初中数学鲁教版 (五四制)八年级下册5 相似三角形判定定理的证明随堂练习题

这是一份初中数学鲁教版 (五四制)八年级下册5 相似三角形判定定理的证明随堂练习题，共14页。

知识能力全练
知识点一 相似三角形的有关概念
1.如图所示，△ADE∽△ABC，若AD＝1，BD＝2，则△ADE与△ABC的相似比是（ ）
A.1:2 B.1:3 C.2:3 D.3:2
2.在△ABC和△ABC中，AB＝AC，A´B´＝A´C´，若添加一个条件可使两个三角形相似，甲添加的条件是∠A＝∠A´＝60°；乙添加的条件是∠A＝∠A´＝90°对于甲、乙添加的条件判断正确的是（ ）
A.甲对乙错 B.甲错乙对 C.两人都对 D.两人都错
知识点二 相似三角形的判定定理1
3.如图所示，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与点A、C重合），DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是（ ）
A.△BFE B.△BDC C.△BDA D.△AFD
4.如图所示，在△ABC中，DE∥BC，∠B＝∠ACD，则图中相似三角形有（ ）
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
5.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，则BF的长为（ ）
A. B. C. D.
6.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F.若BC＝8，AB＝10，则CE的长为（ ）
A.3 B. C. D.
7.如图所示，已知∠A＝50°，∠B＝65°，∠ADC＝115°，则△ABC∽____________.
8.如图所示，在△ABC中，D是BC上的点，且AB＝AC＝DC，∠B＝36°.求证:△ABC∽△DBA.
9.如图所示，在△ABC中，AG⊥BC，垂足为点G，点E为边AC上一点，BE＝EC，点D为边BC上一点，GD＝GB，连接AD交BE于点F.求证:
（1）∠ABE＝∠EAF；
（2）AE2＝EF·EC.
知识点三 相似三角形的判定定理2
10.如图所示，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则与△ABC相似的阴影三角形为
（ ）
11.如图所示，∠1＝∠2，要使△ABC∽△ADE，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（ ）
A.∠B＝∠D B.∠C＝∠E C. D.
12.如图所示，已知OA＝20，OB＝30，OD＝22，OC＝33，AB＝24，则CD的长是（ ）
A. B. C. D.
13.如图所示，把△ABC绕点A旋转得到△ADE，当点D刚好落在BC上时，连接CE，设AC，DE相交于点F，则图中的相似三角形（不含全等）有（ ）
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
14.如图所示，AB＝3AC，BD＝3AE，BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上.求证:△ABD∽△CAE.
15.如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝∠ACD，AB＝6，BC＝4，AC＝5，CD＝，求AD的长.
16.如图所示，已知矩形ABCD的两条对角线相交于点O，过点A作AG⊥BD分别交BD、BC于点G、E.
（1）求证:BE2＝EG·EA；
（2）连接CG，若BE＝CE，求证:∠ECG＝∠EAC.
17.如图所示，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且CD＝CE，连接DE并延长至点F，使EF＝AE，连接AF，CF，连接BE并延长，交CF于点G.
（1）求证:BC＝DF；
（2）若BD＝2DC，求证GF＝2EG.
知识点四 相似三角形的判定定理3
18.若三角形甲的三边长分别为3，4，5，三角形乙的三边长分别为8，6，10，那么三角形甲和三角形乙（ ）
A.不一定相似 B.相似 C.一定不相似 D.无法确定是否相似
19.坐标平面上横、纵坐标都为整数的点叫做整点.已知点A（2，0），点B（3，1），O为坐标原点，在第一象限内取一整点C，使O，B，C三点所构成的三角形与△AOB相似，那么C点不同的位置一共有（ ）
A.1处 B.2处 C.3处 D.4处
20.△ABC的三边长分别为3，，，△A1B1C1的两边长分别为1和5，当△A1B1C1的第三边长为_________时，△ABC∽△A1B1C1.
21.如图所示，在正方形网格上有6个斜三角形:①△ABC，②△CDB，③△DEB，④△FBG，⑤HGF，⑥△EKF.请你写出与△ABC相似的三角形（写序号即可），并进行简要的证明.
巩固提高全练
22.如图所示，以A，B，C为顶点的三角形与以D，E，F为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为（ ）
A.2:1 B.3:1 C.4:3 D.3:2
23.如图所示，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中:①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③；④AD·BC＝DE·AC；⑤∠ADE＝∠C，能满足△ADE∽△ACB的条件有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
24.如图所示，已知AB∥CD，AD、BC相交于点E，AF分别交BC、CD于点F、G，∠FAE＝∠ABE，则图中相似三角形的对数为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
25.如图所示，点D是△ABC中AB边上的一点，且AD＝2BD，连接CD，取点CD的中点E，连接B并延长，交AC于点F.若AC＝5，则CF＝___________.
26.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，D是边AB上的一点，AD＝1，E是边AC上的一点（E与端点不重合），如果以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，那么AE的长为___________.
27.如图所示，BD，CE是△ABC的高.求证:BA·AE＝AC·AD.
28.如图所示，在△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3.
（1）求CE的长；
（2）在△ABC中，点Q在BC边上，且AQ交DE于点P.小明认为，你认为小明的结论正确吗？请说明你的理由.
29.如图所示，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝3，CD＝2.
（1）求证:△ABP∽△PCD；
（2）求△ABC的边长.
30.已知矩形ABCD中，点E是AD上一点，将矩形沿BE折叠，点A恰好落在BD上的点F处.
（1）如图①，若AB＝3，AD＝4，求AE的长；
（2）如图②，若点F恰好是BD的中点，点M是BD上一点，过点M做MN∥BE交AD于点N，连接EM，若MN平分∠EMD，求证:DN·DE＝DM·BM.
31.在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图所示，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（ ）
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
32.如图所示，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合）对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N，下列结论:①△APE≌△AME；②PM＋PN＝AC；③PE2＋PF2＝PO2；④△POF∽△BNF；⑤点O在M、N两点的连线上.其中正确的是（ ）
A.①②③④ B.①②③⑤ C.①②③④⑤ D.③④⑤
33.如图所示，点C在∠AOB的内部，∠OCA＝∠OCB，∠OCA与∠AOB互补.若AC＝1.5，BC＝2，则OC＝__________.
34.如图所示，在△ABC中，D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，H为AF与DG的交点.若AC＝6，则DH＝__________.
35.如图所示，在△ABC和△A´B´C´中，D、D´分别是AB、A´B´上一点，.
（1）当时，求证△ABC∽△A´B´C´；
证明的途径可以用如图所示的框图表示，请填写其中的空格:
（2）当时，判断△ABC与△A´B´C´是否相似，并说明理由.
36.如图所示，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为AD的中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△APE沿PE折叠得到△FPE，连接CE，CF，当△ECF为直角三角形时，AP的长为__________.
37.若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形.
（1）已知△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝3，请直接写出所有满足条件的AC的长；
（2）如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC求证:△ABC是比例三角形；
（3）如图②，在（2）的条件下，当∠ADC＝90°时，求的值.
参考答案
1.B 2.C 3.C 4.C 5.B 6.A 7.△CBD
8.证明 ∵AB＝AC，∠B＝36°，∴∠C＝36°.
又∵AC＝DC，∴∠DAC＝(180°-36°)÷2＝72°.
∴∠DAB＝180°-2×36°-72°＝36°,∴∠DAB＝∠C.
又∵∠B是公共角，∴△ABC∽△DBA.
9.证明 （1）∵BE＝EC,∴∠EBC＝∠C.
∵AG⊥BD，BG＝GD，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.
∵∠ABD＝∠ABE＋∠EBC，∠ADB＝∠DAC＋∠C，∴∠ABE＝∠DAC，即∠ABE＝∠EAF.
（2）∵∠AEF＝∠BEA，∠EAF＝∠ABE，∴△AEF∽△BEA.
∴，∴AE2＝EF·BE.
∵BE＝EC，∴AE2＝EF·EC.
10.C 11.D 12.A 13.C
14.证明 ∵BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上，∴∠DBA＝∠CAE.
又∵AB＝3AC，BD＝3AE，∴，∴△ABD∽△CAE.
15.解析 ∵AB＝6，BC＝4，AC＝5，CD＝，∴.
又∵∠B＝∠ACD，∴△ABC∽△DCA.
∴，即，∴.
16.证明 （1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90.
∵AE⊥BD，∴∠BGE＝90°.又∵∠AEB＝∠BEG，∴△ABE∽△BGE.
∴，∴BE2＝EG·EA.
（2）由（1）知BE2＝EG·EA，
∵BE＝CE，∴CE2＝EG·EA，∴.
又∵∠CEG＝∠AEC，∴△CEG∽△AEC，∴∠ECG＝∠EAC.
17.证明 （1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
又∵CD＝CE，∴△CDE是等边三角形，∴∠CDE＝∠ABC＝60°，∴DF∥AB，
∵EF＝AE，DE＝CE，∴，
又∵∠AEF＝∠CED，∴△AEF∽△CED，∴∠EAF＝∠ECD，∴AF∥BC，
∴四边形ABDF是平行四边形，∴AB＝DF，
又∵AB＝BC，∴BC＝DF.
（2）∵△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝∠DCE＝60°，CE＝CD＝DE.
在△BCE和△FDC中，∴△BCE≌△FDC，∴∠CBE＝∠DFC，
又∵∠BED＝∠FEG， ∴△BDE∽△FGE，，∴，
又∵CD＝DE，BD＝2DC，∴，∴GF＝2EG.
18.B 19.C 20.
21.解析 ①△ABC的三边长之比是AB:AC:BC＝1::.
③△DEB中，DE:BD:BE＝2:2:＝1::.
④△FBG中，FB:FG:BG＝::5＝1::.
⑤△HGF中，HG:HF:FG＝:2:＝1::.
其他两个三角形的三边长之比不符合，
故与△ABC相似的三角形的序号是③④⑤.
22.A 23.C 24.D 25. 26.或
27.证明 ∵BD，CE是△ABC的高，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
又∵∠A＝∠A，∴△ADB∽△AEC，∴，
∴AD·AC＝AE·AB，即BA·AE＝AC·AD.
28.解析 （1）∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴△ADE∽△ABC.
∴.
∵AD＝5，BD＝10，AE＝3，∴CE＝6.
（2）结论正确理由如下:
在△ABQ中，∵DP∥BQ，∴∠ADP＝∠ABQ，∠APD＝∠AQB，∴△ADP∽△ABQ，
∴.同理可得，∴.
29.解析 （1）证明:∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∴∠BAP＋∠APB＝180°-60°＝120°.
∵∠APD＝60°，∴∠APB＋∠DPC＝180°-60°＝120°，∴∠BAP＝∠DPC.
∵∠B＝∠C，∠BAP＝∠CPD，∴△ABP∽△PCD.
（2）∵△ABP∽△PCD，∴.
∵BP＝3，CD＝2，∴，解得AB＝9，∴△ABC的边长为9.
30.解析（1）由折叠可知△ABE≌△FBE，∴∠A＝∠EFB，BF＝AB，AE＝EF，
∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝90°，∴∠EFD＝90°，
在Rt△ABD中，BD＝＝5，∴DF＝BD-BF＝5-3＝2.
∵∠ADB＝∠FDE，∠A＝∠EFD＝90°，∴△DEF∽△DBA，
∴，即，∴EF＝，又∵AE＝EF，∴AE＝.
（2）证明:由（1）知∠EFD＝90°，∴EF⊥BD，
又∵F是BD中点，∴直线EF为线段BD的垂直平分线，
∴BE＝ED，∴∠EBD＝∠EDB，∵MN∥BE，∴∠BEM＝∠EMN，
又∵M平分∠EMD，∴∠EMN＝∠NMD，∴∠BEM＝∠NMD，∴△BEM∽△DMN，
∴，又∵BE＝ED，∴，∴DN·DE＝DM·BM.
31.A 32.B 33. 34.1
35.解析 （1）；∠A＝∠A´.
（2）相似.理由如下:如图，过点D、D´分别作DE∥BC、D＇E＇∥B＇C＇，DE交AC于点E，D´E´交A´C´于点E´.
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴.同理，.
又，∴，∴.
同理，，∴，即，∴.
又，∴，
∴△DCE∽△D´C´E´，∴∠CED＝∠C´E´D´.
∵DE∥BC，∴∠CED＋∠ACB＝180°，同理，∠C´E´D´＋∠A´C´B´＝180°.
∴∠ACB＝∠A´C´B´.
又 ，∴△ABC∽△A´B´C´.
36.或1
37.解析 （1）△ABC是比例三角形，且AB＝2，BC＝3，
①当AB2＝BC·AC时，得4＝3AC，解得AC＝；
②当BC2＝AB·AC时，得9＝2AC，解得AC＝；
③当AC2＝AB·BC时，得AC2＝6，解得AC＝（负值舍去）.
经检验，AC＝或AC＝或AC＝√6时，均符合题意
所以当AC＝或或时，△ABC是比例三角形.
（2）证明∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD，
又∵∠BAC＝∠ADC，∴△ABC∽△DCA，∴，即CA2＝BC·AD，
∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD，∴CA2＝BC·AB，
∴△ABC是比例三角形.
（3）如图，过点A作AH⊥BD于点H，
∵AB＝AD，∴BH＝BD，∵AD∥BC，∠ADC＝90°，∴∠BCD＝90°，
∴∠BHA＝∠BCD＝90°，又∵∠ABH＝∠DBC，∴△AB∽△DBC，
∴，即AB·BC＝BH·DB，∴AB·BC＝BD2，
又∵AB·BC＝AC2，BD2＝AC2，∴（负值舍去）.