精品解析：2020年山东省泰安市东平县中考二模数学试题（解析版+原卷板）

2020年山东省泰安市东平县中考二模数学试题

一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 在实数，，，中最大的无理数是（    ）

A.  B.  C.  D.

【1题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根据无理数的大小比较方法即可求解．

【详解】∵=2，=≈3.454＞，

∴无理数有，，

∴最大的无理数是，

故选C．

【点睛】此题主要考查无理数的定义及大小比较，解题的关键是熟知无理数的定义．

2. 下列运算正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【2题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂的除法法则分别计算即可.

【详解】解：A. ，故选项错误，不合题意；

B. ，故选项正确，符合题意；

C. ，故选项错误，不合题意；

D. ，故选项错误，不合题意．

故选：B

【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂的除法法则，熟记相关运算法则是解题关键．

3. 如图所示几何体是由4个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（　　）

A.  B.  C.  D.

【3题答案】

【答案】C

【解析】

【详解】从上面可得：第一列有两个方形，第二列只有一个方形，只有C符合.
故选C

4. 为贯彻落实党中央、国务院关于推进城乡义务教育一体化发展的部署，教育部会同有关部门近五年来共新建、改扩建校舍18600000平方米，其中数据18600000用科学记数法表示是（    ）

A.  B.  C.  D.

【4题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查科学计数法，需要将题目所给数值表示成a与乘积的形式．

详解】按照科学计数法书写原则可得：

故选：C

【点睛】科学计数法是为了书写方便，核心原则是“仔细”．

5. 如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为(    )

A. 45° B.  C.  D.

【5题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】根据平行线的性质和直角的定义解答即可．

【详解】解：如图，作，

∴，，

∵，

∴，

故选B．

【点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得出，．

6. 小莹同学10个周综合素质评价成绩统计如下：

这10个周的综合素质评价成绩的中位数和方差分别是（　　）

A. 97.5    2.8 B. 97.5     3

C. 97     2.8 D. 97      3

【6题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】根据中位数和方差的定义计算可得．

【详解】这10个周的综合素质评价成绩的中位数是(分)，

平均成绩为(分)，

∴这组数据的方差为，

故选B．

【点睛】本题主要考查中位数和方差，解题的关键是掌握中位数和方差的定义以及求解方法．

7. 已知点在第二象限，则a的取值范围在数轴上表示是（   ）

A.  B.

C.  D.

【7题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根据点的坐标，可得一元一次不等式组，解一元一次不等式，可得不等式组的解集，可得答案．

【详解】∵点在第二象限，

∴，

解第一个不等式得，解第二个不等式得

所以a<–1．

故选：C．

【点睛】本题考查已知点所在的象限求参数和解一元一次不等式组的有关知识，解答关键是根据题意正确构造不等式组并正确求解.

8. 如图，小叶与小高欲测量公园内某棵树DE的高度．他们在这棵树正前方的一座楼亭前的台阶上的点A处测得这棵树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得这棵树顶端D的仰角为60°.已知点A的高度AB为3 m，台阶AC的坡度为1∶，且B，C，E三点在同一条直线上，那么这棵树DE的高度为(　　)

A. 6 m B. 7 m C. 8 m D. 9 m

【8题答案】

【答案】D

【解析】

【详解】过点A作AF⊥DE于点F，则四边形ABEF为矩形，

∴AF＝BE，EF＝AB＝3m．

设DE＝xm，在Rt△CDE中，CE＝＝xm．

在Rt△ABC中，∵＝，AB＝3m，

∴BC＝3m．

在Rt△AFD中，DF＝DE－EF＝(x－3) m，

∴AF＝＝(x－3) m．

∵AF＝BE＝BC＋CE，

∴(x－3)＝3＋x，

解得x＝9，

∴这棵树DE的高度为9m.

故选D.

点睛：此题主要考查了锐角三角形函数，解题关键是明确角锐角三角函数值与直角三角形的边角关系，代入数据即可.

9. 如图，是△ABC的外接圆，于F，D为的中点，E是BA延长线上一点，，则∠CAD等于（     ）

A.  B.  C.  D.

【9题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】由于D是弧AC的中点，可知∠ABC＝2∠ACD；由于半径AO⊥BC，由垂径定理易证得AB＝AC，即∠ACB＝∠ABC＝2∠ACD，由圆内接四边形的性质知：∠BCD＝∠DAE＝114°，由此可求出∠ACD的度数；而∠DAC和∠DCA是等弧所对的圆周角，则∠DAC＝∠DCA，由此得解．

【详解】∵AO⊥BC，且AO是⊙O的半径，

∴AO垂直平分BC，

∴AB＝AC，即∠ABC＝∠ACB，

∵D是的中点，

∴∠ABC＝2∠DCA＝2∠DAC，

∴∠ACB＝2∠DCA，

∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠BCD＝∠DAE＝114°，

∴∠ACB＋∠DCA＝114°，

即3∠DCA＝114°，

∴∠CAD＝∠DCA＝38°．

故选：C．

【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，等腰三角形的判定等知识，能够发现∠ACB与∠DCA之间的倍数关系是解答此题的关键．

10. “学雷锋”活动月中，“飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是（　　）

A.  B.  C.  D.

【10题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】画树状图（用、、分别表示“图书馆、博物馆、科技馆”三个场馆）展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一场馆的结果数，然后根据概率公式求解.

【详解】画树状图为：（用分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆）

共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场馆的结果数为3，

所以两人恰好选择同一场馆的概率．

故选A．

【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率.

11. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，将△ACB绕点A逆时针旋转60°得到△AC′B′，则CB′的长为（　　）

A. + B. 1+ C. 3 D. +

【11题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】连接BB'，根据线段垂直平分线的判定定理可得：CB'是AB的垂直平分线，则CB'⊥AB，AF＝BF，分别计算CF和B'F的长，相加可得结论．

【详解】连接BB'，设CB'与AB的交点为F，

由旋转得：AB＝AB'，∠BAB'＝60°，

∴△ABB'是等边三角形，

∴AB'＝BB'，

∵AC＝BC，

∴CB'是AB的垂直平分线，

∴CB'⊥AB，AF＝BF，

Rt△ACB中，AC＝BC＝，

∴AB＝2，CF＝AB＝1，

∵BB'＝AB＝2，BF＝1，

由勾股定理得：B'F＝，

∴CB'＝CF+B'F＝1+，

故选B．

【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．

12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），点P在以D（3，5）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则t的最小值是（　　）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

【12题答案】

【答案】B

【解析】

【详解】分析：先求出AB，AC，进而得出AC=AB，结合直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，即AP=t，即可得出t最小时，点P在AD上，用两点间的距离公式即可得出结论．

详解：如图，连接AP．

    ∵点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），∴AB=（1+t）﹣1=t，AC=1﹣（1﹣t）=t，∴AB=AC．

    ∵∠BPC=90°，∴AP=BC=AB=t，要t最小，就是点A到⊙D上的一点的距离最小，∴点P在AD上．

    ∵A（0，1），D（3，5），∴AD==5，∴t的最小值是AP=AD﹣PD=5﹣1=4．

     故选B．

点睛：本题主要考查了直角三角形斜边的中线的性质，平面坐标系内，两点间的距离公式，极值的确定；判断出点A是BC的中点是解答本题的关键．

二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）

13. 关于x的方程有实数根，则a的取值范围是_______．

【13题答案】

【答案】

【解析】

【分析】分情况讨论当二次项系数为零时：原式为一元一次方程有实数根；当二次项系数不为零时：根据一元二次方程根的情况结合根的判别式列出不等式，求解即可．

【详解】解：∵关于x的方程有实数根，

当时，即时，原方程为有实数根；

当时，即时，

则，即，

解得：，

综上，a的取值范围是，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根与根的判别式的关系是解题的关键．

14. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作之一，其中有一段文字的大意是：甲、乙两人各有若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文，甲、乙两人原来各有多少钱．设甲原有x文钱，乙原有y文钱，可列方程组是________．

【14题答案】

【答案】

【解析】

【分析】此题等量关系为：甲+乙的一半=48；甲的+乙=48，据此可列出方程组．

【详解】解：设甲原有x文钱，乙原有y文钱，
由题意可得，，

【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．

15. 如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为_______．

【15题答案】

【答案】

【解析】

【分析】先求出每个扇形的面积得到弓形的面积，即可求出图形的面积.

【详解】∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°，

∴，

∵,

∴莱洛三角形的面积==,

故答案为：

【点睛】此题考查扇形的面积公式，弓形的面积计算公式，熟记公式是解题的关键.

16. 如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是___．

【16题答案】

【答案】12

【解析】

【分析】根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，而从C向A运动时，BP先变小后变大，从而可求出线段长度解答．

【详解】根据题意观察图象可得BC=5，点P在AC上运动时，BPAC时，BP有最小值，

观察图象可得，BP的最小值为4，即：BPAC时，BP=4，

又∵CP=，

因点P从点C运动到点A，

根据函数的对称性可得CP=AP=3，所以的面积==12.

【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出线段的长度，本题属于中等题型．

17. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为（1，0），以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使……按此规律进行下去，则点的坐标为_________．

【17题答案】

【答案】

【解析】

【分析】通过解直角三角形，依次求A1，A2，A3，A4，…各点的坐标，再从其中找出规律，便可得结论．

【详解】由题意得，

A1的坐标为（1，0），

A1A2=OA1tan60°=，

∴A2的坐标为（1，），

OA2=2OA1=2，

OA3=2OA2=4，

过A3作A3B⊥x轴，

∵∠A3OB=180°-60°-60°=60°，

∴∠BA3O=30°

∴OB=OA3=2

∴A3B=

∴A3的坐标为（−2，2），

同理可得A4的坐标为（−8，0），

A5的坐标为（−8，−8），

A6的坐标为（16，−16），

A7的坐标为（64，0），

…

由上可知，A点的方位是每6个循环，

与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为2n−1，其纵坐标为0，

与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n−2，纵坐标为×2n−2，

与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为−2n−2，纵坐标为×2n−2，

与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为−2n−1，纵坐标为0，

与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为−2n−2，纵坐标为×（−2n−2），

与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n−2，纵坐标为×（−2n−2），

∵2020÷6＝336…4，

∴点A2020的方位与点A4的方位相同，在在x负半轴上，其横坐标为−2n−1＝，纵坐标为0，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查的坐标的规律题，主要考查了解直角三角形的知识，关键是求出前面7个点的坐标，找出其存在的规律．

18. 如图，等边△ABC中，D是边BC上的一点，且BD：DC＝1：3，把△ABC折叠，使点A落在边BC上的点D处，那么的值为_____．

【18题答案】

【答案】

【解析】

【详解】解:∵BD:DC=1:3，

∴设BD=a，则CD=3a，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC=4a,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，

由折叠的性质可知：MN是线段AD的垂直平分线，

∴AM=DM，AN=DN，

∴BM+MD+BD=5a，DN+NC+DC=7a，

∵∠MDN=∠BAC=∠ABC=60°，

∴∠NDC+∠MDB=∠BMD+∠MBD=120°，

∴∠NDC=∠BMD，

∵∠ABC=∠ACB=60°，

∴△BMD∽△CDN，

∴(BM+MD+BD):(DN+NC+CD)=AM:AN，

即AM:AN=5:7，

故答案为 .

三、解答题：

19. 先化简，再求值：．其中m为一元二次方程的根．

【19题答案】

【答案】，

【解析】

【详解】试题分析：原式先化简得到最简结果，由m为已知方程的解确定出m（m+1）的值，代入计算即可求出值．

试题解析：解：原式=

=

=

=

=

=

由m是方程的根，得到m2+m=3，则原式=．

点睛：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20. 国家为了实现2020年全面脱贫目标，实施“精准扶贫”战略，采取异地搬迁，产业扶持等措施．使贫困户的生活条件得到改善，生活质量明显提高．某旗县为了全面了解贫困县对扶贫工作的满意度情况，进行随机抽样调查，分为四个类别：A．非常满意；B．满意；C．基本满意；D．不满意．依据调查数据绘制成图1和图2的统计图（不完整）．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）将图1补充完整；

（2）通过分析，贫困户对扶贫工作的满意度（A、B、C类视为满意）是　　；

（3）市扶贫办从该旗县甲乡镇3户、乙乡镇2户共5户贫困户中，随机抽取两户进行满意度回访，求这两户贫困户恰好都是同一乡镇的概率．

【20题答案】

【答案】（1）答案见解析  （2）95%    （3）

【解析】

【分析】（1）先由A类别户数和所占百分比求得样本总量，再根据各类别户数和等于总户数求得C的数量即可补全图形；

（2）用A、B、C户数和除以总户数即可得；

（3）画树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．

【详解】（1）∵被调查的总户数为60÷60%=100，∴C类别户数为100﹣（60+20+5）=15，补全图形如下：

（2）贫困户对扶贫工作的满意度（A、B、C类视为满意）是100%=95%．

故答案为95%；

（3）画树状图如下：

由树状图知共有20种等可能结果，其中这两户贫困户恰好都是同一乡镇的有8种结果，所以这两户贫困户恰好都是同一乡镇的概率为．

【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．

21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y2=（k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，过点A作AH⊥x轴于点H，点O是线段CH的中点，AC=4，cos∠ACH=．

（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；

（2）在x轴上是否存在点P，使三角形PAC是等腰三角形？若存在，请求出P点坐标；不存在，请说明理由．

【21题答案】

【答案】（1）反比例函数的解析式为：y2=﹣，一次函数解析式为y1=﹣2x+4；（2）P点坐标为(﹣6，0)或(2﹣，0)或(＋2，0)或（﹣8，0）．

【解析】

【分析】(1)解直角△ACH求得CH与AH，即可得点A的坐标；由点A，C的坐标，用待定系数法求直线AB的解析式；(2)因为点A，C确定，点P在x轴上，所以设P(m，0)，分三种情况求解，①顶点是点A时，②顶点是点C时，③顶点是点P时.

【详解】(1)∵AC＝，cos∠ACH＝，

∴，

解得CH＝4，

由勾股定理得，AH＝＝8，

∵点O是线段CH的中点，

∴点A的坐标为(﹣2，8)，点C的坐标为(2，0)，

∴反比例函数的解析式为：y2＝﹣，

由点A，C的坐标列方程组，

解得，，

∴一次函数解析式为y1＝﹣2x＋4；

(2)设P点坐标为(m，0)，

①当点A为等腰三角形的顶点时，PH＝CH＝4，则OP＝6，

∴P点坐标为(﹣6，0)；

②当点C为等腰三角形的顶点时，PC＝CA＝，

则OP＝＋2或﹣2，

∴P点坐标为(2﹣，0)或(＋2，0)；

③当点P为顶点时，点P为AC垂直平分线与x轴的交点，PA＝PC，

则(2﹣m)2＝(﹣2﹣m)2＋82，

解得，m＝﹣8，

∴P点坐标为(﹣8，0)．，

【点睛】本题考查了求一次函数与反比例函数的解析式及确定等腰三角形的第三个顶点的法，已知等腰三角形的两个顶点，确定第三个顶点的方法是，分别以已知的两个点为圆心，以已知线段长为半径画圆和用已知线段的垂直平分线，则等腰三角形的第三个顶点在这两个圆和这条垂直平分线上.

22. 寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用，若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元；（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋?

【22题答案】

【答案】（1）每副围棋16元，每副中国象棋10元；（2）最多可以购买25副围棋；

【解析】

【分析】（1）可设每副围棋元，每副中国象棋元，根据“若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元”可列出关于x,y的二元一次方程组，用消元法解之即可.（2）由（1）可知一副围棋和象棋的价格，可设购买围棋副，“购买围棋和中国象棋共40副”,知购买象棋副，根据“总费用不超过550元”可列出关于z的一元一次不等式组，求出z的解集，取最大值即可.

【详解】解：（1）设每副围棋元，每副中国象棋元，

根据题意得：，

∴，

∴每副围棋16元，每副中国象棋10元；

（2）设购买围棋副，则购买象棋副，

根据题意得：，

∴，

∴最多可以购买25副围棋；

【点睛】本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式的实际应用，理解题意，找准题中等量关系是解题的关键.

23. 如图，在平行四边形中，，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接.

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，，求菱形的面积.

【23题答案】

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【详解】分析：（1）由△AFD≌△BFE，推出AD=BE，可知四边形AEBD是平行四边形，再根据BD=AD可得结论；

（2）解直角三角形求出EF的长即可解决问题；

详解：（1）∵四边形平行四边形

∴，∴

∵是的中点，∴

∴在与中，

∵，∴四边形是平行四边形

∵，∴四边形是菱形

（2）∵四边形是菱形，

∴，

∴

∵

∴

∴

∵，

∴，

∴.

点睛：本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

24. 已知，如图，抛物线的顶点为，经过抛物线上的两点和的直线交抛物线的对称轴于点．

（1）求抛物线的解析式和直线的解析式．

（2）在抛物线上两点之间的部分（不包含两点），是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若点在抛物线上，点在轴上，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点的坐标．

【24题答案】

【答案】（1）抛物线的表达式为：，直线的表达式为：；（2）存在，理由见解析；点或或或．

【解析】

【分析】（1）二次函数表达式为：y=a（x-1）2+9，即可求解；
（2）S△DAC=2S△DCM，则，，即可求解；
（3）分AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．

【详解】解：（1）二次函数表达式为：，

将点A的坐标代入上式并解得：，

故抛物线的表达式为：…①，

则点，

将点的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线的表达式为：；

（2）存，理由：

二次函数对称轴为：，则点，

过点作轴的平行线交于点，

设点，点，

∵，

则，

解得：或5（舍去5），

故点；

（3）设点、点，，

①当是平行四边形的一条边时，

点向左平移4个单位向下平移16个单位得到，

同理，点向左平移4个单位向下平移16个单位为，即为点，

即：，，而，

解得：或﹣4，

故点或；

②当是平行四边形的对角线时，

由中点公式得：，，而，

解得：，

故点或；

综上，点或或或．

【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．

25. 如图1，在矩形ABCD中，P为CD边上一点（DP＜CP），∠APB=90°．将△ADP沿AP翻折得到△AD′P，PD′的延长线交边AB于点M，过点B作BN∥MP交DC于点N．

（1）求证：AD2=DP•PC；

（2）请判断四边形PMBN的形状，并说明理由；

（3）如图2，连接AC，分别交PM，PB于点E，F．若=，求的值．

【25题答案】

【答案】（1）证明见解析；（2）四边形PMBN是菱形，理由见解析；（3）

【解析】

【分析】（1）过点P作PG⊥AB于点G，易知四边形DPGA，四边形PCBG是矩形，所以AD=PG，DP=AG，GB=PC，易证△APG∽△PBG，所以PG2=AG•GB，即AD2=DP•PC；

（2）DP∥AB，所以∠DPA=∠PAM，由题意可知：∠DPA=∠APM，所以∠PAM=∠APM，由于∠APB-∠PAM=∠APB-∠APM，即∠ABP=∠MPB，从而可知PM=MB=AM，又易证四边形PMBN是平行四边形，所以四边形PMBN是菱形；

（3）由于，可设DP=k，AD=2k，由（1）可知：AG=DP=k，PG=AD=2k，从而求出GB=PC=4k，AB=AG+GB=5k，由于CP∥AB，从而可证△PCF∽△BAF，△PCE∽△MAE，从而可得，，从而可求出EF=AF-AE=AC-AC=AC，从而可得．

【详解】解：（1）过点P作PG⊥AB于点G，

∴易知四边形DPGA，四边形PCBG是矩形，

∴AD=PG，DP=AG，GB=PC

∵∠APB=90°，

∴∠APG+∠GPB=∠GPB+∠PBG=90°，

∴∠APG=∠PBG，

∴△APG∽△PBG，

∴，

∴PG2=AG•GB，

即AD2=DP•PC；

（2）∵DP∥AB，

∴∠DPA=∠PAM，

由题意可知：∠DPA=∠APM，

∴∠PAM=∠APM，

∵∠APB-∠PAM=∠APB-∠APM，

即∠ABP=∠MPB

∴AM=PM，PM=MB，

∴PM=MB，

又易证四边形PMBN是平行四边形，

∴四边形PMBN是菱形；

（3）由于，

可设DP=k，AD=2k，

由（1）可知：AG=DP=k，PG=AD=2k，

∵PG2=AG•GB，

∴4k2=k•GB，

∴GB=PC=4k，

AB=AG+GB=5k，

∵CP∥AB，

∴△PCF∽△BAF，

∴，

∴，

又易证：△PCE∽△MAE，AM=AB=,

∴

∴，

∴EF=AF-AE=AC-AC=AC，

∴.

【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．