鲁教版 (五四制)八年级下册2 矩形的性质与判定精练

第六章  特殊的平行四边形

2  矩形的性质与判定

知识能力全练

知识点一  矩形的定义

1.如图所示，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，可以添加的条件是（    ）

 A.AB＝CD       B.AD＝BC       C.∠AOB＝45°      D.∠ABC＝90°

知识点二  矩形的性质

2矩形不具备的性质是（    ）

A.是轴对称图形            B.是中心对称图形

C.对角线相等              D.对角线互相垂直

3.如图所示，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，BD＝12，则EF的长为（    ）

A.6       B.5       C.4       D.3

4.如图所示，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，若△ABO为等边三角形，且边长为1，则矩形ABCD的面积为（   ）

A.1        B.        C.2        D.3

5.如图所示，在矩形ABCD上放置了一个直角三角形EFG，点E在BC上，点F在AD上，FA平分∠EFG，H为EG与AD的交点，若∠CEF＝35°，则∠EHF的度数为（    ）

A.55°       B.125°       C.130°       D.135°

6.如图所示，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AB＝4，BC＝3，则四边形CODE的周长是（    ）

A.5       B.8        C.10        D.12

7.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，E为边BC上一点，CE＝1，连接AE，DE，沿线段DE折叠△DCE，点C恰好落在AE上的点F处，则线段AF的长为（    ）

A.2         B.4        C.6        D.8

8.如图所示，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，ED＝5，EC＝3，则矩形ABCD的周长为______________.

9.如图所示，在矩形ABCD中，点E，F在BC上，且BF ＝CE.

求证:AE＝DF.

10.如图所示，矩形EFGH的顶点E，G分别在平行四边形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在平行四边形ABCD的对角线BD上.

（1）求证:BG＝DE；

（2）若E为AD的中点，AB＝，求线段FH的长.

知识点三  直角三角形斜边上的中线的性质

11.如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，P是BD的中点，若AD＝6，则CP的长为（    ）

A.3       B.3.5         C.4         D.4.5

12.如图所示，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，E是DC边的中点，连接OE，OE＝5，BD＝12，则菱形ABCD的面积为（    ）

A.96          B.48          C.192         D.24

13.如图所示，四边形ABCD是矩形，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E.过点D

作DH⊥BE于点H，G为AC中点，连接GH.

（1）求证:BE＝AC；

（2）判断GH与BE的数量关系并证明.

14.如图所示，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定四边形ABCD是矩形的是（    ）

A.AD＝BC， AC＝BD            B.AC＝BD，∠BAD＝∠BCD

C.AO＝CO，AB＝BC             D.AO＝OB，AC＝BD

15.如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，O为AC的中点，连接BO并延长到点D，连接AD，CD添加一个条件：______________，使四边形ABCD是矩形（只填一个即可）.

16.如图所示，将平行四边形ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE，交BC边于点F.

（1）求证:△BEF≌△CDF；

（2）连接BD，CE，请探究:当∠BFD与∠A之间满足怎样的数量关系时，能使四边形BECD成为矩形？为什么？

17.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E，P分别在AD，BC上，且DE＝BP＝1.

（1）判断△BEC的形状，并说明理由；

（2）连接AP交BE于点H，连接CE交PD于点F.判断四边形EFPH是什么特殊四边形，并证明你的结论.

18.如图所示，在平行四边形ABCD中，E，G分别是AB，CD的中点，H，F为平行四边形ABCD内的点，且AH＝CF，AH∥CF.

（1）求证:△AEH≌△CGF；

（2）连接FH，若FH＝AD，求证:四边形EFGH是矩形.

巩固提高全练

19.下列命题中正确的是（     ）

A.对角线相等的四边形是矩形            B.对角线互相垂直的四边形是矩形

C.对角线相等的平行四边形是矩形        D.对角线互相垂直的平行四边形是矩形

20.如图所示，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，∠ADE＝∠CDE，那么∠BDC等于（   ）

A.60°       B.45°        C.30°          D.22.5°

21.平行四边形ABCD中，AB＝1，BC＝，AC＝2，则连接四边形ABCD四边中点所成的四边形是（     ）

A.平行四边形       B.菱形       C.矩形       D.正方形

22.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形ABCD沿AC折叠，点B落在点B′处，AB′与CD交于点F，则重叠部分△AFC的面积为（    ）

A.12         B.10          C.8        D.6

23.如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝4，BC＝7，则EF的长为_____________.

24.如图所示，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，DE⊥AC于点E，则 AE＝______________.

25.如图所示，在矩形ABCD中，BC＝40cm，点P和点Q分别从点B和点D同时出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3 cm/s和1cm/s，则最快________s后，四边形ABPQ成为矩形.

26.如图所示，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则线段EF长度的最小值是____________.

27.如图所示，四边形ABCD的对角线AC⊥BD，垂足为O，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.求证:四边形EFGH是矩形.

28.如图所示，在△ABC中，CE，CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE于点E，AF⊥CF于点F，直线EF分别交AB，AC于M，N.

（1）求证:四边形AECF为矩形；

（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；

（3）如果四边形AECF是菱形，试判断△ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由.

29.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为△ABC的中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE的中点，连接BF.若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（     ）

A.2         B.2.5         C.3        D.4

30.如图所示，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM.则下列结论:①DN＝BM；②EM∥FN；③AE＝FC；④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形其中，正确结论的个数是（     ）

A.1        B.2        C.3         D.4

31.如图，矩形纸片ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，E为边CD上一点将△BCE沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的中点N，连接MN，则MN＝__________ cm.

32.如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F，连接BF，AC.若AD＝AF，求证:四边形ABFC是矩形.

33.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF.

（1）求证:四边形OEFG是矩形；

（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长.

34.如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙均从点A（2，0）同时出发，沿矩形BCDE的边做环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位长度/秒的速度匀速运动，则两个物

体出发后的第2021次相遇地点的坐标是（    ）

A.（2，0）        B.（-1，1）         C.（-2，1）        D.（-1，-1）

35.如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，P是BC的延长线上一点，PE⊥AB交BA的延长线于点E，PF⊥AC交AC的延长线于点F，D为BC的中点，连接DE，DF.

求证:DE＝DF.

参考答案

1.D      2.D     3.A     4.B      5.B      6.C     7.B

8.答案  22

解析  ∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC.

∵ED＝5，EC＝3，∴DC2＝ED2-EC2＝25-9＝16，∴DC＝4（负值舍去），∴AB＝4.

∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE.∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，

∴BE＝AB＝4，∴BC＝BE＋EC＝7，∴矩形ABCD的周长＝2×（4＋7）＝22.

9.证明  ∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝DC.

∵BF＝CE，∴BF＋EF＝CE＋EF，即BE＝CF.

在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴AE＝DF.

10.解析   （1）证明:四边形EFGH是矩形，∴HE＝FG，HE∥FG，

∴∠GFH＝∠EHF.∵∠BFG＝180°-∠GFH，∠DHE＝180°-∠EHF，∴∠BFG＝∠DHE.

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠GBF＝∠EDH.

在△BGF和△DEH中，∴△BGF≌△DEH（AAS），∴BG＝DE.

（2）连接EG，如图，

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC.

∵E为AD的中点，∴AE＝DE.∵BG＝DE，∴AE＝BG.

∵AE∥BG，∴四边形ABGE是平行四边形，∴AB＝EG.

∵AB＝，∴EG＝.∵四边形EFGH是矩形，∴EG＝FH，∴FH＝.

11.A      12.A

13.解析  （1）证明:四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，即AB∥CE.

又∵AC∥BE，∴四边形ABEC是平行四边形，∴BE＝AC.

（2）GH＝BE.

证明:连接BD，如图，

∵四边形ABCD是矩形，G为AC的中点，∴AC＝BD，G为BD的中点.

∵DH⊥BE，即∠DHB＝90°，∴GH＝BD，

∵AC＝BD，AC＝BE，GH＝BE.

14.B

15.答案   BO＝DO（答案不唯一）

解析答案不唯一，如添加BO＝DO.

理由:∵O为AC的中点，∴AO＝CO，又∵BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC＝90°，平行四边形ABCD是矩形.

16.解析  （1）证明:四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD.∵BE＝AB，∴BE＝CD.

∵AB∥CD，∴∠BEF＝∠CDF，∠EBF＝∠DCF

在ABEF与ACDF中， ∴△BEF≌△CDF（ASA）.

（2）当∠BFD＝2∠A时，能使四边形BECD成为矩形.

理由:由（1）知BE＝CD，又BE//CD，∴四边形BECD是平行四边形，∴BF＝CF，EF＝DF.

易知∠A＝∠DCF，∵∠BFD＝2∠A，∴∠BFD＝2∠DCF，∴∠DCF＝∠FDC，

∴DF＝CF.∴DE＝BC，∴平行四边形BECD是矩形.

17.解析 （1） △BEC是直角三角形.

理由:.四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝ ∠BAE＝90°，AD＝BC＝5，AB＝CD＝2，∴AE＝4，由勾股定理得，CE²＝CD²＋DE²＝2²＋1²＝5，BE²＝AB²＋AE²＝2²＋4²＝20，

∴CE²＋BE²＝5＋20＝25.∵BC²＝5²＝25，∴BE2＋CE2＝BC2， ∴△BEC是直角三角形.

（2）四边形EFPH为矩形.

证明:∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD// BC.

∵DE＝BP，∴四边形DEBP是平行四边形，∴BE// DP.

同理，四边形AECP是平行四边形，∴AP//CE，∴四边形EFPH是平行四边形.

又∵∠BEC＝90°，∴平行四边形EFPH是矩形.

18.证明 （1）延长AH交CD于点P，延长CF交AB于Q，如图所示.

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD， AB＝CD.∴AQ// CP.

又∵AH//CF，∴四边形APCQ是平行四边形，∴∠HAE＝∠FCG.

∵E，G分别是AB，CD的中点，∴AE=AB，CG=CD，∴AE＝CG.

在△AHE和△CFG中，∴△AHE≌△CFG（ SAS）.

（2）连接EC，∵AH//CF，∴∠AHF＝∠HFC.

∵△AEH≌△CGF，∴∠AHE＝∠CFG，HE＝FG，∴∠AHF-∠AHE＝∠HFC-∠CFG，即∠EHF＝∠GFH，∴HE//FG，∴四边形EFGH是平行四边形，易得，AE＝DG，AE// DG，

∴四边形ADGE是平行四边形，∴AD＝EC.又∵FH＝AD，∴EG＝FH，

∴平行四边形EFGH是矩形.

19.C       20.C       21.B     22.B

23.答案1.5

解析  ∵DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝3.5，∵∠AFB＝90°，D为AB的中点，

∴DF＝AB＝2，∴EF＝DE-DF＝1.5.故答案为1.5.

24.答案 

解析  ∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC＝90°，AD＝BC＝3，CD＝AB＝4，在Rt△ADC中，AC＝＝5，∵DE·AC＝AD·CD，∴DE＝，在Rt△ADE中，AE＝＝.故答案为.

25.答案  10

解析  四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC＝40cm，

设最快xs后，四边形ABPQ成为矩形，此时AQ＝BP，即40-x＝3x，∴x＝10.

26.答案 

解析  连接PC，如图，

∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC的长度最小时，EF的长度也最小，易知当PC⊥AB时，PC的长度最小.∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝5，当PC⊥AB时，AC·BC＝AB·PC，∴PC＝，

∴线段EF长度的最小值为.故答案为.

27.证明  ∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，∴FG是△BCD的中位线，EF，HG分别是△ABC，△ACD的中位线，∴FG∥BD，EF∥AC，GH∥AC且EF＝AC，GH＝AC，

∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形，又∵AC⊥BD，EF⊥FG，

∴平行四边形EFGH是矩形.

28.解析  （1）证明:AE⊥CE，AF⊥CF，∴∠AEC＝∠AFC＝90°.

又∵CE，CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，∴∠BCE＝∠ACE，∠ACF＝∠DCF，

∴∠ECF＝∠ACE＋∠ACF＝（∠BCE＋∠ACE＋∠ACF＋∠DCF）＝×180°＝90°，

∴∠AEC＝∠AFC＝∠ECF＝90°，∴四边形AECF为矩形.

（2）猜想:MN∥BC且MN＝BC.

证明:四边形AECF为矩形，∴AC＝EF，且AC与EF互相平分，∴NE＝NC，

∴∠NEC＝∠ACE＝∠BCE，MN∥BC.∵AN＝CN，∴N是AC的中点∴M是AB的中点，

∴MN∥BC，MN＝BC.

（3）△ABC是直角三角形.

29.B     30.D

31.答案5

解析   如图，连接AC，FC.

由折叠的性质可知，BE垂直平分线段CF，∵FM⊥BE，∴F，M，C三点共线，FM＝MC，

∵AN＝FN，∴MN＝AC，∵四边形ABCD是矩形，∠ABC＝90°，

∴AC＝＝＝10（cm）∴MN＝AC＝5（cm），故答案为5.

32.证明   在平行四边形ABCD中，AB∥DC，∴∠ABE＝∠FCE，

∵E为BC的中点，∴BE＝CE，又∠AEB＝∠FEC，∴△ABE≌△FCE（ASA），

∴.AE＝FE，又BE＝CE，∴四边形ABFC是平行四边形.

在平行四边形ABCD中，AD＝BC，又∵AD＝AF，∴BC＝AF，∴平行四边形ABFC是矩形.

33.解析（1）证明:∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴DO＝BO.

又∵E是AD的中点，∴EO是△ABD的中位线，∴EO∥AB，又∵EF∥OG，

∴四边形OEFG是平行四边形.∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴平行四边形OEFG是矩形.

（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB＝AD＝10

在Rt△AOD中，E为AD的中点，∴AE＝AD＝5，OE＝AD＝5.又∵EF＝4，

∴在Rt△AFE中，AF＝＝＝3.

∵四边形OEFG是矩形，∴FG＝EO＝5，∴BG＝AB-AF-FG＝2.

34.D  由题图可知矩形的长、宽分别为4、2.∵物体乙的速度是物体甲的2倍，运动时间相同，∴物体甲与物体乙的路程比为1:2.由题意知，

①第一次相遇时，物体甲与物体乙运动的路程和为（12×1）个单位长度，物体甲运动的路程为12×1×＝4个单位长度，物体乙运动的路程为12×＝8个单位长度，在BC边上相遇，相遇地点的坐标为（-1，1）；

②第二次相遇时，物体甲与物体乙运动的路程和为（12×2）个单位长度，物体甲运动的路程为12×2×＝8个单位长度，物体乙运动的路程为12×2×＝16个单位长度，在DE边上相遇，相遇地点的坐标为（-1，-1）

③第三次相遇时，物体甲与物体乙运动的路程和为（12×3）个单位长度，物体甲运动的路程为12×3×＝12个单位长度，物体乙运动的路程为12×3×＝24个单位长度，在A点相遇；

……

每相遇三次，为一个循环，

∵2021÷3＝673……2，∴两个物体出发后的第2021次相遇地点是第二次的相遇地点，即在DE边上相遇，相遇地点的坐标为（-1，-1）.

故选D.

35.证明   连接AD，如图，

∵∠BAC＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠EAF＝∠AEP＝∠AFP＝90°，

∴四边形AEPF是矩形，∴AE＝FP.∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点，

∴AD＝CD，∠1＝∠2＝45°，∴∠3＝∠2＝45°，

∴∠EAD＝∠FCD＝135°，∠CPF＝45°＝∠3，∴CF＝PF＝AE

∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE＝DF.