2022届高考数学模拟试题汇全国甲卷（文数）（含答案）

这是一份2022届高考数学模拟试题汇全国甲卷（文数）（含答案），共11页。

【满分：150分】
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（2022 广西省原创模拟）已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2.（2022 云南红河统一检测）i是虚数单位，复数，则（ ）
A．B．C．D．
3.（2022 黔东南州模拟考试）设，，则( )
A.B.C.D.
4.（2022 四川遂宁诊断性考试）已知直线l是圆在点处的切线，则直线l的方程为( )
A.B.
C.D.
5.（2022 云南陆良摸底考试）若，则的大小关系是( )
A.B.
C.D.
6.（2022 广西省联考）已知正项等比数列中，公比，前n项和为，若，，则( )
A.127B.128C.255D.256
7.（2022 黔东南州模拟考试）曲线在点处的切线方程为( )
A.B.C.D.
8.（2022 广西桂平联考）抛物线的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，，垂足为A，若直线AF的斜率为，，则抛物线方程为( )
A.B.C.D.
9.（2022 四川凉山诊断性考试）已知长方体的体积，若四面体的外接球的表面积为S，则S的最小值为( )
A．B．C．D．
10.（2022 贵州遵义模拟考试）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则下列说法错误的是( )
A．的图象的一条对称轴为
B．在上单调递增
C．在上的最大值为
D．的一个零点为
11.（2022 贵州模拟联考）已知函数，若且，则的最大值为( )
A.B.C.2D.1
12.（2022 贵州遵义模拟考试）双曲线上一点到右焦点距离为6，为左焦点，则的角平分线与轴交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.（2022 四川绵阳适应考试）已知幂函数的图象过点，则________.
14.（2022 广西省高三大联考）已知单位向量a，b满足，则a与b的夹角为__________.
15.（2022 西藏日喀则学业测试）《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均为直角三角形的四面体).在如图所示的堑堵中， ，则阳马的外接球的表面积是__________ ______.
16.（2022 广西省原创模拟）已知抛物线C：的焦点为F，点A，B分别在C及其准线l上，是面积为的正三角形，则__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.（2022 云南昆明三诊一模）（12分）已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
（1）求B；
（2）设，，求c.
18.（2022 四川遂宁诊断性考试）（12分）在新冠肺炎疫情得到有效控制后，某公司迅速复工复产，为扩大销售额，提升产品品质，现随机选取了100名顾客到公司体验产品，并对体验的满意度进行评分(满分100分).体验结束后，该公司将评分制作成如图所示的直方图.
(1)将评分低于80分的为“良”，80分及以上的为“优”.根据已知条件完成下面列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为体验评分为“优良”与性别有关？
(2)为答谢顾客参与产品体验活动，在体验度评分为和的顾客中用分层抽样的方法选取了6名顾客发放优惠卡.若在这6名顾客中，随机选取2名再发放礼品，记体验度评分为的顾客中至少有1人获得礼品的概率.
附表及公式：.
19.（2022 云南高三统一监测）（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，垂足为E，，垂足为F.
（1）求证：平面EFD；
（2）若，求平面BDE将四棱锥分成的两部分体积之比.
20.（2022 贵州仁怀模拟考试）（12分）在直角坐标系中，已知椭圆的焦距为，右顶点为
P，且以P为圆心、a为半径长的圆经过x轴上一点，过线段的中点N
作直线l（l不与x轴重合）与椭圆C相交于两点，如图所示.
（ = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I）求椭圆C的标准方程；
（ = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II）求证：是的角平分线.
21.（2022 广西省高三大联考）（12分）已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，关于x的不等式在上恒成立，求k的取值范围.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.（2022 四川眉山诊断性考试）（10分）[选修4 – 4：坐标系与参数方程]
已知曲线C的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）是曲线C上两点，若，求的值．
23.（2022 西藏山南模拟考试）（10分）[选修4 – 5：不等式选讲]
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若的最小值为k，且实数，满足，求证：
答案以及解析
1.答案：B
解析：因为，，所以，故选B.
2.答案：A
解析：
3.答案：D
解析：所以.
4.答案：B
解析：由于，所以点在圆上，
圆的圆心为，
，由于，所以，
直线l的方程为.
5.答案：C
解析：，因此.
6.答案：C
解析：，，且，，，故选：C.
7.答案：A
解析：因为，所以，故所求切线方程为.
8.答案：A
解析：直线AF的斜率为，，又抛物线的定义知，为等边三角形，，在中，，，抛物线方程为.
9.答案：C
解析：
10.答案：A
解析：则，
对选项A，因为，故A错误；
对选项B，因为解得
所以在上单调递增，故B正确；
对选项C，因为，所以，
所以，，，故C正确；
对选项D，，故D正确.
11.答案：C
解析：
12.答案：D
解析：记交点坐标为D，用面积法，化简可得角平分线定理：，由双曲线定义知，所以交点到左焦点距离是右焦点距离2倍，由于左焦点，右焦点，D坐标，，可得答案为.
13.答案：3
解析：幂函数的图象经过点，；解得.故，则，故答案为：3.
14.答案：
解析：由得，，设单位向量a与b的夹角为，，.
15.答案：
解析：
16.答案：3
解析：如图所示，因为是正三角形，所以，由抛物线的定义可知，，过F作，又知，所以，所以，则.由的面积为可知，，所以.
17.答案：解：（1）由正弦定理得，
因为，
所以，
又因为，，
所以，又，所以.
（2）由余弦定理，，
可得，解得.
解析：
18.答案：(1)能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为评分为“优良”与性别有关.
(2)概率.
解析：(1)列联表下：
由题得，，
所以，能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为评分为“优良”与性别有关.
(2)随机抽取的6人中评分为有2人，记分，，评分为有4人，记为，，，.
从中随机抽取2人，所有基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共15个.
其中评分为至少有1人的基本事件有：，，，，，，，，，共9个.
所以，在评分为的顾客中至少有1人获得礼品的概率.
19.答案：（1）证明：平面ABCD，平面ABCD，
.
是矩形，
.
，平面PCD，平面PCD，
平面PCD.
平面PCD，
.
又，，平面PBC，平面PBC，
平面PBC.
平面PBC，
.
又，，平面EFD，平面EFD，
平面EFD.
（2）解：，，垂足为E，
E是PC的中点.
三棱锥与三棱锥体积相等.
ABCD是矩形，
三棱锥与三棱锥体积相等.
平面BDE将四棱锥分成的两部分体积之比为或.
解析：
20.答案：（Ⅰ）
（Ⅱ）见解析
解析：（Ⅰ）由焦距，得，易知，为圆的直径，所以，得，从而，所以椭圆C的标准方程是．
（Ⅱ）证明：由，可设，与联立，消去x，得，易知对恒成立．设，由根与系数的关系，得设直线，的斜率分别为，，因为，，，所以是的角平分线．
21.答案：（1）的减区间为，增区间为
（2）
解析：（1）当时，，
，
当时，，是减函数，
，，是增函数，
所以，的减区间为，增区间为.
（2）当时，，
，即.
设，，则只需在值成立即可.
易知，
，
①当时，，此时在上单调递减，
所以，与题设矛盾；
②当时，由得，
当时，，当时，，
此时在上单调递减，
所以，当时，，与题设矛盾；
③当时，，故在上单调递增，所以恒成立.
综上，.
22.答案：（1）由（为参数），得曲线的普通方程为，
将，代入，得，
即，
所以曲线的极坐标方程为.
（2）由（1）知，
设点的极坐标为，
因为，则点的极坐标为，
所以
．
解析：
23.答案：（1）①当时，不等式即为，解得；
②当时，不等式即为，；
③当时，不等式即为，.
综上，不等式的解集为.
（2）由绝对值不等式的性质可得：
当时，取最小值4，即，即
当且仅当时等号成立.
良
优
合计
男
40
女
40
合计
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
良
优
合计
男
20
20
40
女
20
40
60
合计
40
60
100