精品解析：2020年山东省泰安市高新区中考二模数学试题（解析版+原卷板）

二〇二〇年初中学业水平考试

数学第二次模拟试题

一、选择题：

1.下列四个实数中，最小的是（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由于正数大于负数，再利用两个负数比较大小，绝对值大的反而小，可求出最小值．

【详解】由于正数大于负数，可以排除C，D，再因为 ，再根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，所以 ．

故选：B．

【点睛】本题主要考查实数大小的比较，掌握两个负数大小的比较方法是解题的关键．

2.下列运算正确的是（  ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方、同底数幂除法，分别进行判断，即可得到答案．

【详解】解：A、，故A错误；

B、，故C错误；

C、，故C正确；

D、，故D错误；

故选：C．

【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方、同底数幂除法，解题的关键是掌握运算法则进行解题．

3.在正面完全相同、反面印有下列四个图形的纸片中，任抽一张，则抽到的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由图可知既是轴对称图形，又是中心对称图形的有2个，故直接利用概率公式求解即可求得答案．

【详解】∵既是轴对称图形，又是中心对称图形的有2个，

∴任抽一张，则抽到的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是．

故选：B．

【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

4.人体内的冠状病毒最早在英国被分离出来，2013年世界卫生组织命名被发现的“中东呼吸系统综合征冠状病毒( 新型冠状病毒)”呈球形或椭圆形，一次研究发现的新型冠状病毒直径为纳米(纳米米)，那么此新型冠状病毒的直径为（  ）

A. 厘米 B. 厘米

C. 厘米 D. 厘米

【答案】D

【解析】

【分析】

先把病毒直径的单位化成厘米，然后再写成a×10n，其中1＜|a|＜10，n 为将数据化成a×10n时，小数点向右移动的位数的相反数.

【详解】解：177纳米=0.000000177米=0.0000177厘米=厘米

故答案为D．

【点睛】本题考查了科学记数法，即将原数写成a×10n，确定a和n的值是解答本题的关键．

5.一副三角板如图摆放（直角顶点重合），边与交于点，，则等于（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意知图中是一个等腰直角三角形和一个含角的直角三角形，故，，由平行线的性质可知，由三角形内角和定理可求出的度数．

【详解】解：由题意知，，

∵，

∴，

在中，

，

故选A．

【点睛】本题考查了特殊直角三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等，解题关键是要搞清楚一副三角板是指一个等腰直角三角形和一个含角的直角三角形．

6.某学校举行图书节义卖活动，将所售款项捐给其他贫困学生．某班级在这次义卖活动中，售书情况如表:

则这组数据的中位数、众数分别是（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

分析】

根据众数和中位数的定义，结合表格和选项选出正确答案即可．

【详解】一共53个数据，这组数据按照从小到大的顺序排列处在第27位的是5，则中位数为：5，

6出现的次数最多，则众数为：6．

故选：B．

【点睛】本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

7.如图，在中，以为直径的交的延长线于点交于点连接．若，则的度数为（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

分析】

连接CD，则∠BDC=90°，然后得到∠ACD=，由圆周角定理即可得到答案．

【详解】解：连接CD，如图：

∵BC是直径，

∴∠BDC=90°，

∴，

∴；

故选：A．

【点睛】本题考查了圆周角定理，以及余角的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理进行解题．

8.若不等式组有解，则的取值范围是（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据不等式的性质分别解出两个一元一次不等式的解集，然后根据不等式组有解集，把解集表示在数轴上即可得出a的取值范围．

【详解】解：不等式组

由①式得：，

由②式得：，

∵不等式组有解，把解集表示在数轴上，如图，

∴，解得：

故选：D．

【点睛】本题考查了已知不等式组解集的情况，求参数的取值范围，解题的步骤是：①分别解出两个一元一次不等式的解集，②根据不等式组有解，把解集表示在数轴上，初步得出4a要在1的右边， ③再考虑4a能否等于1的情况，得出最终a的取值范围．

9.《九章算术》中记载:“今有上禾三秉,益实六斗,当下禾十秉.下禾五秉,益实一斗,当上禾二秉.问上、下禾实一秉各几何?”其大意是:今有上等稻子三捆,若打出来的谷子再加六斗,则相当于十捆下等稻子打出来的谷子.有下等稻子五捆,若打出来的谷子再加一斗,则相当于两捆上等稻子打岀来的谷子.问上等、下等稻子每捆能打多少斗谷子?设上等稻子每捆能打x斗谷子,下等稻子每捆能打y斗谷子,根据题意,可列方程组为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意，明确等量关系，列出方程组即可.

【详解】根据“今有上等稻子三捆,若打出来的谷子再加六斗,则相当于十捆下等稻子打出来的谷子”，得，

“有下等稻子五捆,若打出来的谷子再加一斗,则相当于两捆上等稻子打岀来的谷子”，得，

∴

故选：A.

【点睛】此题主要考查二元一次方程组的实际应用，解题关键是理解题意，找出关系式.

10.已知二次函数的图象如图，则一次函数与反比例函数在平面直角坐标系中的图象可能是（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由二次函数的图像性质分析a，b，c的符号，从而判断bc和abc的符号，然后结合反比例函数和一次函数图像性质进行判断即可．

【详解】解：由题意可知，二次函数开口向上，∴a＞0

由二次函数对称轴在y轴右侧，∴b<0

由二次函数与y轴交于原点上方，∴c＞0

∴bc<0，abc<0

∴一次函数图像经过一、三、四象限，反比例函数图像经过二四象限

故选：C．

【点睛】本题考查一次函数、二次函数、反比例函数的图像性质，掌握函数图像性质，利用数形结合思想解题是关键．

11.如图，为外一点，与相切于点，点是上的一个动点，若，则的最小值为（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

连结OA交⊙O于点P，此时AP有最小值，由切线的性质可∠OBA=90°，然后根据勾股定理求得OA的长，然后运用线段的和差即可解答．

【详解】解：连结OA交⊙O于点P

∵点是上的一个动点

∴OB⊥AB

∴OA=

∴AP=OA-OP=8.

故选：B．

【点睛】本题主要考查了切线的性质以及勾股定理，正确作出辅助线、构造直角三角形是解答本题的关键．

12.如图1，有一张矩形纸片已知现将纸片进行如下操作:现将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上(如图2)；然后将纸片沿折痕进行第二次折叠，使点落在第一次的折痕上的点处，点在上(如图3)，给出四个结论：①的长为；②的周长为③；④的长为其中正确的结论有（ ）

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④

【答案】C

【解析】

【分析】

过G点作MN∥AB，交AD、BC于点M、N，可知四边形ABEF为正方形，可求得AF的长，可判断①，且△BNG和△FMG为等腰三角形，设BN=x，则可表示出GN、MG、MD，利用折叠的性质可得到CD=DG，在Rt△MDG中，利用勾股定理可求得x，再利用△MGD∽△NHG，可求得NH、GH和HC，则可求得BH，容易判断②③④，可得出答案．

【详解】解：如图，过点G作MN∥AB，分别交AD、BC于点M、N，

∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=10，BC=AD=12，
由折叠可得AB=BE，且∠A=∠ABE=∠BEF=90°，
∴四边形ABEF为正方形，
∴AF=AB=10，
故①正确；
∵MN∥AB，
∴△BNG和△FMG为等腰直角三角形，且MN=AB=10，
设BN=x，则GN=AM=x，MG=MN-GN=10-x，MD=AD-AM=12-x，
又由折叠的可知DG=DC=10，
在Rt△MDG中，由勾股定理可得MD2+MG2=GD2，
即（12-x）2+（10-x）2=102，解得x=4，
∴GN=BN=4，MG=6，MD=8，
又∠DGH=∠C=∠GMD=90°，
∴∠NGH+∠MGD=∠MGD+∠MDG=90°，
∴∠NGH=∠MDG，且∠DMG=∠GNH，
∴△MGD∽△NHG，
∴，即，
∴NH=3，GH=CH=5，
∴BH=BC-HC=12-5=7，
故④正确；
又△BNG和△FMG为等腰直角三角形，且BN=4，MG=6，
∴BG=，GF=，
∴△BGH的周长=BG+GH+BH=+5+7=12+，

∴，
故②不正确；③正确；
综上可知正确的为：①③④，
故选：C．

【点睛】本题为四边形的综合应用，涉及知识点有矩形的性质、正方形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、折叠的性质及方程思想等．过G点作AB的平行线，构造等腰直角三角形，利用方程思想在Rt△GMD中得到方程，求得BN的长度是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性质较强，难度较大．

二、填空题

13.二次函数的图像与轴有个交点，则的取值范围是_______________________．

【答案】且

【解析】

【分析】

根据抛物线与x轴的交点有两个得到△＞0，a−1≠0，然后解不等式组即可．

【详解】由题意得：，

解得：．

故答案为：且．

【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，△＝b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数；△＝b2−4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2−4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2−4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

14.将圆心角为90°，面积为4πcm2的扇形围成一个圆维的侧面，则此圆锥母线长为_____cm．

【答案】4

【解析】

【分析】

先利用扇形的面积公式计算出扇形的半径为4cm，扇形的半径就是圆锥的母线．

【详解】解：设扇形的半径为Rcm，则

=4π，

解得R=4，

即圆锥的母线长为4cm．

故答案为：4．

【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

15.如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则列出的方程组为________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据图示可得：大长方形的长可以表示为x+2y，长又是75厘米，故x+2y=75，长方形的宽可以表示为2x，或x+3y，故2x=3y+x，整理得x=3y，联立两个方程即可．

【详解】解：根据图示可得大长方形的长可以表示为x+2y，长又是75厘米，故x+2y=75，长方形的宽可以表示为2x，或x+3y，故2x=3y+x，整理得x=3y，联立两个方程得到：

，

故答案为：

【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．

16.如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面米的处，无人机测得操控者的俯角为，测得点处的俯角为．又经过人工测量操控者和教学楼距离为米，则教学楼的高度为______________________．(点都在同一平面上，结果保留根号)

【答案】米

【解析】

【分析】

作于点E，作于点F，由得米，由AB=57知米，由四边形BCEF是矩形知米，由知米，从而得到 米．

【详解】过点D作于点E，作于点F，

由题可得：

AB=57，DE=30，，，

在Rt△ADE中，，

∴，

∴，

∵AB=50，

∴，

∵四边形BCEF是矩形，

∴，

在Rt△DCF中，，

∴，

∴，

∴米．

故答案为米．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用中仰角俯角问题，根据题意构造直角三角形是解题的关键．

17.如图，已知边长为4的菱形ABCD中，AC＝BC，E，F分别为AB，AD边上的动点，满足BE＝AF，连接EF交AC于点G，CE、CF分别交BD与点M，N，给出下列结论：①∠AFC＝∠AGE；②EF＝BE+DF；③△ECF面积的最小值为3，④若AF＝2，则BM＝MN＝DN；⑤若AF＝1，则EF＝3FG；其中所有正确结论的序号是_____．

【答案】①③④

【解析】

【分析】

由“SAS”可证△BEC≌△AFC，再证△EFC是等边三角形，由外角的性质可证∠AFC=∠AGE；由点E在AB上运动，可得BE+DF≥EF；由等边三角形的性质可得△ECF面积的EC2，则当EC⊥AB时，△ECF的最小值为3；由等边三角形的性质和菱形的性质可求MN＝BD﹣BM﹣DN＝，由平行线分线段成比例可求EG=3FG，即可求解．

【详解】∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，

∵AC＝BC，

∴AB＝BC＝CD＝AD＝AC，

∴△ABC，△ACD是等边三角形，

∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝∠DAC＝60°，

∵AC＝BC，∠ABC＝∠DAC，AF＝BE，

∴△BEC≌△AFC（SAS）

∴CF＝CE，∠BCE＝∠ACF，

∴∠ECF＝∠BCA＝60°，

∴△EFC是等边三角形，

∴∠EFC＝60°，

∵∠AFC＝∠AFE+∠EFC＝60°+∠AFE，∠AGE＝∠AFE+∠CAD＝60°+∠AFE，

∴∠AFC＝∠AGE，故①正确；

∵BE+DF＝AF+DF＝AD，EF＝CF≤AC，

∴BE+DF≥EF（当点E与点B重合时，BE+DF＝EF），

故②不正确；

∵△ECF是等边三角形，

∴△ECF面积的EC2，

∴当EC⊥AB时，△ECF面积有最小值，

此时，EC＝2，△ECF面积的最小值为3，故③正确；

如图，设AC与BD的交点为O，

若AF＝2，则FD＝BE＝AE＝2，

∴点E为AB中点，点F为AD中点，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，∠ABO＝∠ABC＝30°，

∴AO＝AB＝2，BO＝AO＝2，

∴BD＝4，

∵△ABC是等边三角形，BE＝AE＝2，

∴CE⊥AB，且∠ABO＝30°，

∴BE＝EM＝2，BM＝2EM，

∴BM＝，

同理可得DN＝，

∴MN＝BD﹣BM﹣DN＝，

∴BM＝MN＝DN，故④正确；

如图，过点E作EH∥AD，交AC于H，

∵AF＝BE＝1，

∴AE＝3，

∵EH∥AD∥BC，

∴∠AEH＝∠ABC＝60°，∠AHE＝∠ACB＝60°，

∴△AEH是等边三角形，

∴EH＝AE＝3，

∵AD∥EH，

∴，

∴EG＝3FG，故⑤错误，

故答案为：①③④

【点睛】本题是四边形综合题，考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加辅助线是解题的关键．

18.在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是:从原点出发，按“向上向右向下向右”的方向依次不断移动，每次移动个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点第二次移动到点…．第次移动到点则点的坐标是____________________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据、、都在x轴上，得出也在x轴上，再根据、、的坐标规律，即可得出答案．

【详解】由图可知，、、都在x轴上，小蚂蚁每次移动一个单位，

=(2，0)，=(4，0)，=(6，0)，= (2n，0)

2020÷4=505，所以=(5022，0)= (1010，0)，

故本题答案为(1010，0)．

【点睛】本题主要考查的是平面直角坐标系中确定点的坐标和点的坐标的规律性，对点的变化规律的考查．

三、解答题

19.先化简，再从中选取一个你喜爱的值代入求值．

【答案】，1

【解析】

【分析】

先将除法转化为乘法，将括号里的式子通分，再分解因式后进行约分，然后将数值代入求值，要注意，所取值不能使每一步的分母为0．

【详解】解：原式

；

∵，，

∴，，

当时，

原式．

【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法，并注意正确将分子和分母进行因式分解．

20.某汽车销售公司一位销售经理1~5月份的汽车销售统计图如下(两幅统计图均不完整)；

请根据图中信息，解答下列问题:

（1）若1月的销售量是2月的销售量的倍，补全图1中销售量折线统计图；

（2）在图2中，2月的销售量所对应的扇形的圆心角大小为 ；

（3）据此估算本年度汽车销售的总量是多少？

（4）已知5月份销售的车中有辆国产车和辆合资车，国产车分别用表示，合资车分别用表示，现从这辆车中随机抽取两辆车参加公司的回馈活动，请用画树状图或列表法，求出“抽到的两辆车都是国产车”的概率．

【答案】（1）详见解析；（2）36；（3）48；（4）

【解析】

【分析】

（1）先求出1~5月份的汽车销售总量，再设2月的销售量为x，根据题意得到方程故可求解；

（2）先求出2月的销售量占1~5月份的汽车销售总量的百分比，再乘以360°即可求解；

（3）求出1~5月份的汽车销售平均值，再乘以12即可求解；

（4）根据题意画出树状图，再根据概率公式即可求解．

【详解】（1）由统计图可得3月份的销售量为2辆，占比为10%，

故1~5月份的汽车销售总量为2÷10%=20辆，

设2月的销售量为x辆，则1月的销售量3.5x辆，

则3.5x+x+2+5+4=20，

解得x=2，

经检验，符合题意，

故1月的销售量7辆，2月的销售量为2辆，

补全图1中销售量折线统计图如下：

（2）2月的销售量所对应的扇形的圆心角大小为2÷20×360°=36°；

（3）1~5月份的汽车销售平均值为（辆），

∴估算本年度汽车销售的总量是4×12=48辆；

（4）依题意画树状图如下：

故P（抽到的两辆车都是国产车）=．

【点睛】本题考查的是折线统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．

21.如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线y＝mx交于点C，直线l：y＝4分别交两函数图象于点A（1，4）和点B，过点B作BD⊥l交反比例函数图象于点 D．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）当BD＝2AB时，求点B的坐标；

（3）在（2）的条件下，直接写出不等式＞mx的解集．

【答案】（1）反比例函数的解析式为y＝．（2）B（2，4）．（3）0＜x＜．

【解析】

【分析】

（1）利用待定系数法即可解决问题．

（2）设B（n，4），则D（n，），根据BD＝2AB，构建方程即可解决问题．

（3）求出直线l与反比例函数的图象的交点C，利用图象法即可解决问题．

【详解】解：（1）∵A（1，4）在y＝上，

∴4＝，

∴k＝4，

∴反比例函数的解析式为y＝．

（2）设B（n，4），则D（n，），

∵BD＝2AB，

∴4﹣＝2（n﹣1），

整理得：n2﹣3n+2＝0，

解得n＝1（舍弃）或2，

经检验，n=2是所列方程的解，

∴B（2，4）．

（3）∵B（2，4），

∴4＝2m，

∴m＝2，

∴直线l的解析式为y＝2x，

由，解得或（舍弃），

∴C（，2），

观察图象可知：不等式＞mx的解集为0＜x＜．

【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了一次函数的性质，反比例函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．

22.探究:如图，在中，延长至点延长至点使，连结，求证：．

应用:如图在菱形中，延长至点延长至点使连结，延长交于点求的度数．

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

【分析】

探究：先判断出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得BC=AC，∠ACB=∠ABC，再求出CE=BD，然后利用“边角边”证明即可；

应用：连接AC，易知△ABC是等边三角形，由探究可知△ACE和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠E=∠D，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CGE=∠ABC即可．

【详解】探究：(1)

为等边三角形

即

在和中

应用：连接

四边形为菱形

又

由得

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，熟记性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键，（2）作辅助线构造出探究的条件是解题的关键．

23.在防疫新冠状病毒期间，市民对医用口罩的需求越来越大．某药店第一次用元购进医用口罩若干个，第二次又用元购进该款口罩，但第二次每个口罩的进价是第一次进价的倍，购进的数量比第一次少个．

（1）求第一次和第二次分别购进的医用口罩数量为多少个？

（2）药店第一次购进口罩后，先以每个元的价格出售，卖出了个后购进第二批同款口罩，由于进价提高了，药店将口罩的售价也提升至每个元继续销售卖出了个后，因当地医院医疗物资紧缺，将其已获得口罩销售收入元和剩余全部的口罩捐赠给了医院．求药店捐赠口罩至少有多少个？

【答案】（1）第一次购进个，第二次购进个；（2）药庄捐赠口罩个；

【解析】

分析】

（1）设第一次购进医用口罩的数量为x个，根据题意给出的等量关系即可求出答案．

（2）由（1）可知两次购进口罩共1800个，由题意可知：4a+4.5b=6400，所以，根据条件可求出b的最小值，从而可求出药店捐赠的口罩至少有多少个．

【详解】解:设第一次购进口罩的数量为个，则第二次购进个

根据题意得:

得

经检验是原方程解并符合题意

个

答:第一次购进个，第二次购进个

由知两次购进口罩个

由题意得

得

设捐赠口罩个

则

随的增大而增大

又为的倍数

当时，取最小值

答：药庄捐赠口罩个

【点睛】本题考查一次函数的应用，中间需要结合分式方程和二元一次方程来求解，解题的关键是正确找出等量关系，本题属于中等题型．

24.如图①抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．

（1）试求抛物线的解析式；

（2）点D（3，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．

【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）存在．P（﹣，）．（3）    

【解析】

【分析】

（1）将A,B,C三点代入y＝ax2+bx+4求出a,b,c值，即可确定表达式；

（2）在y轴上取点G，使CG＝CD＝3，构建△DCB≌△GCB，求直线BG的解析式，再求直线BG与抛物线交点坐标即为P点，

（3）根据平行四边形的对边平行且相等，利用平移的性质列出方程求解，分情况讨论.

【详解】解：如图：

（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．

∴ 解得

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4．

（2）存在．理由如下：

y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+．

∵点D（3，m）在第一象限的抛物线上，

∴m＝4，∴D（3，4），∵C（0，4）

∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝45°．

连接CD，∴CD∥x轴，

∴∠DCB＝∠OBC＝45°，

∴∠DCB＝∠OCB，

在y轴上取点G，使CG＝CD＝3，

再延长BG交抛物线于点P，在△DCB和△GCB中，CB＝CB，∠DCB＝∠OCB，CG＝CD，

∴△DCB≌△GCB（SAS）

∴∠DBC＝∠GBC．

设直线BP解析式为yBP＝kx+b（k≠0），把G（0，1），B（4，0）代入，得

k＝﹣，b＝1，

∴BP解析式为yBP＝﹣x+1．

yBP＝﹣x+1，y＝﹣x2+3x+4

当y＝yBP 时，﹣x+1＝﹣x2+3x+4，   

解得x1＝﹣，x2＝4（舍去），

∴y＝，∴P（﹣，）．

（3）     理由如下，如图

B(4，0),C(0，4) ，抛物线对称轴为直线，

设N(，n)，M(m, ﹣m2+3m+4)

第一种情况：当MN与BC对边关系时，MN∥BC,MN=BC,

∴4-=0-m，∴m=

∴﹣m2+3m+4=,

∴；

或∴0-=4-m，

∴m=

∴﹣m2+3m+4=,

∴；

第二种情况：当MN与BC为对角线关系，MN与BC交点为K,则K(2,2)，

∴

∴m=

∴﹣m2+3m+4=

∴

综上所述，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为     .

【点睛】本题考查二次函数与图形的综合应用，涉及待定系数法，函数图象交点坐标问题，平行四边形的性质，方程思想及分类讨论思想是解答此题的关键.

25.如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点N在CD边的延长线上，且满足∠MAN＝90°，联结MN、AC，MN与边AD交于点E．

（1）求证：AM＝AN；

（2）如果∠CAD＝2∠NAD，求证：AM2＝AC•AE；

（3）MN和AC相交于O点，若BM＝1，AB＝3，试猜想线段OM，ON的数量关系并证明．

【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）ON＝2OM，理由见详解

【解析】

【分析】

（1）由正方形的性质可得AB＝AD，由“ASA”可证△ABM≌△ADN，可得AM＝AN；

（2）由题意可得∠CAM＝∠NAD＝22.5°，∠ACB＝∠MNA＝45°，即可证△AMC∽△AEN，即可证AM2＝AE•AC；

（3）先求出AM，进而求出MF＝NF＝BF＝，再判断出△ABM∽△AFO，进而求出FO，即可得出结论．

【详解】证明（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠CAD＝45°＝∠ACB，∠BAD＝90°＝∠CDA＝∠B，

∴∠BAM+∠MAD＝90°，

∵∠MAN＝90°，

∴∠MAD+∠DAN＝90°，

∴∠BAM＝∠DAN，

∵AD＝AB，∠ABC＝∠ADN＝90°，

∴△ABM≌△ADN（ASA）

∴AM＝AN；

（2）∵AM＝AN，∠MAN＝90°

∴∠MNA＝45°，

∵∠CAD＝2∠NAD＝45°，

∴∠NAD＝22.5°

∴∠CAM＝∠MAN﹣∠CAD﹣∠NAD＝22.5°

∴∠CAM＝∠NAD，∠ACB＝∠MNA＝45°，

∴△AMC∽△AEN，

∴，

∴AM•AN＝AC•AE，

∵AN＝AM，

∴AM2＝AC•AE；

（3）ON＝2OM，理由：如图，

在Rt△ABM中，AM＝1，AB＝3，

根据勾股定理得，BM＝＝，

过点B作BF⊥MN于F，

∴∠OFB＝∠A＝90°，

由（1）知，AM＝AN，

∵∠MBN＝90°，

∴FB＝NF＝MF＝＝，∠MBF＝45°，

∵AC是正方形ABCD的对角线，

∴∠ABC＝45°＝∠MBF，

∴∠ABM＝∠FBO，

∴△ABM∽△FBO，

∴，

∴，

∴FO＝，

∴OM＝MF﹣FO＝，ON＝NF+FO＝，

∴ON＝2OM．

【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△ABM∽△FBO是解本题的关键．