专题02整式-2022年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练试卷（学生版+教师版）

这是一份专题02整式-2022年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练试卷（学生版+教师版），文件包含专题02整式教师版docx、专题02整式学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。
【题型一】 整式的混合运算…………………………………………………………………………………
【题型二】 因式分解…………………………………………………………………………………………
【题型三】 化简求值…………………………………………………………………………………………
【题型四】 规律探究…………………………………………………………………………………………
二、最新模考题组练………………………………………………………………………………………………2
【题型一】 整式的混合运算
【典例分析】（2021·辽宁沈阳·中考真题）下列计算结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】依据同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、同底数幂的除法法则以及积的乘方法则进行判断即可得出结论．
【解析】解：．，故本选项错误；．，故本选项正确；．，故本选项错误；．，故本选项错误；故选：．
【提分秘籍】
(1)同底数幂的乘法：（为整数）。
(2)幂的乘方：（为整数）。
(3)积的乘方：（为整数）。
(4)同底数幂的除法：（为整数）。
(5)零指数幂：（）
(6)负整数指数幂：（为正整数）。
(7)推广：①（为整数）。
②（，为整数）。
③（为整数）。
④（为整数）。
（8）常用的乘法公式主要有：
(1)平方差公式：；
(2)完全平方公式：；
（3）。
因此要根据整式的不同特征，灵活运用乘法公式进行计算或化简。在整式中，如果出现相同的多项式，常把这个多项式看成一个整体进行计算或化简，这体现了数学中整体思想的运用。
【变式演练】
1．（2021·辽宁盘锦·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用合并同项类，负整数指数幂的运算法则，积的乘方的法则，单项式除以单项式的法则对各选项进行运算即可．
【解析】解：、和不是同类项，不能合并，故不符合题意；、，故不符合题意；
、，故不符合题意；、，故符合题意．故选：．
2．（2021·山东日照·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法以及完全平方公式解决此题．
【解析】解：A．由合并同类项的法则，得，故A不符合题意．B．由积的乘方以及幂的乘方，得，故B不符合题意．C．由同底数幂的除法，得，故C不符合题意．D．由完全平方公式，得，故D符合题意．故选：D．
3．（2021·甘肃兰州·中考真题）计算：（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据单项式乘以多项式运算法则计算即可．
【解析】解：，故选：D．
【题型二】 因式分解
【典例分析】（2021·辽宁朝阳·中考真题）因式分解：﹣3am2＋12an2＝____________．
【答案】﹣3a（m＋2n）（m﹣2n）
【分析】直接提取公因式﹣3a，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解析】解：原式＝﹣3a（m2﹣4n2）
＝﹣3a（m＋2n）（m﹣2n）．
故答案为：﹣3a（m＋2n）（m﹣2n）．
【提分秘籍】
因式分解的重点是熟练掌握两种常用方法：提公因式法和公式法.因式分解的一般步骤如下：
(1)一“提”：多项式的各项有公因式时，先提取公因式；
(2)二“套”；各项没有公因式时，看能否套用公式分解因式；
(3)三“查”：因式分解要彻底，必须进行到每个因式都不能再分解为止。
【变式演练】
1．（2021·贵州黔东南·中考真题）分解因式：___________．
【答案】
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可
【解析】原式==，
故答案为：．
2．（2021·山东淄博·中考真题）分解因式：________．
【答案】
【分析】根据因式分解的方法可直接进行求解．
【解析】解：；
故答案为．
3．（2021·江苏常州·中考真题）分解因式：__________．
【答案】
【分析】根据平方差公式分解因式，即可．
【解析】解：，
故答案是：．
【题型三】 化简求值
【典例分析】（2021·广西河池·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】观察式子，先因式分解，再化简，最后代入字母的值求解即可
【解析】
当时，
原式
【提分秘籍】
整式的运算是解决数学问题的基础.解整式的运算题时，要注意以下三点：
一是熟练掌握运算法则；
二是能运用公式的要运用公式；
三是整式的混合运算，要注意运算的顺序。
一般来讲，应先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，与此同时，还要防止出现符号的错误。
整式的化简求值的一般方法：先把代数式化简，再把已知字母的值代入求值，有些问题也可以运用整体思想解决。
【变式演练】
1．（2021·吉林·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先根据平方差公式和单项式乘以多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
【解析】解：
，
当时，原式．
2．（2021·吉林长春·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】
【分析】首先利用平方差公式，单项式乘以多项式去括号，再合并同类项，然后将a的值代入化简后的式子，即可解答本题．
【解析】


当时，
原式=．
3．（2021·湖南永州·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，7．
【分析】先计算完全平方公式、平方差公式，再计算整式的加减法，然后将代入求值即可得．
【解析】解：原式，
，
将代入得：原式．
【题型四】 规律探究
【典例分析】（2021·湖北随州·中考真题）根据图中数字的规律，若第个图中的，则的值为（ ）
A．100B．121C．144D．169
【答案】B
【分析】分别分析n的规律、p的规律、q的规律，再找n、p、q之间的联系即可．
【解析】解：根据图中数据可知：
则，，
∵第个图中的，
∴，
解得：或(不符合题意，舍去)
∴，
故选：B．
【提分秘籍】
1.先用代数式表示出第1项、第2项；
2.用第3项、第4项来验证所列出的代数式；
3.代入n生物数值即可求出第n项。
列代数式，就是把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来.其一般步骤是：
①审题：仔细分析问题中的基本术语的含义；
②根据问题中语言叙述表示的运算顺序列出代数式。
【变式演练】
1．（2021·山东阳谷·一模）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
… …
请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（ ）
A．-2021B．2021C．4042D．-4042
【答案】D
【分析】先观察规律，再按照规律写出第一项、第二项，其中第二项，写出系数即可
【解析】解：根据规律可以发现：第一项的系数为1，第二项的系数为2021，
∴第一项为：x2021，
第二项为：
故选：D
2．（2021·河北唐山·一模）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10……这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16．．．．．．这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，根据上面的规律，用含有（为大于等于1的整数）的等式表示上面关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先根据题意用含n的式子表示出三角形数，正方形数，根据任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和即可求解．
【解析】解：由题意得三角形数3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，…，
∴第n个三角形数为，第n+1个三角形数为；
由题意得正方形数为1=12，4=22，9=32，…，
∴第n个正方形数为，
∴．
故选：D
3．（2021·山东省青岛实验初级中学模拟预测）由多项式乘法可得：，即得等式：①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式，下列应用这个立方和公式进行的变形正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据多项式乘法的立方和公式判断即可．
【解析】解：A、（x+2y）（x2﹣2xy+4y2）＝x3+8y3，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、x3+27＝（x+3）（x2﹣3x+9），原变形正确，故此选项符合题意；
C、（x+2y）（x2﹣2xy+4y2）＝x3+8y3，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、a3+1＝（a+1）（a2﹣a+1），原变形错误，故此选项不符合题意，
故选：B．
1．（2021·四川内江·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据整式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．
【解析】解：、与不是同类项，故不符合题意．、原式，故符合题意．、原式，故不符合题意．、原式，故不符合题意．故选：．
2．（2021·四川绵阳·中考真题）整式的系数是（ ）
A．-3B．3C．D．
【答案】A
【分析】根据单项式的系数的定义求解即可．
【解析】解：的系数为-3，故选A．
3．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（ ）
A．A1B．B1C．A2D．B3
【答案】B
【分析】把A1，A2，B1，B3的式子表示出来，再结合值等于789，可求相应的n的值，即可判断．
【解析】解：由题意得：A1＝2n+1+2n+3+2n+5＝789，
整理得：2n＝260，
则n不是整数，故A1的值不可以等于789；
A2＝2n+7+2n+9+2n+11＝789，
整理得：2n＝254，
则n不是整数，故A2的值不可以等于789；
B1＝2n+1+2n+7+2n+13＝789，
整理得：2n＝256＝28，
则n是整数，故B1的值可以等于789；
B3＝2n+5+2n+11+2n+17＝789，
整理得：2n＝252，
则n不是整数，故B3的值不可以等于789；
故选：B．
4．（2021·广东韶关·一模）下列运算正确的是（ ）
A．a＋2a＝3a2B．a2•a3＝a5C．（ab）3＝ab3D．（﹣a3）2＝﹣a6
【答案】B
【分析】利用合并同类项、幂的乘方、积的乘方以及同底数幂的乘法的计算法则进行计算即可．
【解析】解：A.a+2a＝3a，因此选项A不符合题意；B.a2•a3＝a2+3＝a5，因此选项B符合题意；C.（ab）3＝a3b3，因此选项C不符合题意；D.（﹣a3）2＝a6，因此选项D不符合题意；故选：B．
5．（2021·广东花都·二模）下列计算正确的是（ ）
A．a4÷a＝a3B．5a﹣a＝5
C．x2•x3＝x6D．（﹣2ab2）3＝﹣6a3b6
【答案】A
【分析】分别根据同底数幂的除法法则，合并同类项法则，同底数幂的乘法法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．
【解析】解：A．a4÷a＝a3，故本选项符合题意；B．5a﹣a＝4a，故本选项不合题意；C．x2•x3＝x5，故本选项不合题意；D．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6，故本选项不合题意；故选：A．
6．（2022·重庆·一模）下列各式运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用完全平方公式进行计算判断A，利用幂的乘方运算法则进行计算判断，根据单项式乘单项式的运算法则进行计算判断，根据零指数幂的运算法则进行计算判断．
【解析】解：、原式，原计算错误，故此选项不符合题意；B、原式，原计算错误，故此选项不符合题意；C、原式，原计算正确，故此选项符合题意；D、原式，原计算错误，故此选项不符合题意；故选：．
7．（2021·广东花都·二模）把2a2﹣4a因式分解的最终结果是（ ）
A．2a（a﹣2）B．2（a2﹣2a）C．a（2a﹣4）D．（a﹣2）（a+2）
【答案】A
【分析】2a2-4a中两项的公因式是2a，提取公因式即可
【解析】解：2a2-4a= 2a(a- 2)；故选A．
8．（2021·安徽·安庆市第四中学二模）某市2020年的扶贫资金为a万元，比2019年增长了x%，计划2021年的增幅调整为上一年的2倍，则这3年的扶贫资金总额将达到（ ）
A．a(3+3x%)万元B．a(+2+2x%)万元
C．a(3+x%)万元D．a()万元
【答案】D
【分析】根据题意分别表示出2019年的扶贫资金和2021年的扶贫基金，再求得三年的扶贫基金总额即可．
【解析】∵2020年的扶贫资金为a万元，比2019年增长了x%，
∴2019年的扶贫资金为万元 ，
∵2021年的增幅调整为上一年的2倍，
∴2021年的扶贫资金为万元 ，
∴这3年的扶贫资金总额将达到万元 ，
故选：D．
9．（2021·广西贺州·二模）多项式因式分解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先提取，再根据公式法即可因式分解．
【解析】=2=
故选C．
10．（2021·广西河池·中考真题）下列因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据因式分解的方法，逐项分解即可．
【解析】A. ，不能因式分解，故该选项不正确，不符合题意；B. 故该选项不正确，不符合题意；C. ，故该选项不正确，不符合题意；D. ，故该选项正确，符合题意．故选D．
11．（2021·云南昭通·二模）如图是一组有规律的图案，它们是由大小相同的“”图案组成的，依此规律，第2021个图案中含有“”图案的个数为（ ）
A．10106B．10105C．11005D．11006
【答案】A
【分析】根据所给图形寻找规律．
【解析】由题可知，第1个图案共有个所求图案；
第2个图案共有个所求图案；
第3个图案共有个所求图案；
第4个图案共有个所求图案；
……
则第n个图案共有个所求图案；
∴第2021个图案中含有“”图案的个数为
故答案选：A．
12．（2021·河南开封·二模）如图，将沿着过，的中点，所在的直线折叠，使点落在边上的处，称为第一次操作，点到的距离为；还原纸片后，再将沿着过，的中点，所在的直线折叠，使点落在边上的处，称为第二次操作，点到的距离记为；按上述方法不断操作下去，……经过第次操作后得到点到的距离记为．若，则值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据中位线定理得到△BDE∽△BCA，根据相似三角形的性质，对应高的比对于相似比，得出，依次得出、、、，再对进行计算变形即可．
【解析】解：∵点B和点E分别为BC，AB中点，
∴DE∥AC，
∴△BDE∽△BCA，
∵折痕到的距离为
点到的距离，
是的中点，折痕到的距离记为，
到的距离点到的距离，
同理：，
故选：A．
13．（2021·四川内江·中考真题）若实数满足，则__．
【答案】2020
【分析】由等式性质可得，，再整体代入计算可求解．
【解析】解：，
，，
．
故答案为：2020．
14．（2021·四川绵阳·中考真题）若，，则_____．
【答案】0
【分析】先求出，再求的平方，然后再开方即可求出．
【解析】解：，
，
，
∵，
，
，
，
，
故答案为：0．
15．（2021·四川德阳·中考真题）已知a+b＝2，a﹣b＝3．则a2﹣b2的值为 ___．
【答案】6
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
【解析】解：当a+b=2，a-b=3时，
a2-b2=（a+b）（a-b）=2×3=6．
故选：6．
16．（2021·辽宁盘锦·中考真题）分解因式：＝________
【答案】
【分析】先提取公因式2，然后利用平方差公式求解即可得到答案.
【解析】解：
故答案为：.
17．（2021·山东东营·中考真题）因式分解：________．
【答案】
【分析】先提取公因式b，再利用完全平方公式将括号里的式子进行因式分解即可．
【解析】解：
故答案为：
18．（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，∠MON＝30°，点A1在射线OM上，过点A1作A1B1⊥OM交射线ON于点B1，将△A1OB1沿A1B1折叠得到△A1A2B1，点A2落在射线OM上；过点A2作A2B2⊥OM交射线ON于点B2，将△A2OB2沿A2B2折叠得到△A2A3B2，点A2落在射线OM上；…按此作法进行下去，在∠MON内部作射线OH，分别与A1B1，A2B2，A3B3，…，AnBn交于点P1，P2，P3，…Pn，又分别与A2B1，A3B2，A4B3，…，An＋1Bn，交于点Q1，Q2，Q3，…，Qn．若点P1为线段A1B1的中点，OA1＝，则四边形AnPnQnAn＋1的面积为___________________（用含有n的式子表示）．
【答案】
【分析】先证明△OA1P1∽△OA2P2，△OP1B1∽△OP2B2，又点P1为线段A1B1的中点，从而可得P2为线段A2B2的中点，同理可证P3、P4、Pn依次为线段A3B3、A4B4、⋯AnBn的中点．结合相似三角形的性质可得△P1B1Q1的P1B1上的高与△P2A2O1的A2P2上的高之比为1∶2，所以△P1B1Q1的P1B1上的高为，同理可得△P2B2Q2的P2B2上的高为⋯，从而＝﹣，以此类推来求，从而找到的面积规律．
【解析】解：由折叠可知，OA1＝A1A2＝，
由题意得：A1B1//A2B2，
∴△OA1P1∽△OA2P2，△OP1B1∽△OP2B2，
∴＝＝＝ ，
又∵点P1为线段A1B1的中点，
∴A1P1＝P1B1，
∴A2P2＝P2B2，
则点P2为线段A2B2的中点，
同理可证，P3、P4、⋯Pn依次为线段A3B3、A4B4、⋯AnBn的中点．
∵A1B1//A2B2，
∴△P1B1Q1∽△P2A2O1，
∴＝＝，
则△P1B1Q1的P1B1上的高与△P2A2O1的A2P2上的高之比为1∶2，
∴△P1B1Q1的P1B1上的高为，
同理可得△P2B2Q2的P2B2上的高为， ，
由折叠可知A2A3＝，A3A4＝，
∵∠MON＝30°，
∴A1B1＝tan30°×OA1＝1，
∴A2B2＝2，A3B3＝4， ，
∴＝﹣
＝﹣
＝，
同理，＝﹣
＝﹣
＝，
＝﹣
＝
＝
＝．
故答案为：．
19．（2021·北京·中考真题）已知，求代数式的值．
【答案】1
【分析】先对代数式进行化简，然后再利用整体思想进行求解即可．
【解析】解：
=
=，
∵，
∴，
代入原式得：原式=．
20．（2021·湖南长沙·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，1．
【分析】先计算完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后将的值代入即可得．
【解析】解：原式，
，
将代入得：原式．
21．（2021·湖南衡阳·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】利用完全平方公式,平方差公式,单项式乘以多项式的法则，计算合并同类项即可
【解析】解：
.
22．（2021·湖南师大附中博才实验中学一模）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，4
【分析】先利用平方差公式和完全平方式去括号，然后合并同类项，最后代值计算即可．
【解析】解：
，
当，时，原式．
23．请阅读以下步骤，完成问题：
①任意写一个三位数，百位数字比个位数字大2；
②交换百位数字与个位数字，得到一个三位数；
③用上述的较大的三位数减去较小的三位数，所得的差为三位数；
④交换这个差的百位数字与个位数字又得到一个三位数；
⑤把③④中的两个三位数相加，得到最后结果．
问题：
（1）③中的三位数是 ； ④中的三位数是 ；⑤中的结果是 ；
（2）换一个数试试看，所得结果是否一样？如果一样，设这个三位数的百位数字为、十位数字为，用代数式表示这个三位数，并结合你所学的知识解释其中的原因．
【答案】（1）198，891，1089；（2）所得结果一样；理由见解析
【分析】（1）根据特例即可求解；
（2）分析题意，列出相关算式计算加以证明．注意三位数的表示方法：每位上的数字乘位数再相加．
【解析】解：（1）例如：①321；②123；
③中的三位数是198；④中的三位数是891；⑤中的结果是1089．
故答案为：198，891，1089；
（2）所得结果一样．
可以设①中的三位数为100a＋10b＋（a−2），
所以②中的三位数为100（a−2）＋10b＋a，
100a＋10b＋（a−2）−[100（a−2）＋10b＋a]＝198，这是一个常数，
于是在交换百位数字与个位数字后得到891，
198＋891＝1089．
故所得结果一样．
24．（2022·重庆·一模）阅读理解：
若满足，求的值．
解：设，，
则，，
．
迁移应用：
(1)若满足，求的值；
(2)如图，点，分别是正方形的边、上的点，满足，为常数，且，长方形的面积是，分别以、作正方形和正方形，求阴影部分的面积．
【答案】(1)-3 (2)
【分析】（1）根据题意设，，可得，，根据，代入计算即可得出答案；
（2）设正方形的边长为，则，，可得，；利用题干中的方法可求得，利用阴影部分的面积等于正方形与正方形的面积之差即可求得结论．
【解析】(1)解：设，，则：
，．
，
．
．
．
(2)解：设正方形的边长为，则，，
．
长方形的面积是，
．
，
．
，
，
．




．