精品解析：福建省漳州第一中学2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试题

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福建省漳州第一中学2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试题一、选择题（每小题4分，共40分，请将答案涂在答题卡相应位置上）1. 北京是首批国家历史文化城和世界上拥有世界文化遗产数最多的城市，三千多年的历史孕育了众多名胜古迹，让每一个中国人为之骄傲．下图是一些北京名胜古迹的标志，其中不属于轴对称图形的是（    ）A.  B. C.  D. 【1题答案】【答案】B【解析】【分析】由题意直接根据轴对称图形的概念，进行分析判断即可．【详解】解：由轴对称图形的性质可知不是轴对称图形的是B．故选：B．【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2. 下列四个等式从左到右的变形是因式分解的是（　　）A.  B. C.  D. 【2题答案】【答案】C【解析】【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据定义即可进行判断．【详解】解：A、不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形不是因式分解，故此选项不符合题意；B、原变形是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；C、把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形是因式分解，故此选项符合题意；D、不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形不是因式分解，故此选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查因式分解，掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，是解题的关键．3. 若分式的值为0，则的值应为（    ）A.  B.  C. 1 D. 3【3题答案】【答案】C【解析】【分析】根据分子为零，分母不为0，即可求出x的值．【详解】解：由分式的值为零的条件得x﹣1＝0，且x+3≠0，解得：x＝1．故选C．【点睛】本题考查了分式值为0的条件，具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．4. 若a＞b，则下列不等式成立的是（  ）A. a－2＜b－2 B. a＋2＞b＋2 C. ＜ D. －3a＞－3b【4题答案】【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质逐项判断即可．【详解】A、不等式的两边同减去2，不改变不等号的方向，即，则此项不成立；B、不等式的两边同加上2，不改变不等号的方向，即，则此项成立；C、不等式的两边同除以2，不改变不等号的方向，即，则此项不成立；D、不等式的两边同乘以，改变不等号的方向，即，则此项不成立；故选：B．【点睛】本题考查了不等式的性质，熟记不等式的性质是解题关键．5. 若，，则代数式的值是（    ）．A. -6 B. -5 C. 1 D. 6【5题答案】【答案】A【解析】【分析】由提公因式进行化简，然后把，代入计算，即可得到答案．【详解】解：∵，，∴；故选：A．【点睛】本题考查了提公因式法，以及求代数式的值，解题的关键是正确的把代数式进行化简．6. 如图，直线与的交点坐标为，则使的x的取值范围为（    ）A.  B.  C.  D. 【6题答案】【答案】D【解析】【分析】求使y1＜y2的x的取值范围，即求对于相同的x的取值，直线y1落在直线y2的下方时，对应的x的取值范围．直接观察图象，可得出结果．【详解】解：由图象可知，当x＜1时，直线y1落在直线y2的下方，故使y1＜y2的x的取值范围是：x＜1．故选：D．【点睛】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．7. 如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE等于（    ）A. 10° B. 15° C. 20° D. 25°【7题答案】【答案】C【解析】【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=40°=∠EBC，即可得出结论．【详解】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，∵点E在AD上，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，∵∠CED=50°，∴∠ECB=40°=∠EBC，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=20°，故选C．【点睛】本题考查等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解题关键．8. 甲乙两地相距60km，一艘轮船从甲地顺流到乙地，又从乙地立即逆流到甲地，共用8小时，已知水流速度为5km/h，若设此轮船在静水中的速度为x km/h，可列方程为（    ）A.  B.  C.  D. 【8题答案】【答案】D【解析】【分析】本题关键描述语是：“共用去8小时”．等量关系为：顺流60千米用的时间+逆流60千米用的时间=5，根据等量关系列出方程即可．【详解】解：由题意，得：，故选：D．【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．注意顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度．9. 如图，∠AOB=30°，点P在∠AOB平分线上，PC⊥OB于点C，PDOB交OA于点D，若PD=6，则PC的长为（  ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【9题答案】【答案】B【解析】【分析】作PE⊥OA于E，根据直角三角形的性质求出PE，根据角平分线的性质求出PC．【详解】如图，作PE⊥OA于E，∵PD∥OB，∴∠EDP＝∠AOB＝30°，∴PE＝PD＝3，∵点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OB，PE⊥OA，∴PC＝PE＝3，故选B．【点睛】本题考查的是角平分线的性质、直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．10. 如图，等腰的直角顶点为，且轴，等腰中，，将与组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转则第次旋转结束时，点的坐标为（    ）A.  B.  C.  D. 【10题答案】【答案】A【解析】【分析】先求出OD的长，再利用等腰直角三角形的性质确定C点坐标，根据题意可得经过4次旋转后点C回到初始位置，由于2021=4×505+1，所以第2021次旋转结束时，点C到达第一次旋转时的位置，由此求解．【详解】解：由题意可得：，∴C点坐标（-9，3）∵将与组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转∴经过4次旋转后，点C回到初始位置，∵2021=4×505+1，∴第2021次旋转结束时，点C到达第一次旋转时的位置，即故选：A【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是找出C点坐标变化的规律．二、填空题（每小题4分，共24分）（请将答案填在答题卷相应的横线上）11. 因式分解：=        ．【11题答案】【答案】【解析】【分析】直接应用平方差公式即可求解..【详解】．【点睛】本题考查因式分解，熟记平方差公式是关键.12. 在平面直角坐标系中，点A(-2，1)关于原点对称的点的坐标是___________．【12题答案】【答案】【解析】【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答．【详解】∵关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数∴点A（-2，1）关于原点对称的点为（2，-1），故答案为（2，-1）．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．13. 若分式有意义，则的取值范围为______．【13题答案】【答案】【解析】【分析】分式有意义的条件：分母不为零，再列不等式，解不等式即可得到答案.【详解】解： 分式有意义， 故答案为：【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握利用分母不为零列不等式是解题的关键.14. 如图，中，边的中垂线分别交、于点、，，的周长为，则的周长是__________．【14题答案】【答案】11【解析】【分析】由DE垂直平分AB可知BD=AD，AB=2AE，从而发现的周长即为的长，然后求解即可．【详解】解：∵DE垂直平分AB，∴BD=AD，AB=2AE，∵的周长为，∴（cm），∵，∴，∴的周长为，∴的周长是11cm，故答案为：11．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，发现的周长即为的长，是解题的关键．15. 在平面直角坐标系中，已知点A（4﹣m，5﹣2m）在第四象限内，且m为整数，则点A坐标为_____．【15题答案】【答案】（1，﹣1）【解析】【分析】根据第四象限内的点的横坐标大于0，纵坐标小于0，可得不等式组，解不等式组可得答案．【详解】解：∵点A（4﹣m，5﹣2m）第四象限内，∴，解得，2.5＜m＜4，又∵m为整数，∴m＝3，∴点A的坐标为（1，﹣1）．故答案为：（1，﹣1）．【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法，求出m的值，也考查了第四象限内的点的坐标特征.16. 把一副三角板放置在如图的位置，若把绕点C按逆时针方向旋转，旋转的角度为若要使得中有一条边与所在的直线垂直，则________度． 【16题答案】【答案】15或60或105．【解析】【分析】分①CD⊥AB时，根据同位角相等两直线平行可得DE∥AB，再解答即可；②CE⊥AB时，根据直角三角形两锐角互余列式求解即可；③DE⊥AB时，先根据直角三角形两锐角互余求出∠1，再根据三角形内角和定理列式进行计算即可得解．【详解】①CD⊥AB时，则DE∥AB，∴∠BFE＝∠E＝45°，∴∠α＝∠BFE−∠B＝45°−30°＝15°；②CE⊥AB时，α＝90°−∠B＝90°−30°＝60°；③DE⊥AB时，∠1＝90°−∠E＝90°−45°＝45°，所以，α＝180°−∠1−∠B＝180°−45°−30°＝105°，所以，α＝15或60或105．故答案为：15或60或105．【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，熟悉三角板的度数是解题的关键，难点在于要分情况讨论．三、解答题（共86分）（请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，写错区域或超过区域答题无效）17. 因式分解：（1）    （2）【17题答案】【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）提公因式x即可分解；（2）先提取符号，再利用完全平方公式分解．【详解】解：（1）=；（2）==【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和公式法．18. 解下列不等式或不等式组，并将解集数轴上表示出来．（1）；（2）．【18题答案】【答案】（1）x≥4，见解析；（2）1≤x＜4，见解析．【解析】【分析】（1）经过移项、合并同类项、化系数为1计算即可；（2）分别求解两个不等式，再将其得到的解求交集即可．【详解】解：（1）将解集表示在数轴上如下： （2）得：＞x﹣1得：x＜4则不等式组的解集为将解集表示在数轴上如下：【点睛】本题考查了解一元一次不等式和不等式组，用数轴表示他们的解；关键在于掌握好解不等式的步骤．19. 解方程：（1）；（2）＝1．【19题答案】【答案】（1）；（2）无解【解析】【分析】（1）左右同乘进行去分母，然后求解并检验即可；（2）左右同乘进行去分母，然后求解并检验即可．【详解】（1）左右同乘得：解得：检验：当时，∴原分式方程的解为；（2）左右同乘得：整理得：解得：检验：当时，∴原分式方程无解．【点睛】本题考查解分式方程，掌握分式方程的求解方法并注意检验是解题关键．20. 先化简，再求值：，其中．【20题答案】【答案】；【解析】【分析】根据分式混合运算的法则进行化简，然后代入求值即可．【详解】解：，将代入得：原式．【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，因此在计算时先要掌握分式加减乘除的运算法则，特别是异分母分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．21. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．（1）用直尺和圆规作∠BAC的平分线AD，并交BC于点D（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若AC=2，AD=3，求点D到AB的距离．【21题答案】【答案】（1）答案见解析；（2）．【解析】【分析】（1）利用基本作图作AD平分∠BAC；（2）如图，过D点作DE⊥AD于E，则根据角平分线的性质得到DE=DC，然后利用勾股定理计算出CD，从而得到DE的长．【详解】解：（1）如图，AD为所作；（2）如图，过D点作DE⊥AD于E，则DE的长即为点D到AB的距离．∵AD是∠BAC的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE=DC．在Rt△ACD中，AC=2，AD=3，∴CD=，∴DE=，即点D到AB的距离为．【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了角平分线的性质．22. 如图，AD，BC相交于点E，，．（1）求证：；（2）若，求的度数．【22题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）=46°．【解析】【分析】（1）根据HL证明Rt△ACD≌Rt△BDC即可；（2）利用全等三角形的性质及直角三角形两锐角互余的性质求解即可．【详解】解：（1）证明：∵，在Rt△ACD和Rt△BDC中∵∴Rt△ACD≌Rt△BDC（HL）；（2）∵Rt△ACD≌Rt△BDC，∴,∵∠B=90°，∴∠BDC=90°-∠BCD=68°，∴=68°-22°=46°．【点睛】本题考查全等三角形的判定和直角三角形两锐角互余．掌握全等三角形的判定定理并能结合题意灵活运用是解题关键．23. 学习因式分解的过程中，老师出了这样一个问题：把分解因式．同学和同学分别给了如下两种做法：同学的做法：由十字相乘可得：原式__________．（）同学和同学的做法中都没有给出最后因式分解的结果，请你直接把最后的结果写出来：__________．（）请你根据上面的启发，把下面的式子进行因式分解（参照两位同学的做法写出必要的步骤）：．【23题答案】【答案】（1）．（2）．【解析】【分析】（1）接着两位同学的分解继续即可得到最后分解结果为：；（2）先把原式化为：，再接着将两个部分分别用完全平方公式分解，最后在两个部分之间用平方差公式分解即可.【详解】（），，．（），，，，．24. 如图，等腰直角中，，点在上，将绕顶点沿顺时针方向旋转后得到．（1）判断的形状，并说明理由；（2）当时，求点到的距离．【24题答案】【答案】（1）直角三角形，理由见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质以及旋转的性质得出∠DCE=∠DCB+∠BCE，即可得出答案；（2）利用勾股定理得出AC的长，再利用旋转的性质以及已知比例可得出AD、CD的长，进而利用勾股定理得出DE的长，再利用面积法即可求解．【详解】解：（1）△DEC为直角三角形．理由如下：∵BA=BC，∴∠A=∠BCA=45°，∵△CBE是由△ABD旋转得到的，∴△ABD≌△CBE，∴∠A=∠BCE=45°，∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=90°，∴△DEC为直角三角形；（2）如图，过点作于点，则为点到的距离，，又，．    由旋转知，，，，∴点到的距离为．【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及勾股定理和等腰直角三角形的性质等知识，得出旋转前后对应线段之间关系是解题关键．25. 某家电销售商场电冰箱的销售价为每台1600元，空调的销售价为每台1400元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多300元，商场用9000元购进电冰箱的数量与用7200元购进空调数量相等．（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？（2）现在商场准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售利润为Y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于16200元，请分析合理的方案共有多少种？（3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调K（0＜K＜150）元，若商场保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案．【25题答案】【答案】（1）每台空调的进价为1200元，每台电冰箱的进价为1500元；（2）共有5种方案；（3）当100＜k＜150时，购进电冰箱38台，空调62台，总利润最大；当0＜k＜100时，购进电冰箱34台，空调66台，总利润最大，当k=100时，无论采取哪种方案，y1恒为20000元．【解析】【分析】（1）用“用9000元购进电冰箱的数量与用7200元购进空调数量相等”建立方程即可；（2）建立不等式组求出x的范围，代入即可得出结论；（3）建立y1=（k﹣100）x+20000，分三种情况讨论即可．【详解】（1）设每台空调的进价为m元，则每台电冰箱的进价（m+300）元，由题意得，， ∴m=1200，经检验，m=1200是原分式方程的解，也符合题意，∴m+300=1500元，答：每台空调的进价为1200元，每台电冰箱的进价为1500元；（2）由题意，y=（1600﹣1500）x+（1400﹣1200）（100﹣x）=﹣100x+20000，∵，∴33≤x≤38，∵x为正整数，∴x=34，35，36，37，38，即：共有5种方案；（3）设厂家对电冰箱出厂价下调k（0＜k＜150）元后，这100台家电的销售总利润为y1元，∴y1=（1600﹣1500+k）x+（1400﹣1200）（100﹣x）=（k﹣100）x+20000，当100＜k＜150时，y1随x的最大而增大，∴x=38时，y1取得最大值，即：购进电冰箱38台，空调62台，总利润最大，当0＜k＜100时，y1随x的最大而减小，∴x=34时，y1取得最大值，即：购进电冰箱34台，空调66台，总利润最大，当k=100时，无论采取哪种方案，y1恒为20000元．【点睛】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，不等式组的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键．