北京二中教育集团2020-2021学年八年级下学期期中数学试卷++解析版

这是一份北京二中教育集团2020-2021学年八年级下学期期中数学试卷++解析版，共31页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年北京二中教育集团八年级（下）期中数学试卷
一、选择题以下每题只有一个正确的选项，每小题3分，共30分）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x+2y＝1 B．x＝2x3﹣3 C．x2﹣2＝0 D．3x+＝1
2．一次函数y＝2x+b经过点（0，﹣4），那么b的值为（　　）
A．﹣4 B．4 C．8 D．﹣8
3．一次函数y＝﹣3x+1的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝6，则AB的长为（　　）

A． B．3 C． D．2
5．已知一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小，且kb＜0，则在直角坐标系内它的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
6．方程（x﹣2）2＝3（x﹣2）的解是（　　）
A．x＝5 B．x＝2 C．x＝5或x＝2 D．x＝1或x＝2
7．若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+a2﹣4＝0有一个根为0，则a的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．±
8．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得图形一定是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
9．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AD＞CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M．如果△CDM的周长为8，那么平行四边形ABCD的周长是（　　）

A．8 B．16 C．18 D．20
10．三名快递员某天的工作情况如图所示，其中点A1，A2，A3的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员上午派送快递所用的时间和件数；点B1，B2，B3的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员下午派送快递所用的时间和件数．有如下三个结论：
①上午派送快递所用时间最短的是甲；
②下午派送快递件数最多的是丙；
③在这一天中派送快递总件数最多的是乙．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）

A．①② B．①③ C．② D．②③
二、填空题（每小题2分，共16分）
11．（2分）函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．
12．（2分）将直线y＝2x+1向上平移两个单位长度后，得到直线　 　．
13．（2分）一个菱形的两条对角线的长分别为5和8，这个菱形的面积是　 　．
14．（2分）方程x2﹣2x﹣5＝0配方后可化为　 　．
15．（2分）一次函数y＝ax+b的图象如图，则不等式ax+b＞0的解集为　 　．

16．（2分）关于x的方程x2﹣mx+4＝0有两个相等实根，则m＝　 　．
17．（2分）如图，在矩形ABCD，BE平分∠ABC，交AD于点E，F是BE的中点，G是BC的中点，连按EC，若AB＝8，BC＝14，则FG的长为　 　．

18．（2分）甲、乙两个车间接到加工一批零件的任务，从开始加工到完成这项任务共用了9天．其间，乙车间在加工2天后停止加工，引入新设备后继续加工，直到与甲车间同时完成这项任务为止，设甲、乙两个车间各自加工零件总数y（单位：件）与加时间x（单位：天）的对应关系如图1所示，由工厂统计数据可知，甲车间与乙车间加工零件总数之差z（单位：件）与加时间x（单位：天）的对应关系如图2所示，请根据图象提供的信息回答：
（1）图中m的值是　 　；
（2）第　 　天时，甲、乙两个车间加工零件总数相同．

三、解答题（19题8分、20题3分，21题5分，22-23题，每题4分，24-26题、每题5分，27题7分，28题8分，共54分）
19．（8分）解方程：
（1）（x﹣3）2＝25；
（2）x2﹣4x+3＝0．
20．下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程．已知：Rt△ABC，∠ABC＝90°，
求作：矩形ABCD，
作法：如图，
①作线段AC的垂直平分线交AC于点O；
②连接BO并延长，在延长线上截取OD＝OB；
③连接AD，CD．
所以四边形ABCD即为所求作的矩形．
根据小东设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵OA＝OC，OD＝OB，
∴四边形ABCD是平行四边形（　 　）．（填推理的依据）
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形（　 　）．（填推理的依据）

21．（5分）已知在平面直角坐标xOy中，一次函数y＝﹣x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）点C在x轴上，若△ABC的面积等于1，则点C的坐标为　 　．

22．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．
23．（4分）列方程解应用题：
口罩是一种卫生用品，正确佩戴口罩能阻挡有害气体、飞沫、病毒等物质，对进入肺部的空气有一定的过滤作用．据调查，2021年某厂家口罩产量由1月份的125万只增加到3月份的180万只．该厂家口罩产量的平均月增长率是多少？
24．（5分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AC＝4，∠ABC＝60°，求矩形AEFD的面积．

25．（5分）直线l1：y＝kx+b（k≠0）与直线l2：y＝ax+1（a≠0）相交于点A（1，3）．
（1）求直线l2的表达式；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点记直线l1，直线l2，和x轴围成的区域（不含边界）为W．
①当k＝﹣3时，直接写出区域W内的整点个数；
②若区域W内的整点个数恰好为3个，求k的取值范围．

26．（5分）阅读下列材料：
小明同学遇到了这样一个问题：如图1，M是边长为a的正方形ABCD内一定点，请在图中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），将正方形ABCD的面积分割成面积相等的四个部分．
小明是这样思考的：数学课上曾经做过一道类似的题目，如图2，O是边长为a的正方形ABCD的对角线的交点，将以点O为顶点的直角绕点O旋转，且两直角边分别与BA，CB相交，与正方形重叠部分（即阴影部分）的面积为一个确定的值．可以类比解决此问题．
参考小明同学的想法，解答问题：
（1）请你回答图2中重叠部分（即阴影部分）的面积为　 　；
（2）请你在图3中，解决原问题：
（3）如图4，在四边形AOCD中，A（0，1），C（4，0），D（4，3），点P是AD的中点，在边OC上存在一点Q，使PQ所在直线将四边形AOCD的面积分成相等的两部分，请你画出该直线，并直接写出该直线的表达式．

27．（7分）如图，矩形ABCD中，点O为对角线AC的中点，点P是对角线AC所在直线上的一个对点（点P不与点A，C重合），过A，C两点向直线BP作垂线，垂足分别为点E，F．
（1）如图1、当点P与点O重合时，OE与OF的数量关系为　 　；
（2）当点P运动到如图2所示的位置时，请你在图2中补全图形并证明（1）中的结论仍然成立；
（3）若点P在射线OA上运动，当∠OEF＝30°时，猜想此时线段CF，AE，OE之间有怎样的数量关系，并直接写出结论（不必证明）．

28．（8分）在平面直角坐标系xOy中，已知图形W和直线l．如果图形W上存在一点Q，使得点Q到直线l的距离小于或等于k，则称图形W与直线l“k关联”．
（1）已知线段AB，其中点A（1，0），点B（3，0）；
①已知直线y＝﹣x﹣1，则该直线与y轴的交点坐标为　 　，点A到直线y＝﹣x﹣1的距离为　 　；
②已知直线y＝﹣x+b，若线段AB与该直线“关联”，求b的取值范围；
（2）已知菱形边长为2，一个内角为60°，对角线的交点P恰好在x轴上，且短对角线垂直于x轴，若该菱形与直线y＝x+1“2关联”，求点P横坐标x的取值范围．


2020-2021学年北京二中教育集团八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题以下每题只有一个正确的选项，每小题3分，共30分）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x+2y＝1 B．x＝2x3﹣3 C．x2﹣2＝0 D．3x+＝1
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．是一元二次方程，故本选项符合题意；
D．是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．一次函数y＝2x+b经过点（0，﹣4），那么b的值为（　　）
A．﹣4 B．4 C．8 D．﹣8
【分析】直接把（0，﹣4）代入一次函数y＝2x+b，求出b的值即可．
【解答】解：∵一次函数y＝2x+b的图象经过点（0，﹣4），
∴b＝﹣4．
故选：A．
3．一次函数y＝﹣3x+1的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以判断该函数的图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，本题得以解决．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣3x+1，k＝﹣3，b＝1，
∴该函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝6，则AB的长为（　　）

A． B．3 C． D．2
【分析】先由矩形的性质得出OA＝OB，再证明△AOB是等边三角形，得出AB＝OB＝3即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝AC，OB＝BD＝3，AC＝BD＝6，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OB＝3，
故选：B．
5．已知一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小，且kb＜0，则在直角坐标系内它的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用一次函数的性质进行判断．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小
∴k＜0
又∵kb＜0
∴b＞0
∴此一次函数图象过第一，二，四象限．
故选：A．
6．方程（x﹣2）2＝3（x﹣2）的解是（　　）
A．x＝5 B．x＝2 C．x＝5或x＝2 D．x＝1或x＝2
【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【解答】解：∵（x﹣2）2＝3（x﹣2），
∴（x﹣2）2﹣3（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（x﹣2﹣3）＝0，
∴x＝2或x＝5，
故选：C．
7．若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+a2﹣4＝0有一个根为0，则a的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．±
【分析】把x＝0代入方程计算，检验即可求出a的值．
【解答】解：把x＝0代入方程得：a2﹣4＝0，
（a﹣2）（a+2）＝0，
可得a﹣2＝0或a+2＝0，
解得：a＝2或a＝﹣2，
当a＝2时，a﹣2＝0，此时方程不是一元二次方程，舍去；
则a的值为﹣2．
故选：A．
8．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得图形一定是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【分析】因为四边形的两条对角线相等，根据三角形的中位线定理，可得所得的四边形的四边相等，则所得的四边形是菱形．
【解答】解：如图，AC＝BD，E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，
则EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，
根据三角形的中位线的性质知，EH＝FG＝BD，EF＝HG＝AC，
∵AC＝BD，
∴EH＝FG＝FG＝EF，
∴四边形EFGH是菱形．
故选：C．

9．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AD＞CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M．如果△CDM的周长为8，那么平行四边形ABCD的周长是（　　）

A．8 B．16 C．18 D．20
【分析】由线段垂直平分线的性质可得AM＝MC，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，
∵OM⊥AC，
∴AM＝MC，
∵△CDM的周长为8，
∴CM+DM+CD＝8＝AM+DM+CD＝8，
∴AD+CD＝8，
∴平行四边形ABCD的周长＝2×8＝16，
故选：B．
10．三名快递员某天的工作情况如图所示，其中点A1，A2，A3的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员上午派送快递所用的时间和件数；点B1，B2，B3的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员下午派送快递所用的时间和件数．有如下三个结论：
①上午派送快递所用时间最短的是甲；
②下午派送快递件数最多的是丙；
③在这一天中派送快递总件数最多的是乙．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）

A．①② B．①③ C．② D．②③
【分析】从图中根据①②③的信息依次统计，即可求解；
【解答】解：从图可知以下信息：
上午送时间最短的是甲，①正确；
下午送件最多的是乙，②不正确；
一天中甲送了65件，乙送了75件，③正确；
故选：B．
二、填空题（每小题2分，共16分）
11．（2分）函数y＝中，自变量x的取值范围是　x≠2　．
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为0．
【解答】解：要使分式有意义，即：x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故答案为：x≠2．
12．（2分）将直线y＝2x+1向上平移两个单位长度后，得到直线　y＝2x+3　．
【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，把直线y＝2x+1上平移2个单位长度后所得直线的解析式为：y＝2x+1+2，即y＝2x+3，
故答案为y＝2x+3．
13．（2分）一个菱形的两条对角线的长分别为5和8，这个菱形的面积是　20　．
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【解答】解：∵菱形的两条对角线的长分别为5和8，
∴这个菱形的面积＝×5×8＝20．
故答案为：20．
14．（2分）方程x2﹣2x﹣5＝0配方后可化为　（x﹣1）2＝6　．
【分析】根据配方法即可求出答案．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣5＝0，
∴x2﹣2x+1＝6，
∴（x﹣1）2＝6，
故答案为：（x﹣1）2＝6．
15．（2分）一次函数y＝ax+b的图象如图，则不等式ax+b＞0的解集为　x＞1　．

【分析】观察函数图象得到当x＞1时，一次函数图象在x轴上方，即y＝ax+b＞0．
【解答】解：当x＞1时，y＞0，即ax+b＞0．
故答案为x＞1．
16．（2分）关于x的方程x2﹣mx+4＝0有两个相等实根，则m＝　±4　．
【分析】先根据一元二次方程有两个相等的实数根得出△＝0即可得到关于m的方程，求出m的值即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣mx+4＝0有两个相等实根，
∴△＝（﹣m）2﹣4×4＝0，解得m＝±4．
故答案为：±4．
17．（2分）如图，在矩形ABCD，BE平分∠ABC，交AD于点E，F是BE的中点，G是BC的中点，连按EC，若AB＝8，BC＝14，则FG的长为　5　．

【分析】由矩形的性质得出AB＝CD＝8，BC＝AD＝14，∠A＝∠D＝∠ABC＝90°，由角平分线的性质得出∠ABE＝∠ABC＝45°，则△ABE是等腰直角三角形，得出AB＝AE，求出DE＝6，由勾股定理求出CE＝10，易证FG是△BCE的中位线，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，BC＝AD＝14，∠A＝∠D＝∠ABC＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠ABC＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝AE，
∴DE＝AD﹣AE＝AD﹣AB＝14﹣8＝6，
∴CE＝＝＝10，
∵F是BE的中点，G是BC的中点，
∴FG是△BCE的中位线，
∴FG＝CE＝×10＝5，
故答案为：5．
18．（2分）甲、乙两个车间接到加工一批零件的任务，从开始加工到完成这项任务共用了9天．其间，乙车间在加工2天后停止加工，引入新设备后继续加工，直到与甲车间同时完成这项任务为止，设甲、乙两个车间各自加工零件总数y（单位：件）与加时间x（单位：天）的对应关系如图1所示，由工厂统计数据可知，甲车间与乙车间加工零件总数之差z（单位：件）与加时间x（单位：天）的对应关系如图2所示，请根据图象提供的信息回答：
（1）图中m的值是　770　；
（2）第　8　天时，甲、乙两个车间加工零件总数相同．

【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得m的值；
（2）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲的速度、乙引入设备前后的速度，乙停工的天数，从而可以求得第几天，甲、乙两个车间加工零件总数相同．
【解答】解：（1）由题意可得，
m＝720+50＝770，
故答案为：770；
（2）由图可得，
甲每天加工的零件数为：720÷9＝80（个），
乙引入新设备前，每天加工的零件数为：80﹣（40÷2）＝60（个），
乙停工的天数为：（200﹣40）÷80＝2（天），
乙引入新设备后，每天加工的零件数为：（770﹣60×2）÷（9﹣2﹣2）＝130（个），
设第x天，甲、乙两个车间加工零件总数相同，
80x＝60×2+130（x﹣2﹣2），
解得，x＝8，
即第8天，甲、乙两个车间加工零件总数相同，
故答案为：8．
三、解答题（19题8分、20题3分，21题5分，22-23题，每题4分，24-26题、每题5分，27题7分，28题8分，共54分）
19．（8分）解方程：
（1）（x﹣3）2＝25；
（2）x2﹣4x+3＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）∵（x﹣3）2＝25，
∴x﹣3＝±5，
∴x1＝8，x2＝﹣2；
（2）∵x2﹣4x+3＝0，
∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，
则x﹣1＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝1，x2＝3．
20．下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程．已知：Rt△ABC，∠ABC＝90°，
求作：矩形ABCD，
作法：如图，
①作线段AC的垂直平分线交AC于点O；
②连接BO并延长，在延长线上截取OD＝OB；
③连接AD，CD．
所以四边形ABCD即为所求作的矩形．
根据小东设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵OA＝OC，OD＝OB，
∴四边形ABCD是平行四边形（　对角线互相平分的四边形是平行四边形　）．（填推理的依据）
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形（　有一个角是直角的平行四边形是矩形　）．（填推理的依据）

【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；
（2）根据平行四边形的判定方法和矩形的判定方法即可完成证明．
【解答】解：（1）如图即为补全的图形；

（2）证明：∵OA＝OC，OD＝OB，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．
21．（5分）已知在平面直角坐标xOy中，一次函数y＝﹣x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）点C在x轴上，若△ABC的面积等于1，则点C的坐标为　（0，0）或（4，0）．　．

【分析】（1）分别令y＝0，x＝0求解即可；
（2）根据两点确定一条直线作出函数图象即可；
（3）设C（m，0），根据三角形的面积求出m的值．
【解答】解：（1）令y＝0，则x＝2，
令x＝0，则y＝1，
所以，点A的坐标为（2，0），
点B的坐标为（0，1）；
（2）如图：
；
（3）设C（m，0），
∵A（2，0）、B（0，1），
∴AC＝|m﹣2|
∵△ABC的面积＝AC•yB＝1，
∴|m﹣2|×1＝1
解得m＝0或4，
所以点C的坐标为（0，0）或（4，0）．
故答案为：（0，0）或（4，0）．
22．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．
【分析】（1）先根据方程有两个相等的实数根列出关于m的一元二次方程，求出m的值即可；
（2）根据题意得到x＝1和x＝m+2是原方程的根，根据方程两个根均为正整数，可求m的最小值．
【解答】（1）证明：依题意，得△＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）
＝m2+6m+9﹣4m﹣8
＝（m+1）2．
∵（m+1）2≥0，
∴△≥0．
∴方程总有两个实数根．

（2）解：解方程，得x1＝1，x2＝m+2，
∵方程的两个实数根都是正整数，
∴m+2≥1．
∴m≥﹣1．
∴m的最小值为﹣1．
23．（4分）列方程解应用题：
口罩是一种卫生用品，正确佩戴口罩能阻挡有害气体、飞沫、病毒等物质，对进入肺部的空气有一定的过滤作用．据调查，2021年某厂家口罩产量由1月份的125万只增加到3月份的180万只．该厂家口罩产量的平均月增长率是多少？
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“1月份的125万只增加到3月份的180万只”，列出方程即可得出答案．
【解答】解：从1月份到3月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，
根据题意可得：125（1+x）2＝180，
解得，x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），
答：该厂家口罩产量的平均月增长率是20%．
24．（5分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AC＝4，∠ABC＝60°，求矩形AEFD的面积．

【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD＝BC，等量代换得到BC＝EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的判定定理得到Rt△ABE≌Rt△DCF （HL），求得矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积，根据等腰三角形的性质得到AO＝AC＝2，AB＝4，BO＝2于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵CF＝BE，
∴BC＝EF，
∴AD∥EF，AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴平行四边形AEFD是矩形；
（2）∵AB＝CD，BE＝CF，∠AEB＝∠DFC＝90°，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF （HL），
∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵AC＝4，
∴AO＝AC＝2，AB＝4，BO＝2，
∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积＝×4×4＝8．
25．（5分）直线l1：y＝kx+b（k≠0）与直线l2：y＝ax+1（a≠0）相交于点A（1，3）．
（1）求直线l2的表达式；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点记直线l1，直线l2，和x轴围成的区域（不含边界）为W．
①当k＝﹣3时，直接写出区域W内的整点个数；
②若区域W内的整点个数恰好为3个，求k的取值范围．

【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）①当k＝﹣3时代入点A坐标即可求出直线解析式，进而分析出整点个数；
②当l1 绕点A旋转至经过点（2，1）时，当l1 绕点A旋转至经过点（2，2）时，当l1 绕点A旋转至经过点（﹣3，1）时，当l1 绕点A旋转至经过点（﹣2，1）时，然后把这些边界点代入确定k的值，即可求得k的取值范围．
【解答】解：（1）∵直线l2：y＝ax+1过点A（1，3）．
∴a＝2，
∴直线l2为y＝2x+1．
（2）①当k＝﹣3时，y＝﹣3x+b，把A（1，3）代入得3＝﹣3+b，
解得：b＝6，
∴y＝﹣3x+6，
如图，区域W内的整点个数为2个；

②当l1 绕点A旋转至经过点（2，1）时，
此时满足，
解得：，
当l1 绕点A旋转至经过点（2，2）时，
此时满足，
解得：，
∴当﹣2＜k≤﹣1时，区域W内的整点个数恰好为3个；
当l1 绕点A旋转至经过点（﹣3，1）时，
此时满足，
解得：，
当l1 绕点A旋转至经过点（﹣2，1）时，
此时满足，
解得：，
∴当≤k＜时，区域W内的整点个数恰好为3个；
综上所述，k的取值范围是﹣2＜k≤﹣1或≤k＜．
26．（5分）阅读下列材料：
小明同学遇到了这样一个问题：如图1，M是边长为a的正方形ABCD内一定点，请在图中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），将正方形ABCD的面积分割成面积相等的四个部分．
小明是这样思考的：数学课上曾经做过一道类似的题目，如图2，O是边长为a的正方形ABCD的对角线的交点，将以点O为顶点的直角绕点O旋转，且两直角边分别与BA，CB相交，与正方形重叠部分（即阴影部分）的面积为一个确定的值．可以类比解决此问题．
参考小明同学的想法，解答问题：
（1）请你回答图2中重叠部分（即阴影部分）的面积为　a2　；
（2）请你在图3中，解决原问题：
（3）如图4，在四边形AOCD中，A（0，1），C（4，0），D（4，3），点P是AD的中点，在边OC上存在一点Q，使PQ所在直线将四边形AOCD的面积分成相等的两部分，请你画出该直线，并直接写出该直线的表达式．

【分析】（1）证明△EOB≌△FOC从而S△EOB＝S△FOC，重叠部分（即阴影部分）的面积为S△BOF+S△EOB＝S△BOF+S△FOC＝S△BOC，且S△BOC＝S△ABC＝×a2＝a2，即可得到答案；
（2）连接AC、BD交于O，作直线OM交AD、BC于G、F，过O作EH⊥OM，交AB、CD于E、H，直线GF、EH即为满足条件的直线；
（3）连接OP并延长交CD延长线于E，在CO上取CQ，使CQ＝DE，连接PQ，则直线CQ即为所求直线，求出P、Q坐标，即可得解析式．
【解答】解：（1）如图：

∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠EOB＝90°﹣∠BOF＝∠FOC，
在△EOB和△FOC中，
，
∴△EOB≌△FOC（ASA），
∴S△EOB＝S△FOC，
∴重叠部分（即阴影部分）的面积为S△BOF+S△EOB＝S△BOF+S△FOC＝S△BOC，
而正方形ABCD的边长为a，
∴S△BOC＝S△ABC＝×a2＝a2，
∴重叠部分（即阴影部分）的面积为a2，
故答案为：a2；
（2）连接AC、BD交于O，作直线OM交AD、BC于G、F，过O作EH⊥OM，交AB、CD于E、H，如图：

由（1）知S四边形OEBF＝a2，
同理可得S四边形AEOG＝S四边形DGOH＝S四边形CHOF＝a2，
∴S四边形OEBF＝S四边形AEOG＝S四边形DGOH＝S四边形CHOF＝a2，
∴直线GF、EH即为满足条件的直线；
（3）连接OP并延长交CD延长线于E，在CO上取CQ，使CQ＝DE，连接PQ，则直线CQ即为所求直线，如图：

过P作PM⊥OC于M，PN⊥CD于N，
∵A（0，1），C（4，0），D（4，3），点P是AD的中点，
∴P（2，2），CD∥OA，PA＝PD①，
∴∠EDP＝∠OAP②，
设直线OP解析式为y＝mx，将P（2，2）代入得：
2＝2m，解得m＝1，
∴直线OP解析式为y＝x，
令x＝4得y＝4，
∴E（4，4），
∴DE＝1，
∴DE＝OA③，
由①②③可得：△AOP≌△DEP（SAS），
∴S△AOP＝S△DEP，
∴S四边形AOCD＝S△EOC，
∵点P是AD的中点，
∴S△POC＝S△EPC＝S△EOC＝S四边形AOCD，
∵P（2，2），C（4，0），PM⊥OC于M，PN⊥CD于N，
∴PM＝2＝PN，
又DE＝OA＝CQ，
∴S△DEP＝S△CPQ，
∴S△CPQ＝S△DEP＝S△AOP，
∴S四边形AOQP＝S△AOP+S△POQ＝S△CPQ+S△POQ＝S△POC＝S四边形AOCD，
∴PQ所在直线将四边形AOCD的面积分成相等的两部分，
∵C（4，0），CF＝OA＝1，
∴Q（3，0），
设直线PQ解析式为y＝kx+b，将P（2，2），Q（3，0）代入得：
，解得，
∴PQ解析式为y＝﹣2x+6．
27．（7分）如图，矩形ABCD中，点O为对角线AC的中点，点P是对角线AC所在直线上的一个对点（点P不与点A，C重合），过A，C两点向直线BP作垂线，垂足分别为点E，F．
（1）如图1、当点P与点O重合时，OE与OF的数量关系为　OE＝OF　；
（2）当点P运动到如图2所示的位置时，请你在图2中补全图形并证明（1）中的结论仍然成立；
（3）若点P在射线OA上运动，当∠OEF＝30°时，猜想此时线段CF，AE，OE之间有怎样的数量关系，并直接写出结论（不必证明）．

【分析】（1）证明△AOE≌△COF即可得到OE＝OF；
（2）过O作OH⊥BP于H，由平行线等分线段定理可得OH是EF的垂直平分线，从而可证OE＝OF；
（3）过O作OH⊥BP于H，证明OH是梯形AEFC的中位线，OH＝（AE+CF），再证OH＝OE，即可得到答案．
【解答】解（1）∵矩形ABCD，O为对角线AC的中点，
∴OA＝OC，
∵AE⊥BE，CF⊥BE，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
在△AOE和△COF中
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF；
故答案为：OE＝OF；
（2）过O作OH⊥BP于H，如图：

∵AE⊥BP，CF⊥BP，OH⊥BP，
∴AE∥CF∥OH，
∵OA＝OC，
∴EH＝FH（平行线等分线段定理），
∴OH是EF的垂直平分线，
∴OE＝OF；
（3）猜想OE＝AE+CF，证明如下：
过O作OH⊥BP于H，

∵AE⊥BP，CF⊥BP，OH⊥BP，
∴AE∥CF∥OH，
∵OA＝OC，
∴EH＝FH（平行线等分线段定理），
∴OH是梯形AEFC的中位线，
∴OH＝（AE+CF）；
在Rt△EOH中，∠OEF＝30°，
∴OH＝OE，
∴OE＝（AE+CF），
∴OE＝AE+CF．
28．（8分）在平面直角坐标系xOy中，已知图形W和直线l．如果图形W上存在一点Q，使得点Q到直线l的距离小于或等于k，则称图形W与直线l“k关联”．
（1）已知线段AB，其中点A（1，0），点B（3，0）；
①已知直线y＝﹣x﹣1，则该直线与y轴的交点坐标为　（0，﹣1）　，点A到直线y＝﹣x﹣1的距离为　　；
②已知直线y＝﹣x+b，若线段AB与该直线“关联”，求b的取值范围；
（2）已知菱形边长为2，一个内角为60°，对角线的交点P恰好在x轴上，且短对角线垂直于x轴，若该菱形与直线y＝x+1“2关联”，求点P横坐标x的取值范围．

【分析】（1）①求出E，F的坐标，利用等腰直角三角形的性质即可解决问题．
②如图2中，当直线y＝﹣x+b在点B的上方，且点B到直线的距离为时，b＝5，再结合①中结论，可得结论．
（2）求出两种特殊位置点P的坐标即可．设直线y＝x+1交Y轴于M（0，1），交x轴于N（﹣，0）．当菱形ABCD在y轴的右侧时，连接BD交AC于P，过点A作AQ⊥MN于Q．求出此时点P的坐标，当菱形ABCD在y轴的左侧，且点C到直线MN的距离为2时，同法可得P坐标，利用图象法判断即可．
【解答】解：（1）①对于直线y＝﹣x﹣1，令x＝0，得到y＝﹣1，令y＝0，得到x＝﹣1，
∴直线y＝﹣x﹣1交y轴于E（0，﹣1），交x轴于F（﹣1，0），
∴OE＝OF＝1，
如图1中，连接AE．

∵A（1，0），
∴OE＝OF＝OA＝1，
∴∠EAF＝∠EFA＝45°，
∴∠AEF＝90°，
∴AE⊥EF，
∵AE＝＝，
∴点A到直线y＝﹣x﹣1的距离为．
故答案为：（0，﹣1），．

②如图2中，当直线y＝﹣x+b在点B的上方，且点B到直线的距离为时，b＝5，

观察图象可知，满足条件的b的值为﹣1≤b≤5．

（2）设直线y＝x+1交Y轴于M（0，1），交x轴于N（﹣，0）．
当菱形ABCD在y轴的右侧时，连接BD交AC于P，过点A作AQ⊥MN于Q．

当AQ＝2时，AN＝2AQ＝4，
∴OA＝4﹣，
∵四边形ABCD是菱形，AD＝AB＝BC＝CD＝2，∠DAB＝60°，
∴∠DAP＝30°，AC⊥BD，
∴AP＝AD•cos30°＝，
∴OP＝OA+AP＝4，
∴P（4，0），
当菱形ABCD在y轴的左侧，且点C到直线MN的距离为2时，同法可得P（﹣4﹣2，0），
观察图象可知，满足条件的点P横坐标x的取值范围为﹣4﹣2≤x≤4．