初中数学沪科版八年级下册第19章 四边形综合与测试教学设计

章末复习

【知识与技能】

通过对几种平行四边形的回顾与思考，使学生梳理所学的知识，系统地复习平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定方法；

【过程与方法】

正确理解平行四边形与各种特殊平行四边形的联系与区别，在反思和交流过程中，逐渐建立知识体系；

【情感态度】

引导学生独立思考，通过归纳、概括、实践等系统数学活动，感受获得成功的体验，形成科学的学习习惯.

【教学重点】

1.平行四边形与各种特殊平行四边形的区别.

2.梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形的知识体系及应用方法.

【教学难点】

平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定的综合运用.

一、知识框图，整体把握

【教学说明】通过学生根据定义自主建构结构图的过程，使学生初步理解特殊平行四边形的定义及它们与平行四边形之间的关系，渗透特殊平行四边形的性质和判定；体现知识之间的联系，一般与特殊的关系，直观操作和逻辑推理的有机结合.

二、释疑解惑，加深理解

1.平行四边形与特殊的平行四边形的性质与判定：

2.三角形的中位线

（1）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

（2）定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

要点诠释：

①三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.

②三角形的三条中位线把原三角形分成全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.

③三角形的中位线不同于三角形的中线.

3.多边形内角和、外角和

n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3)．

要点诠释：（1）内角和定理的应用：

①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；

（2）正多边形的每个内角都相等，都等于；

多边形的外角和为360°．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.

【教学说明】通过“知识盘点”，进一步理解并灵活运用平行四边形的性质和判定.

三、典例精析，复习新知

例1 如图，在□ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF∥BE交BC于点F，AF与BE交与点M，CE与DF交于点N．

求证：四边形MFNE是平行四边形.

证明：∵四边形ABCD是平行四边形.

∴AD＝BC，AD∥BC（平行四边形的对边相等且平行）

又∵DF∥BE（已知）

∴四边形BEDF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）

∴DE＝BF（平行四边形的对边相等）

∴AD-DE＝BC-BF，即AE＝CF

又∵AE∥CF

∴四边形AFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

∴AF∥CE

∴四边形MFNE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）

【总结升华】要证明一个四边形是平行四边形首先要根据已知条件选择一种合理的判定方法，如本题中已有一边平行，只须说明另一边也平行即可，故选用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明.

例2 如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，若MA＝MC．

（1）求证：CD＝AN；

（2）若AC⊥DN，∠CAN＝30°，MN＝1，求四边形ADCN的面积．

【分析】

（1）利用“平行四边形ADCN的对边相等”的性质可以证得CD＝AN；

（2）根据“直角△AMN中的30度角所对的直角边是斜边的一半”求得AN＝2MN＝2，然后由勾股定理得到AM＝，则S四边形ADCN＝4S△AMN＝2．

（1）证明：∵CN∥AB，

∴∠1＝∠2．

在△AMD和△CMN中，

∠1=∠2

MA=MC

∠AMD=∠ACMN，

∴△AMD≌△CMN（ASA），

∴AD＝CN．

又AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，

∴CD＝AN；

（2）解：∵AC⊥DN，即∠AMN=90°∠CAN＝30°，MN＝1，

∴AN＝2MN＝2，（直角△AMN中的30°角反对的直角边是斜边的一半）

∴AM＝，

∴S△AMN＝AM·MN＝××1＝．

∵四边形ADCN是平行四边形，

∴S四边形ADCN＝4S△AMN＝2.

【总结升华】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质．解题时，还利用了直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半．例3如果三角形的两条边分别为4和6，那么连结该三角形三边中点所得的周长可能是下列数据中的（   ）

A.6       B.8       C.10       D.12

【分析】本题依据三角形三边关系，可求第三边大于2小于10，原三角形的周长大于12小于20，连接中点的三角形周长是原三角形周长的一半，那么新三角形的周长应大于6而小于10，看哪个符合就可以了．设三角形的三边分别是a、b、c，令a＝4，b＝6，则2＜c＜10，12＜三角形的周长＜20，故6＜中点三角形周长＜10．故选B.

【总结升华】本题重点考查了三角形的中位线定理，利用三角形三边关系，确定原三角形的周长范围是解题的关键．

例4 如图，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE＝DF．

求证：四边形BECF是平行四边形．

【分析】通过全等三角形（△AEB≌△DFC）的对应边相等证得BE＝CF，由“在同一平面内，同垂直于同一条直线的两条直线相互平行”证得BE∥CF．则四边形BECF是平行四边形．

证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，

∴∠AEB＝∠DFC＝90°，

∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，

在△AEB与△DFC中，

∠AEB=∠DFC

AE=DF

∠A=∠D，

∴△AEB≌△DFC（ASA），

∴BE＝CF．

∵BE⊥AD，CF⊥AD，

∴BE∥CF．

∴四边形BECF是平行四边形.

【教学说明】教师出示典型例题，让学生先尝试解答，教师予以讲解，在讲解的过程中，应着重于知识点的应用和解题方法的渗透.

四、复习训练，巩固提高

1.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则应添加的条件是______.（添加一个条件即可，不添加其它的点和线）.

第1题图                第2题图

2.如图，已知AC平分∠BAD，∠1＝∠2，AB＝DC＝3，则BC＝_______.

3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，若平移距离为2，则四边形ABED的面积等于.

第3题图              第4题图

4.如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，BE∥DF．求证：BE＝DF．

5.如图，在△ABC中，AB＝BC＝12cm，∠ABC＝80°，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC．

（1）求∠EDB的度数；

（2）求DE的长．

第5题图              第6题图

6.如图，在平行四边形ABCD中，过AC中点O作直线，分别交AD、BC于点E、F．

求证：△AOE≌△COF．

7.如图，在□ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F．

（1）求证：△ADE≌△BFE；

（2）若DF平分∠ADC，连接CE．试判断CE和DF的位置关系，并说明理由．

【答案】1.AB＝CD或AD∥BC或∠A＝∠C等（不唯一）

2.3【解析】∵AC平分∠BAD，

∴∠1＝∠BAC，

∴AB∥DC，

又∵AB＝DC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴BC＝AD，

又∵∠1＝∠2，

∴AD＝DC＝3，

∴BC＝3．

3.8【解析】∵将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，平移距离为2，

∴AD∥BE，AD＝BE＝2，

∴四边形ABED是平行四边形，

∴四边形ABED的面积＝BE×AC＝2×4＝8．

4.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC＝AD，BC∥AD，

∴∠ACB＝∠DAC，

∵BE∥DF，

∴∠BEC＝∠DFA，

∴△CBE≌△ADF(AAS)，

∴BE＝DF．

5.解：（1）∵BD是∠ABC的平分线，

∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC，

∵DE∥BC，

∴∠EDB＝∠DBC＝∠ABC＝40°．

（2）∵AB＝BC，BD是∠ABC的平分线，

∴D为AC的中点，

∵DE∥BC，

∴E为AB的中点，

∴DE＝12BC＝6cm．6.证明：

∵AD∥BC，

∴∠EAO＝∠FCO．

又∵∠AOE＝∠COF，OA＝OC，

在△AOE和△COF中，

∠EAO=∠FCO

OA=OC

∠AOE=∠COF，

∴△AOE≌△COF(ASA).

7.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC．

又∵点F在CB的延长线上，

∴AD∥CF，

∴∠1＝∠2．

∵点E是AB边的中点，

∴AE＝BE．

∵在△ADE与△BFE中，

∠1=∠2

∠DEA=∠FEB

AE=BE，

∴△ADE≌△BFE（AAS）；

（2）解：CE⊥DF．理由如下：

如图，连接CE．由（1）知，△ADE≌△BFE，

∴DE＝FE，即点E是DF的中点，∠1＝∠2．

∵DF平分∠ADC，

∴∠1＝∠3，

∴∠3＝∠2，

∴CD＝CF，

∴CE⊥DF．

【教学说明】学生独立完成练习，进一步熟练相关知识点的应用和提高解题能力.

五、师生互动，课堂小结

1.平行四边形的性质和判定从哪几个方面来进行叙述 ？

2.多边形的内角和公式与外角和是什么？

3.三角形的中位线定理是什么？

【教学说明】通过问答形式让学生明确本节课的学习内容，帮助学生梳理知识.培养学生语言表达和总结知识的能力.

完成同步练习册中本课时的练习.

本节课从展示学生归纳的平行四边形的知识结构图入手，回顾了平行四边形的定义、性质、判定及特殊的平行四边形之间内在的联系及从属关系，接着又精心设计例题，有意识地创设了引人入胜步步深化的练习，旨在形成激发学生主动参与、积极思维、合作学习解决问题的良好教学氛围.重点是帮助学生形成一定的解题思路和渗透相关的数学思想，强调学生在解答关于四边形的问题时一定要结合图形和相关的条件做适当的分析后，确定适当的思路，另外书写过程一定要规范.