精品解析：安徽省合肥市五十中学西校2020-2021学年八年级下学期期中数学试题

2020-2021学年度八下期中质量检测数学试卷

一、选择题

1. 下列方程中是一元二次方程的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．

【详解】解：A．是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

B．整理后为，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

C．是一元二次方程，故本选项符合题意；

D．是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

故选：C．

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．

2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】结合最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽的因数或因式，进而解答即可．

【详解】解：A、，故不是

最简二次根式，不符合题意；

B、是最简二次根式，符合题意；

C、，故不是最简二次根式，

不符合题意；

D、，故不是最简二次根式，

不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，解答的关键在于熟练掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽的因数或因式．

3. 下列条件中，不能判定为直角三角形的是（    ）

A.  B.

C. ，， D. ，，

【答案】D

【解析】

【分析】利用直角三角形的定义和三角形的内角和以及勾股定理的逆定理逐项判断即可．

【详解】解：A、∵，

∴设，，，

又∵，

∴，

故是直角三角形；

B、∵，且，

∴，

故直角三角形；

C、∵，

∴，

故是直角三角形；

D、∵，

∴，

故不是直角三角形．

故选：D．

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．

4. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先将各式化为最简二次根式，再利用同类二次根式定义判断即可．

【详解】解：A、原式，符合题意；

B、原式，不符合题意；

C、原式，不符合题意；

D、原式不能化简，不符合题意．

故选：A．

【点睛】此题考查了同类二次根式，几个二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的即为同类二次根式．

5. 某手机厂商一月份生产手机20万台，计划二、三月份共生产手机45万台，设二、三月平均每月增长率为x，根据题意列出方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

分析】

考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设二、三月份每月的平均增长率为x，根据“计划二、三月份共生产45万台”，即可列出方程．

【详解】解：设二、三月平均每月增长率为x，根据题意列出方程为：

20（1+x）+20（1+x）2=45，

故选：B．

【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．

6. 如图，数轴上点表示的数为，点表示的数是，过点作，且，以点为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的交点表示的数为（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线段的长度，然后根据即可求出的长度，接着可以求出数轴上点所表示的数．

【详解】解：∵，

∴，

∴，

，

又∵点表示的数为，

点所表示的数是，即．

故选：．

【点睛】本题考查实数与数轴以及勾股定理的应用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理．

7. 已知，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先利用二次根式有意义的条件得出，的值，进而利用积的乘方运算法则计算得出答案．

【详解】解：根据题意得：，，

解得：，，

，

∴，

则

．

故选：．

【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及积的乘方运算法则，正确运用积的乘方运算法则是解题关键．

8. 如图，在中，，平分交于点，若，，则的长为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】如图，过点作于点，根据角平分线的定义得到，根据勾股定理得到，由全等三角形的性质得到，设，根据勾股定理即可得到结论．

【详解】解：如图，过点作于点，

平分，

，

又，，

，

，

，

在与中，

，

，

，

设，则，

，

，

解得：，

，

，

故选：．

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质与勾股定理，全等三角形的判定和性质，作出正确的辅助线是解答本题的关键．

9. 关于x的方程a2x2+（2a﹣1）x+1＝0，下列说法中正确的是（　　）

A. 当a＝时，方程的两根互为相反数

B. 当a＝0时，方程的根是x＝﹣1

C. 若方程有实数根，则a≠0且a≤

D. 若方程有实数根，则a≤

【答案】D

【解析】

【分析】先讨论原方程是一元一次方程，还是一元二次方程，然后再根据a的取值范围解答即可．

【详解】解：若a≠0，则此方程是一元二次方程，由于方程有实数根，

∴△=（2a-1）2-4a2=-4a+1≥0，

∴a≠0且a≤，即A错误；

若a=0，则原方程为-x+1=0，所以方程有实数根为x=1，则B错误，C错误．

综上所述，当a≤时方程有实数根.

故选D．

【点睛】本题考查了一元一次方程和一元二次方程，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．

10. 如图，在等腰直角中，，点在边上且，点，分别为边，上的动点，连接，，得到，则周长的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】作作点关于的对称点，连接，，，，，当，，，在同一条直线上时，的周长最小，再由勾股定理求出即可．

【详解】解：如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，，，

，点与点关于对称，

，

，，，在同一条直线上，

∵在等腰直角中，，

∴，

∵，，

∴由对称性可知：，，，，，

，，

，

，

的周长的最小值．

故选：．

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，轴对称的性质以及勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．

二、填空题

11. 求值：__________．

【答案】

【解析】

【分析】由题意根据二次根式的基本性质，进行分析求解即可．

详解】解：．

故答案为：3．

【点睛】本题考查化简二次根式，熟练掌握二次根式的基本性质是解题的关键．

12. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________．

【答案】

【解析】

【分析】利用分式和二次根式有意义的条件确定关于的不等式，从而确定答案．

【详解】解：根据题意得：且，

∴，

解得：，

故答案为：．

【点睛】考查了二次根式及分式有意义的条件，属于基础题，比较简单．

13. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（注：丈，尺是长度单位，丈尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则芦苇的长度是________尺．

【答案】13

【解析】

【分析】设水池里水的深度是尺，根据勾股定理列出方程，解方程即可．

【详解】解：设水池里水的深度是尺，则，，

由题意得：，

∴，

解得：，

∴，

则芦苇的长度是13尺，

故答案为：13．

【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理、根据勾股定理正确列出方程是解题的关键．

14. 如图，将边长为的正方形纸片，沿两边各剪去一个一边长为的长方形，剩余的部分面积为，则根据题意列出方程为________________．（方程化为一般式）

【答案】

【解析】

【分析】由正方形两边两边各剪去一个一边长为的长方形，可知余下正方形边长为12-，由面积等于64，可列出方程化为一般式即可.

【详解】由题意知，（12-）2=64，化一般式为，

故答案为：.

【点睛】本题考查了正方形面计算，一元二次方程一般式形式，掌握一元二次方程一般式形式是解题的关键.

15. 已知直角三角形的两条边的长分别是6和8，则斜边上的高为_________．

【答案】4.8

【解析】

【分析】在直角三角形中，由勾股定理求出斜边的长，由面积法求出斜边上的高即可.

【详解】由勾股定理得，斜边的长为 =10，

则斜边上的高为 =4.8 .

故答案为4.8.

【点睛】利用勾股定理解直角三角形是此题的考点，求出斜边的长是解答此题的关键

16. 如图，已知等腰，，过点、分别做，的垂线交于点，与相交于点，若，，则的长为________．

【答案】

【解析】

【分析】过点B作BM⊥AB，在BM上截取BN=CD，根据全等三角形的判定与性质证得BN=CD，AN=AD=6，再根据等腰三角形的性质等得到DE=CD，最后设BN=x，利用勾股定理建立方程求解即可．

【详解】过点B作BM⊥AB，在BM上截取BN=CD，

∵DC⊥AC，BM⊥AB，AB⊥AD，

∴∠ABN=∠ACD=∠BAD= 90°，

又∵AB= AC，BN=CD，

∴≌（SAS），

∴BN=CD，AN=AD=6，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵∠ABC+∠AEB=90°，∠DCE+∠ACB=90°，

∴∠AEB=∠DCE，

∵∠AEB=∠CED，

∴∠CED=∠DCE，

∴CD=DE，

设BN=x，则CD=DE=x，AE=6－x，

在中，，

在中，，

∴，

∴，即BN=2，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练运用各性质判定定理，正确构造出全等三角形是解题的关键．

三、解答题

17. 计算：．

【答案】12

【解析】

【分析】先根据完全平方公式和二次根式的乘法法则运算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．

【详解】解：原式

．

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

18. 解方程：．

【答案】

【解析】

【分析】先在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，可得，再用直接开平方法求解即可．

【详解】解：，

，

即，

，

，．

【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

19. 已知关于的方程．

（1）当该方程的一个根为时，求的值及方程的另一根；

（2）若该方程有两个不相等的实数根，求符合条件的正整数的值．

【答案】（1）值为，另一个根为；（2）正整数的值为或

【解析】

【分析】（1）先将代入原方程求出，进而解方程即可得出答案；

（2）根据方程有两个不相等实数根结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出的取值范围，则可得出答案．

【详解】解：（1）当时，，

，

，

或，

即方程的另一根是；

（2）关于的方程有两个不相等的实数根，

△，

，

为正整数，

，2．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法以及根的判别式，解答本题的关键是熟练掌握根的判别式的意义以及用因式分解法解一元二次方程的知识．

20. 如图，四边形中，，，，．

（1）求的度数．

（2）求四边形的面积．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）连接，根据，，得出为等边三角形，求得，然后根据勾股定理逆定理判断△BDC是直角三角形，，从而求得的度数．

（2）根据四边形的面积等于△ABC和△ACD的和即可求解．

【详解】解：（1）如图，连接，

，

为等边三角形

，

，

，

（2）如图，过点作

为等边三角形

在中，

．

【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理逆定理．解（2）题的关键是把不规则图形转化为规则的三角形求得面积．

21. 如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图．

（1）在图1中，画一个正方形，使它的面积为；

（2）在图2中，画一个三角形，使它的三边长分别为，，；

（3）请写出图2中所画的面积为________．（直接写出结果）

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

【分析】（1）根据网格利用勾股定理和正方形的面积即可在图1中，画一个正方形，使它的面积是10；

（2）根据网格利用勾股定理即可按要求作出图形；

（3）利用三角形的面积公式计算即可．

详解】解：（1）如图，找到AB=BC=CD=AD=

∴正方形即为所求作；

（2）如图，即为所求作；

（3），

故答案为：5．

【点睛】本题考查作图应用与设计作图，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

22. 某超市经销一种销售成本为每件元的商品．据市场调查分析，如果按每件元销售，一周能售出件，若销售单价每涨元，每周销售量就减少件．设销售单价为每件元，一周的销售量为件．

（1）直接写出与的函数关系式；

（2）在超市对该种商品投入不超过元的情况下，使得一周销售利润达到元，销售单价应定为多少？

【答案】（1）；（2）销售单价应定为元

【解析】

【分析】(1)根据一周的销售量= 500 - 10×单价上涨的金额，即可得出y与x的函数关系式；

(2)利用一周的销售利润=每件的销售利润×一周的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合超市对该种商品投入不超过5000元，即可确定结论．

【详解】解：（1）依题意得：

（2）依题意得：

，

，

解得：，

由投入不超过元得：

解得：

舍去

，

答：销售单价应定为元．

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，涉及一元一次不等式的求解，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y与x的函数关系式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．

23. 如图，在中，，分别以边、为直角边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，，，交于点．

（1）线段和线段有怎样数量关系和位置关系，请给出你的证明；

（2）若，，求的长．

【答案】（1）且，证明见解析；（2）

【解析】

【分析】（1）由“”可证，可得，，再由角的数量关系可证；

（2）由勾股定理可得，即可求解．

【详解】解：（1），，理由如下：

等腰直角三角形和等腰直角三角形，

，，，

，

，

在和中，

，

，

，，

，

∴，

，

，

；

（2），，，

，

等腰直角三角形和等腰直角三角形，

，，

，

，，，，

，

，

（舍负），

答：长为．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用勾股定理是解决本题的关键．