中考数学专题【 立体几何】学案

这是一份中考数学专题【 立体几何】学案，共10页。


[记牢方能用活]
一、空间线、面关系的判断
1.eq \a\vs4\al\c1(空间两直线,的位置关系)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(相交直线,平行直线))在同一个平面内,异面直线：不同在任何一个平面内))
2．空间直线与平面的位置关系eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(直线在平面内,直线与平面相交,直线与平面平行))
3．平面与平面的位置关系eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(相交平面,平行平面))
二、空间平行关系、垂直关系的证明
1．平行关系之间的转化
在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的具体条件而定的，不可过于“模式化”．
2．垂直关系之间的转化
在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件，同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系．
三、空间图形的翻折问题
解决空间图形的翻折问题时，要从如下几个角度掌握变化规律：
(1)理解翻折过程中的“变”
①过程是连续渐变；
②点和线的变化；
③角度、长度等几何度量的变化．
(2)理解翻折过程中的“不变”
①翻折前后，仍然在一个平面上的性质不发生改变；
②翻折过程中，直线和平面的位置关系可能不变．
(3)掌握翻折过程中的特殊位置
①翻折的起始位置；
②翻折过程中，直线和平面的平行和垂直的特殊位置．
调研1 空间线、面关系的判断
a．线线、线面、面面关系的判断
1．(2019·全国Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则( )
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
2．(2019·全国Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
b．折叠过程中的位置关系与数量关系
3．(2021·山东烟台二模)如图是一张矩形白纸ABCD，AB＝10，AD＝10eq \r(2)，E，F分别为AD，BC的中点，现分别将△ABE，△CDF沿BE，DF折起，且A，C在平面BFDE同侧，下列命题正确的是________．(写出所有正确命题的序号)
①当平面ABE∥平面CDF时，AC∥平面BFDE；
②当平面ABE∥平面CDF时，AE∥CD；
③当A，C重合于点P时，PG⊥PD；
④当A，C重合于点P时，三棱锥P－DEF的外接球的表面积为150π.
4．(2021·湖北武汉武昌区调研改编)(多选题)如图，已知平行四边形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，以下命题正确的为( )
A．线段BM的长是定值
B．存在某个位置，使 DE⊥A1C
C．存在某个位置，使MB∥平面A1DE
D．点A1在某一圆上运动
[对点提升]
1．(2021·浙江卷)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则( )
A．直线A1D与直线D1B垂直，直线MN∥平面ABCD
B．直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1
C．直线A1D与直线D1B相交，直线MN∥平面ABCD
D．直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B1
2．(2021·河南郑州一模)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的底面为等腰直角三角形，AB⊥AC，点M，N分别为AB1，A1C上的动点，若直线MN∥平面BCC1B1，Q为线段MN的中点，则点Q的轨迹是( )
A．双曲线的一支(一部分) B．圆弧(一部分)
C．线段(去掉一个端点) D．抛物线的一部分
调研2 空间平行关系、垂直关系的证明
a．平行关系的证明与探究
1．(2021·原创题)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，点E为侧棱PD(不含端点)上的动点．
(1)是否存在一点E，使得PB∥平面AEC？若存在，请说明点E的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
(2)若点F在CD上，且PE∶ED＝CF∶FD，在棱PA(不含端点)上是否存在点G，使得平面BCG∥平面AEF？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由．
b．平行、垂直关系的转化与证明
2．(2019·北京卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．
(1)求证：BD⊥平面PAC.
(2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE.
(3)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．
c．垂直关系的转化与体积计算
3．(2021·新高考Ⅰ)如图，在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点．
(1)证明：OA⊥CD；
(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E－BC－D的大小为45°，求三棱锥A－BCD的体积．
[对点提升]
(2021·河北唐山十一中高三月考)如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，且SA＝AB，点E为AB的中点，点F为SC的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)求证：平面SCD⊥平面SCE.
调研3 平面图形的翻折问题
a．翻折过程中的线线角
1．(2021·陕西西安五校联考)如图，在正方形ABCD中，将△ABC沿AC折起，使点B到达点B1的位置，当以A，B1，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，异面直线AD与B1C所成的角的大小为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2)
b．折叠过程中的二面角的求解
2．(2021·江西南昌二中3月模拟)如图，在等腰梯形ABCD中，∠ABC＝60°，CD＝2，AB＝4，点E为AB的中点，现将该梯形中的三角形BEC沿线段EC折起，形成四棱锥B－AECD.
(1)在四棱锥B－AECD中，求证：AD⊥BD；
(2)若平面BEC与平面AECD所成二面角的平面角为120°，求直线AE与平面ABD所成角的正弦值．
c．翻折过程中的函数关系
3．(2021·湖北部分重点中学联考)如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，AB＝BC＝eq \f(1,2)AD＝1，点E是线段CD上异于点C，D的动点，EF⊥AD于点F，将△DEF沿EF折起到△PEF的位置，并使PF⊥AF，则五棱锥P－ABCEF的体积的取值范围为________．
[对点提升]
(2021·湖南雅礼中学联考)如图，在等腰梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB＝eq \r(2)，BC＝1，AD＝3，BP⊥AD，垂足为P，将△ABP沿BP折起，使平面ABP⊥平面PBCD，连接AD，AC，M为棱AD的中点，连接CM.
(1)试分别在PB，CD上确定点E，F，使平面MEF∥平面ABC；(2)求三棱锥A－PCM的体积．
专题训练 空间点、线、面的位置关系
第一组
1．(2021·重庆直属校月考)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且eq \f(DE,EB)＝eq \f(DF,FD1)＝eq \f(1,2)，G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G，则eq \f(CG,CC1)＝( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(1,4)
2．(2021·河北武邑模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是( )
A．PB⊥AC
B．PD⊥平面ABCD
C．AC⊥PD
D．平面PBD⊥平面ABCD
3．(2021·广东广州综合测试)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，则直线CE与D1F所成角的大小为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2)
4．(2021·河南三市3月联考)如图所示，底面为正方形的四棱柱ABCD－A1B1C1D1侧棱与底面垂直，AA1＝2，AB＝1，M，N分别在AD1，BC上移动，始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是( )

5．(2021·江苏南京宁海中学高三月考)(多选题)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，线段B′D′上有两个动点E，F，若线段EF的长度为一定值，则下列结论中正确的是( )
A．AC⊥BE
B．BD⊥平面ABE
C．EF∥平面ABCD
D．三棱锥B－AEF的体积为定值
6．(2021·安徽安庆模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BP＝eq \f(2,3)BD1.则以下四个说法：
(1)MN∥平面APC；
(2)C1Q∥平面APC；
(3)A，P，M三点共线；
(4)平面MNQ∥平面APC.
其中说法正确的是________．
7．(2021·河北石家庄5月阶段性训练)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝2AP＝4，∠PAB＝∠PAD＝60°，则∠PAC＝________；四棱锥P－ABCD的外接球的表面积为________．
8．(2020·江苏卷)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．
(1)求证：EF∥平面AB1C1；(2)求证：平面AB1C⊥平面ABB1.

9．(2021·全国甲卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，BF⊥A1B1.(1)求三棱锥F－EBC的体积；(2)已知D为棱A1B1上的点，证明：BF⊥DE.

10．(2021·河北唐山高三模拟)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是PA，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.
第二组
1．(2021·河北石家庄模拟)过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有( )
A．4条 B．6条 C．8条 D．12条
2．(2021·新高考Ⅱ)(多选题)如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足MN⊥OP的是( )
3．(2021·陕西西安期末)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为________．
4．(2020·山东潍坊统考)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论：
①PB⊥AE；
②平面ABC⊥平面PBC；
③直线BC∥平面PAE；
④∠PDA＝45°.
其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．
5．(2021·广东百校联盟联考)如图，E是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱C1D1上的一点，且BD1∥平面B1CE，则异面直线BD1与CE所成角的余弦值为________．
6．(2021·福建福州八中高三期中)A是△BCD所在平面外一点，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，若BD＝6，则MN与BD的位置关系为________；MN＝________.
7．(2019·全国Ⅱ)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.
(1)证明：BE⊥平面EB1C1；
(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E－BB1C1C的体积．