初中数学中考专题【二次函数的性质与应用】练习

二次函数的性质与应用

经典例题

【考点1】二次函数的图象与性质

【例1】（2020•镇江）点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等于（　　）

A． B．4 C． D．

【变式1-1】（2020•金湖县一模）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，使y≥﹣1成立的x的取值范围是（　　）

A．x≥﹣1 B．x≤﹣1 C．﹣1≤x≤3 D．x≤﹣1或x≥3

【变式1-2】（2020•高淳区二模）如图，抛物线y（x﹣6）2﹣2与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1向左平移得到C2，C2与x轴交于点B、O，若直线yx+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（　　）

A．﹣3≤m＜﹣2 B．m＜﹣2 C．﹣5≤m＜﹣2 D．m＜﹣2

【变式1-3】（2020•徐州模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，顶点P（m，n）给出下列结论：①2a+c＜0；②若（，y1），（，y2），（，y3）在抛物线上，则y1＞y2＞y3；③关于x的方程ax2+bx+k＝0有实数解，则k＞c﹣n；④当n时，△ABP为等腰直角三角形，其中正确的结论是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．②④

【考点2】二次函数与方程不等式

【例2】（2020•南通）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点，对称轴是直线x＝1．关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若n＜﹣5，试比较y1与y2的大小；

（3）若B，C两点在直线x＝1的两侧，且y1＞y2，求n的取值范围．

【变式2-1】（2020•宿迁模拟）如果抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线l：y＝kx+b（k≠0）都经过y轴上一点P，且抛物线C的顶点Q在直线l上，那么称此直线l与该抛物线C具有“一带一路”关系，如果直线y＝mx+1与抛物线y＝x2﹣2x+n具有“一带一路”关系，那么m﹣n值为（　　）

A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2

【变式2-2】（2020•宝应县二模）当x＝1或﹣3时，代数式ax2+bx+c与mx+n的值相等，则函数y＝ax2+（b﹣m）x+c﹣n与x轴的交点为（　　）

A．（1，0）和（﹣3，0） B．（﹣1，0） 

C．（3，0） D．（﹣1，0）和（3，0）

【变式2-3】（2020•南京）下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数）的结论：①该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0，1）；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．其中所有正确结论的序号是　        　．

【考点3】二次函数与图象变换问题

【例3】（2020•宿迁）将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，得到的拋物线相应的函数表达式为（　　）

A．y＝（x+2）2﹣2 B．y＝（x﹣4）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣1 D．y＝（x﹣1）2+5

【变式3.1】（2020•秦淮区二模）在平面直角坐标系中，将函数y＝﹣x2的图象先向右平移1个单位，再向上平移5个单位后，得到的图象的函数表达式是（　　）

A．y＝﹣（x+1）2+5 B．y＝﹣（x﹣1）2+5 

C．y＝﹣（x+1）2﹣5 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣5

【变式3.2】（2020•铜山区二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+3）（x﹣1）经过变换后得到抛物线y＝（x+1）（x﹣3），则这个变换可以是（　　）

A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 

C．向左平移4个单位 D．向右平移4个单位

【变式3.3】（2019•徐州）已知二次函数的图象经过点P（2，2），顶点为O（0，0）将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为　        　．

【考点4】二次函数的应用问题

【例4】（2020•宿迁）某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：

（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；

（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？

（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？

【变式4-1】（2019•无锡）某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y（间）与定价x（元/间）之间满足yx﹣42（x≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（　　）

A．252元/间 B．256元/间 C．258元/间 D．260元/间

【变式4-2】（2020•连云港）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为　     min．

【变式4-3】（2020•南京）小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地．设小丽出发第xmin时，小丽、小明离B地的距离分别为y1m、y2m．y1与x之间的函数表达式是y1＝﹣180x+2250，y2与x之间的函数表达式是y2＝﹣10x2﹣100x+2000．

（1）小丽出发时，小明离A地的距离为　    　m．

（2）小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？

【考点5】二次函数的动点问题

【例5】（2020•镇江）如图①，直线l经过点（4，0）且平行于y轴，二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a、c是常数，a＜0）的图象经过点M（﹣1，1），交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点．

（1）当a＝﹣1时，求点N的坐标及的值；

（2）随着a的变化，的值是否发生变化？请说明理由；

（3）如图②，E是x轴上位于点B右侧的点，BC＝2BE，DE交抛物线于点F．若FB＝FE，求此时的二次函数表达式．

【变式5-1】（2020•宿迁）二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．．

（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；

（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；

（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．

【变式5-2】（2020•淮安）如图①，二次函数y＝﹣x2+bx+4的图象与直线l交于A（﹣1，2）、B（3，n）两点．点P是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线l于点M，交该二次函数的图象于点N，设点P的横坐标为m．

（1）b＝　  　，n＝　    　；

（2）若点N在点M的上方，且MN＝3，求m的值；

（3）将直线AB向上平移4个单位长度，分别与x轴、y轴交于点C、D（如图②）．

①记△NBC的面积为S1，△NAC的面积为S2，是否存在m，使得点N在直线AC的上方，且满足S1﹣S2＝6？若存在，求出m及相应的S1，S2的值；若不存在，请说明理由．

②当m＞﹣1时，将线段MA绕点M顺时针旋转90°得到线段MF，连接FB、FC、OA．若∠FBA+∠AOD﹣∠BFC＝45°，直接写出直线OF与该二次函数图象交点的横坐标．

【变式5-3】（2020•无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数yx2的图象于点A，∠AOB＝90°，点B在该二次函数的图象上，设过点（0，m）（其中m＞0）且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB于点N，以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN．

（1）若点A的横坐标为8．

①用含m的代数式表示M的坐标；

②点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．

（2）当m＝2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式．

压轴精练

一．选择题（共5小题）

1．（2019•衢州）二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是（　　）

A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3）

2．（2020•如皋市二模）若抛物线y＝﹣x2+（m+1）x﹣m2+3m上始终存在不重合的两点关于原点对称，则m的取值范围是（　　）

A．0＜m＜3   B．m＝0或m＝3  C．m＜﹣1  D．m＝﹣1

3．（2019•绍兴）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经变换后得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（　　）

A．向左平移2个单位  B．向右平移2个单位  C．向左平移8个单位  D．向右平移8个单位

4．（2020•南通模拟）若二次函数y＝﹣x2+bx+c中函数y与自变量x之间的部分对于值如下表

点A（x1，y1）点B（x2，y2）在该函数图象上，当0＜x1＜1，2＜x2＜3，y1与y2的大小关系是（　　）

A．y1 ＜y2 B．y1 ＞y2 C．y1 ≤y2 D．y1≥ y2

5．（2019•南通）如图是王阿姨晚饭后步行的路程S（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是（　　）

A．25min～50min，王阿姨步行的路程为800m 

B．线段CD的函数解析式为S＝32t+400（25≤t≤50） 

C．5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快 

D．曲线段AB的函数解析式为S＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）

二．填空题（共5小题）

6．（2020•无锡）二次函数y＝ax2﹣3ax+3的图象过点A（6，0），且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若△ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为　   　．

7．（2020•淮阴区模拟）已知二次函数y＝mx2+nx与y＝nx2+mx（其中m，n为常数），若这两个函数图象的顶点关于x轴对称，则m和n满足的关系为　   　．

8．（2020•惠山区校级二模）已知k为任意实数，随着k的变化，抛物线y＝x2﹣2（k+2）x+k2﹣2点随之运动，则顶点运动过程中与两条坐标轴围成图形的面积是　   　．

9．（2020•邗江区二模）如图，平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1），若抛物线y＝ax2+2x﹣1（a≠0）与线段AB（包含A、B两点）有两个不同交点，则a的取值范围是　   　．

10．（2020•无锡二模）如图，一次函数yx﹣2的图象交x轴于点A，交y轴于点B，二次函数yx2+bx+c的图象经过A、B两点，与x轴交于另一点C．若点M在抛物线的对称轴上，且∠AMB＝∠ACB，则所有满足条件的点M的坐标为　   　．

三．解答题（共10小题）

11．（2020•海州区校级一模）如图，已知抛物线y＝x2﹣9与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C为顶点，直线y＝x+m经过点A，与y轴交于点D．

（1）求线段AD的长；

（2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C'．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC'平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．

12．（2020•邗江区校级二模）某书店以30元的价格购进一批科普书进行销售，物价局根据市场行情规，销售单价不低于42元且不高于62元．在销售中发现，该科普书的每天销售数量y（本）与销售单价x（元）之间存在某种函数关系，对应如表：

（1）用你所学过的函数知识，求出y与x之间的函数关系式；

（2）请问该科普书每天利润w（元）的最大值是多少？

（3）如果该科普书每天利润必须不少于600元，试求出每天销售数量y最少为多少本？

13．（2020•姜堰区二模）二次函数yx2x+m（m＞0）的图象交y轴于点A，顶点为P，直线PA与x轴交于点B．

（1）当m＝1时，求顶点P的坐标；

（2）若点Q（a，b）在二次函数yx2x+m（m＞0）的图象上，且b﹣m＞0，试求a的取值范围；

（3）在第一象限内，以AB为边作正方形ABCD．

①求点D的坐标（用含m的代数式表示）；

②若该二次函数的图象与正方形ABCD的边CD有公共点，请直接写出符合条件的整数m的值．

14．（2020•吴江区二模）如图，二次函数y＝ax2﹣6ax﹣16a（a≠0）的图象与x轴交于点A，B（A在B左侧），与y轴正半轴交于点C，点D在抛物线上，CD∥x轴，且OD＝AB．

（1）求点A，B的坐标及a的值；

（2）点P为y轴右侧抛物线上一点．

①如图①，若OP平分∠COD，OP交CD于点E，求点P的坐标；

②如图②，抛物线上一点F的横坐标为2，直线CF交x轴于点G，过点P作直线CF的垂线，垂足为Q，若∠PCQ＝∠BGC，求点Q的坐标．

15．（2020•梁溪区校级二模）今年是全面建成小康社会和“十三五”规划收官之年，为促进销售，某公司开发了A、B两项新产品，销售前景广阔．已知A、B的成本、售价和每日销量如表所示：

根据销售情况，公司对B项产品降价销售，同时对A项产品提价销售，发现B项产品每降价5元就多销售2件，A项产品每提价5元就可少销售1件，要保持每日的总销量不变，设A项产品每天少销售x个，每天总获利为y元．

（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）要使每天利润不低于208000元，直接写出x的取值范围；

（3）该公司决定每销售一件A产品，就捐给红十字会a（0＜a≤100）元作为抗疫基金．当40≤x≤50时，每日的最大利润为237250元，求a的值．

16．（2020•东海县二模）某工厂制作A，B两种手工艺品，B每件获利比A多105元，制作16件A与制作2件B获利相同．

（1）制作一件A和一件B分别获利多少元？

（2）工厂安排65人制作A，B两种手工艺品，每人每天制作2件A或1件B．现在在不增加工人的情况下，增加制作C工艺品．已知每人每天可制作1件C（每人每天只能制作一种手工艺品），要求每天制作A，C两种手工艺品的数量相等，设每天安排x人制作B，y人制作A．写出y与x之间的函数关系式；

（3）在（1）（2）的条件下，每天制作B不少于5件．当每天制作B5件时，每件B获利不变，若B每增加1件，则当天平均每件B获利减少2元，已知C每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润W（元）的最大值及相应x的值．

17．（2020•江都区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）经过原点O和两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．

（1）a＝　   　，b＝　   　，c＝　   　；

（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；

（3）设⊙P与x轴相交于M、N两点，M在N的左边．当△AMN为等腰三角形时，直接写出圆心P的横坐标．

18．（2020•灌云县一模）如图，以D为顶点的抛物线yx2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y＝﹣x+6．

（1）求抛物线的表达式；

（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；

（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

19．（2020•金湖县一模）如图1，在直角坐标系中，二次函数yx﹣4的图象交坐标轴于点A，B，C（点A在点B的左侧），点P是AC边上的动点，过P作x轴和BC的垂线，垂足分别为D点，E点，连接BP．

（1）求△ABC的面积；

（2）当BP与y轴交点恰好是BP中点时，求PE的长；

（3）如图2，取BP中点F，连接DF、EF、DE，请直接写出△DEF周长的最小值．

20．（2020•沭阳县模拟）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降2元，则每月可多销售10条，设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．

（1）直接写出y与x的函数关系式；

（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？

（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生，为了保证捐款后每月利润不低于4175元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？