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北师大版八年级数学下册 第一章 三角形的证明 复习（课件）
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这是一份北师大版八年级数学下册 第一章 三角形的证明 复习（课件），共37页。
复习课件第一章 三角形的证明知识框架三角形的证明等腰三角形等腰三角形的性质等腰三角形的判定勾股定理等边三角形的性质等边三角形的判定直角三角形直角三角形的性质两个直角三角形全等的判定（HL）直角三角形的判定等边三角形勾股定理的逆定理垂直平分线的性质角平分线的性质(4)___________、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”.顶角平分线(3)两个_______相等，简称“等边对等角”;底角(2)轴对称图形,等腰三角形的顶角平分线所在的直线是它的对称轴;一、等腰三角形的性质及判定1.性质(1)两腰相等;要点梳理2.判定(1)有两边相等的三角形是等腰三角形;(2)如果一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简写成“____________”）.等角对等边二、等边三角形的性质及判定1.性质⑴等边三角形的三边都相等;⑵等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于________;⑶是轴对称图形，对称轴是三条高所在的直线;⑷任意角平分线、角对边上的中线、对边上的高互相重合，简称“三线合一”.60°2.判定⑴三条边都相等的三角形是等边三角形.⑵三个角都相等的三角形是等边三角形.⑶有一个角是60°的___________是等边三角形.等腰三角形(5)在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.直角三角形的性质定理1 直角三角形的两个锐角______.互余直角三角形的判定定理1 有两个角______的三角形是直角三角形.互余三、直角三角形 勾股定理表达式的常见变形：a2＝c2－b2, b2＝c2－a2， . 勾股定理分类计算：如果已知直角三角形的两边是a,b(且a＞b)，那么，当第三边c是斜边时，c＝_________；当a是斜边时，第三边c＝_________.四、勾股定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 . 即：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c ，那么一定有 .平方 [注意] 只有在直角三角形里才可以用勾股定理，运用时要分清直角边和斜边．a2＋b2＝c2五、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系：a2＋b2＝ ，那么这个三角形是直角三角形．利用此定理判定直角三角形的一般步骤：(1)确定最大边；(2)算出最大边的平方与另两边的 ；(3)比较最大边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则说明这个三角形是 三角形．到目前为止判定直角三角形的方法有：(1)说明三角形中有一个角是 ；(2)说明三角形中有两边互相 ；(3)用勾股定理的逆定理．平方和直角直角垂直 [注意] 运用勾股定理的逆定理时，要防止出现一开始就写出a2＋b2＝c2之类的错误．c21．互逆命题在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的 ，而第一个命题的结论是第二个命题的 ，那么这两个命题叫做互逆命题．2．逆命题每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成 ，并将结论改成 ，便可以得到原命题的逆命题．结论条件结论条件六、逆命题和互逆命题3．逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么，它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的 定理．[注意] 每个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理．如“对顶角相等”就没有逆定理．逆1.线段垂直平分线的性质定理： 线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等.2.逆定理： 到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.七、线段的垂直平分线3．常见的基本作图(1)过已知点作已知直线的 ；(2)作已知线段的垂直 线．垂线平分4.三角形的三边的垂直平分线的性质：三角形的三边的垂直平分线相交于一点，且到三个顶点的距离相等.1.性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.2.判定定理：在一个角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线.3.三角形的三条内角平分线的性质：三角形的三条内角平分线相交于一点，且到三边的距离相等.八、角平分线的性质与判定 例1 如图所示，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D.求证： ∠BAC = 2∠DBC.【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，可作顶角∠BAC的平分线，来获取角的数量关系.考点讲练 证明：作∠BAC的平分线AE,交BC于点E,如图所示， 则∵AB=AC, ∴AE⊥BC.∴ ∠ 2+ ∠ACB=90 °. ∵BD⊥AC, ∴ ∠DBC+ ∠ACB=90 °.∴ ∠ 2= ∠DBC.∴ ∠BAC= 2∠DBC. 等腰三角形的性质与判定是本章的重点之一，它们是证明线段相等和角相等的重要依据，等腰三角形的特殊情形—等边三角形的性质与判定应用也很广泛，有一个角是30°的直角三角形的性质是证明线段之间的倍份关系的重要手段.1. 如图，在△ABC中，AB=AC时，(1)∵AD⊥BC，∴∠ ____= ∠_____;____=____.(2) ∵AD是中线，∴____⊥____; ∠_____= ∠_____.(3) ∵ AD是角平分线，∴____ ⊥____;_____=____.BADCADBDCDADBCBADCADADBCBDCD例2 在△ABC中，已知BD是高，∠B＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且a＝3，b＝4，求BD的长．解：∵∠B＝90°，∴b是斜边，则在Rt△ABC中，由勾股定理，得又∵S△ABC＝ b•BD＝ ac， 在直角三角形中，已知两边的长求斜边上的高时，先用勾股定理求出第三边，然后用面积求斜边上的高较为简便．在用勾股定理时，一定要清楚直角所对的边才是斜边，如在本例中不要受勾股数3，4，5的干扰．2．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）A.25 B.14 C.7 D.7或25D例3 已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，判断△ABC是否为直角三角形．解：由于a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1， c2＝(n2＋1)2 ＝n4＋2n2＋1， 从而a2＋b2＝c2， 故可以判定△ABC是直角三角形． 运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断哪条边最大；②分别用代数方法计算出a2＋b2和c2的值(c边最大)；③判断a2＋b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形．3.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点 上，可以判定三角形是直角三角形的有________． (2)(4)例4 判断下列命题的真假，写出这些命题的逆命题并判断它们的真假．(1)如果a＝0，那么ab＝0；(2)如果点P到线段AB两端点的距离相等，那么P在线段AB的垂直平分线上．解：(1)原命题是真命题．原命题的逆命题是：如果ab＝0，那么a＝0.逆命题为假．(2)原命题是真命题．原命题的逆命题是：如果P在线段AB的垂直平分线上，那么点P到线段AB两端点的距离相等．其逆命题也是真命题．4.写出下列命题的逆命题，并判断其真假：（1）若x=1，则x2=1；（2）若|a|=|b|，则a=b.解：（1）逆命题：若x2=1，则x=1．是假命题.（2）逆命题：若a=b，则|a|=|b|．是真命题.解：∵ AD 是BC 的垂直平分线， ∴ AB =AC，BD=CD. ∵ 点C 在AE 的垂直平分线上， ∴ AC =CE,∴AB=AC=CE, ∴ AB+BD=DE.例5 如图，AD是BC的垂直平分线，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？5.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=5厘米，△ABD的周长等于13厘米，则△ABC的周长是 .ABDEC18厘米 常常运用线段的垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”进行线段之间的转换来求线段之间的关系及周长的和差等,有时候与等腰三角形的“三线合一”结合起来考查.6.下列说法：①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB；②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的有 （填序号）.① ② ③例6 如图，在△ABC中，AD是角平分线，且BD = CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E , F.求证：EB=FC.【分析】先利用角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE ≌ Rt△CDF.证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).∴ EB=FC.8.△ABC中, ∠C=90°, AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 .3E7. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= .60BF9. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．解：AD平分∠BAC．理由如下：∵D到PE的距离与到PF的距离相等，∴点D在∠EPF的平分线上．∴∠1＝∠2．又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．同理，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．P 例7 等腰三角形的周长为20cm,其中两边的差为8cm,求这个等腰三角形各边的长.【分析】要考虑腰比底边长和腰比底边短两种情况.分类讨论思想10.等腰三角形的两边长分别为4和6，求它的周长.解：①若腰长为6，则底边长为4，周长为6+6+4=16；②若腰长为4，则底边长为6，周长为4+4+6=14.故这个三角形的周长为14或16.例8 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕是DE，求CD的长． 【分析】 欲求的线段CD在Rt△ACD中，但此三角形只知一边，可设法找出另两边的关系，然后用勾股定理求解．方程思想解：由折叠知：DA＝DB，△ACD为直角三角形． 在Rt△ACD中，AC2＋CD2＝AD2①， 设CD＝x cm，则AD＝BD＝(8－x)cm， 代入①式，得62＋x2＝(8－x)2， 化简，得36＝64－16x， 所以x＝ ＝1.75， 即CD的长为1.75 cm. 勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题；如果只知一边和另两边的关系时，也可用勾股定理求出未知边，这时往往要列出方程求解．11.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12， BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折 叠，使点A落在对角线BD上的点A′ 处，则AE的长为 .谢 谢
复习课件第一章 三角形的证明知识框架三角形的证明等腰三角形等腰三角形的性质等腰三角形的判定勾股定理等边三角形的性质等边三角形的判定直角三角形直角三角形的性质两个直角三角形全等的判定（HL）直角三角形的判定等边三角形勾股定理的逆定理垂直平分线的性质角平分线的性质(4)___________、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”.顶角平分线(3)两个_______相等，简称“等边对等角”;底角(2)轴对称图形,等腰三角形的顶角平分线所在的直线是它的对称轴;一、等腰三角形的性质及判定1.性质(1)两腰相等;要点梳理2.判定(1)有两边相等的三角形是等腰三角形;(2)如果一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简写成“____________”）.等角对等边二、等边三角形的性质及判定1.性质⑴等边三角形的三边都相等;⑵等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于________;⑶是轴对称图形，对称轴是三条高所在的直线;⑷任意角平分线、角对边上的中线、对边上的高互相重合，简称“三线合一”.60°2.判定⑴三条边都相等的三角形是等边三角形.⑵三个角都相等的三角形是等边三角形.⑶有一个角是60°的___________是等边三角形.等腰三角形(5)在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.直角三角形的性质定理1 直角三角形的两个锐角______.互余直角三角形的判定定理1 有两个角______的三角形是直角三角形.互余三、直角三角形 勾股定理表达式的常见变形：a2＝c2－b2, b2＝c2－a2， . 勾股定理分类计算：如果已知直角三角形的两边是a,b(且a＞b)，那么，当第三边c是斜边时，c＝_________；当a是斜边时，第三边c＝_________.四、勾股定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 . 即：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c ，那么一定有 .平方 [注意] 只有在直角三角形里才可以用勾股定理，运用时要分清直角边和斜边．a2＋b2＝c2五、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系：a2＋b2＝ ，那么这个三角形是直角三角形．利用此定理判定直角三角形的一般步骤：(1)确定最大边；(2)算出最大边的平方与另两边的 ；(3)比较最大边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则说明这个三角形是 三角形．到目前为止判定直角三角形的方法有：(1)说明三角形中有一个角是 ；(2)说明三角形中有两边互相 ；(3)用勾股定理的逆定理．平方和直角直角垂直 [注意] 运用勾股定理的逆定理时，要防止出现一开始就写出a2＋b2＝c2之类的错误．c21．互逆命题在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的 ，而第一个命题的结论是第二个命题的 ，那么这两个命题叫做互逆命题．2．逆命题每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成 ，并将结论改成 ，便可以得到原命题的逆命题．结论条件结论条件六、逆命题和互逆命题3．逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么，它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的 定理．[注意] 每个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理．如“对顶角相等”就没有逆定理．逆1.线段垂直平分线的性质定理： 线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等.2.逆定理： 到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.七、线段的垂直平分线3．常见的基本作图(1)过已知点作已知直线的 ；(2)作已知线段的垂直 线．垂线平分4.三角形的三边的垂直平分线的性质：三角形的三边的垂直平分线相交于一点，且到三个顶点的距离相等.1.性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.2.判定定理：在一个角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线.3.三角形的三条内角平分线的性质：三角形的三条内角平分线相交于一点，且到三边的距离相等.八、角平分线的性质与判定 例1 如图所示，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D.求证： ∠BAC = 2∠DBC.【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，可作顶角∠BAC的平分线，来获取角的数量关系.考点讲练 证明：作∠BAC的平分线AE,交BC于点E,如图所示， 则∵AB=AC, ∴AE⊥BC.∴ ∠ 2+ ∠ACB=90 °. ∵BD⊥AC, ∴ ∠DBC+ ∠ACB=90 °.∴ ∠ 2= ∠DBC.∴ ∠BAC= 2∠DBC. 等腰三角形的性质与判定是本章的重点之一，它们是证明线段相等和角相等的重要依据，等腰三角形的特殊情形—等边三角形的性质与判定应用也很广泛，有一个角是30°的直角三角形的性质是证明线段之间的倍份关系的重要手段.1. 如图，在△ABC中，AB=AC时，(1)∵AD⊥BC，∴∠ ____= ∠_____;____=____.(2) ∵AD是中线，∴____⊥____; ∠_____= ∠_____.(3) ∵ AD是角平分线，∴____ ⊥____;_____=____.BADCADBDCDADBCBADCADADBCBDCD例2 在△ABC中，已知BD是高，∠B＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且a＝3，b＝4，求BD的长．解：∵∠B＝90°，∴b是斜边，则在Rt△ABC中，由勾股定理，得又∵S△ABC＝ b•BD＝ ac， 在直角三角形中，已知两边的长求斜边上的高时，先用勾股定理求出第三边，然后用面积求斜边上的高较为简便．在用勾股定理时，一定要清楚直角所对的边才是斜边，如在本例中不要受勾股数3，4，5的干扰．2．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）A.25 B.14 C.7 D.7或25D例3 已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，判断△ABC是否为直角三角形．解：由于a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1， c2＝(n2＋1)2 ＝n4＋2n2＋1， 从而a2＋b2＝c2， 故可以判定△ABC是直角三角形． 运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断哪条边最大；②分别用代数方法计算出a2＋b2和c2的值(c边最大)；③判断a2＋b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形．3.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点 上，可以判定三角形是直角三角形的有________． (2)(4)例4 判断下列命题的真假，写出这些命题的逆命题并判断它们的真假．(1)如果a＝0，那么ab＝0；(2)如果点P到线段AB两端点的距离相等，那么P在线段AB的垂直平分线上．解：(1)原命题是真命题．原命题的逆命题是：如果ab＝0，那么a＝0.逆命题为假．(2)原命题是真命题．原命题的逆命题是：如果P在线段AB的垂直平分线上，那么点P到线段AB两端点的距离相等．其逆命题也是真命题．4.写出下列命题的逆命题，并判断其真假：（1）若x=1，则x2=1；（2）若|a|=|b|，则a=b.解：（1）逆命题：若x2=1，则x=1．是假命题.（2）逆命题：若a=b，则|a|=|b|．是真命题.解：∵ AD 是BC 的垂直平分线， ∴ AB =AC，BD=CD. ∵ 点C 在AE 的垂直平分线上， ∴ AC =CE,∴AB=AC=CE, ∴ AB+BD=DE.例5 如图，AD是BC的垂直平分线，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？5.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=5厘米，△ABD的周长等于13厘米，则△ABC的周长是 .ABDEC18厘米 常常运用线段的垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”进行线段之间的转换来求线段之间的关系及周长的和差等,有时候与等腰三角形的“三线合一”结合起来考查.6.下列说法：①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB；②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的有 （填序号）.① ② ③例6 如图，在△ABC中，AD是角平分线，且BD = CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E , F.求证：EB=FC.【分析】先利用角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE ≌ Rt△CDF.证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).∴ EB=FC.8.△ABC中, ∠C=90°, AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 .3E7. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= .60BF9. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．解：AD平分∠BAC．理由如下：∵D到PE的距离与到PF的距离相等，∴点D在∠EPF的平分线上．∴∠1＝∠2．又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．同理，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．P 例7 等腰三角形的周长为20cm,其中两边的差为8cm,求这个等腰三角形各边的长.【分析】要考虑腰比底边长和腰比底边短两种情况.分类讨论思想10.等腰三角形的两边长分别为4和6，求它的周长.解：①若腰长为6，则底边长为4，周长为6+6+4=16；②若腰长为4，则底边长为6，周长为4+4+6=14.故这个三角形的周长为14或16.例8 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕是DE，求CD的长． 【分析】 欲求的线段CD在Rt△ACD中，但此三角形只知一边，可设法找出另两边的关系，然后用勾股定理求解．方程思想解：由折叠知：DA＝DB，△ACD为直角三角形． 在Rt△ACD中，AC2＋CD2＝AD2①， 设CD＝x cm，则AD＝BD＝(8－x)cm， 代入①式，得62＋x2＝(8－x)2， 化简，得36＝64－16x， 所以x＝ ＝1.75， 即CD的长为1.75 cm. 勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题；如果只知一边和另两边的关系时，也可用勾股定理求出未知边，这时往往要列出方程求解．11.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12， BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折 叠，使点A落在对角线BD上的点A′ 处，则AE的长为 .谢 谢
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