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初中数学9.5 多项式的因式分解学案
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这是一份初中数学9.5 多项式的因式分解学案，共25页。学案主要包含了变式1-1，题型2公因式，变式2-1，变式3-1，题型4公式法因式分解，变式4-1，题型5十字相乘法，变式5-1等内容，欢迎下载使用。
多项式的因式分解题型及变式
【题型1判断是否是因式分解】（2021·上海民办浦东交中初级中学七年级期末）下列各等式中，从左到右的变形是正确的因式分解的是（ ）
A．2x•（x﹣y）＝2x2﹣2xy B．（x+y）2﹣x2＝y（2x+y）
C．3mx2﹣2nx+x＝x（3mx﹣2n） D．x2+3x﹣2＝x（x+3）﹣2
【变式1-1】（2022·重庆市凤鸣山中学八年级期末）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型2公因式】（2021·福建省福州延安中学八年级期中）单项式2x2y3与6xy的公因式是_______．
【变式2-1】（2021·山东任城·八年级期中）单项式4m2n2与12m3n2的公因式是________．
【题型3提公因式因式分解】（2021·北京房山·七年级期末）因式分解：4x2y2﹣2x3y＝______．
【变式3-1】（2021·上海奉贤·七年级期末）分解因式：4a3b2﹣6a2b2＝_____．
【题型4公式法因式分解】（2022·上海宝山·七年级期末）分解因式：________．
【变式4-1】（2022·浙江·九年级专题练习）分解因式________．
【题型5十字相乘法】（2022·广东南沙·八年级期末）把多项式x2﹣6x＋m分解因式得（x＋3）（x﹣n），则m＋n的值是______．
【变式5-1】（2022·上海浦东新·七年级期末）因式分解：_______．
【题型6分组分解法】（2021·吉林永吉·八年级期末）阅读下列材料：
一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：
因式分解：
＝
＝
＝
（1）利用分组分解法分解因式：
①；
②
（2）因式分解：=_______（直接写出结果）．
【变式6-1】（2021·黑龙江·兴凯湖农场学校八年级期末）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
x2＋2x﹣3＝x2＋2x＋1﹣4＝（x＋1）2﹣22＝（x＋1＋2）（x＋1﹣2）＝（x＋3）（x﹣1）
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣6x﹣7；
（2）分解因式：a2＋4ab﹣5b2
专项训练
一．选择题
1．（2022·重庆忠县·八年级期末）下列多项式不能因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京东城·八年级期末）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·山东·德州市陵城区第三中学八年级阶段练习）不论x，y取何实数，代数式x2－4x＋y2－6y＋13总是（ ）
A．非负数 B．正数 C．负数 D．非正数
4．（2021·江苏·如皋初级中学八年级阶段练习）已知a2（b+c）＝b2（a+c）＝2021，且a、b、c互不相等，则c2（a+b）﹣2020＝（ ）
A．0 B．1 C．2020 D．2021
5．（2021·山东张店·八年级期中）小东是一位密码爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：、、、、、依次对应下列六个字：科、爱、勤、我、理、学，现将因式分解，其结果呈现的密码信息可能是（ ）．
A．勤学 B．爱科学 C．我爱理科 D．我爱科学
二、填空题
6．（2021·上海民办浦东交中初级中学七年级期末）分解因式：9a﹣＝______________．
7．（2021·上海金山·七年级期中）分解因式：__________．
8．（2021·全国·八年级课时练习）多项式各项的公因式是________．
9．（2022·安徽芜湖·八年级期末）已知a+b＝4，ab＝1，则a3b+2a2b2+ab3的值为________________．
10．（2021·山东莱州·八年级期中）甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则多项式x2+ax+b分解因式的正确结果为_________．
三、解答题
11．（2022·江西南昌·八年级期末）分解因式：
（1）； （2）．
12．（2021·河南·泌阳县第一初级中学八年级期中）分解因式：
（1）﹣9x3y＋6x2y2﹣xy3 （2）（x2＋4）2﹣16x2
13．（2021·北京·八年级期中）因式分解；
（1）ax2+2a2x+a3 （2）（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）
14．（2022·北京西城·八年级期末）分解因式：
（1）； （2）．
15．（2022·四川仁寿·八年级期末）已知xy＝5，x2y﹣xy2﹣x+y＝40．
（1）求x﹣y的值．
（2）求x2+y2的值．
16．（2021·福建永春·八年级期中）对于多项式x3﹣5x2+11x﹣10，如果我们把x＝2代入此多项式，发现多项式x3﹣5x2+11x﹣10＝0，这时可以断定多项式中有因式（x﹣2），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+11x﹣10＝（x﹣2）（x2+mx+n），以上这种因式分解的方法叫试根法．
（1）求式子中m、n的值；
（2）用试根法对多项式x3﹣5x2+3x+9进行因式分解．
17．（2021·四川大英·八年级期末）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知：二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴
解得：n＝﹣7，m＝﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x﹣5），求另一个因式以及k的值．
18．（2021·吉林龙潭·八年级期末）下面是某同学对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解的过程
解：设x2+2x=y，
原式 =y（y+2）+1 （第一步）
=y2+2y+1 （第二步）
=（y+1）2 （第三步）
=（x2+2x+1）2 （第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学在第四步将y用所设中的含x的代数式代换，这个结果是否分解到最后？
．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣4x+3）（x2﹣4x+5）+1进行因式分解．
19．（2022·江西南昌·八年级期末）阅读材料：
利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如
根据以上材料，解答下列问题．
（1）分解因式：；
（2）求多项式的最小值；
（3）已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长．
20．（2021·湖南·永州市剑桥学校七年级期中）探究：如何把多项式x2+8x+15因式分解？
（1）观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？ 答：________；
（2）（阅读与理解）：由多项式乘法，我们知道（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左地使用，即可对形如x2+（a+b）x+ab的多项式进行因式分解，即：x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）
此类多项式x2+（a+b）x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．
猜想并填空：x2+8x+15=x2+[（_____）+（_____）]x+（___）×（___）=（x+____）（x+_____）
（3）上面多项式x2+8x+15的因式分解是否符合题意，我们需要验证．请写出验证过程．
（4）请运用上述方法将下列多项式进行因式分解：x2-x-12
【题型1判断是否是因式分解】（2021·上海民办浦东交中初级中学七年级期末）下列各等式中，从左到右的变形是正确的因式分解的是（ ）
A．2x•（x﹣y）＝2x2﹣2xy B．（x+y）2﹣x2＝y（2x+y）
C．3mx2﹣2nx+x＝x（3mx﹣2n） D．x2+3x﹣2＝x（x+3）﹣2
【答案】B
【分析】
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．
【详解】
解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、（x+y）2﹣x2＝2xy+y2＝y（2x+y），把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；
C、3mx2﹣2nx+x＝x（3mx﹣2n+1），故此选项不符合题意；
D、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了因式分解的定义．严格按照因式分解的定义去验证每个选项是正确解答本题的关键．
【变式1-1】（2022·重庆市凤鸣山中学八年级期末）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式），平方差公式、完全平方公式，提公因式法依次进行因式分解判断即可得．
【详解】
解：A、选项为整式的乘法；
B、，选项错误；
C、，选项错误；
D、选项正确；
故选：D．
【点睛】
题目主要考查因式分解的定义及方法，熟练掌握利用公式因式分解是解题关键．
【题型2公因式】（2021·福建省福州延安中学八年级期中）单项式2x2y3与6xy的公因式是_______．
【答案】2xy
【分析】
由公因式的定义进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：根据题意，
2x2y3与6xy的公因式是2xy．
故答案为：2xy．
【点睛】
本题考查了公因式的定义，解题的关键是熟记定义进行解题．
【变式2-1】（2021·山东任城·八年级期中）单项式4m2n2与12m3n2的公因式是________．
【答案】4m2n2
【分析】
找到系数的公共部分，再找到因式的公共部分即可．
【详解】
解：由于4和12的公因数是4，m2n2和m3n2的公共部分为m2n2，
所以4m2n2与12m3n2的公因式是4m2n2．
故答案为4m2n2．
【点睛】
本题主要考查公因式，熟练掌握如何去找公因式是解题的关键．
【题型3提公因式因式分解】（2021·北京房山·七年级期末）因式分解：4x2y2﹣2x3y＝______．
【答案】2x2y（2y-x）
【分析】
直接提取公因式2x2y，进而分解因式即可．
【详解】
解：4x2y2-2x3y=2x2y（2y-x）．
故答案为：2x2y（2y-x）．
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
【变式3-1】（2021·上海奉贤·七年级期末）分解因式：4a3b2﹣6a2b2＝_____．
【答案】2a2b2（2a﹣3）
【分析】
直接找出公因式进而提取分解因式即可．
【详解】
4a3b2﹣6a2b2＝2a2b2（2a﹣3）．
故答案为：2a2b2（2a﹣3）．
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
【题型4公式法因式分解】（2022·上海宝山·七年级期末）分解因式：________．
【答案】
【分析】
将原多项式分组变形，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可．
【详解】
解：====，
故答案为：．
【点睛】
本题考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，灵活运用因式分解的方法是解答的关键．
【变式4-1】（2022·浙江·九年级专题练习）分解因式________．
【答案】（2x+1-x2）（x+1）2
【分析】
先利用平方差公式，再利用完全平方公式即可求解．
【详解】
解：（2x+1）2-x4=（2x+1-x2）（2x+1+x2）=（2x+1-x2）（x+1）2．
故答案为：（2x+1-x2）（x+1）2．
【点睛】
本题考查了用公式法进行因式分解，因式分解一定要彻底，本题的易错点是利用平法差公式分解后，注意2x+1+x2的继续分解．
【题型5十字相乘法】（2022·广东南沙·八年级期末）把多项式x2﹣6x＋m分解因式得（x＋3）（x﹣n），则m＋n的值是______．
【答案】-18
【分析】
根据题意列出等式，利用多项式相等的条件求出m与n的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】
解：根据题意得：x2-6x+m=（x+3）（x-n）=x2+（3-n）x-3n，
∴3-n=-6，m=-3n，
解得：m=-27，n=9，
则原式=-27+9=-18，
故答案为：-18．
【点睛】
此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【变式5-1】（2022·上海浦东新·七年级期末）因式分解：_______．
【答案】
【分析】
利用十字相乘法分解因式即可得．
【详解】
解：因为，且是的一次项的系数，
所以，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解题关键．
【题型6分组分解法】（2021·吉林永吉·八年级期末）阅读下列材料：
一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：
因式分解：
＝
＝
＝
（1）利用分组分解法分解因式：
①；
②
（2）因式分解：=_______（直接写出结果）．
【答案】（1）① ；②；（2）．
【分析】
（1）仿照题目所给例题进行分组分解因式即可；
（2）利用平方差和完全平方公式进行分解因式即可．
【详解】
解：（1）①
；
②
=
=；
（2）
，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握分解因式分方法．
【变式6-1】（2021·黑龙江·兴凯湖农场学校八年级期末）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
x2＋2x﹣3＝x2＋2x＋1﹣4＝（x＋1）2﹣22＝（x＋1＋2）（x＋1﹣2）＝（x＋3）（x﹣1）
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣6x﹣7；
（2）分解因式：a2＋4ab﹣5b2
【答案】（1）(x+1)(x－7)；（2）(a+5b)( a－b)
【分析】
（1）仿照例题方法分解因式即可；
（2）仿照例题方法分解因式即可；
【详解】
解：（1）x2﹣6x﹣7
= x2﹣6x+9－16
=（x－3）2－42
=（x－3+4）(x－3－4)
=(x+1)(x－7)；
（2）a2＋4ab﹣5b2
= a2＋4ab+4b2﹣9b2
=（a+2b）2－(3b)2
=（a+2b +3b）(a+2b－3b)
=(a+5b)( a－b)．
【点睛】
本题考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，理解题中的分解因式方法并能灵活运用是解答的关键．
专项训练
一．选择题
1．（2022·重庆忠县·八年级期末）下列多项式不能因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据平方差公式、完全平方公式分解因式即可．
【详解】
解：A、不能因式分解，符合题意；
B、=，能因式分解，不符合题意；
C、=，能因式分解，不符合题意；
D、 =，能因式分解，不符合题意，
故选：A．
【点睛】
本题考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，掌握因式分解的结构特征是解答的关键．
2．（2022·北京东城·八年级期末）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式逐项判断即可．
【详解】
解： A选项的右边不是积的形式，不是因式分解，故不符合题意；
B选项的右边不是积的形式，不是因式分解，故不符合题意；
C选项的右边不是积的形式，不是因式分解，故不符合题意；
D选项的右边是积的形式，是因式分解，故符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题考查因式分解，熟知因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式是解答的关键．
3．（2021·山东·德州市陵城区第三中学八年级阶段练习）不论x，y取何实数，代数式x2－4x＋y2－6y＋13总是（ ）
A．非负数 B．正数 C．负数 D．非正数
【答案】A
【分析】
先把原式化为，结合完全平方公式可得原式可化为从而可得答案.
【详解】
解：x2－4x＋y2－6y＋13
故选A
【点睛】
本题考查的是代数式的值，非负数的性质，利用完全平方公式分解因式，掌握“”是解本题的关键.
4．（2021·江苏·如皋初级中学八年级阶段练习）已知a2（b+c）＝b2（a+c）＝2021，且a、b、c互不相等，则c2（a+b）﹣2020＝（ ）
A．0 B．1 C．2020 D．2021
【答案】B
【分析】
根据题意先通过已知等式，找到a，b，c的关系再求值即可得出答案．
【详解】
解：∵a2（b+c）＝b2（a+c）．
∴a2b+a2c﹣ab2﹣b2c＝0．
∴ab（a﹣b）+c（a+b）（a﹣b）＝0．
∴（a﹣b）（ab+ac+bc）＝0．
∵a≠b．
∵a2（b+c）＝2021．
∴a（ab+ac）＝2021．
∴a（﹣bc）＝2021．
∴﹣abc＝2021．
∴abc＝﹣2021．
∴原式＝c（ac+bc）﹣2020＝c（﹣ab）﹣2020
＝﹣abc﹣2020
＝2021﹣2020
＝1．
故选：B．
【点睛】
本题考查用因式分解求代数式的值，利用题中等式得到ab+bc+ac=0是解答本题的关键．
5．（2021·山东张店·八年级期中）小东是一位密码爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：、、、、、依次对应下列六个字：科、爱、勤、我、理、学，现将因式分解，其结果呈现的密码信息可能是（ ）．
A．勤学 B．爱科学 C．我爱理科 D．我爱科学
【答案】C
【分析】
利用平方差公式，将多项式进行因式分解，即可求解．
【详解】
解：
∵、、、依次对应的字为：科、爱、我、理，
∴其结果呈现的密码信息可能是我爱理科．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解的方法是解题的关键．
二、填空题
6．（2021·上海民办浦东交中初级中学七年级期末）分解因式：9a﹣＝______________．
【答案】a（3+a）（3﹣a）
【分析】
先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【详解】
解：9a﹣，
＝a （9﹣），
＝a（3+a）（3﹣a）．
【点睛】
本题考查了因式分解,熟练掌握先提后选用公式的解题思路是解题的关键．
7．（2021·上海金山·七年级期中）分解因式：__________．
【答案】
【分析】
没有公因式，总共三项，其中有两项能化为两个数的平方和，第三项正好为这两个数的积的2倍，直接运用完全平方公式进行因式分解．
【详解】
解：，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查利用完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
8．（2021·全国·八年级课时练习）多项式各项的公因式是________．
【答案】
【分析】
根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式2y，即可求解．
【详解】
解：∵多项式系数的最大公约数是2，相同字母的最低指数次幂y，
∴该多项式的公因式为2y，
故答案为：．
【点睛】
本题考查多项式的公因式，掌握多项式每项公因式的求法是解题的关键．
9．（2022·安徽芜湖·八年级期末）已知a+b＝4，ab＝1，则a3b+2a2b2+ab3的值为________________．
【答案】16
【分析】
先提取公因式ab，然后再用完全平方公式因式分解，最后代入计算即可．
【详解】
解：a3b+2a2b2+ab3
=ab（a2+2ab+b2）
=ab（a+b）2
=1×42
=16．
故答案是16．
【点睛】
本题主要考查了因式分解的应用，掌握运用提取公因式法和完全平方公式因式分解是解答本题的关键．
10．（2021·山东莱州·八年级期中）甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则多项式x2+ax+b分解因式的正确结果为_________．
【答案】
【分析】
根据题意可知a、b是相互独立的，在因式分解中b决定常数项，a决定一次项的系数，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出a、b的值，代入原多项式进行因式分解．
【详解】
解：∵分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为，
∴在＝x2+6x+8中，a＝6是正确的，
∵分解因式x2+ax+b时，乙看错了a，分解结果为，
∴在＝x2+10x+9中，b＝9是正确的，
∴x2+ax+b＝x2+6x+9＝．
故答案为：
【点睛】
本题考查因式分解和整式化简之间的关系，牢记各自的特点并能灵活应用是解题关键．
三、解答题
11．（2022·江西南昌·八年级期末）分解因式：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）提取公因式，然后用完全平方公式进行化简即可．
（2）提取公因式，然后用平方差公式进行化简即可．
（1）解：原式；
（2）解：原式
．
【点睛】
本题考查了乘法公式进行因式分解．解题的关键在于熟练掌握乘法公式．
12．（2021·河南·泌阳县第一初级中学八年级期中）分解因式：
（1）﹣9x3y＋6x2y2﹣xy3 （2）（x2＋4）2﹣16x2
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先提出公因式，再利用完全平方公式因式分解，即可求解；
（2）先用平方差公式因式分解，再利用完全平方公式因式分解，即可求解．
（1）解： ；
（2）解：
．
【点睛】
本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法，并灵活选用合适的方法进行解答是解题的关键．
13．（2021·北京·八年级期中）因式分解；
（1）ax2+2a2x+a3 （2）（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）直接提取公因式，进而分解因式即可．
【小题1】
解：
；
【小题2】
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
14．（2022·北京西城·八年级期末）分解因式：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先提公因数3，再利用完全平方公式公式分解因式即可；
（2）先提公因式（m－2），再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】
解：（1）
=
=；
（2）
=
=．
【点睛】
本题考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，熟练掌握因式分解的方法是解答的关键．
15．（2022·四川仁寿·八年级期末）已知xy＝5，x2y﹣xy2﹣x+y＝40．
（1）求x﹣y的值．
（2）求x2+y2的值．
【答案】（1）x﹣y＝10；（2）x2+y2＝110．
【分析】
（1）利用提取公因式法对（x2y﹣xy2﹣x+y）进行因式分解，代入求值即可．
（2）利用完全平方公式进行变形处理得到：x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，代入求值即可．
【详解】
解：（1）∵xy＝5，x2y﹣xy2﹣x+y＝40，
∴x2y﹣xy2﹣x+y
＝xy（x﹣y）﹣（x﹣y）
＝（xy﹣1）（x﹣y）
∵xy＝5，
∴（5﹣1）（x﹣y）＝40，
∴x﹣y＝10．
（2）x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝102＋2×5＝110．
【点睛】
本题考查了因式分解和完全平方公式，做题的关键是掌握完全平方公式的变形x2+y2＝（x﹣y）2+2xy．
16．（2021·福建永春·八年级期中）对于多项式x3﹣5x2+11x﹣10，如果我们把x＝2代入此多项式，发现多项式x3﹣5x2+11x﹣10＝0，这时可以断定多项式中有因式（x﹣2），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+11x﹣10＝（x﹣2）（x2+mx+n），以上这种因式分解的方法叫试根法．
（1）求式子中m、n的值；
（2）用试根法对多项式x3﹣5x2+3x+9进行因式分解．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）把由多项式乘以多项式展开，与对应相等即可得出答案；
（2）把代入中得，故可把写成，同（1）解出、的值，代入即可进行因式分解．
【详解】
（1），
，
，
，
解得：；
（2）把代入中得：，
，
，
，
，
解得：，
．
【点睛】
本题考查因式分解，掌握试根法的定义是解题的关键．
17．（2021·四川大英·八年级期末）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知：二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴
解得：n＝﹣7，m＝﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x﹣5），求另一个因式以及k的值．
【答案】另一个因式为（2x+13），k的值为65．
【分析】
设另一个因式为（2x+a），根据题意列出等式，利用系数对应相等列出得到关于a和k的方程求解即可．
【详解】
解：设另一个因式为（2x+a），得2x2+3x﹣k＝（x﹣5）（2x+a）
则2x2+3x﹣k＝2x2+（a﹣10）x﹣5a
∴，
解得：a＝13，k＝65．
故另一个因式为（2x+13），k的值为65．
【点睛】
此题考查了因式分解和整式乘法的关系，解题的关键是根据题意设出另一个因式列出等式求解．
18．（2021·吉林龙潭·八年级期末）下面是某同学对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解的过程
解：设x2+2x=y，
原式 =y（y+2）+1 （第一步）
=y2+2y+1 （第二步）
=（y+1）2 （第三步）
=（x2+2x+1）2 （第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学在第四步将y用所设中的含x的代数式代换，这个结果是否分解到最后？
．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣4x+3）（x2﹣4x+5）+1进行因式分解．
【答案】（1）C；（2）否，；（3）
【分析】
（1）根据题意可知，第二步到第三步用到了完全平方公式；
（2）观察第四步可知，括号里面的还是一个完全平方公式还可以继续分解因式，由此求解即可；
（3）仿照题意，设然后求解即可．
【详解】
解：（1）根据题意可知，该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式 ，
故选C；
（2）观察第四步可知，括号里面的还是一个完全平方公式还可以继续分解因式，
∴分解分式的结果为：，
故答案为：否，；
（3）设
∴
．
【点睛】
本题主要考查了用完全平方公式分解因式，解题的关键在于能够准确理解题意．
19．（2022·江西南昌·八年级期末）阅读材料：
利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如
根据以上材料，解答下列问题．
（1）分解因式：；
（2）求多项式的最小值；
（3）已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长．
【答案】（1）；（2）；（3）12．
【分析】
（1）先配完全平方，然后利用平方差公式即可．
（2）先配方，然后根据求最值即可．
（3）对移项、配方，根据平方大于等于0，确定每一项均为0，求解边长，进而得出周长．
（1）解：
．
（2）解：
∵
∴
∴多项式的最小值为．
（3）解：∵
∴
即
∴
∴，，
∴，，
∴的周长．
【点睛】
本题考查了完全平方公式与平方差公式分解因式，代数式的最值，平方等知识．解题的关键在于正确的配方．
20．（2021·湖南·永州市剑桥学校七年级期中）探究：如何把多项式x2+8x+15因式分解？
（1）观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？ 答：________；
（2）（阅读与理解）：由多项式乘法，我们知道（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左地使用，即可对形如x2+（a+b）x+ab的多项式进行因式分解，即：x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）
此类多项式x2+（a+b）x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．
猜想并填空：x2+8x+15=x2+[（_____）+（_____）]x+（___）×（___）=（x+____）（x+_____）
（3）上面多项式x2+8x+15的因式分解是否符合题意，我们需要验证．请写出验证过程．
（4）请运用上述方法将下列多项式进行因式分解：x2-x-12
【答案】（1）不能；（2）3；5；3；5；3；5；（3）x2+8x+15；（4）（x-4）（x+3）
【分析】
（1）根据完全平方公式的结构特征进行判断即可；
（2）将x2+8x+15=x2+（3+5）x+（3×5）即可得出答案；
（3）根据整式乘法计算（x+3）（x+5）的结果即可；
（4）将x2+[3+（-4）]x+[3×（-4）]即可得出答案．
【详解】
解：（1）因为x2+8x+16=（x+4）2，
所以x2+8x+15不是完全平方公式，
故答案为：不能；
（2）∵x2+8x+15=x2+（3+5）x+（3×5）
∴x2+8x+15=x2+（3+5）x+（3×5）=（x+3）（x+5），
故答案为：3，5，3，5，3，5；
（3）∵（x+3）（x+5）=x2+5x+3x+15=x2+8x+15，
∴x2+8x+15=（x+3）（x+5）
因此多项式x2+8x+15的因式分解是符合题意的；
（4）x2-x-12=x2+[3+（-4）]x+[3×（-4）]=（x+3）（x-4）．
【点睛】
本题考查了十字相乘法分解因式，掌握x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）的结构特征是正确应用的前提
多项式的因式分解题型及变式
【题型1判断是否是因式分解】（2021·上海民办浦东交中初级中学七年级期末）下列各等式中，从左到右的变形是正确的因式分解的是（ ）
A．2x•（x﹣y）＝2x2﹣2xy B．（x+y）2﹣x2＝y（2x+y）
C．3mx2﹣2nx+x＝x（3mx﹣2n） D．x2+3x﹣2＝x（x+3）﹣2
【变式1-1】（2022·重庆市凤鸣山中学八年级期末）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型2公因式】（2021·福建省福州延安中学八年级期中）单项式2x2y3与6xy的公因式是_______．
【变式2-1】（2021·山东任城·八年级期中）单项式4m2n2与12m3n2的公因式是________．
【题型3提公因式因式分解】（2021·北京房山·七年级期末）因式分解：4x2y2﹣2x3y＝______．
【变式3-1】（2021·上海奉贤·七年级期末）分解因式：4a3b2﹣6a2b2＝_____．
【题型4公式法因式分解】（2022·上海宝山·七年级期末）分解因式：________．
【变式4-1】（2022·浙江·九年级专题练习）分解因式________．
【题型5十字相乘法】（2022·广东南沙·八年级期末）把多项式x2﹣6x＋m分解因式得（x＋3）（x﹣n），则m＋n的值是______．
【变式5-1】（2022·上海浦东新·七年级期末）因式分解：_______．
【题型6分组分解法】（2021·吉林永吉·八年级期末）阅读下列材料：
一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：
因式分解：
＝
＝
＝
（1）利用分组分解法分解因式：
①；
②
（2）因式分解：=_______（直接写出结果）．
【变式6-1】（2021·黑龙江·兴凯湖农场学校八年级期末）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
x2＋2x﹣3＝x2＋2x＋1﹣4＝（x＋1）2﹣22＝（x＋1＋2）（x＋1﹣2）＝（x＋3）（x﹣1）
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣6x﹣7；
（2）分解因式：a2＋4ab﹣5b2
专项训练
一．选择题
1．（2022·重庆忠县·八年级期末）下列多项式不能因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京东城·八年级期末）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·山东·德州市陵城区第三中学八年级阶段练习）不论x，y取何实数，代数式x2－4x＋y2－6y＋13总是（ ）
A．非负数 B．正数 C．负数 D．非正数
4．（2021·江苏·如皋初级中学八年级阶段练习）已知a2（b+c）＝b2（a+c）＝2021，且a、b、c互不相等，则c2（a+b）﹣2020＝（ ）
A．0 B．1 C．2020 D．2021
5．（2021·山东张店·八年级期中）小东是一位密码爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：、、、、、依次对应下列六个字：科、爱、勤、我、理、学，现将因式分解，其结果呈现的密码信息可能是（ ）．
A．勤学 B．爱科学 C．我爱理科 D．我爱科学
二、填空题
6．（2021·上海民办浦东交中初级中学七年级期末）分解因式：9a﹣＝______________．
7．（2021·上海金山·七年级期中）分解因式：__________．
8．（2021·全国·八年级课时练习）多项式各项的公因式是________．
9．（2022·安徽芜湖·八年级期末）已知a+b＝4，ab＝1，则a3b+2a2b2+ab3的值为________________．
10．（2021·山东莱州·八年级期中）甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则多项式x2+ax+b分解因式的正确结果为_________．
三、解答题
11．（2022·江西南昌·八年级期末）分解因式：
（1）； （2）．
12．（2021·河南·泌阳县第一初级中学八年级期中）分解因式：
（1）﹣9x3y＋6x2y2﹣xy3 （2）（x2＋4）2﹣16x2
13．（2021·北京·八年级期中）因式分解；
（1）ax2+2a2x+a3 （2）（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）
14．（2022·北京西城·八年级期末）分解因式：
（1）； （2）．
15．（2022·四川仁寿·八年级期末）已知xy＝5，x2y﹣xy2﹣x+y＝40．
（1）求x﹣y的值．
（2）求x2+y2的值．
16．（2021·福建永春·八年级期中）对于多项式x3﹣5x2+11x﹣10，如果我们把x＝2代入此多项式，发现多项式x3﹣5x2+11x﹣10＝0，这时可以断定多项式中有因式（x﹣2），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+11x﹣10＝（x﹣2）（x2+mx+n），以上这种因式分解的方法叫试根法．
（1）求式子中m、n的值；
（2）用试根法对多项式x3﹣5x2+3x+9进行因式分解．
17．（2021·四川大英·八年级期末）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知：二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴
解得：n＝﹣7，m＝﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x﹣5），求另一个因式以及k的值．
18．（2021·吉林龙潭·八年级期末）下面是某同学对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解的过程
解：设x2+2x=y，
原式 =y（y+2）+1 （第一步）
=y2+2y+1 （第二步）
=（y+1）2 （第三步）
=（x2+2x+1）2 （第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学在第四步将y用所设中的含x的代数式代换，这个结果是否分解到最后？
．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣4x+3）（x2﹣4x+5）+1进行因式分解．
19．（2022·江西南昌·八年级期末）阅读材料：
利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如
根据以上材料，解答下列问题．
（1）分解因式：；
（2）求多项式的最小值；
（3）已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长．
20．（2021·湖南·永州市剑桥学校七年级期中）探究：如何把多项式x2+8x+15因式分解？
（1）观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？ 答：________；
（2）（阅读与理解）：由多项式乘法，我们知道（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左地使用，即可对形如x2+（a+b）x+ab的多项式进行因式分解，即：x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）
此类多项式x2+（a+b）x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．
猜想并填空：x2+8x+15=x2+[（_____）+（_____）]x+（___）×（___）=（x+____）（x+_____）
（3）上面多项式x2+8x+15的因式分解是否符合题意，我们需要验证．请写出验证过程．
（4）请运用上述方法将下列多项式进行因式分解：x2-x-12
【题型1判断是否是因式分解】（2021·上海民办浦东交中初级中学七年级期末）下列各等式中，从左到右的变形是正确的因式分解的是（ ）
A．2x•（x﹣y）＝2x2﹣2xy B．（x+y）2﹣x2＝y（2x+y）
C．3mx2﹣2nx+x＝x（3mx﹣2n） D．x2+3x﹣2＝x（x+3）﹣2
【答案】B
【分析】
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．
【详解】
解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、（x+y）2﹣x2＝2xy+y2＝y（2x+y），把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；
C、3mx2﹣2nx+x＝x（3mx﹣2n+1），故此选项不符合题意；
D、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了因式分解的定义．严格按照因式分解的定义去验证每个选项是正确解答本题的关键．
【变式1-1】（2022·重庆市凤鸣山中学八年级期末）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式），平方差公式、完全平方公式，提公因式法依次进行因式分解判断即可得．
【详解】
解：A、选项为整式的乘法；
B、，选项错误；
C、，选项错误；
D、选项正确；
故选：D．
【点睛】
题目主要考查因式分解的定义及方法，熟练掌握利用公式因式分解是解题关键．
【题型2公因式】（2021·福建省福州延安中学八年级期中）单项式2x2y3与6xy的公因式是_______．
【答案】2xy
【分析】
由公因式的定义进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：根据题意，
2x2y3与6xy的公因式是2xy．
故答案为：2xy．
【点睛】
本题考查了公因式的定义，解题的关键是熟记定义进行解题．
【变式2-1】（2021·山东任城·八年级期中）单项式4m2n2与12m3n2的公因式是________．
【答案】4m2n2
【分析】
找到系数的公共部分，再找到因式的公共部分即可．
【详解】
解：由于4和12的公因数是4，m2n2和m3n2的公共部分为m2n2，
所以4m2n2与12m3n2的公因式是4m2n2．
故答案为4m2n2．
【点睛】
本题主要考查公因式，熟练掌握如何去找公因式是解题的关键．
【题型3提公因式因式分解】（2021·北京房山·七年级期末）因式分解：4x2y2﹣2x3y＝______．
【答案】2x2y（2y-x）
【分析】
直接提取公因式2x2y，进而分解因式即可．
【详解】
解：4x2y2-2x3y=2x2y（2y-x）．
故答案为：2x2y（2y-x）．
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
【变式3-1】（2021·上海奉贤·七年级期末）分解因式：4a3b2﹣6a2b2＝_____．
【答案】2a2b2（2a﹣3）
【分析】
直接找出公因式进而提取分解因式即可．
【详解】
4a3b2﹣6a2b2＝2a2b2（2a﹣3）．
故答案为：2a2b2（2a﹣3）．
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
【题型4公式法因式分解】（2022·上海宝山·七年级期末）分解因式：________．
【答案】
【分析】
将原多项式分组变形，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可．
【详解】
解：====，
故答案为：．
【点睛】
本题考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，灵活运用因式分解的方法是解答的关键．
【变式4-1】（2022·浙江·九年级专题练习）分解因式________．
【答案】（2x+1-x2）（x+1）2
【分析】
先利用平方差公式，再利用完全平方公式即可求解．
【详解】
解：（2x+1）2-x4=（2x+1-x2）（2x+1+x2）=（2x+1-x2）（x+1）2．
故答案为：（2x+1-x2）（x+1）2．
【点睛】
本题考查了用公式法进行因式分解，因式分解一定要彻底，本题的易错点是利用平法差公式分解后，注意2x+1+x2的继续分解．
【题型5十字相乘法】（2022·广东南沙·八年级期末）把多项式x2﹣6x＋m分解因式得（x＋3）（x﹣n），则m＋n的值是______．
【答案】-18
【分析】
根据题意列出等式，利用多项式相等的条件求出m与n的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】
解：根据题意得：x2-6x+m=（x+3）（x-n）=x2+（3-n）x-3n，
∴3-n=-6，m=-3n，
解得：m=-27，n=9，
则原式=-27+9=-18，
故答案为：-18．
【点睛】
此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【变式5-1】（2022·上海浦东新·七年级期末）因式分解：_______．
【答案】
【分析】
利用十字相乘法分解因式即可得．
【详解】
解：因为，且是的一次项的系数，
所以，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解题关键．
【题型6分组分解法】（2021·吉林永吉·八年级期末）阅读下列材料：
一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：
因式分解：
＝
＝
＝
（1）利用分组分解法分解因式：
①；
②
（2）因式分解：=_______（直接写出结果）．
【答案】（1）① ；②；（2）．
【分析】
（1）仿照题目所给例题进行分组分解因式即可；
（2）利用平方差和完全平方公式进行分解因式即可．
【详解】
解：（1）①
；
②
=
=；
（2）
，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握分解因式分方法．
【变式6-1】（2021·黑龙江·兴凯湖农场学校八年级期末）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
x2＋2x﹣3＝x2＋2x＋1﹣4＝（x＋1）2﹣22＝（x＋1＋2）（x＋1﹣2）＝（x＋3）（x﹣1）
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣6x﹣7；
（2）分解因式：a2＋4ab﹣5b2
【答案】（1）(x+1)(x－7)；（2）(a+5b)( a－b)
【分析】
（1）仿照例题方法分解因式即可；
（2）仿照例题方法分解因式即可；
【详解】
解：（1）x2﹣6x﹣7
= x2﹣6x+9－16
=（x－3）2－42
=（x－3+4）(x－3－4)
=(x+1)(x－7)；
（2）a2＋4ab﹣5b2
= a2＋4ab+4b2﹣9b2
=（a+2b）2－(3b)2
=（a+2b +3b）(a+2b－3b)
=(a+5b)( a－b)．
【点睛】
本题考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，理解题中的分解因式方法并能灵活运用是解答的关键．
专项训练
一．选择题
1．（2022·重庆忠县·八年级期末）下列多项式不能因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据平方差公式、完全平方公式分解因式即可．
【详解】
解：A、不能因式分解，符合题意；
B、=，能因式分解，不符合题意；
C、=，能因式分解，不符合题意；
D、 =，能因式分解，不符合题意，
故选：A．
【点睛】
本题考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，掌握因式分解的结构特征是解答的关键．
2．（2022·北京东城·八年级期末）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式逐项判断即可．
【详解】
解： A选项的右边不是积的形式，不是因式分解，故不符合题意；
B选项的右边不是积的形式，不是因式分解，故不符合题意；
C选项的右边不是积的形式，不是因式分解，故不符合题意；
D选项的右边是积的形式，是因式分解，故符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题考查因式分解，熟知因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式是解答的关键．
3．（2021·山东·德州市陵城区第三中学八年级阶段练习）不论x，y取何实数，代数式x2－4x＋y2－6y＋13总是（ ）
A．非负数 B．正数 C．负数 D．非正数
【答案】A
【分析】
先把原式化为，结合完全平方公式可得原式可化为从而可得答案.
【详解】
解：x2－4x＋y2－6y＋13
故选A
【点睛】
本题考查的是代数式的值，非负数的性质，利用完全平方公式分解因式，掌握“”是解本题的关键.
4．（2021·江苏·如皋初级中学八年级阶段练习）已知a2（b+c）＝b2（a+c）＝2021，且a、b、c互不相等，则c2（a+b）﹣2020＝（ ）
A．0 B．1 C．2020 D．2021
【答案】B
【分析】
根据题意先通过已知等式，找到a，b，c的关系再求值即可得出答案．
【详解】
解：∵a2（b+c）＝b2（a+c）．
∴a2b+a2c﹣ab2﹣b2c＝0．
∴ab（a﹣b）+c（a+b）（a﹣b）＝0．
∴（a﹣b）（ab+ac+bc）＝0．
∵a≠b．
∵a2（b+c）＝2021．
∴a（ab+ac）＝2021．
∴a（﹣bc）＝2021．
∴﹣abc＝2021．
∴abc＝﹣2021．
∴原式＝c（ac+bc）﹣2020＝c（﹣ab）﹣2020
＝﹣abc﹣2020
＝2021﹣2020
＝1．
故选：B．
【点睛】
本题考查用因式分解求代数式的值，利用题中等式得到ab+bc+ac=0是解答本题的关键．
5．（2021·山东张店·八年级期中）小东是一位密码爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：、、、、、依次对应下列六个字：科、爱、勤、我、理、学，现将因式分解，其结果呈现的密码信息可能是（ ）．
A．勤学 B．爱科学 C．我爱理科 D．我爱科学
【答案】C
【分析】
利用平方差公式，将多项式进行因式分解，即可求解．
【详解】
解：
∵、、、依次对应的字为：科、爱、我、理，
∴其结果呈现的密码信息可能是我爱理科．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解的方法是解题的关键．
二、填空题
6．（2021·上海民办浦东交中初级中学七年级期末）分解因式：9a﹣＝______________．
【答案】a（3+a）（3﹣a）
【分析】
先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【详解】
解：9a﹣，
＝a （9﹣），
＝a（3+a）（3﹣a）．
【点睛】
本题考查了因式分解,熟练掌握先提后选用公式的解题思路是解题的关键．
7．（2021·上海金山·七年级期中）分解因式：__________．
【答案】
【分析】
没有公因式，总共三项，其中有两项能化为两个数的平方和，第三项正好为这两个数的积的2倍，直接运用完全平方公式进行因式分解．
【详解】
解：，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查利用完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
8．（2021·全国·八年级课时练习）多项式各项的公因式是________．
【答案】
【分析】
根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式2y，即可求解．
【详解】
解：∵多项式系数的最大公约数是2，相同字母的最低指数次幂y，
∴该多项式的公因式为2y，
故答案为：．
【点睛】
本题考查多项式的公因式，掌握多项式每项公因式的求法是解题的关键．
9．（2022·安徽芜湖·八年级期末）已知a+b＝4，ab＝1，则a3b+2a2b2+ab3的值为________________．
【答案】16
【分析】
先提取公因式ab，然后再用完全平方公式因式分解，最后代入计算即可．
【详解】
解：a3b+2a2b2+ab3
=ab（a2+2ab+b2）
=ab（a+b）2
=1×42
=16．
故答案是16．
【点睛】
本题主要考查了因式分解的应用，掌握运用提取公因式法和完全平方公式因式分解是解答本题的关键．
10．（2021·山东莱州·八年级期中）甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则多项式x2+ax+b分解因式的正确结果为_________．
【答案】
【分析】
根据题意可知a、b是相互独立的，在因式分解中b决定常数项，a决定一次项的系数，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出a、b的值，代入原多项式进行因式分解．
【详解】
解：∵分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为，
∴在＝x2+6x+8中，a＝6是正确的，
∵分解因式x2+ax+b时，乙看错了a，分解结果为，
∴在＝x2+10x+9中，b＝9是正确的，
∴x2+ax+b＝x2+6x+9＝．
故答案为：
【点睛】
本题考查因式分解和整式化简之间的关系，牢记各自的特点并能灵活应用是解题关键．
三、解答题
11．（2022·江西南昌·八年级期末）分解因式：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）提取公因式，然后用完全平方公式进行化简即可．
（2）提取公因式，然后用平方差公式进行化简即可．
（1）解：原式；
（2）解：原式
．
【点睛】
本题考查了乘法公式进行因式分解．解题的关键在于熟练掌握乘法公式．
12．（2021·河南·泌阳县第一初级中学八年级期中）分解因式：
（1）﹣9x3y＋6x2y2﹣xy3 （2）（x2＋4）2﹣16x2
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先提出公因式，再利用完全平方公式因式分解，即可求解；
（2）先用平方差公式因式分解，再利用完全平方公式因式分解，即可求解．
（1）解： ；
（2）解：
．
【点睛】
本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法，并灵活选用合适的方法进行解答是解题的关键．
13．（2021·北京·八年级期中）因式分解；
（1）ax2+2a2x+a3 （2）（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）直接提取公因式，进而分解因式即可．
【小题1】
解：
；
【小题2】
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
14．（2022·北京西城·八年级期末）分解因式：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先提公因数3，再利用完全平方公式公式分解因式即可；
（2）先提公因式（m－2），再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】
解：（1）
=
=；
（2）
=
=．
【点睛】
本题考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，熟练掌握因式分解的方法是解答的关键．
15．（2022·四川仁寿·八年级期末）已知xy＝5，x2y﹣xy2﹣x+y＝40．
（1）求x﹣y的值．
（2）求x2+y2的值．
【答案】（1）x﹣y＝10；（2）x2+y2＝110．
【分析】
（1）利用提取公因式法对（x2y﹣xy2﹣x+y）进行因式分解，代入求值即可．
（2）利用完全平方公式进行变形处理得到：x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，代入求值即可．
【详解】
解：（1）∵xy＝5，x2y﹣xy2﹣x+y＝40，
∴x2y﹣xy2﹣x+y
＝xy（x﹣y）﹣（x﹣y）
＝（xy﹣1）（x﹣y）
∵xy＝5，
∴（5﹣1）（x﹣y）＝40，
∴x﹣y＝10．
（2）x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝102＋2×5＝110．
【点睛】
本题考查了因式分解和完全平方公式，做题的关键是掌握完全平方公式的变形x2+y2＝（x﹣y）2+2xy．
16．（2021·福建永春·八年级期中）对于多项式x3﹣5x2+11x﹣10，如果我们把x＝2代入此多项式，发现多项式x3﹣5x2+11x﹣10＝0，这时可以断定多项式中有因式（x﹣2），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+11x﹣10＝（x﹣2）（x2+mx+n），以上这种因式分解的方法叫试根法．
（1）求式子中m、n的值；
（2）用试根法对多项式x3﹣5x2+3x+9进行因式分解．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）把由多项式乘以多项式展开，与对应相等即可得出答案；
（2）把代入中得，故可把写成，同（1）解出、的值，代入即可进行因式分解．
【详解】
（1），
，
，
，
解得：；
（2）把代入中得：，
，
，
，
，
解得：，
．
【点睛】
本题考查因式分解，掌握试根法的定义是解题的关键．
17．（2021·四川大英·八年级期末）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知：二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴
解得：n＝﹣7，m＝﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x﹣5），求另一个因式以及k的值．
【答案】另一个因式为（2x+13），k的值为65．
【分析】
设另一个因式为（2x+a），根据题意列出等式，利用系数对应相等列出得到关于a和k的方程求解即可．
【详解】
解：设另一个因式为（2x+a），得2x2+3x﹣k＝（x﹣5）（2x+a）
则2x2+3x﹣k＝2x2+（a﹣10）x﹣5a
∴，
解得：a＝13，k＝65．
故另一个因式为（2x+13），k的值为65．
【点睛】
此题考查了因式分解和整式乘法的关系，解题的关键是根据题意设出另一个因式列出等式求解．
18．（2021·吉林龙潭·八年级期末）下面是某同学对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解的过程
解：设x2+2x=y，
原式 =y（y+2）+1 （第一步）
=y2+2y+1 （第二步）
=（y+1）2 （第三步）
=（x2+2x+1）2 （第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学在第四步将y用所设中的含x的代数式代换，这个结果是否分解到最后？
．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣4x+3）（x2﹣4x+5）+1进行因式分解．
【答案】（1）C；（2）否，；（3）
【分析】
（1）根据题意可知，第二步到第三步用到了完全平方公式；
（2）观察第四步可知，括号里面的还是一个完全平方公式还可以继续分解因式，由此求解即可；
（3）仿照题意，设然后求解即可．
【详解】
解：（1）根据题意可知，该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式 ，
故选C；
（2）观察第四步可知，括号里面的还是一个完全平方公式还可以继续分解因式，
∴分解分式的结果为：，
故答案为：否，；
（3）设
∴
．
【点睛】
本题主要考查了用完全平方公式分解因式，解题的关键在于能够准确理解题意．
19．（2022·江西南昌·八年级期末）阅读材料：
利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如
根据以上材料，解答下列问题．
（1）分解因式：；
（2）求多项式的最小值；
（3）已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长．
【答案】（1）；（2）；（3）12．
【分析】
（1）先配完全平方，然后利用平方差公式即可．
（2）先配方，然后根据求最值即可．
（3）对移项、配方，根据平方大于等于0，确定每一项均为0，求解边长，进而得出周长．
（1）解：
．
（2）解：
∵
∴
∴多项式的最小值为．
（3）解：∵
∴
即
∴
∴，，
∴，，
∴的周长．
【点睛】
本题考查了完全平方公式与平方差公式分解因式，代数式的最值，平方等知识．解题的关键在于正确的配方．
20．（2021·湖南·永州市剑桥学校七年级期中）探究：如何把多项式x2+8x+15因式分解？
（1）观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？ 答：________；
（2）（阅读与理解）：由多项式乘法，我们知道（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左地使用，即可对形如x2+（a+b）x+ab的多项式进行因式分解，即：x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）
此类多项式x2+（a+b）x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．
猜想并填空：x2+8x+15=x2+[（_____）+（_____）]x+（___）×（___）=（x+____）（x+_____）
（3）上面多项式x2+8x+15的因式分解是否符合题意，我们需要验证．请写出验证过程．
（4）请运用上述方法将下列多项式进行因式分解：x2-x-12
【答案】（1）不能；（2）3；5；3；5；3；5；（3）x2+8x+15；（4）（x-4）（x+3）
【分析】
（1）根据完全平方公式的结构特征进行判断即可；
（2）将x2+8x+15=x2+（3+5）x+（3×5）即可得出答案；
（3）根据整式乘法计算（x+3）（x+5）的结果即可；
（4）将x2+[3+（-4）]x+[3×（-4）]即可得出答案．
【详解】
解：（1）因为x2+8x+16=（x+4）2，
所以x2+8x+15不是完全平方公式，
故答案为：不能；
（2）∵x2+8x+15=x2+（3+5）x+（3×5）
∴x2+8x+15=x2+（3+5）x+（3×5）=（x+3）（x+5），
故答案为：3，5，3，5，3，5；
（3）∵（x+3）（x+5）=x2+5x+3x+15=x2+8x+15，
∴x2+8x+15=（x+3）（x+5）
因此多项式x2+8x+15的因式分解是符合题意的；
（4）x2-x-12=x2+[3+（-4）]x+[3×（-4）]=（x+3）（x-4）．
【点睛】
本题考查了十字相乘法分解因式，掌握x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）的结构特征是正确应用的前提
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