合肥市第四十五中学2020-2021学年八年级下学期期中数学试卷

这是一份合肥市第四十五中学2020-2021学年八年级下学期期中数学试卷，共17页。
2020-2021学年安徽省合肥四十五中八年级（下）期中数学试卷
一.选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列给出的式子是二次根式的是（　　）
A．±3 B． C． D．
2．（4分）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．2x2+x﹣3＝0 B．y2＝x C．x+＝2 D．ax2+bx+c＝0
3．（4分）高为3，底边长为8的等腰三角形腰长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（4分）式子有意义的x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣且x≠1 B．x≠1 C． D．
5．（4分）用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0，配方后的方程可以是（　　）
A．（x+1）2＝4 B．（x﹣1）2＝4 C．（x﹣1）2＝2 D．（x+1）2＝2
6．（4分）若关于x的方程x2+2x﹣k＝0没有实数根，则k的值可以是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
7．（4分）计算÷•（a＞0，b＞0）的结果是（　　）
A． B． C． D．b
8．（4分）如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积为S1，小正方形面积为S2，则（a+b）2可以表示为（　　）

A．S1﹣S2 B．S1+S2 C．2S1﹣S2 D．S1+2S2
9．（4分）如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（　　）

A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
10．（4分）如图，在平面直角坐标系中A（0，4）、C（6，0），BC⊥x轴，存在第一象限的一点P（a，2a﹣5），使得△PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，则点P的坐标（　　）

A．（3，1）或（3，3） B．（5，5）
C．（3，1）或（5，5） D．（3，3）
二.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）与最接近的整数是　 　．
12．（5分）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，王同学由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4，那么＝　 　．
13．（5分）锐角△ABC中，已知AB＝13，AC＝15，AD⊥BC于D，AD＝12，则BC＝　 　．
14．（5分）已知x＝为一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根，且a，b为有理数，则a＝　 　，b＝　 　．
三.解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）计算：
16．（8分）解方程（x﹣1）（x+2）＝4．
17．（8分）如图，每个小正方形的边长都为1
（1）求四边形ABCD的周长；
（2）求∠BCD的大小．

18．（10分）已知：a＝，b＝．
求值：（1）ab；
（2）a2﹣3ab+b2；
19．（10分）据报道，我国的新能源汽车的发展空间巨大，使用新能源车能够清洁空气，净化环境，减少PM2.5的浓度，某市决定市区的新能源公交车由2020年的占比为30%，逐步提升到2022年占比60%，假定该市市区的公交车总量不变，求每年的平均增长率．（取≈1.41）
20．（10分）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，求证：AE2+AD2＝2AC2．

21．（10分）某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本价为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应：销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售量利润为y元．
（1）每天的销售量为　 　瓶，每瓶洗手液的利润是　 　元；（用含x的代数式表示）
（2）若这款洗手液的日销售利润y达到300元，则销售单价应上涨多少元？
22．（12分）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围．
（2）若|x1|＝|x2|，求m的值及方程的根．
23．（14分）如图，斜靠墙上的根竹竿AB长为13m，端点B离墙角的水平距离BC长为5m．
（1）若A端沿垂直于地面的方向AC下移1m，则B端将沿CB方向移动多少米？
（2）若A端下移的距离等于B端沿CB方向移动的距离，求下移的距离．
（3）在竹竿滑动的过程中，△ABC面积有最　 　值（填“大”或“小”）为　 　（两个空直接写出答案不需要解答过程）．


2020-2021学年安徽省合肥四十五中八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列给出的式子是二次根式的是（　　）
A．±3 B． C． D．
【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．±3不是二次根式，故本选项不符合题意；
B.是二次根式，故本选项符合题意；
C．∵3﹣π＜0，
∴不是二次根式，故本选项不符合题意；
D．∵的根指数是3，不是2，
∴不是二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．（4分）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．2x2+x﹣3＝0 B．y2＝x C．x+＝2 D．ax2+bx+c＝0
【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．
【解答】解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意；
B、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、是分式方程，故此选项不符合题意；
D、若a＝0时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：A．
3．（4分）高为3，底边长为8的等腰三角形腰长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】画出图形，根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质，求出腰长为5．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵BC＝8，
∴BD＝4，
又AD＝3，
在Rt△ABD中，AB＝＝5．
故选：C．

4．（4分）式子有意义的x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣且x≠1 B．x≠1 C． D．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，2x+1≥0且x﹣1≠0，
解得x≥﹣且x≠1．
故选：A．
5．（4分）用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0，配方后的方程可以是（　　）
A．（x+1）2＝4 B．（x﹣1）2＝4 C．（x﹣1）2＝2 D．（x+1）2＝2
【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得．
【解答】解：∵x2﹣2x＝3，
∴x2﹣2x+1＝3+1，即（x﹣1）2＝4，
故选：B．
6．（4分）若关于x的方程x2+2x﹣k＝0没有实数根，则k的值可以是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【分析】根据根的判别式和已知条件得出22﹣4×1×（﹣k）＜0，求出不等式的解集，再得出答案即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2+2x﹣k＝0没有实数根，
∴△＝22﹣4×1×（﹣k）＜0，
解得：k＜﹣1，
∵﹣2＜﹣1，﹣1＝﹣1，0＞﹣1，1＞﹣1，
∴k只能为﹣2，
故选：A．
7．（4分）计算÷•（a＞0，b＞0）的结果是（　　）
A． B． C． D．b
【分析】直接利用二次根式的混合运算法则化简得出答案．
【解答】解：原式＝×
＝
＝．
故选：A．
8．（4分）如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积为S1，小正方形面积为S2，则（a+b）2可以表示为（　　）

A．S1﹣S2 B．S1+S2 C．2S1﹣S2 D．S1+2S2
【分析】根据图形和勾股定理可知S1＝c2＝a2+b2，再由完全平方公式即可得到结果．
【解答】解：如图所示：设直角三角形的斜边为c，
则S1＝c2＝a2+b2
S2＝（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，
∴2ab＝S1﹣S2，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝S1+S1﹣S2＝2S1﹣S2，
故选：C．
9．（4分）如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（　　）

A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【分析】如图所示，找出从A点到B点的最短距离的走法即可．
【解答】解：根据题意得出最短路程如图所示，
最短路程长为+1＝2+1，
则从A点到B点的最短距离的走法共有3种，
故选：C．

10．（4分）如图，在平面直角坐标系中A（0，4）、C（6，0），BC⊥x轴，存在第一象限的一点P（a，2a﹣5），使得△PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，则点P的坐标（　　）

A．（3，1）或（3，3） B．（5，5）
C．（3，1）或（5，5） D．（3，3）
【分析】根据点P的坐标为（a，2a﹣5），即可得到点P在直线y＝2x﹣5上，再分两种情况进行讨论：点P在AB下方，点P在AB上方，分别过P作x轴的平行线，交y轴于E，交BC于D，依据全等三角形的对应边相等以及线段的和差关系列方程，即可得到点P的坐标．
【解答】解：∵点P的坐标为（a，2a﹣5），
∴点P在直线y＝2x﹣5上，
分两种情况：
①如图所示，当点P在AB下方时，过P作x轴的平行线，交y轴于E，交BC于D，则PE＝a，OE＝2a﹣5，PD＝6﹣a，

∵∠AEP＝∠APB＝∠PDB＝90°，
∴∠APE＝∠PBD，
又∵AP＝PB，
∴△APE≌△PBD（AAS），
∴AE＝PD＝6﹣a，
∵AO＝AE+OE，
∴4＝6﹣a+2a﹣5，
解得a＝3，
∴P（3，1）；
②如图所示，当点P在AB上方时，过P作x轴的平行线，交y轴于E，交BC于D，则PE＝a，OE＝2a﹣5，PD＝6﹣a，

同理可得，△APE≌△PBD，
∴AE＝PD＝6﹣a，
∵AO＝OE﹣AE，
∴4＝2a﹣5﹣（6﹣a），
解得a＝5，
∴P（5，5）；
故选：C．
二.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）与最接近的整数是　5　．
【分析】利用算术平方根的性质估算确定出所求即可．
【解答】解：∵16＜21＜25，
∴，
∵25比16靠近21，
∴与最接近的整数是5．
故答案为：5．
12．（5分）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，王同学由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4，那么＝　﹣　．
【分析】设王同学将a看成a′，得到方程a′x2+bx+c＝0，根据根与系数的关系即可得出答案．
【解答】解：设王同学将a看成a′，得到方程a′x2+bx+c＝0有两根为2和4，
根据根与系数的关系得﹣＝6，＝8，
则＝﹣．
故答案为：﹣．
13．（5分）锐角△ABC中，已知AB＝13，AC＝15，AD⊥BC于D，AD＝12，则BC＝　14　．
【分析】根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC＝BD+CD．
【解答】解：如图，

在Rt△ABC中，AB＝13，AD＝12，由勾股定理得，
BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，
∴BD＝5，
在Rt△ACD中，AC＝15，AD＝12，由勾股定理得，
CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，
∴CD＝9，
∴BC＝BD+CD＝5+9＝14．
故答案为：14．
14．（5分）已知x＝为一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根，且a，b为有理数，则a＝　2　，b＝　﹣4　．
【分析】可得x＝＝﹣1，代入x2+ax+b＝0得到（﹣1）2+（﹣1）a+b＝0，则a+（﹣a+b）＝2﹣6，可得方程组，解方程组即可求解．
【解答】解：因为x＝＝﹣1，
代入x2+ax+b＝0得（﹣1）2+（﹣1）a+b＝0，
则a+（﹣a+b）＝2﹣6，
可得方程组，
解得．
故答案为：2，﹣4．
三.解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）计算：
【分析】先进行二次根式的除法运算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．
【解答】解：原式＝+2﹣
＝+2﹣
＝2．
16．（8分）解方程（x﹣1）（x+2）＝4．
【分析】将方程左边利用多项式乘以多项式的法则计算，右边移项到左边，合并后整理为一般形式，然后利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
【解答】解：方程（x﹣1）（x+2）＝4，
整理得：x2+2x﹣x﹣2﹣4＝0，即x2+x﹣6＝0，
分解因式得：（x﹣2）（x+3）＝0，
可得：x﹣2＝0或x+3＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣3．
17．（8分）如图，每个小正方形的边长都为1
（1）求四边形ABCD的周长；
（2）求∠BCD的大小．

【分析】（1）根据勾股定理求出AD、CD、BC、AB的长，再相加即可；
（2）先求出DC2+BC2＝BD2，再根据勾股定理的逆定理求出即可．
【解答】解：（1）由勾股定理得：DC＝＝，BC＝＝2，AD＝＝，AB＝＝，
所以四边形ABCD的周长为AB+BC+CD+AD＝+2++＝+3+；

（2）连接BD，
由勾股定理得：BD＝＝5，
∵DC＝，BC＝2，
∴DC2+BC2＝BD2，
∴∠BCD＝90°．
18．（10分）已知：a＝，b＝．
求值：（1）ab；
（2）a2﹣3ab+b2；
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）ab＝（+）（﹣）
＝5﹣3
＝2．
（2）a﹣b＝+﹣+
＝2，
∴a2﹣3ab+b2＝（a﹣b）2﹣ab
＝12﹣2
＝10．
19．（10分）据报道，我国的新能源汽车的发展空间巨大，使用新能源车能够清洁空气，净化环境，减少PM2.5的浓度，某市决定市区的新能源公交车由2020年的占比为30%，逐步提升到2022年占比60%，假定该市市区的公交车总量不变，求每年的平均增长率．（取≈1.41）
【分析】设每年的平均增长率为x，由题意得方程30%（1+x）2＝60%，解方程即可得到结论．
【解答】解：设每年的平均增长率为x，
由题意得，30%（1+x）2＝60%，
解得：x1＝﹣1≈41%，x2＝﹣﹣1（不合题意舍去），
答：每年的平均增长率为41%．
20．（10分）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，求证：AE2+AD2＝2AC2．

【分析】连接BD，由等腰直角三角形的性质得出∠ECD＝∠ACB＝90°，∠E＝∠ADC＝∠CAB＝45°，EC＝DC，AC＝BC，AC2+BC2＝AB2，得出2AC2＝AB2．由SAS证明△AEC≌△BDC，得出AE＝BD，∠E＝∠BDC＝45°，CE＝CD，证出∠BDA＝∠BDC+∠ADC＝90°，在Rt△ADB中．由勾股定理即可得出结论；
【解答】证明：连接BD，如图所示：
∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，
∴∠ECD＝∠ACB＝90°，∠E＝∠ADC＝∠CAB＝45°，
EC＝DC，AC＝BC，AC2+BC2＝AB2，
∴2AC2＝AB2．∠ECD﹣∠ACD＝∠ACB﹣∠ACD，
∴∠ACE＝∠BCD
在△AEC和△BDC中，，
∴△AEC≌△BDC（SAS）．
∴AE＝BD，∠E＝∠BDC．
∴∠BDC＝45°，
∴∠BDC+∠ADC＝90°，
即∠ADB＝90°．
∴AD2+BD2＝AB2，
∴AD2+AE2＝2AC2．
21．（10分）某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本价为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应：销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售量利润为y元．
（1）每天的销售量为　（60﹣5x）　瓶，每瓶洗手液的利润是　（4+x）　元；（用含x的代数式表示）
（2）若这款洗手液的日销售利润y达到300元，则销售单价应上涨多少元？
【分析】（1）设这款洗手液的销售单价上涨x元，则每天的销售量为（60﹣5x）瓶，每瓶洗手液的利润为（4+x）元；
（2）利用这款洗手液的日销售利润＝每瓶洗手液的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设这款洗手液的销售单价上涨x元，则每天的销售量为（60﹣5x）瓶，每瓶洗手液的利润为（20+x﹣16）＝（4+x）元．
故答案为：（60﹣5x）；（4+x）．
（2）依题意得：（4+x）（60﹣5x）＝300，
整理得：x2﹣8x+12＝0，
解得：x1＝2，x2＝6．
答：销售单价应上涨2元或6元．
22．（12分）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围．
（2）若|x1|＝|x2|，求m的值及方程的根．
【分析】（1）由题意得：△≥0且m﹣2≠0，解不等式即可；
（2）分两种情形讨论求解即可解决问题；
【解答】解：（1）由题意得：△≥0且m﹣2≠0，
∴（2m+1）2﹣4m（m﹣2）≥0
解得m≥﹣且m≠2

（2）由题意得有两种情况：
①当x1＝x2，则△＝0，所以m＝﹣，x1＝x2＝﹣×＝．
②当x1＝﹣x2时，则x1+x2＝0．，所以m＝﹣，
因为m≥﹣且m≠2，所以此时方程无解．
综上所述，m＝﹣，x1＝x2＝．
23．（14分）如图，斜靠墙上的根竹竿AB长为13m，端点B离墙角的水平距离BC长为5m．
（1）若A端沿垂直于地面的方向AC下移1m，则B端将沿CB方向移动多少米？
（2）若A端下移的距离等于B端沿CB方向移动的距离，求下移的距离．
（3）在竹竿滑动的过程中，△ABC面积有最　大　值（填“大”或“小”）为　　（两个空直接写出答案不需要解答过程）．

【分析】（1）Rt△ABE中求出AE，在Rt△CDE中求出CE，继而可得出顶端将沿墙向下移动的距离；
（2）设AA1＝x，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可；
（3）以A1B1为底，以C到直线A1B1的距离为高，在竹竿下滑过程中，高为△A1CB1的中线时，△A1CB1的面积最大，由三角形的面积公式求出最大值．
【解答】解：（1）由题意可知△ABC是直角三角形，
∵BC＝5，AB＝13，
∴由勾股定理得：AC＝＝12，
∴A1C＝AC﹣AA1＝12﹣1＝11，
∴B1C＝＝4，
∴BB1＝B1C﹣BC＝4﹣5（m），
答：B端将沿CB方向移动（4﹣5）米；
（2）设AA1＝BB1＝x，
则A1C＝（12﹣x），CB1＝5+x，
由勾股定理得：A1C2+CB12＝A1B12，
即（12﹣x）2+（5+x）2＝132，
解得：x＝7，
即AA1＝7（m）．
答：下移的距离为7米．
（3）以A1B1为底，过C作A1B1的垂线CD，D为垂足，
在竹竿下滑过程中，当CD为△A1CB1的中线时，△A1CB1的面积最大，
最大值＝×13×＝．
故答案为：大，．