专题03分式与分式方程-2022年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练试卷（学生版+教师版）

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一、热点题型归纳
【题型一】 分式的概念
【题型二】 分式方程的增根问题
【题型三】 分式的化简求值
【题型四】 分式方程的解法
【题型五】 分式方程的应用
二、最新模考题组练2
【题型一】 分式的概念
【典例分析】（2021·广西百色·中考真题）当x＝﹣2时，分式的值是（ ）
A．﹣15B．﹣3C．3D．15
【答案】A
【分析】先把分子分母进行分解因式，然后化简，最后把代入到分式中进行正确的计算即可得到答案.
【解析】解：
把代入上式中
原式
故选A.
【提分秘籍】
1.分式有无意义的判断方法
（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；
（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。
2.分式值为零
在分式中，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，即A=0 且B≠0。
【变式演练】
1．（2021·四川内江·中考真题）函数中，自变量的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．且
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件可得结果．
【解析】解：由题意得：，，
解得：且，
故选：．
2．（2021·湖北黄石·中考真题）函数的自变量的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】C
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不为0以及零次幂的底数不为0，列式计算即可得解．
【解析】解：函数的自变量的取值范围是：
且，
解得：且，
故选：C．
3．（2021·四川雅安·中考真题）若的值为零，则x的值为（ ）
A．-1B．1C．D．0
【答案】A
【分析】根据分式的值为零的条件即可求出答案．
【解析】根据题意知，，
解得：，
所以，
故选：A．
【题型二】 分式方程的增根问题
【典例分析】（2021·西藏·中考真题）若关于x的分式方程﹣1＝无解，则m＝___．
【答案】2
【分析】去分母，将分式方程转化为整式方程，根据分式方程有增根时无解求m的值．
【解析】解：﹣1＝，
方程两边同时乘以x﹣1，得2x﹣（x﹣1）＝m，
去括号，得2x﹣x＋1＝m，
移项、合并同类项，得x＝m﹣1，
∵方程无解，
∴x＝1，
∴m﹣1＝1，
∴m＝2，
故答案为2．
【提分秘籍】
1.分式方程有增根与无解并非是同一个概念。分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解；分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根。
2.解分式方程有增根的问题时，虽然分式方程的增根不是分式方程的根，但它是去掉分母后的整式方程的根，于是将增根代入去分母后的整式方程，即可求出待定字母的值。
3.分式方程无解则需分类讨论：(1)相应的整式方程无解；(2)整式方程的根是分式方程的增根。
4.分式方程的根与不等式（组）的综合性问题
在含字母系数的分式方程中，若已知分式方程的根的情况，求待定字母的取值范围时，一般先在分母不为0的前提下求得分式方程的根，再根据分式方程的根的情况构造不等式（组）求解。
【变式演练】
1．（2021·四川雅安·中考真题）若关于x的分式方程的解是正数，则k的取值范围是______．
【答案】且
【分析】根据题意，将分式方程的解用含的表达式进行表示，进而令，再因分式方程要有意义则，进而计算出的取值范围即可．
【解析】解：
根据题意且
∴
∴
∴k的取值范围是且．
2．（2021·山东·日照市田家炳实验中学一模）已知关于x的方程无解，则m的值是___．
【答案】或1
【分析】分方程有增根，增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出m的值和方程没有增根两种情况进行讨论.
【解析】解：①当方程有增根时
方程两边都乘，得，
∴最简公分母，
解得，
当时，
故m的值是1，
②当方程没有增根时
方程两边都乘，得，
解得，
当分母为0时，此时方程也无解，
∴此时，
解得，
∴综上所述，当或1时，方程无解.
故答案为：或1.
3．已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为______．
【答案】且
【分析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，可得答案．
【解析】解：
去分母，得：，
移项、合并，得：
系数化为1得：
∵分式方程的解为非负数，
∴且，
解得：且，
故答案为：且．
【题型三】 分式的化简求值
【典例分析】（2021·辽宁鞍山·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】根据分式的混合运算的运算法则把原式化简为，再代入求值．
【解析】解：
．
当时，原式．
【提分秘籍】
1.分式的混合运算与分数的混合运算类似，也是先进行乘除运算，再进行加减运算；
2.当分式的混合运算含有括号时，一般应先计算括号内的；
3.当分式的分子和分母是多项式时，应先将分子、分母分别分解因式，再进行通分或约分；
4.分式运算的结果应化为最简分式或整式。
【变式演练】
1．（2021·福建·重庆实验外国语学校模拟预测）先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】将括号里先通分，除法化为乘法，化简，再代值计算．
【解析】解：
，
当时，
原式．
2．（2021·广东·珠海市文园中学三模）先化简，再求值：，其中
【答案】；
【分析】先将除法转化为乘法，再根据分式的计算化简，再将字母的值代入求解即可．
【解析】
当时，
原式．
3．（2021·福建·厦门一中三模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解析】解：
=
=
=
当时，
原式==．
【题型四】 分式方程的解法
【典例分析】（2021·广西来宾·中考真题）解分式方程：．
【答案】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解析】解：
去分母，得，
解此方程，得，
经检验，是原分式方程的根．
【提分秘籍】
1.解分式方程的一般方法是通过去分母，将分式方程转化为整式方程，进一步解这个整式方程，但解出的整式方程的解并不一定是分式方程的根，可能是分式方程的增根；因此，验根是解分式方程不可缺少的步骤。
2.解分式方程的关键在于去分母。去分母常用的方法有两种：一是各项都乘最简公分母，不含分母的项也要乘最简公分母；二是根据题目的特点，能用换元法的用换元法.检验是解分式方程必不可少的一个步骤，不论选用哪种解法，一定要进行检验。
3.解分式方程常出现两个错误：一是去分母时漏乘不含分母的项，二是漏掉检验这一步骤；
4.解分式方程时，将解得的整式方程的根代入最简公分母，若最简公分母为0，则这个根是分式方程的增根。
【变式演练】
1．（2021·广西柳州·中考真题）解分式方程：
【答案】
【分析】两边同乘以x(x+3)，转化为一元一次方程求解即可
【解析】解：去分母得：

解得
检验：将代入原方程的分母，不为0
为原方程的解．
2．（2021·江苏南京·中考真题）解方程．
【答案】
【分析】先将方程两边同时乘以，化为整式方程后解整式方程再检验即可．
【解析】解：，
，
，
，
检验：将代入中得，，
∴是该分式方程的解．
3．（2021·陕西·中考真题）解方程：．
【答案】
【分析】按照解分式方程的方法和步骤求解即可．
【解析】解：去分母（两边都乘以），得，
．
去括号，得，
，
移项，得，
．
合并同类项，得，
．
系数化为1，得，
．
检验：把代入．
∴是原方程的根．
【题型五】 分式方程的应用
【典例分析】（2021·山东济南·中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．
（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？
（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？
【答案】（1）乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元；（2）最多购进87个甲种粽子
【分析】（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，然后根据“购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个”可列方程求解；
（2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，然后根据（1）及题意可列不等式进行求解．
【解析】解：（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，由题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的解，
答：乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元．
（2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，由（1）及题意得：
，
解得：，
∵m为正整数，
∴m的最大值为87；
答：最多购进87个甲种粽子．
【提分秘籍】
1.分式方程的应用主要就是列方程解应用题，这已成为近几年考试的热点内容之一。在列方程之前，应先弄清问题中的已知量与未知量，以及它们之间的数量关系，用含未知数的式子表示相关量，然后用题中的主要相等关系列出方程。求出解后，必须进行检验，既要检验是不是所列分式方程的解，又要检验是否符合题意。
2.行程问题
行程问题中有速度、时间，路程三个量，在用分式方程解应用题时，路程大多是已知的，如果设时间为
未知数，那么根据速度的数量关系列方程，如果设速度为未知数，那么根据时间的数量关系列方程。
3.工程问题
工程问题涉及三个量:工作总量、工作效率和工作时间,工作总量通常看作单位1，如果设工作时间为未知数，那么根据工作效率的数量关系列方程，它们之间的关系:工作总量=工作效率×工作时间。
【变式演练】
1．（2021·四川德阳·中考真题）今年，“广汉三星堆”又有新的文物出土，景区游客大幅度增长．为了应对暑期旅游旺季，方便更多的游客在园区内休息，景区管理委员会决定向某公司采购一批户外休闲椅．经了解，该公司出售弧形椅和条形椅两种类型的休闲椅，已知条形椅的单价是弧形椅单价的0.75倍，用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形椅的数量多10张．
（1）弧形椅和条形椅的单价分别是多少元？
（2）已知一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进300张休闲椅，并保证至少增加1200个座位．请问：应如何安排购买方案最节省费用？最低费用是多少元？
【答案】（1）弧形椅的单价为160元，条形椅的单价为120元；（2）购进150张弧形椅，150张条形椅最节省费用，最低费用是42000元
【分析】（1）设弧形椅的单价为x元，则条形椅的单价为0.75x元，根据“用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形椅的数量多10张”列分式方程解答即可；
（2）设购进弧形椅m张，则购进条形椅（300-m）张，根据“一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进300张休闲椅，并保证至少增加1200个座位”列不等式求出m的取值范围；设购买休闲椅所需的费用为W元，根据题意求出W与m的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
【解析】解：（1）设弧形椅的单价为x元，则条形椅的单价为0.75x元，根据题意得：
，
解得x=160，
经检验，x=160是原方程的解，且符合题意，
∴0.75x=120，
答：弧形椅的单价为160元，条形椅的单价为120元；
（2）设购进弧形椅m张，则购进条形椅（300-m）张，由题意得：
5m+3（300-m）≥1200，
解得m≥150；
设购买休闲椅所需的费用为W元，
则W=160m+120（300-m），
即W=40m+36000，
∵40＞0，
∴W随m的增大而增大，
∴当m=150时，W有最小值，W最小=40×150+36000=42000，
300-m=300-150=150；
答：购进150张弧形椅，150张条形椅最节省费用，最低费用是42000元．
2．（2021·广西梧州·中考真题）某工厂急需生产一批健身器械共500台，送往销售点出售．当生产150台后，接到通知，要求提前完成任务，因而接下来的时间里每天生产的台数提高到原来的1.4倍，一共用8天刚好完成任务．
（1）原来每天生产健身器械多少台？
（2）运输公司大货车数量不足10辆，小货车数量充足，计划同时使用大、小货车次完成这批健身器械的运输．已知每辆大货车一次可以运输健身器械50台，每辆车需要费用1500元；每辆小货车一次可以运输健身器械20台，每辆车需要费用800元．在运输总费用不多于16000元的前提下，请写出所有符合题意的运输方案？哪种运输方案的费用最低，最低运输费用是多少？
【答案】（1）原来每天生产健身器械50台；（2）方案一：当m=8时，n=5，费用为：16000元；方案二：当m=9时，n=3,费用为：15900元，方案二费用最低．
【分析】（1）设原来每天生产健身器械x台，根据等量关系是150台所用天数+余下350台改速后工作天数=8列分式方程，解分式方程与检验即可；
（2）设运输公司用大货车m辆，小货车n辆，根据题意列方程与不等式组解不等式组求出m的范围8≤m10，方案一：当m=8时，n=5，费用为： 16000元，方案二：当m=9时，n=3,费用为15900元即可．
【解析】解：（1）设原来每天生产健身器械x台，
根据题意得：
解这个方程得x=50，
经检验x=50是原方程的根，并符合实际
答原来每天生产健身器械50台；
（2）设运输公司用大货车m辆，小货车n辆
根据题意
由②得④，
把④代入③得
解得m≥8
∵m10
∴8≤m10
方案一：当m=8时，n=25-20=5，
费用为：8×1500+5×800=12000+4000=16000元；
方案二：当m=9时，n=3,
费用为9×1500+3×800=13500+2400=15900元，
方案二费用最低．
3．（2021·江苏常州·中考真题）为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天，该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？
【答案】该景点在设施改造后平均每天用水2吨．
【分析】设该景点在设施改造后平均每天用水x吨，则原来平均每天用水2x吨，列出分式方程，即可求解．
【解析】解：设该景点在设施改造后平均每天用水x吨，则原来平均每天用水2x吨，
由题意得：，解得：x=2，
经检验：x=2是方程的解，且符合题意，
答：该景点在设施改造后平均每天用水2吨．
1．（2021·重庆八中二模）函数y＝中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣3B．x≠3C．x≤3D．x≤﹣3
【答案】B
【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案．
【解析】解：由题意，得3﹣x≠0，
解得x≠3．
故选：B．
2．（2021·上海奉贤·三模）下列各式中，当m＜2时一定有意义的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于0判断即可．
【解析】解：A．当m＜2时，m﹣3＜﹣1，故分式一定有意义，故本选项符合题意；B．m＜2，当m＝1时，分式没有意义，故本选项不符合题意；C．m＜2，当m＝﹣1时，分式没有意义，故本选项不符合题意；D．m＜2，当m＝﹣3时，分式没有意义，故本选项不符合题意；故选：A．
3．（2021·河北安次·二模）下列各式从左到右的变形中，不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质进行判断即可．
【解析】解：A、改变分式本身的符号和分母的符号，其分式的值不变，此选项正确，不符合题意；B、改变分式分子和分母的符号，其分式的值不变，此选项正确，不符合题意；C、改变分式分母的符号，其分式的值变为原来的相反数，此选项错误，符合题意；D、改变分式本身的符号和分母的符号，其分式的值不变，此选项正确，不符合题意，故选：C．
4．如果，那么代数式的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．
【解析】解：
＝，
由a2+3a﹣2＝0，得到a2+3a＝2，
则原式＝，
故选B．
5．（2021·安徽·合肥市五十中学东校三模）化简的结果是（ ）
A．－a－1B．a－1C．－a＋1D．－ab＋b
【答案】B
【分析】将除法转换为乘法，然后约分即可．
【解析】原式=，
故选B．
6．（2021·河南·二模）下列各式计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据算术平方根、分式的加减运算、整式的除法运算及平方差公式逐一判断即可得答案．
【解析】A.，故该选项计算错误，不符合题意，B.，故该选项计算错误，不符合题意，C.，故该选项计算错误，不符合题意，D.，故该选项计算正确，符合题意，故选：D．
7．若关于x的二次函数，当时，y随着x的增大而减小，且关于x的分式方程有正数解，那么所有满足条件的整数a的值有（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
【答案】B
【分析】先解分式方程求出，关于x的分式方程有正数解满足2﹣＞0利用二次函数，当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，求出对称轴x＝﹣≥﹣2，求出的范围﹣4≤＜2，且≠1即可．
【解析】解：∵
∴1+1﹣x＝2（2﹣x）
∴（2﹣）x＝2
∴
关于x的分式方程有正数解
∴＞0
∴2﹣＞0
∴＜2
但该分式方程当x＝2时显然是增根，故当＝1时不符合题意，舍去．
∵二次函数，当x≤﹣2时，y随x的增大而减小
∴其对称轴x＝﹣≥﹣2
∴≥﹣4
∴﹣4≤＜2，且≠1
符合条件的整数的值有﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0，共5个
故选B．
8．若关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A．B．b≤6且b≠4C．b＜6且b≠4D．b＜6
【答案】B
【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是非负数”建立不等式求b的取值范围．
【解析】解：去分母得，2x－b＝3x－6，
∴x＝6－b，
∵x≥0，
∴6－b≥0，
解得，b≤6，
又∵x－2≠0，
∴x≠2，
即6－b≠2，b≠4，
则b的取值范围是b≤6且b≠4，
故选：B．
9．（2021·黑龙江道外·一模）方程＝的解为（ ）
A．1B．﹣1C．4D．
【答案】A
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解析】解：去分母得：3（2﹣3x）＝x﹣4，
去括号得：6﹣9x＝x﹣4，
移项、合并同类项得：﹣10x=﹣10，
解得：x＝1，
检验：把x＝1代入得：（x﹣4）（2﹣3x）＝﹣3×（﹣1）＝3≠0，
∴原分式方程的解为x＝1．
故选：A．
10．（2021·湖南师大附中博才实验中学一模）若解关于x的方程＝1时产生增根，那么常数m的值为（ ）
A．4B．3C．﹣4D．﹣3
【答案】D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【解析】解：方程两边都乘以x﹣2，得：x﹣5﹣m＝x﹣2，
∵方程有增根，
∴x＝2，
将x＝2代入x﹣5﹣m＝x﹣2，得：m＝﹣3，
故选D．
11．（2021·江苏·苏州草桥中学一模）在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多30%，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树万棵，由题意得到的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意给出的等量关系即可列出方程．
【解析】解：设原计划每天植树x万棵，需要天完成，
∴实际每天植树（x+0.3x）万棵，需要天完成，
∵提前2天完成任务，
∴-=2，
故选：A．
12．（2021·福建·厦门双十中学思明分校二模）数学家裴波那契编写的《算经》中有如下问题，一组人平分10元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ）
A．B．
C．10x＝40（x+6）D．10（x﹣6）＝40x
【答案】A
【分析】设第二次分钱的人数为人,则第一次分钱的人数为人,根据两次每人分得的钱数相同,即可得出关于的分式方程,此题得解．
【解析】解:设第二次分钱的人数为人,则第一次分钱的人数为人,
依据题意:,
故选A．
13．（2021·广东花都·三模）化简分式：＝___．
【答案】1
【分析】利用同分母分式的加减法则计算即可求出值．
【解析】解：原式，
，
，
．
故答案为：1．
14．（2021·湖南师大附中博才实验中学一模）若分式有意义，则x的取值范围是_________．
【答案】
【分析】根据分式有意义，分母不等于列不等式求解即可．
【解析】解：∵分式有意义，
∴，
解得：，
故答案为：x≠-6．
15．（2021·北京·101中学三模）分式的值等于0，则x＝_______．
【答案】-2
【分析】根据分子为零，分母不为零，即可求解．
【解析】解：根据题意，得x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）＝0且x﹣2≠0．
所以x+2＝0．
所以x＝﹣2．
故答案是：﹣2．
16．（2021·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校一模）分式方程的解是______．
【答案】
【分析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
【解析】解：，
方程两边同乘，得，
去括号，得
移项得：，
经检验，是原方程的解，
故答案为：．
17．（2021·四川省宜宾市第二中学校三模）某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x套，则根据题意可得方程为__________________．
【答案】+=18
【分析】根据题意，分别列出采用新技术前和采用新技术后所用时间，相加等于18即可．
【解析】根据题意，采用新技术前所用时间为：天，
采用新技术后所用时间为：天，
所列方程为：+=18，
故答案为：+=18．
18．（2021·江苏省苏州市阳山实验初级中学校二模）已知关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围是_______
【答案】且
【分析】先求解分式方程，用含k的代数式表示x，根据方程的解为正数，得不等式，求解即可．
【解析】解：去分母，得x-4(x-2)=-k，
解得x=．
∵分式方程的解为正数，
∴且．
解得，且．
故答案为：且．
19．（2021·广东·深圳市龙岗区百合外国语学校三模）先化简，再求值：(x－1－)÷，其中x是不等式组的整数解．
【答案】，
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据x是不等式组的整数解，可以得到x的整数值，再从x的整数值中选取使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解析】解：
，
由不等式组得，-1≤x