经过二、四象限,∴a＜0,∴a的值可以为：﹣3,﹣2,﹣1,
∵方程有实数解,∴x≠1,即x﹣a﹣3＝3（x﹣1）,∴a≠﹣2,
∴a的值可以为：﹣1,﹣3,∴摸出小球上的a值恰好使函数y＝ax的图象经过二、四象限，且使方程有实数解的概率是．故答案为．
【点睛】本题主要考查概率的计算,解决本题的关键是要熟练掌握计算概率的方法.
2．（2020·全国初三课时练习）甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字，，的卡片，乙中有三张标有数字，，的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为，从乙中任取一张卡片，将其数字记为．若，能使关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，利用一元二次方程根的判别式，即可判定各种情况下根的情况，然后利用概率公式求解即可求得乙获胜的概率.
【解析】（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△=b2-4a>0,
画树状图如下：

由图可知，共有种等可能的结果，分别是a=，b=1，则△=-10；a=，b=2，则△=2>0；a=，b=1，则△=0；a=，b=3，则△=8>0；a=，b=2，则△=3>0；a=1，b=1，则△=-30；a=1，b=2，则△=0；其中能使乙获胜的有种结果数，∴乙获胜的概率为，故选C．
【点睛】本题考查的是用树状图法求概率，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
3．（2020·全国初三课时练习）从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为、，则关于的一元二次方程有实数解的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据一元二次方程有实数根求出ac≤4，继而画树状图进行求解即可.
【解析】由题意，△=42-4ac≥0，∴ac≤4，
画树状图如下：

a、c的积共有12种等可能的结果，其中积不大于4的有6种结果数，
所以a、c的积不大于4(也就是一元二次方程有实数根)的概率为，故选C.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，列表法或树状图法求概率，得到ac≤4是解题的关键.
4．（2020·重庆八中初三一模）一枚质地均匀的正方体骰子六个面上分别标有﹣5，﹣1，0，1，2，4这六个数，若将第一次掷出骰子正面朝上的数记为m，第二次掷出骰子正面朝上的数记为n，则点（m、n）恰好落在一次函数y＝2x﹣4与坐标轴围成三角形区域内（含边界）的概率为_______．
【答案】
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好落在一次函数与坐标轴围成三角形区域内（含边界）的情况，再利用概率公式求得答案．
【解析】解：列表得：

∵共有36种等可能的结果，点恰好落在一次函数与坐标轴围成三角形区域内（含边界）的有：，，，，，
∴点恰好落在一次函数与坐标轴围成三角形区域内（含边界）的概率是．
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数的图象，概率求解，解题的关键是先通过列表找到所有可能的点坐标再去依次判断是否符合条件．
5．（2021·重庆南开中学初三开学考试）现有五张正面分别标有数字，，，，的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为，．则点在第四象限的概率为______．
【答案】
【分析】画树状图展示所有25种等可能的结果数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式求解．
【解析】解：根据题意画图如下：

共有25种等可能的情况数，其中在第四象限的有6种，概率为．故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A的概率为．
6．（2020·四川郫都·期末）有五张正面分别标有数﹣2，0，1，3，4的纸片做成无差别的纸团，洗匀后从中任取一个纸团，若展开后将纸片上的数记为a，则使关于x的方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x的解是正整数的概率为_____．
【答案】
【分析】根据题意由当a分别取2，0，1，3，4时，解方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x得到正整数的个数，然后根据概率公式求解．
【解析】解：当a＝﹣2时，方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x化为﹣2x﹣1﹣3x﹣3＝﹣3x，解得x＝﹣2；
当a＝0时，方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x化为﹣1﹣3x﹣3＝﹣3x，无解；
当a＝1时，方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x化为x﹣1﹣3x﹣3＝﹣3x，解得x＝4；
当a＝3时，方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x化为3x﹣1﹣3x﹣3＝﹣3x，解得x＝；
当a＝4时，方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x化为4x﹣1﹣3x﹣3＝﹣3x，解得x＝1；
所以使关于x的方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x的解是正整数的结果数为2，
所以展开后将纸片上的数记为a，则使关于x的方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x的解是正整数的概率＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查概率公式以及解一元二次方程，注意掌握某事件的概率=某事件所占的情况数与总情况数之比．
7．（2021·四川邛崃·初三二模）一个不透明的盒子里装有3个分别写有数字，0，1的小球，它们除数字不同外其余全部相同．现从盒子里随机取出一个小球，将该小球上的数字记为．从剩余的小球中再取出一个，将第二个小球上的数字记为．则点落在二次函数与轴所围成的区域（含边界）概率是_______；
【答案】
【分析】根据题意找到点P的全部可能结果是有6中，然后根据画出的函数图像与x轴所围成的区域，找到符合的结果有3种，由此得到概率．
【解析】由题意得，点P的可能结果为：（-1，0），（-1，1），（0，1），（0，-1），（1，-1），（1，0），在平面直角坐标系中画出二次函数与x轴的区域，如图中阴影部分（包含边界）：

标出点P的坐标，其中（0，1），（1，0），（-1，0）符合情况，所以点落在二次函数与轴所围成的区域（含边界）概率为：．故答案为：．
【点睛】考查某个事件的发生概率求法，并结合二次函数的图象知识，学生必须熟练掌握二次函数的图象画法，从中找到符合情况的结果数求的概率．

题型9 概率与统计综合
【解题技巧】
1．（2020·山东肥城·初三三模）为提升学生的数学素养，某学校开展了“数学素养”竞赛活动.九年级名学生参加了竞赛，结果所有学生成绩都不低于分(满分分)．为了了解成绩分布情况，学校随机抽取了部分学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计表，根据表中所给信息，解答下列问题：
成绩(分)分组
频数
频率












表中___ _ _ ， _；这组数据的中位数落在_____ _范围内；
若成绩不小于分为优秀，请估计九年级大约有多少名学生获得优秀成绩？
竞赛中有这样一道题目： 如图，有两个转盘在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1，2，分别转动转盘当转盘停止转动时，若事件“指针都落在标有数字的扇形区域内”概率是，则转盘中标有数字的扇形的圆心角的度数是 ．

【答案】，； 中位数在内； 名；
【分析】（1）先根据组求出样本数为50名学生，四个分组的人数和就是50，即可求出的值；根据已知的频数和样本数即可求出；（2）根据中位数的概念即可求出答案；（3）根据样本中成绩不小于分为优秀的频率即可估计总体中成绩不小于分的学生人数；（4）先根据题意求出转盘B中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率，再根据圆周角等于计算即可．
【解析】解：（1）调查学生总数：（名），
的频数：，即，
的频率：，即，故答案为：20，0.2．
（2）共50名学生，中位数落在“”范围内．
（3）调查学生中，成绩不小于分的频率：，
所以根据样本估计总体，九年级获得优秀成绩的学生人数：（名），
即九年级大约有360名学生获得优秀成绩．
（4）设转盘B中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率为，根据题意得：，解得，
所以转盘B中指针落在标有数字1的扇形的圆心角的度数为：．故答案为：．
【点睛】本题考查了数据的分析与整理及事件的概率等知识点，熟练掌握基本概念如中位数、频率及事件概率的求法是解题的关键．
2．（2020·广西环江·二模）某兴趣小组设计了一份关于支付方式的调查问卷，要求每人从下列五种支付方式中选择且只选一种支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

（1）这次活动共调查了　 　人；（2）将条形统计图补充完整；（3）在一次购物中，王明和李亮都想从微信、支付宝、银行卡三种支付方式中选一种方式进行支付，求两人选出同种支付方式的概率．
【答案】（1）100；（2）画图见解析；（3）
【分析】（1）由题意利用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数；
（2）由题意利用总人数乘以对应百分比可得微信和银行卡的人数，进而补全条形统计图即可；
（3）根据题意首先画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解析】解：（1）（20+25+10）÷（1-15%-30%）=100（人）；故答案为：100.
（2）微信人数为100×30%=30人，银行卡人数为100×15%=15人，补全图形如下：

（3）将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，画树状图得：

∵由树状图知，共有9种等可能的结果，其中两人选用同一种支付方式的有3种，
∴P(两人选用同种支付方式)=．
【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图相关，注意掌握列表法与树状图法即利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
3．（2020·四川丹棱·一模）为了了解某市中学生参加“科普知识”竞赛成绩的情况，随机抽查了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的统计表和统计图，如图所示，请根据图表信息解答下列问题：
（1）在表中： ， ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）小明的成绩是所有被抽查学生的中位数，据此推断他的成绩在 组；
（4）4个小组每组推荐1人，然后从4人中随机抽取2人参加颁奖典礼，恰好抽中A、C两组学生的概率是多少？并列表或画树状图说明．
组别
分数段（分）
频数
频率
A组

30
0.1
B组

90

C组


0.4
D组

60
0.2

【答案】，；（2）见解析；（3）C，（4），见解析
【分析】（1）由题意先根据A组频数及其频率求得总人数，再根据频率=频数÷总人数可得m、n的值；
（2）由题意直接根据（1）中所求结果即可补全频数分布直方图；
（3）由题意根据中位数的定义进行分析即可求解；
（4）根据题意先画树状图列出所有等可能结果，再找到抽中A、C的结果，根据概率公式求解即可．
【解析】解：（1）∵本次调查的总人数为30÷0.1=300（人），∴m=300×0.4=120，n=90÷300=0.3，
故答案为：120，0.3；
（2）补全频数分布直方图如图所示

（3）由于共有300个数据，则其中位数为第150、151个数据的平均数，而第150、151个数据的平均数均落在C组，∴据此推断他的成绩在C组，故答案为：C；
（4）树状图如下：

由树状图可得，共有12种等可能情况，其中抽到A、C两组同学的情况有2种．
∴抽中A、C两组同学的概率为．
【点睛】本题考查列表法或画树状图法求概率以及读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．熟练掌握并利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
4．（2020·西藏日喀则·一模）为庆祝建国70周年，我市某中学决定举办校园艺术节．学生从“书法”、“绘画”、“声乐”、“器乐”、“舞蹈”五个类别中选择一类报名参加．为了了解报名情况，组委会在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查，现将报名情况绘制成如图所示的不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，共抽取 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）扎西和卓玛同学报名参加“器乐”类比赛，想从小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐器中随机选择一种乐器，用列表法或画树状图法求他们选中同种乐器的概率

【答案】（1）200名；（2）见解析；（3）树状图见解析，
【分析】（1）根据抽取的报名“书法”类的人数有20人，占整个被抽取到学生总数的10%，得出算式即可得出结果；（2）由抽取的人数分别乘以报名“绘画”类的人数所占的比例和报名“舞蹈”类的人数所占的比例得出报名“绘画”类和“舞蹈”类的人数；补全条形统计图即可；
（3）设小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐器分别为A、B、C、D，画出树状图，即可得出答案．
【解析】解：（1）∵被抽到的学生中，报名“书法”类的人数有20人，占整个被抽取到学生总数的10%，
∴在这次调查中，一共抽取了学生为：20÷10%=200（人）.故答案为：200；
（2）被抽到的学生中报名“绘画”类的人数为：
（人），报名“舞蹈”类的人数为：（人）.
补全条形统计图如图所示：

（3）设小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐器分别为A、B、C、D，
画树状图如图所示：

共有16个等可能的结果，小东和小颖选中同一种乐器的结果有4个，
∴小东和小颖选中同一种乐器的概率为．
【点睛】此题主要考查了扇形统计图、条形统计图的应用，以及列表法与树状图法求概率，根据扇形图和条形图中都有的信息得出抽取的总人数是解决此类问题的关键，根据题意画出树状图是解决（3）的关键．
4．（2020·山东一模）为了丰富学生的业余文化生活，某校教务处准备在大课间期间开设兴趣小组，预设科目为“舞蹈”“音乐”“电竞”“动漫”为了准确配备教室与师资，负责人制作了“你最喜欢的科目”的调查问卷，在校园随机调查后制作了两幅不完整的统计图，请你根据信息解答下面问题：

（1）本次调查中，参与问卷调查的人数为　 　；（2）扇形统计图中的m、n的值为　 　、　 　，补全条形统计图；（3）若该校有学生2000人，请你估计报名“电竞”的学生的人数为　 　；
（4）最先报名“动漫”课程的三名学生中有两名男生一名女生，若随机抽取两名学生参与教室网线布设，求两名学生恰为一男一女的概率．
【答案】（1）80；（2）25，54，图详见解析；（3）1000；（4）．
【分析】（1）从两个统计图可得，“电竞”的有40人，占调查人数的50%，可求出调查人数；
（2）求出“音乐”20人所占的百分比，即可求出n的值，求出“动漫”12人所占的百分比，即可求出“动漫”所在的圆心角的度数，确定m的值；求出“舞蹈”的人数，即可补全条形统计图：
（3）样本估计总体，样本中“电竞”占50%，估计总体2000人的50%是报“电竞”的人数．
（4）用列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出“一男一女”的结果数，即可求出相应的概率．
【解析】解：（1）40÷50%＝80（人），故答案为：80；
（2）20÷80＝25%，m＝360°×＝54°，80×10%＝8（人），补全条形统计图如图所示：故答案为：25，54；
（3）2000×50%＝1000（人）故答案为：1000；
（4）用列表法表示所有可能出现的结果如下：

共有6种结果，其中一男一女的有4种，∴两名学生恰为一男一女的概率为＝．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
5．（2020·广东南山·三模）学生社团是指学生在自愿基础上结成的各种群众性文化、艺术、学术团体．不分年级、由兴趣爱好相近的同学组成，在保证学生完成学习任务和不影响学校正常教学秩序的前提下开展各种活动．某校就学生对“篮球社团、动漫社团、文学社团和摄影社团”四个社团选择意向进行了抽样调查(每人选报一类)，绘制了如图所示的两幅统计图(不完整)．

请根据图中信息，解答下列问题：(1)求扇形统计图中m的值，并补全条形统计图；(2)在“动漫社团”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学表现优秀，现决定从这五名同学中任选两名参加“中学生原创动漫大赛”，恰好选中甲、乙两位同学的概率为 ．(3)已知该校有1200名学生，请估计“文学社团”共有多少人?
【答案】（1）m=20；补全图形见解析；（2）；（3）300人
【分析】（1）用C类别人数除以其占总人数的比例可得总人数，再求出A类别的人数，由A的人数可得其所占百分比，由A得人数即可补全条形图；（2）首先根据题意列出表格，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得；（3）用1200乘以文学社团所占得比例即可．
【解析】解：（1）本次调查的总人数为15÷25%=60（人），∴A类别人数为：60-（24+15+9）=12，
则m%=×100%=20%，∴m=20 补全图形如下：

（2）列表得：

甲
乙
丙
丁
戊
甲

（甲，乙）
（甲，丙）
（甲，丁）
（甲，戊）
乙
（乙，甲）

（乙，丙）
（乙，丁）
（乙，戊）
丙
（丙，甲）
（丙，乙）

（丙，丁）
（丙，戊）
丁
（丁，甲）
（丁，乙）
（丁，丙）

（丁，戊）
戊
（戊，甲）
（戊，乙）
（戊，丙）
（戊，丁）

∵共有20种等可能的结果，恰好选中甲、乙两位同学的有2种情况，
∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为；
（3）估计“文学社团”共有1200×25%=300（人）.
【点睛】本题考查的是条形统计图与扇形统计图、用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
6．（2020·河北裕华·石家庄外国语学校初三三模）目前，某校九年级同学对“新冠疫情下停课不停学”线上学习的家长进行问卷调查，随机调查了若干名家长对线上学习的态度（态度分为：A．无所谓；B．基本赞成；C．反对；D．赞成）．并将调查结果绘制成频数折线统计图1和扇形统计图2（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）此次抽样调查中，共调查了多少名中学生家长；
（2）求出图2中扇形C所对的圆心角度数，并将图1补充完整；
（3）在此次调查活动中，初三（1）班有A1、A2两位家长对线上学习，持基本赞成的态度，初三（2）班有B1、B2两位学生家长对线上学习，也持基本赞成的态度，现从这4位家长中选2位家长参加学校组织的家校活动，用列表法或画树状图的方法求出选出的2人来自不同班级的概率．
【答案】（1）200名；（2）18°，补图见解析；（3）．
【分析】（1）用A类人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；（2）先计算出C类的人数，再利用360°乘以C类人数所占的百分比得到图2中扇形C所对的圆心角度数，然后补全频数折线统计图；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出选出的2人来自不同班级的结果数，然后根据概率公式求解．
【解析】解：（1）30÷15%＝200，所以共调查了200名中学生家长；
（2）C类人数为200﹣30﹣40﹣120＝10（人），所以扇形C所对的圆心角度数＝360°×＝18°；
频数折线统计图为：

（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中选出的2人来自不同班级的结果数为8，
所以选出的2人来自不同班级的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．