2022届高考数学模拟试题 全国甲卷（理数）（含答案）

2022届高考数学各省模拟试题汇编卷

全国甲卷（理数）

【满分：150分】

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.（2022 四川绵阳适应考试）设集合，，则为(   )

A. B. C. D.

2.（2022 贵州仁怀模拟考试）设，则z的共轭复数对应的点在(   )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.（2022 黔东南州模拟考试）设，，则(   )

A. B. C. D.

4.（2022 广西省原创模拟）《九章算术》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委菽依垣内角，下周三丈，高七尺，问积及为菽几何？”其意思为：“靠墙壁堆放大豆成半圆锥形，大豆堆底面的弧长为3丈，高为7尺，问大豆堆体积和堆放的大豆有多少斛？”已知1斛大豆=2.43立方尺，1丈=10尺，圆周率约为3，估算出堆放的大豆有(   )

A.140斛 B.142斛 C.144斛 D.146斛

5.（2022 广西桂平三中联考）在中，，，D为AB中点，的面积为，则AC等于(   )

A.2 B. C. D.

6.（2022 广西省联考）已知正项等比数列中，公比，前n项和为，若，，则(   )

A.127 B.128 C.255 D.256

7.（2022 四川遂宁诊断考试）如图，在中，D为线段上异于的任意一点，E为的中点，若，则(    )

A.     B.     C.     D.

8.（2022 贵州省模拟联考）已知函数是定义在R上的奇函数，且，若，则(   )
A.   B.   C.   D.

9.（2022 西藏拉萨模拟考试）已知分别为双曲线的左、右焦点，点是其一条渐近线上一点，且以为直径的圆经过点，若的面积为，则双曲线的离心率为(  )

A.   B.2  C.        D.3

10.（2022 贵州遵义模拟考试）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则下列说法错误的是(    )

A．的图象的一条对称轴为

B．在上单调递增

C．在上的最大值为

D．的一个零点为

11.（2022 云南统一监测考试）三棱锥的顶点都在球O的球面上，，，.若三棱锥的体积的最大值为，则球O的体积为(   )
A. B. C. D.

12.（2022 云南昆明三诊一模）已知函数，若有四个不同的零点，则a的取值范围为(   )

A. B. C. D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（2022 四川绵阳适应考试）已知幂函数的图象过点，则________.

14.（2022 云南陆良县摸底考试）设变量满足约束条件，则的最小值为___________.

15.（2022 四川遂宁诊断考试）2021年第31届世界大学生夏季运动会将在成都举行.为营造“爱成都迎大运”全民运动和全民健身活动氛围，某社区组织甲、乙两队进行一场足球比赛，根据以往的经验知，甲队获胜的

概率是，两队打平的概率是，则这次比赛乙队不输的概率是______________.

16.（2022 广西省原创模拟）已知抛物线C：的焦点为F，点A，B分别在C及其准线l上，是面积为的正三角形，则__________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（2022 广西省原创模拟）（12分）已知各项均为正数的数列满足，.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，，成等差数列，求数列的前n项和.

18.（2022 贵州仁怀模拟考试）（12分）某水产公司因发展需要扩大养殖规模，决定采购一批鱼苗，鱼苗以吨为单位独立养殖，经过数个生长周期后长成成鱼出售．根据以往的伙伴关系，可从甲、乙两地进行选择采购，采购成本分别为2万元/吨和1万元/吨，由历史记录统计的甲、乙两地鱼苗各100吨的生长周期数如下表所示：

（I）填写下表，并判断是否有的把握认为鱼苗的生长周期与鱼苗的产地有关？

（II）用频率估计概率，现从甲、乙两地的鱼苗中各随机抽取1吨，以X表示两地鱼苗的生长周期数不小于7的吨数，求X的分布列和数学期望；

（III）除了采购成本外，平均每吨鱼苗每个周期的养殖成本为0.1万元，甲、乙两地鱼苗长成成鱼后的售价分别是5万元吨和4.5万元吨，用频率估计每吨鱼苗生长周期的概率，分别以这100吨鱼苗所获得的平均利润作为决策依据，如果你是该公司的负责人，会选择采购甲地还是乙地鱼苗？

参考公式：，其中．

19.（2022 云南红河统一检测）（12分）如图，在多边形中（图1）．四边形为长方形，为正三角形，，，现以为折痕将折起，使点P在平面内的射影恰好是的中点（图2）．

（1）证明：平面：

（2）若点E在线段上，且，求二面角的余弦值．

20.（2022 广西桂平三中联考）（12分）已知函数（且）.

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，求证：对任意，恒成立.

21.（2022 四川内江零模考试）（12分）已知是椭圆上的两点．

（1）若直线的斜率为1，求弦长的最大值；

（2）设线段的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（2022 四川眉山诊断性考试）（10分）[选修4 – 4：坐标系与参数方程]

已知曲线C的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线C的极坐标方程；

（2）是曲线C上两点，若，求的值．

23.（2022 西藏山南模拟考试）（10分）[选修4 – 5：不等式选讲]

已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若的最小值为k，且实数，满足，求证：

答案以及解析

1.答案：C

解析：因为，所以.因为且，所以所以.故C正确.

2.答案：D

解析：由，得，所以，对应的点在第四象限.故选D.

3.答案：D

解析：所以.

4.答案：C

解析：由题意可知，半圆锥的体积为(立方尺)，所以大豆有(斛)，故选C.

5.答案：B

解析：在中，，所以，由余弦定理，可得，故选：B.

6.答案：C

解析：，，且，，，故选：C.

7.答案：B

解析：由图可知，点B、D、C三点共线，所以，

因为E为AD中点，所以，

所以，所以，

因为，所以，所以.故选B.

8.答案：C

解析：

9.答案：B

解析：设为上第一象限内的点，以为直径的圆的方程为，解得，即，所以，，

10.答案：A

解析：则，

对选项A，因为，故A错误；

对选项B，因为解得

所以在上单调递增，故B正确；

对选项C，因为，所以，

所以，，，故C正确；

对选项D，，故D正确.

11.答案：D

解析：

12.答案：A

解析：

13.答案：3

解析：幂函数的图象经过点，；解得.故，则，故答案为：3.

14.答案：-2

解析：如图所示：画出可行域和目标函数，根据图像知：

当时，有最小值为-2.

故答案为：-2.

15.答案：

解析：设事件A为“这次比赛乙队不输”，事件B为“这次比赛乙队获胜”，事件C为“这次比赛甲、乙两队打半”，所以，

所以这次比赛乙队不输的概率.

16.答案：3

解析：如图所示，因为是正三角形，所以，由抛物线的定义可知，，过F作，又知，所以，所以，则.由的面积为可知，，所以.

17.答案：(1)

(2)

解析：解：(1)由，得，
即，又，所以.
又知，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，
故数列的通项公式为.

(2)由，，成等差数列可知，，
所以.
所以，①

，②

由①-②，得

.
故.

18.答案：（Ⅰ）

有的把握认为鱼苗的生长周期与鱼苗的产地有关

（Ⅱ）

（Ⅲ）略

解析：（Ⅰ）补充完整的列联表如下所示：

所以，所以有的把握认为鱼苗的生长周期与鱼苗的产地有关；

（Ⅱ）由题可知，甲地鱼苗生长周期数小于7的吨数占，生长周期数不小于7的吨数占；乙地鱼苗生长周期数小于7的吨数占，生长周期数不小于7的吨数占，

所以X的可能取值为0，1，2，

，，，

所以X的分布列为：

所以．

19.答案：（1）见解析（2）

解析：（1）作的中点，连接，由题知平面．

因为，所以，

又因为，

所以平面．

（2）取的中点，连接，则，，，以为坐标原点，以，，分别为、轴的正方向建立空间直角坐标系．

则，，

，，

，

设平面的一个法向量为

则有，令，所以

易知平面的一个法向量为

所以，

所以二面角的余弦值为．

20.答案：（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为

（2）见解析

解析：（1）.
若，令，则，，解得，令，解得；
若，令，则，，解得，令，解得，

综上所述，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2），，.（*）
当时，不等式（*）两边取对数，则.
记函数，则.
令，解得，令，解得，
则在上单调递增，在上单调递减，
.
令函数，则，
令，解得，令，解得，
则在上单调递减，在上单调递增，又，，
当时，恒成立，恒成立，
当时，对任意，恒成立.

21.答案：解：（1）设直线的方程为，、，

由，得，

由得．，，

所以，

易知当时，取得最大值．

（2）设、，的中点，

①若直线平行于轴，则线段的垂直平分线为轴，故，

②若直线不平行于轴，

因为线段的垂直平分线与轴相交，所以直线不平行于轴，即，

由，两式相减整理，

设是的中点，∴，

因此

又∵，且

∴，即．解得．

由或知或．

综上，的取值范围是．

22.答案：（1）由（为参数），得曲线的普通方程为，

将，代入，得，

即，

所以曲线的极坐标方程为.

（2）由（1）知，

设点的极坐标为，

因为，则点的极坐标为，

所以

．

23.答案：（1）①当时，不等式即为，解得；

②当时，不等式即为，；

③当时，不等式即为，.

综上，不等式的解集为.

（2）由绝对值不等式的性质可得：

当时，取最小值4，即，即

当且仅当时等号成立.