合肥市第四十二中学2020-2021学年八年级下学期中数学试卷

这是一份合肥市第四十二中学2020-2021学年八年级下学期中数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题.，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．下列计算正确的是（ ）
A．＝﹣2B．＝±C．D．（﹣）2＝2
2．下列二次根式中与是同类二次根式是（ ）
A．B．C．D．
3．函数y＝的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠0B．x≠0且x≥C．x＞D．x≥
4．一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
5．将方程x2﹣6x+3＝0左边配成完全平方式，得到的方程是（ ）
A．（x﹣3）2＝﹣3B．（x﹣3）2＝6C．（x﹣3）2＝3D．（x﹣3）2＝12
6．今年来某县加大了对教育经费的投入，2019年投入2500万元，2021年投入3500万元．假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）
A．2500x2＝3500
B．2500（1+x）2＝3500
C．2500（1+x%）2＝3500
D．2500（1+x）+2500（1+x）2＝3500
7．已知x＝1是方程x2+ax+2＝0的一个根，则方程的另一个根为（ ）
A．﹣2B．2C．﹣3D．3
8．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．，，B．1，，C．6，7，8D．2，3，4
9．如图，图中的小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点上，则△ABC的周长为（ ）
A．12+4B．16C．7+7D．5+11
10．如图，△ABC中，∠ABC＝30°，BC＝6，点D是BC边上一点，且BD＝2，点P是线段AB上一动点，则PC+PD的最小值为（ ）
A．2B．2C．2D．3
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．计算﹣×的值是 ．
12．在实数范围内分解因式：x4﹣9＝ ．
13．若a为方程x2+x﹣5＝0的解，则2a2+2a+1的值为 ．
14．如图，点A（0，4），点B（3，0），连接AB，点M，N分别是OA，AB的中点，在射线MN上有一动点P，若△ABP是直角三角形，则点P的坐标是 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：．
16．解方程：x2+4x﹣3＝0．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．用适当方法解方程：3x（x﹣2）＝2（2﹣x）．
18．已知一元二次方程2x2﹣5x﹣3＝0的正实数根也是一元二次方程x2﹣（k﹣2）x+3＝0的根，求k的值．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB上一点，BD＝9，CD＝12．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求AC长．
20．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”
题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．水深和芦苇长各多少尺？
六、（本题满分12分）
21．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1，x2是该方程的两个根，且（x1﹣x2）2的值为12，求k的值．
七.（本题满分12分）
22．国贸大厦销售一批名牌衬衫，现在平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，国贸决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果这种衬衫的售价每降低1元，那么国贸平均每天可多售出2件．国贸若要平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
八、（本题满分14分）
23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝a，AD是BC边上的中线，将A点翻折与点D重合，得到折痕EF．
（1）若a＝4，求CE的长；
（2）求的值．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．下列计算正确的是（ ）
A．＝﹣2B．＝±C．D．（﹣）2＝2
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．
解：A、＝2，故此选项错误；
B、＝，故此选项错误；
C、＝×，故此选项错误；
D、（﹣）2＝2，正确．
故选：D．
2．下列二次根式中与是同类二次根式是（ ）
A．B．C．D．
【分析】化简各选项后根据同类二次根式的定义判断．
解：A、与被开方数不同，故不是同类二次根式；
B、与被开方数不同，故不是同类二次根式；
C、与被开方数相同，故是同类二次根式；
D、与被开方数不同，故不是同类二次根式．
故选：C．
3．函数y＝的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠0B．x≠0且x≥C．x＞D．x≥
【分析】根据二次根式的被开方数非负且分母不等于0列式计算即可得解．
解：由题意得，2x﹣1≥0且x≠0，
解得x≥．
故选：D．
4．一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是2×360＝720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值．
解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
（n﹣2）×180°＝2×360，
解得：n＝6．
即这个多边形为六边形．
故选：B．
5．将方程x2﹣6x+3＝0左边配成完全平方式，得到的方程是（ ）
A．（x﹣3）2＝﹣3B．（x﹣3）2＝6C．（x﹣3）2＝3D．（x﹣3）2＝12
【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
解：移项，得x2﹣6x＝﹣3，
等式两边同时加上一次项系数一半的平方（﹣3）2，得
x2﹣6x+（﹣3）2＝﹣3+（﹣3）2，
即（x﹣3）2＝6．
故选：B．
6．今年来某县加大了对教育经费的投入，2019年投入2500万元，2021年投入3500万元．假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）
A．2500x2＝3500
B．2500（1+x）2＝3500
C．2500（1+x%）2＝3500
D．2500（1+x）+2500（1+x）2＝3500
解：设增长率为x，根据题意得2500×（1+x）2＝3500，
故选：B．
7．已知x＝1是方程x2+ax+2＝0的一个根，则方程的另一个根为（ ）
A．﹣2B．2C．﹣3D．3
【分析】本题根据一元二次方程根与系数的关系求解．
解：设另一根为m，则
1•m＝2，解得m＝2．
故选：B．
8．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．，，B．1，，C．6，7，8D．2，3，4
【分析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故错误；
B、12+（）2＝（）2，能构成直角三角形，故正确；
C、62+72≠82，不能构成直角三角形，故错误；
D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故错误．
故选：B．
9．如图，图中的小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点上，则△ABC的周长为（ ）
A．12+4B．16C．7+7D．5+11
【分析】根据勾股定理分别求出AC、BC，根据三角形的周长公式计算即可．
解：如图：AB＝7，
由勾股定理得，AC＝＝5，BC＝＝4，
则△ABC的周长＝7+5+4＝12+4，
故选：A．
10．如图，△ABC中，∠ABC＝30°，BC＝6，点D是BC边上一点，且BD＝2，点P是线段AB上一动点，则PC+PD的最小值为（ ）
A．2B．2C．2D．3
【分析】先确定DC′＝DP+PC′＝DP+CP的值最小，然后根据勾股定理计算．
解：过点C作CM⊥AB于M，延长CM到C′，使MC′＝MC，连接DC′，交AB于P，连接CP，
此时DP+CP＝DP+PC′＝DC′的值最小．
∵∠ABC＝30°，
∴CM＝BC，∠BCC′＝60°，
∴CC′＝2CM＝BC，
∴△BCC′是等边三角形，
作C′E⊥BC于E，
∴BE＝EC＝BC＝3，C′E＝BC＝3，
∵BD＝2，
∴DE＝1，
根据勾股定理可得DC′＝＝＝2．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．计算﹣×的值是 ．
【分析】根据二次根式的混合运算顺序，首先计算乘法，然后计算减法，求出算式﹣×的值是多少即可．
解：﹣×
＝2
＝
＝
即﹣×的值是．
故答案为：．
12．在实数范围内分解因式：x4﹣9＝ （x﹣）（x+）（x2+3） ．
【分析】根据平方差公式将x4﹣9写成（x2）2﹣32的形式，再利用平方差公式进行分解．
解：x4﹣9＝（x2）2﹣32＝（x2﹣3）（x2+3）＝（x﹣）（x+）（x2+3）．
故答案为：（x﹣）（x+）（x2+3）．
13．若a为方程x2+x﹣5＝0的解，则2a2+2a+1的值为 11 ．
【分析】把x＝a代入已知方程，求得（a2+a）的值，然后将其代入所求的代数式求值即可．
解：根据题意，得
a2+a﹣5＝0，即a2+a＝5
则2a2+2a+1＝2（a2+a）+1＝2×5+1＝11．
故答案是：11．
14．如图，点A（0，4），点B（3，0），连接AB，点M，N分别是OA，AB的中点，在射线MN上有一动点P，若△ABP是直角三角形，则点P的坐标是 （4，2）或（，2） ．
【分析】分∠APB＝90°、∠ABP＝90°两种情况，根据直角三角形的性质、勾股定理列式计算即可．
解：∵点M、N分别是OA、AB的中点，点A（0，4），
∴MN∥OB，MN＝OB＝1.5，OM＝2，
①当∠APB＝90°时，
在Rt△AOB中，AB＝＝＝5，
∵∠APB＝90°，点N是AB的中点，
∴PN＝AB＝2.5，
则PM＝PN+MN＝4，
∴点P的坐标是（4，2）；
②当∠ABP＝90°时，过P作PE⊥x轴于E，连接AP，
设BE＝x，则PM＝OE＝x+3，
由勾股定理得，PB＝，AP＝，
在Rt△ABP中，AP＝＝，
则＝，
解得，x＝，
∴OE＝+3＝，
∴P（，2），
故答案为：（4，2）或（，2）．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：．
【分析】先利用完全平方公式和平方差公式计算，再进一步计算即可．
解：原式＝3﹣2+1﹣（9﹣5）
＝4﹣2﹣4
＝﹣2．
16．解方程：x2+4x﹣3＝0．
【分析】先利用配方法将原式化为完全平方的形式，再用直接开平方法解答．
解：原式可化为x2+4x+4﹣7＝0
即（x+2）2＝7，
开方得，x+2＝±，
x1＝﹣2+；
x2＝﹣2﹣．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．用适当方法解方程：3x（x﹣2）＝2（2﹣x）．
【分析】利用因式分解法求解即可．
解：∵3x（x﹣2）＝2（2﹣x），
∴3x（x﹣2）+2（x﹣2）＝0，
则（x﹣2）（3x+2）＝0，
∴x﹣2＝0或3x+2＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣．
18．已知一元二次方程2x2﹣5x﹣3＝0的正实数根也是一元二次方程x2﹣（k﹣2）x+3＝0的根，求k的值．
【分析】先利用因式分解法解方程求出其正实数根，再将其代入到方程x2﹣（k﹣2）x+3＝0中，解之即可．
解：∵2x2﹣5x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（2x+1）＝0，
则x﹣3＝0或2x+1＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣，
根据题意将x＝3代入方程x2﹣（k﹣2）x+3＝0，得：9﹣3（k﹣2）+3＝0，
解得k＝6．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB上一点，BD＝9，CD＝12．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求AC长．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
(2)根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵BC＝15，BD＝9，CD＝12，
∴BD2+CD2＝92+122＝152＝BC2,
∴∠CDB＝90°,
∴CD⊥AB；
(2)解：∵AB＝AC，
∴AC＝AB＝AD+BD＝AD+9,
∵∠ADC＝90°,
∴AC2＝AD2+CD2,
∴(AD+9)2＝AD2+122,
∴AD＝,
∴AC＝+9＝．
20．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”
题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．水深和芦苇长各多少尺？
【分析】将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EB'的长为10尺，则B'C＝5尺，设出AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．
解：设水深x尺，则芦苇长（x+1）尺．
由题意得x2+52＝（x+1）2．
解得x＝12．
∴x+1＝13．
答：水深12尺；芦苇长13尺．
六、（本题满分12分）
21．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1，x2是该方程的两个根，且（x1﹣x2）2的值为12，求k的值．
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可得△＝4﹣4（2k﹣4）＞0，解不等式求出k的取值范围；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝﹣2，x1•x2＝2k﹣4，代入（x1﹣x2）2＝12得到关于k的方程，结合k的取值范围解方程即可．
解：（1）由题意可得△＝4﹣4（2k﹣4）＞0，
解得k＜；
（2）∵x1，x2为该方程的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝2k﹣4，
∵（x1﹣x2）2＝12，
∴（x1+x2）2﹣4x1•x2＝12，
∴4﹣4（2k﹣4）＝12，
解得k＝1．
∵k＜，
∴k＝1符合题意．
七.（本题满分12分）
22．国贸大厦销售一批名牌衬衫，现在平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，国贸决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果这种衬衫的售价每降低1元，那么国贸平均每天可多售出2件．国贸若要平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
【分析】商场降价后每天盈利＝每件的利润×卖出的件数＝（40﹣降低的价格）×（20+增加的件数），把相关数值代入即可求解．
解：∵每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，
∴每件衬衫降价x元，商场平均每天可多售出2x件，
∵原来每件的利润为40元，现在降价x元，
∴现在每件的利润为（40﹣x）元，
∴y＝（40﹣x）（20+2x）＝﹣2x2+60x+800＝1200．
整理得：x2﹣30x+200＝0．
解得：x＝10或x＝20，
∵为了减少库存，
∴x＝20
答：每件衬衫应降价20元．
八、（本题满分14分）
23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝a，AD是BC边上的中线，将A点翻折与点D重合，得到折痕EF．
（1）若a＝4，求CE的长；
（2）求的值．
【分析】（1）设CE＝x，根据勾股定理列出方程（4﹣x）2＝22+x2，解方程求出x，计算即可；
（2）设CE＝y，根据勾股定理列出方程（a﹣y）2＝（）2+y2，解方程求出x、y的关系，计算即可．
解：（1）设CE＝x，
∵AC＝BC＝4，AD是BC边上的中线，
∴CD＝2，
由翻转变换的性质可知，DE＝AE＝4﹣x，
由勾股定理得，（4﹣x）2＝22+x2，
解得，x＝1.5，
则CE＝1.5．
（2）设CE＝y，
∵AC＝BC＝a，AD是BC边上的中线，
∴CD＝a，
由翻转变换的性质可知，DE＝AE＝a﹣y，
由勾股定理得，（a﹣y）2＝（）2+y2，
解得，y＝a，
则CE＝a，AE＝a，
∴＝＝．