鲁教版 (五四制)八年级下册3 正方形的性质与判定复习练习题

这是一份鲁教版 (五四制)八年级下册3 正方形的性质与判定复习练习题，共12页。
知识能力全练
知识点一 正方形的定义
1.在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，若要使该四边形是正方形，则添加的一个条件可以是（ ）
A.∠D＝90° B.AB＝CD C.AD＝BC D.BC＝CD
知识点二 正方形的性质
2.如图所示，正方形ABCD中，P，Q分别为BC，CD的中点，则∠CPQ的度数为（ ）
A.50° B.60° C.45° D.70°
3.如图所示，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线1，2，3，4上，已知1与2之间的距离为3，2与3之间的距离为2，则正方形ABCD的面积为（ ）
A.16 B.25 C.28 D.34
4.如图所示，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的动点，且BE＝CF，连接BF，DE，则BF＋DE的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5.如图所示，E是正方形ABCD的边CD上一点，且△ABE的面积为4.5，DE＝1，则线段BE的长度为_______________.
6.如图所示，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°，BE＝3，CF＝4，则正方形ABCD的边长为_____________.
7.如图所示，在正方形ABCD内有一点P满足AP＝AB，PB＝PC.连接AC，PD.
（1）求证:△APB≌△DPC；
（2）求∠PAC的度数.
8.如图所示，E是正方形ABCD外一点，F是线段AE上一点，且△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF＝90°，连接CE，CF.
（1）求证:△ABF≌△CBE；
（2）判断CE与EF的位置关系，并说明理由.
知识点三 正方形的判定
9.在四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，下列条件中，能判定四边形ABCD为正方形的是（ ）
A.AD∥BC，∠B＝∠D B.AC＝BD， AB＝CD，AD＝BC
C.OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC D.OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD
10.已知四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，所分得的△AOB，△BOC，△COD，
△AOD为四个全等的等腰直角三角形，则四边形ABCD的形状为_______________.
11.如图所示，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△BAD和△ACD的高，得到下列四个结论:①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE＋DF＝AF＋DE其中正确的是_______________（填序号）.
12.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，过点B作BF∥EC，交AD的延长线于点F，连接B，CF.
（1）求证:△BDF≌△CDE；
（2）若DE＝BC，求证:四边形BECF是正方形.
巩固提高全练
13.如图所示，将长方形ABCD纸片折叠，使A点落在BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分ABFE是一个正方形，其数学原理是（ ）
A.邻边相等的矩形是正方形 B.对角线相等的菱形是正方形
C.两个全等的直角三角形构成正方形 D.轴对称图形是正方形
14.如图所示，正方形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，连接DE，BF，CE，AF，若正方形ABCD的面积为1，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
15.如图所示，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，连接DE与AC，交于一点F，连接BF，则∠BFC＝_____________.
16.如图所示，在正方形ABCD的外侧，作两个等腰三角形ADE和DCF，连接BE，AF.
（1）若EA＝ED＝FD＝FC，请判断BE和AF的关系，并给予证明；
（2）若三角形ADE和三角形DCF为一般三角形，且AE＝DF，ED＝FC，请在备用图上画出图形，并直接写出BE和AF的关系，不用证明.
17.如图所示，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为M和N，PE⊥PB，交AD于点E.
（1）求证:四边形MANP是正方形；
（2）求证:EM＝BN.
18.已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（ ）
A.OA＝OC，OB＝OD
B.当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形
C.当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形
D.当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
19.下列是关于某个四边形的三个结论:①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形.下列推理过程正确的是（ ）
A.由②推出③，由③推出① B.由①推出②，由②推出③
C.由③推出①，由①推出② D.由①推出③，由③推出②
20.如图所示，点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则下列说法中正确的个数是（ ）
①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形；
②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；
③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；
④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等.
A.1 B.2 C.3 D.4
21.如图所示，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为____________.
22.如图所示，正方形 ABCD，G是BC边上意一点（不与B，C重合），DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F.
求证：AF－BF＝EF.
23.如图所示，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF＝90°，FG⊥AD，垂足为点G.试判断AG与FG是否相等，并给出证明.
24.如图所示，正方形ABCD的边长为1，顺次连接正方形ABCD四边的中点得到第一个正方形A1B1C1D1，又顺次连接正方形A1B1C1D1四边的中点得到第二个正方形A2B2C2D2，……，以此类推，第四个正方形A4B4C4D4的面积为__________，周长为__________.
25.如图所示，已知四边形ABCD为正方形，AB＝2，E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.
（1）求证:矩形DEFG是正方形；
（2）探究:CE＋CG的值是不是定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.
参考答案
1.D 2.C 3.D 4.D
5.答案
解析：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝AD＝BC，∠C＝90°，
∵S正方形ABCD＝2S△ABE＝2×4.5＝9，∴AB＝CD＝BC＝3.又∵DE＝1，∴EC＝2.
在Rt△BCE中，∠C＝90°，BC＝3，EC＝2，∴BE＝＝＝.
6.答案 6
解析：如图，延长CB至点G，使BG＝DF，连接AG，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ABC＝∠C＝∠D＝90°，AB＝AD，
∴∠ABG＝∠D＝90°. 在△ABG和△ADF中，∴△ABG≌△ADF（SAS）.
∴AG＝AF，∠GAB＝∠DAF.∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE＋∠DAF＝∠BAE＋∠GAB＝∠EAG＝45°，∴∠EAF＝∠EAG.
在△AEG和△AEF中，∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EG＝EF.
设正方形ABCD的边长为x，则DF＝x-4，EC＝x-3，EF＝EG＝BG＋BE＝DF＋BE＝x-4＋3＝x-1.
在Rt△EFC中，EF2＝EC2＋CF2，即（x-1）2＝（x-3）2＋42，解得x＝6，
∴正方形ABCD的边长为6.故答案为6.
7.解析（1）证明:∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠DCB＝90°，
∵PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB，∴∠ABC-∠PBC＝∠DCB-∠PCB，即∠ABP＝∠DCP.
又∵AB＝DC，PB＝PC，∴△APB≌△DPC（SAS）
（2）四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠DAC＝45°，∵△APB≌△DPC，∴AP＝DP.
又∵AP＝AB＝AD，∴DP＝AP＝AD，∴△APD是等边三角形，
∴∠DAP＝60°，∴∠PAC＝∠DAP-∠DAC＝15°.
8.解析：（1）证明:∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠ABF＋∠FBC＝90°.∵△FBE是等腰直角三角形，∠EBF＝90°，
∴BF＝BE，∠CBE＋∠FBC＝90°，∴∠ABF＝∠CBE.
在△ABF和△CBE中，∴△ABF≌△CBE（SAS）.
（2）CE与EF的位置关系是互相垂直.
理由:由（1）知，△ABF≌△CBE，则∠FAB＝∠ECB.
∵∠AGB＝∠GCF＋∠GFC，∠AGB＋∠FAB＝90°，
∴∠GCF＋∠GFC＋∠FAB＝90°，∴∠GCF＋∠GFC＋∠ECB＝90°，
∴∠FEC＝90°，即CE⊥EF.
9.D 对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故选D
10.答案 正方形
解析：△AOB，△BOC，△COD，△AOD为全等的等腰三角形，∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵△AOB，△BOC，△COD，△AOD均为等腰直角三角形，∴AC⊥BD，∠ABO＝∠CBO＝45°，
∴平行四边形ABCD为菱形，
∵∠ABO＝∠CBO＝45°，∴∠ABC＝90°，∴菱形ABCD为正方形.
11.答案 ②③④
解析：如果OA＝OD，那么四边形AEDF是矩形，而题干中未给出条件∠BAC＝90°，不符合题意，故①错误；
∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠FAD，
在△AED和△AFD中，∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，DE＝DF，∴AE＋DF＝AF＋DE，故④正确；
∵在△AEO和△AFO中，∴△AEO≌△AFO（SAS），∴EO＝FO.
又:AE＝AF，∴AO垂直平分EF，∴AD⊥EF，故②正确；
∵当∠BAC＝90°时，四边形AEDF有三个角都是直角，∴四边形AEDF是矩形，
又∵DE＝DF，∴矩形AEDF是正方形，故③正确.故答案为②③④.
12.证明：（1）∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD.
∵BF∥EC，∴∠DBF＝∠DCE.
又∵∠BDF＝∠CDE，∴△BDF≌△CDE（ASA）.
（2）∵△BDF≌△CDE，∴BF＝CE，DF＝DE.
∵BF∥CE，∴四边形BECF是平行四边形.
∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴平行四边形BECF是菱形.
∵DE＝BC，DE＝DF＝EF，∴EF＝BC，∴菱形BECF是正方形.
13.A 14.C
15.答案 60
解析：四边形ABCD是正方形，∴DC＝BC，∠DCF＝∠BCF＝45°，又CF＝CF，
∴△DCF≌△BCF（SA），∴∠CDF＝∠CBF，△ABE是等边角形，
∴AE＝AB，∠BAE＝60°，又AB＝AD，∴AD＝AE，且∠DAE＝90°＋60°＝150°，
∴，∠ADE＝（180°-150°）÷2＝15°.∴∠CDF＝∠CBF＝90°＝15＝75°.
∴∠BFC＝180°－∠BCF－∠CBF＝180－45－75＝0°.
16.解析：（1）BE＝AF且BE⊥AF，证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝∠CDA＝90°.
∵EA＝ED＝FD＝FC，∴∠EAD＝∠FDC，∴∠EAB＝∠FDA.
在△EAB和△FDA中，∴△EAB≌△FDA（SAS），
∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF.
∵∠DAF＋∠BAF＝90°，∴∠ABE＋∠BAF＝90°，∴BE⊥AF.
综上所述，BE＝AF且BE⊥AF.
（2）如图，BE＝AF且BE⊥AF.
17.证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，AC平分∠DAB.
∵PM⊥AD，PN⊥AB，∴∠PMA＝∠PNA＝90°，∴四边形MANP是矩形.
∵AC平分∠DAB，PM⊥AD，PN⊥AB，∴ PM＝PN，∴矩形MANP是正方形.
（2）由（1）知四边形MANP是正方形，PM＝PN，∴∠MPN＝90°，∵∠EPB＝90°，
∴∠MPE＋∠EPN＝∠NPB＋∠EPN＝90°，∴∠MPE＝∠NPB.
在△EPM和△BPN中，∴△EPM≌△BPN（ASA），
∴EM＝BN.
18.B 19. 20.A
21.答案 135°
解析：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∴∠2＋∠BCP＝45°，
∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠BCP＝45°，∴∠BPC＝180°-∠1-∠BCP＝135°.
22.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAF＋∠DAE＝90°，
∵DE⊥AG，∴∠DAE＋∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠BAF，
又∵BF∥DE，∴∠BFA＝∠AED＝90°，∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF＝AE，∴AF-BF＝AF-AE＝EF.
23.解析：AG＝FG
证明:如图，过点F作FM⊥AB，交BA的延长线于点M.
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝∠BAD＝90°.
∵FM⊥AB，∠MAD＝90°，FG⊥AD∴四边形AGFM是矩形，∴AG＝MF，AM＝FG.
∵∠CEF＝90°，∠B＝90°，∴∠FEM＋∠BEC＝90°，∠BEC＋∠BCE＝90°，
∴∠FEM＝∠BCE.
∵△EFC是等腰直角三角形，∠CEF＝90°，∴EF＝EC，又∵∠M＝∠B＝90°，
∴△EFM≌△CEB（AAS），∴MF＝BE，ME＝BC，∴ME＝AB，∴MA＝BE，∴AG＝FG.
24答案 ；1
解析：顺次连接正方形ABCD四边的中点得到正方形A1B1C1D1，则正方形A1B1C1D1的面积是正方形ABCD面积的一半，周长是正方形ABCD周长的；
顺次连接正方形A1B1C1D1四边的中点得到正方形A2B2C2D2，则正方形A2B2C2D2的面积是正方形A1B1C1D1面积的一半，周长是正方形A1B1C1D1周长的；
……
顺次连接正方形A3B3C3D3四边的中点得到正方形A4B4C4D4，则正方形A4B4C4D4的面积为正方形A3B3C3D3面积的一半，周长是正方形A3B3C3D3周长的.
由题意知正方形ABCD的面积为1，周长为4，∴正方形A4B4C4D4的面积为，周长为.
25.解析：（1）证明:过点E作EM⊥BC于点M，过E作EN⊥CD于点N，
如图所示:
∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∴EM＝EN.
∵四边形DEFG是矩形，∴∠DEN＋∠NEF＝∠MEF＋∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形.
（2）CE＋CG的值为定值
由（1）知矩形DEFG为正方形∴DE＝DG，∠EDC＋∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADE＋∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中， ∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，∴AC＝AE＋CE＝CG＋CE＝AB＝×2＝4.
∴CE＋CG＝4是定值.