初中数学沪科版八年级下册19.3 矩形 菱形 正方形第2课时教案设计

第2课时 菱形的判定

【知识与技能】

理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算.

【过程与方法】

通过探索菱形判定思想的过程，领会菱形的概念以及应用方法，发展学生主动探究的思想和说理的基本方法.

【情感态度】

培养良好的思维意识以及合情推理的能力 ，感悟其应用价值及培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力.

【教学重点】

菱形的两个判定方法.

【教学难点】

判定方法的证明方法及运用.

一、创设情境，导入新课

1.复习提问

（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形.

（2）菱形的性质1:菱形的两组对边分别平行，四条边都相等；

性质2：菱形的两组对角分别相等，邻角互补；

性质3：菱形的两条对角线互相平分；菱形的两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角.

2.如果一个四边形是一个平行四边形，则只要再有什么条件就可以判定它是一个菱形？依据是什么？除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗？

【教学说明】通过回顾菱形的性质，进一步了解菱形的特殊性，为后面判定的探究提高思路.

二、合作探究，探索新知

1.【操作探究】多媒体演示画图过程: 先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，提问：观察画图的过程，你能说明得到的四边形为什么是菱形吗?你能得到什么结论?

2.学生观察思考后，展开讨论，指出该四边形四条边相等，即有两组对边相等，它首先是一个平行四边形，又有一组邻边相等，根据菱形定义即可判定该四边形是菱形.得出从一般的四边形直接判定菱形的方法：四边相等的四边形是菱形.

学生进行几何论证，教师规范学生的证明过程.

3.【归纳定理】菱形的判定定理1.四边相等的四边形是菱形.

【教学说明】先让学生画图，得到菱形，然后思考原因，提出猜想，然后进行推理论证，最后总结得出菱形的判定定理1.

4.用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉子，做成一个可转动的十字架，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形.

问: 任意转动木条，这个四边形总有什么特征？你能证明你发现的结论吗？

继续转动木条，观察什么时候橡皮筋周围的四边形变成菱形？你能证明你的猜想吗？

学生猜想:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

教师提问：这个命题的前提是什么？结论是什么？

学生用几何语言表示命题如下：

已知：在□ABCD中，对角线AC⊥BD，求证：□ABCD是菱形.

【分析】我们可根据菱形的定义来证明这个平行四边形是菱形，由平行四边形的性质得到BO=DO，由∠AOB=∠AOD=90°及AO=AO，得ΔAOB≌ΔAOD，可得到AB=AD (或根据线段垂直平分线性质定理,得到AB=AD) ，最后证得□ABCD是菱形.

【归纳定理】通过探究和进一步证明可以归纳得到菱形的第二个判定方法(判定定理2):

对角线互相垂直的平行四边形是菱形.强调

（1）是一个平行四边形；

（2）两条对角线互相垂直.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.

【教学说明】先让学生实验操作，有一个具体的印象，然后进行猜想证明，最后进行总结，得出菱形的判定定理2.教师总结后要对定理2 的特征进行强调.

三、示例讲解，掌握新知

例 如图，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，求证四边形AFCE是菱形.

证明 ∵ 四边形ABCD是矩形，

∴ AE∥FC（平行四边形的对边平行），

∴ ∠1＝∠2.

∵ EF平分AC，

∴ AO＝OC.

又∵ ∠AOE＝∠COF＝90°，

∴ △AOE≌△COF（ASA），

∴ EO＝FO，

∴ 四边形AFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．

又∵EF⊥AC，

∴ 四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.

【教学说明】这个题目应用了三角形全等和菱形的判定定理2来进行证明，教师要强调学生一定要先根据图形和条件确定具体的思路来进行证明.

四、练习反馈，巩固提高

1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是_____（写出一个即可）.

2.如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD=_____，平行四边形CDEB为菱形.

第2题图        第3题图

3.如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，连结AF，DF，BE，CE，AF与BE交于G，DF与CE交于H．求证：四边形EGFH为菱形.

【答案】1.AB=AD           2.1.4

3.证明：∵在矩形ABCD中AD=BC，且E、F分别是AD、BC的中点，

∴AE=DE=BF=CF

又∵AD∥BC,

∴四边形AECF、BEDF是平行四边形.

∴GF∥EH、EG∥FH.

∴四边形EGFH是平行四边形.连结E、F则四边形ABFE为矩形，

∴EG=GF

∴四边形EGFH是菱形.

【教学说明】第1题添加的条件可以是不同的条件，但是都要符合菱形的判定方法，第2题是对菱形的性质与判定的综合应用，第3题要求学生先观察思考，确定思路后再进行证明.

五、师生互动，课堂小结

菱形常用的判定方法归纳为（让学生讨论归纳后，并板书）：

【教学说明】教师要引导学生进行归纳，教师不要急于进行强调，要让学生总结归纳出尽可能多的方法.

完成同步练习册中本课时的练习.

1.学生在应用菱形的判定的时候容易出现张冠李戴的现象，有的学生会将平行四边形的判定和菱形的判定混淆，或者是出现了不证明它是平行四边形，而直接就仅仅证明了邻边相等就说这个四边形是菱形.所以，在授课的时候，应该多复习一下平行四边形的判定，或者是将平行四边形的判定直接就抄到黑板上，让学生直接对照着书写，使学生知道每一步的证明的依据是什么，这样就可以避免此类错误的出现.

2.对证明书写的规范性应进一步加强.学生们会理解为将很多的条件罗列起来就证明出它是菱形.有很多的学生仍然出现：AO=CO  BO=DO  AC垂直BD，然后就直接说明它是菱形的现象，因此在今后的教学中不仅要让学生来展示，而且某些十分易错的地方，或者是要特别强调的地方要单独的放在课堂上书写，这样既能避免学生们出现不该出现的共同的错误，也能加深学生们的印象，同时也给学生们一个接受新知的过程.或许更有利于本节课知识的掌握.

3.学生们仍然善于用全等来证明某些线段或者是角相等，或者是该用判定一的而用了判定二，虽然也都可以得到结果，但是过程明显的复杂了，说明学生们在用简便的方法证明某些习题上还存在一定的欠缺，需要我们在平时的教学中多注重培养学生们使证明简单的思维习惯，不要总是绕大圈，这样对今后的学习也很有帮助.让学生知道我们不仅要得到结果，还要看得到这个结果的过程是否最简洁，是否构思更新颖，方法更巧妙.