专题11一次方程（组）-2022年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练试卷（学生版+教师版）

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一、热点题型归纳
【题型一】 与方程的解有关的问题
【题型二】 解方程问题
【题型三】 一次方程的应用问题
二、最新模考题组练2
【题型一】 与方程的解有关的问题
【典例分析】（2021·山东聊城·中考真题）若﹣3＜a≤3，则关于x的方程x＋a＝2解的取值范围为（ ）
A．﹣1≤x＜5B．﹣1＜x≤1C．﹣1≤x＜1D．﹣1＜x≤5
【答案】A
【分析】先求出方程的解，再根据﹣3＜a≤3的范围，即可求解．
【解析】解：由x＋a＝2，得：x＝2-a，
∵﹣3＜a≤3，
∴﹣1≤2-a＜5，即：﹣1≤x＜5，
故选A．
【提分秘籍】
1.方程的解有关的问题：解与方程的解有关的问题时，待求方程的解是未知的，要先解已知方程求出待求方程的解，再把方程的解代入，消去未知数，再解待求方程，进而解决问题.
2.二元一次方程组的解有关的问题
当已知的二元一次方程组中含有字母系数时，通常给出二元一次方程组的解，把这个解代入原方程组中，即可求出字母系数；当给出的方程组的解是看错了原方程组中的某一个方程所得的解时，这组解只能代入到没有看错的方程中，才能使方程左、右两边的值相等。
【变式演练】
1．（2021·四川德阳·中考真题）关于x，y的方程组的解为，若点P（a，b）总在直线y＝x上方，那么k的取值范围是（ ）
A．k＞1B．k＞﹣1C．k＜1D．k＜﹣1
【答案】B
【分析】将k看作常数，解方程组得到x，y的值，根据P在直线上方可得到b＞a，列出不等式求解即可．
【解析】解：解方程组可得，
，
∵点P（a，b）总在直线y=x上方，
∴b＞a，
∴，
解得k＞-1，
故选：B．
2．（2022·广西·桂林市雁山中学九年级期末）关于x的方程x2+3x+m＝0有一个根是为1，则m的值为（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
【答案】D
【分析】根据方程根的定义使方程两边值相等的未知数的值是方程的根，将已知根代入一元二次方程从而得出关于m的方程进行求解．
【解析】解：x的方程x2+3x+m＝0有一个根是为1，
将代入有1+3+ =0
解得.
故选D．
3．已知是方程x﹣my＝3的解，那么m的值为（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
【答案】A
【分析】直接将代入x﹣my＝3中即可得出答案．
【解析】解：∵是方程x﹣my＝3的解，
∴，
解得：，
故选：A．
【题型二】 解方程问题
【典例分析】（2021·四川广元·中考真题）解方程：．
【答案】
【分析】根据整式方程的计算过程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，就可以得到结果．
【解析】解：去分母得：，
去括号得：，
移项并合并同类项得：，
系数化为1得：，
故答案为：．
【提分秘籍】
1.解一元一次方程的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1.解方程的五个步骤有些可能用不到，有些可能重复使用，也不一定有固定的顺序，要根据方程的特点灵活运用。
对于分母中含有小数的一元一次方程.当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100，化分母中的小数为整数。
2.解二元一次方程组
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为一元一次方程，这样就可以先求出一个未知数的值，再求出另一个未知数的值，从而得到二元一次方程组的解。解二元一次方程组的基本思路是消元，常用的方法是代入消元法和加减消元法。
3.解特殊类型的二元一次方程组
解二元一次方程组常用的方法是代入消元法和加减消元法，但是遇到比较特殊的二元一次方程组时，用这两种方法求解反而比较复杂，而根据方程组的特点选用合适的方法会使问题简化。
对于某些二元一次方程组，可针对其特点采用特殊的方法，若不同方程中含有相同的整式，可将该整式视为一个整体，将其中一个方程的整体表达式代入另一个方程中，以便迅速消元，若用整体代入法不方便时，亦可采用整体加减消元法；此外还可用换元法进行求解。
【变式演练】
1．（2021·广西桂林·中考真题）解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5．
【答案】x =3．
【分析】先把方程化移项，合并同类项，系数化1法即可．
【解析】解：4 x﹣1＝2x+5，
移项得：4 x﹣2x＝5+1
合并同类项得：2 x=6，
∴系数化1得：x =3．
2．（2021·广东广州·中考真题）解方程组
【答案】
【分析】利用代入消元法求解方程即可．
【解析】解：
把①代入②得
，
解得
把代入①得
所以方程组的解为：．
3．（2021·四川眉山·中考真题）解方程组
【答案】
【分析】方程组适当变形后，给②×3-①×2即可消去x，解关于y的一元一次方程，再将y值代入①式，即可解出y．
【解析】解：由可得
②×3-①×2得，
即，
解得y=1，
将y=1代入①式得，解得．
故该方程组的解为．
【题型三】 一次方程的应用问题
【典例分析】（2021·广西桂林·中考真题）为了美化环境，建设生态桂林，某社区需要进行绿化改造，现有甲、乙两个绿化工程队可供选择，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米，甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积．
（1）甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？
（2）该社区需要进行绿化改造的区域共有12000平方米，甲队每天的施工费用为600元，乙队每天的施工费用为400元，比较以下三种方案：①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成．哪一种方案的施工费用最少？
【答案】（1）甲队每天能完成绿化的面积是500平方米，乙队每天能完成绿化的面积是300平方米；（2）选择方案①完成施工费用最少
【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x平方米，根据甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积，列出方程，求解即可；
（2）利用施工费用=每天的施工费用×施工时间，即可求出选择各方案所需施工费用,再比较后即可得出结论．
【解析】解：（1）设乙队每天能完成绿化的面积是x平方米，则甲队每天能完成绿化的面积是（x+200）米，
依题意得：x+x+200=800
解得：x=300，
x+200=500
∴甲队每天能完成绿化的面积是500平方米，乙队每天能完成绿化的面积是300平方米．
（2）选择方案①甲队单独完成所需费用=（元）；
选择方案②乙队单独完成所需费用=（元）；
选择方案③甲、乙两队全程合作完成所需费用=（元）；
∴选择方案①完成施工费用最少．
【提分秘籍】
1.和、差、倍、分型应用题：和、差、倍、分型应用题，多与社会热点问题或生活中常遇到的实际问题相结合，解题时要读懂题意，弄清有关量之间的和、差、倍、分关系，找出等量关系，列方程解决问题。
2.行程和工程问题：列方程解应用题要从不同的角度去找等量关系，行程问题中，常涉及路程、速度、时间三个量；工程问题中，常涉及工作总量、工作时间、工作效率三个量。解决行程和工程问题时，常先画出符合题意的线段图，利用图示表示题目中各量之间的关系，揭示出隐含的条件，使问题清晰明了，以便于解题。
3.打折销售问题：解决商品打折销售问题，首先要明确进价、标价、售价、利润、利润率及折扣等名词的概念，其次要掌握常用的相关公式，如：利润＝售价一进价，利润率=利润=进价×100%。
4.数字问题
多位数的表示方法：一个两位数的十位数字、个位数字分别是a，b(其中a，b均为整数，1≤a≤9，0≤b≤9)，则这个两位数可以表示为10a+b.
一个三位数的百位数字、十位数字、个位数字分别是a，b，c(其中a，b，c均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9)，则这个三位数可以表示为100a+10b+c。
5.产品配套问题：在实际问题中，大家常见到一些配套组合问题，如眼镜片与镜架的配套、螺栓与螺母的配套、盒身与盒底的配套等。解决这类问题的方法是抓住配套关系比，设出未知数，根据配套关系列出方程组，通过解方程组来解决问题。
6.方案设计问题：把实际问题转化为方程问题，设出两个未知数，根据题目提供的等量关系列出方程组解决问题，再通过计算，比较得到最优方案。
【变式演练】
1．（2021·广西贺州·中考真题）为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过时，超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为，缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家，用水量为，缴纳水费51.4元．
（1）问该市一级水费，二级大费的单价分别是多少？
（2）某户某月缴纳水费为64.4元时，用水量为多少？
【答案】（1）一级水费的单价为3.2元/，二级水费的单价为6.5元/；（2）
【分析】（1）设该市一级水费的单价为元/，二级水费的单价为元/，根据题意，列出二元一次方程组，即可求解；
（2）先判断水量超过，设用水量为，列出方程，即可求解.
【解析】（1）设该市一级水费的单价为元/，二级水费的单价为元/，
依题意得，解得，
答：该市一级水费的单价为3.2元/，二级水费的单价为6.5元/．
（2）当水费为64.4元，则用水量超过，
设用水量为，得，，
解得：．
答：当缴纳水费为64.4元时，用水量为．
2．（2021·海南·中考真题）为了庆祝中国共产党成立100周年，某校组织了党史知识竞赛，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍对表现优异的班级进行奖励．若购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需280元；若购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需480元．求1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各是多少元？
【答案】1副乒乓球拍80元，1副羽毛球拍120元．
【分析】根据题意设1副乒乓球拍和1副羽毛球拍的单价，列出二元一次方程组求解即可．
【解析】设1副乒乓球拍x元，1副羽毛球拍y元，依题意得

解得
答：1副乒乓球拍80元，1副羽毛球拍120元．
3．（2021·四川泸州·中考真题）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．
（1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
（2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完(A、B两种货车均满载)，其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少．
【答案】（1）1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨；（2）共有3种租车方案，方案1：租用A型车8辆，B型车2辆；方案2：租用A型车5辆，B型车6辆；方案3：租用A型车2辆，B型车10辆；租用A型车8辆，B型车2辆最少．
【分析】（1）设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据“3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨”列方程组求解可得；
（2）设货运公司安排A货车m辆，则安排B货车n辆．根据“共有190吨货物”列出二元一次方程组，结合m，n均为正整数，即可得出各运输方案．再根据方案计算比较得出费用最小的数据．
【解析】解：（1）1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，
根据题意可得：，
解得：，
答：1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨；
（2）设安排A型车m辆，B型车n辆，
依题意得：20m+15n=190，即，
又∵m，n均为正整数，
∴或或，
∴共有3种运输方案，
方案1：安排A型车8辆，B型车2辆；
方案2：安排A型车5辆，B型车6辆；
方案3：安排A型车2辆，B型车10辆．
方案1所需费用：5008+4002=4800(元)；
方案2所需费用：5005+4006=4900(元)；
方案3所需费用：5002+40010=5000(元)；
∵4800＜4900＜5000，
∴安排A型车8辆，B型车2辆最省钱，最省钱的运输费用为4800元．
1．（2022·内蒙古包头·九年级期末）若关于x的方程x2＝2x＋a有一个根为－1，则a的值为（ ）
A．3B．1C．0D．2
【答案】A
【分析】将x=-1代入方程x2＝2x＋a，求出a即可．
【解析】解：将x=-1代入方程x2＝2x＋a，得-2+a=1，
解得a=3，
故选：A．
2．（2022·河南·郑州外国语中学九年级期末）若方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．且D．且
【答案】B
【分析】若方程为一元二次方程，则有，，求解；若，方程为一元一次方程，判断有实数根，进而求解取值范围即可．
【解析】解：若方程为一元二次方程，则有，
解得且
若，方程为一元一次方程，有实数根
故选B．
3．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校九年级期末）某种常用药品降价40%后的价格为a元，则降价前此药品的价格为（ ）
A．a元B．a元C．40%a元D．60%a元
【答案】B
【分析】设降价前此药品的价格为元，再表示降价40%后的价格为再列方程解方程可得答案.
【解析】解：设降价前此药品的价格为元，
则
解得：
故选B
4．把方程＝1去分母后正确的是（ ）
A．4x﹣3（x﹣1）＝1B．4x﹣3x﹣3＝12
C．4x﹣3（x﹣1）＝12D．4x+3x﹣3＝12
【答案】C
【分析】方程两边乘以12得到结果，即可作出判断．
【解析】解：方程＝1，
去分母得：4x﹣3（x﹣1）＝12．
故选：C．
5．（2021·湖北武汉·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱．多出3钱；每人出7钱，差4钱．问人数，物价各是多少？若设共有人，物价是钱，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设共有x人，根据物价不变列方程；设物价是钱，根据人数不变即可列出一元一次方程；由此即可确定正确答案
【解析】解：设共有x人，则有8x-3=7x+4
设物价是钱，则根据可得：
故选D．
6．二元一次方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据加减消元法，由①+②得出11x＝33，求出x，再把x＝3代入①求出y即可．
【解析】解：，
由①+②，得11x＝33，
解得：x＝3，
把x＝3代入①，得9+2y＝13，
解得：y＝2，
所以方程组的解是，
故选：C．
7．下列方程是二元一次方程的是（ ）
A．x﹣xy＝1B．x2﹣y﹣2x＝1C．3x﹣y＝1D．﹣2y＝1
【答案】C
【分析】根据二元一次方程的定义逐个判断即可．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．
【解析】解：A、x﹣xy＝1含有两个未知数，但未知数的最高次数是2次，∴x﹣xy＝1不是二元一次方程；B、x2﹣y﹣2x＝1含有两个未知数．未知数的最高次数是2次，∴x2﹣y﹣2x＝1不是二元一次方程；C、3x﹣y＝1含有两个未知数，未知数的最大次数是1次，∴3x﹣y＝1是二元一次方程；D、﹣2y＝1含有两个未知数，但分母上含有未知数，不是整式方程，∴﹣2y＝1不是二元一次方程．故选：C．
8．己知是关于，的二元一次方程的解，则的值是（ ）
A．3B．C．2D．
【答案】A
【分析】将代入关于x，y的二元一次方程2x-y=27得到关于k的方程，解这个方程即可得到k的值．
【解析】解：将代入关于x，y的二元一次方程2x-y=27得：
2×3k-（-3k）=27．
∴k=3．
故选：A．
9．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？大意是说：九枚黄金与十一枚白银重量相等，互换一枚，黄金比白银轻13两，问：每枚黄金、白银的重量各为多少？设一枚黄金的重量为x两，一枚白银的重量为y两，则可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题目中的等量关系列出二元一次方程组即可．
【解析】解：设一枚黄金的重量为x两，一枚白银的重量为y两，则可列方程组为
．
故选：D．
10．（2021·天津·中考真题）方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接利用加减消元法解该二元一次方程组即可．
【解析】，
②-①得：，即，
∴．
将代入①得：，
∴．
故原二元一次方程组的解为．
故选B．
11．关于的二元一次方程组的解满足，则k的值是（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】B
【分析】解方程组，用含的式子表示，然后将方程组的解代入即可．
【解析】解：，
①－②得：，
∵，
∴，
解得：，
故选：B．
12．（2021·河北兴隆·二模）已知，则用含的代数式表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】消去t，确定出x与y的关系式即可．
【解析】解：，
①×2+②得：2x+y=9，即y=-2x+9，
故选：A．
13．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学九年级）一个扇形的弧长是，面积是，则此扇形的半径为__________．
【答案】
【分析】设此扇形的半径为：，扇形的圆心角为，根据弧长公式和扇形面积计算公式的性质，分别得，，再通过求解一元一次方程，即可得到答案．
【解析】设此扇形的半径为：，扇形的圆心角为
根据题意，得：，
将代入到，得：
∴
故答案为：．
14．（2021·重庆·西南大学附中九年级期中）在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植A、B、C三种经济作物增加收入，经过一段时间，该村已种植的A、B、C三种经济作物的面积之比为3：2：4，单位面积产值之比为1：2：2，为了进一步提高该村的经济收入，将在该村余下土地上继续种植这三种经济作物，经测算需将余下土地面积的种植C经济作物，则C的种植总面积将达到这三种经济作物种植总面积的，且A、B、C三种经济作物的总产值提高了，则该村还需种植A、B两种经济作物的面积之比是__________．
【答案】2:3
【分析】设该村已种植A经济作物面积3m，种植A经济作物单位面积产值为n，根据三种经济作物的面积之比以及单位面积产值之比可得该村已种植B经济作物面积2m，已种植C经济作物面积4m，种植B经济作物单位面积产值为2n，种植C经济作物单位面积产值为2n，设余下的面积为z，增加种植C经济作物，可列方程，可得z=3m，设该村还需种植A种经济作物的面积a，还需种植B两种经济作物的面积，利用A、B、C三种经济作物的总产值提高了，列方程，解方程即可．
【解析】解：设该村已种植A经济作物面积3m，种植A经济作物单位面积产值为n，
∵该村已种植的A、B、C三种经济作物的面积之比为3：2：4，单位面积产值之比为1：2：2，
∴该村已种植B经济作物面积2m，已种植C经济作物面积4m，种植B经济作物单位面积产值为2n，种植C经济作物单位面积产值为2n，
设余下的面积为z，
∴增加种植C经济作物，
∴，
解得z=3m，
设该村还需种植A种经济作物的面积a，还需种植B两种经济作物的面积3m-a-，
A作物面积：，B作物面积：，C作物面积：，
A、B、C三种经济作物的总产值为，
=
=，
A、B、C三种经济作物的原总产值=，
∴，
解得，，
该村还需种植A、B两种经济作物的面积之比是，
故答案为：2:3．
15．（2022·重庆綦江·九年级期末）为迎接一年一度的“春节”的到来，綦江区某水果店推出了A、B、C三类礼包，已知这三类礼包均由苹果、芒果、草莓三种水果搭配而成，每袋礼包的成本均为苹果、芒果、草莓三种水果成本之和．每袋A类礼包有5斤苹果、2斤芒果、8斤草莓；每袋C类礼包有7斤苹果、1斤芒果、4斤草莓．已知每袋A的成本是该袋中苹果成本的3倍，利润率为30%，每袋B的成本是其售价的，利润是每袋A利润的；每袋C礼包利润率为25%．若该店12月12日当天销售A、B、C三种礼包袋数之比为2：1：5，则当天该水果店销售总利润率为_______．
【答案】26%
【分析】根据利润率和成本、销售之间的关系式利润率=×100%可设苹果、芒果、草莓三种水果成本x、y、z，可用x表示A的成本为5x×3=15x，利润15x×30%=4.5x，售价为19.5x．B的利润为4.5x×=2x，售价为12x，成本为10x．同理可求出C的成本12x，售价为15x．再根据三种礼包销售量求出总的销售额，最后求出总利润率．
【解析】解：设苹果、芒果、草莓三种水果的成本分别为x、y、z，
则5x+2y+8z=3×5x．
∵每袋A的成本是15x，利润率为30%，
∴每袋A的利润为4.5x，售价为15x（1+30%）=19.5x，
∵每袋B的成本是其售价的，利润是每袋A利润的，
∴B的利润为4.5x×=2x，售价为12x，成本为10x．
∵每袋C礼包利润率为25%，成本为7x+y+4z=12x，
∴C的售价为15x．
∵A、B、C三种礼包袋数之比为2：1：5，
∴；
故答案为：26%．
16．（2021·四川遂宁·中考真题）已知关于x，y的二元一次方程组满足，则a的取值范围是____．
【答案】．
【分析】根据题目中方程组的的特点，将两个方程作差，即可用含a的代数式表示出，再根据，即可求得的取值范围，本题得以解决．
【解析】解：
①-②，得
∵
∴，
解得，
故答案为：．
17．（2022·重庆市第七中学校九年级开学考试）重庆某大学对重庆某村实施“技术助农”．该村种植有A、B、C三种经济作物，助农前，A，B，C三种作物亩数比例为2：5：3；助农后，三种经济作物的亩数都得以增加，其中B作物增加的亩数占总增加亩数的．助农前，C作物的亩产量是B作物亩产量的2.5倍，A，B两种作物的亩产量之和恰好是C作物的亩产量；助农后，A，B两种作物的亩产量分别增加了和，A，B两种作物的亩产量之和恰好仍是C作物的亩产量．若助农后，B作物的产量比助农前A，B产量之和多，而C作物的产量比助农前A，B，C三种作物产量的总和还多5%，则助农前后A作物的产量之比为______．
【答案】10：19
【分析】设助农前，A，B，C三种作物亩数分别为：2a，5a，3a，B作物亩产量为b，则C作物的亩产量是2.5b，A作物的亩产量为2.5b﹣b＝1.5b；利用助农后，A，B两种作物的亩产量分别增加了和，可得助农后，A，B两种作物的亩产量分别为：1.5b（1+），b（1+），利用A，B两种作物的亩产量之和恰好仍是C作物的亩产量，可得C作物的亩产量为1.5b（1+）+b（1+）；设助农后增加的总亩数为x，C作物增加的亩数为y，则B作物增加的亩数为x，A作物增加的亩数为（x﹣x﹣y），利用助农后，B作物的产量比助农前A，B产量之和多，而C作物的产量比助农前A，B，C三种作物产量的总和还多5%，列出方程组求得x，n，即可表示助农前后A作物的产量，结论可求．
【解析】解：设助农前，A，B，C三种作物亩数分别为：2a，5a，3a，B作物亩产量为b，
则C作物的亩产量是2.5b，A作物的亩产量为2.5b﹣b＝1.5b．
∵助农后，A，B两种作物的亩产量分别增加了和，A，B两种作物的亩产量之和恰好仍是C作物的亩产量，
∴助农后，A作物的亩产量为：1.5b（1+）＝2b，
B作物的亩产量为：b（1+）＝b，
C作物的亩产量为：1.5b（1+）+b（1+）＝b．
设助农后增加的总亩数为x，C作物增加的亩数为y，
则B作物增加的亩数为x，A作物增加的亩数为（x﹣x﹣y），
∴，
解得：．
∴助农前A作物的产量为：2a×b＝，
助农后A作物的产量为：（2a+x﹣x﹣y）×2b＝5.7ab．
∴助农前后A作物的产量之比为：10：19．
故答案为：10：19．
18．已知关于x，y的方程组，其中a是实数．
（1）若x＝y，则a＝____．
（2）若代数式x2﹣kxy+9y2的值与a的取值无关，则k＝____．
【答案】 6
【分析】①直接将代入方程组的第一个方程中即可得出a的取值；
②先将方程组解出，得到，化简代数式为：，使代数式的值与a的取值无关，求出，则令中，即可得出k的值．
【解析】解：①当时，代入原方程组中第一个方程可得：
，
解得：；
②解方程组：，
解得：，
，
∵代数式的取值与a无关，
∴，
∴．
故答案为：①；②．
19．解方程：
（1）3（x﹣4）=2（x＋5）；
（2）﹣1=．
【答案】（1）x=22；（2）
【分析】（1）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1解答即可；
（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解答即可．
【解析】解：（1）3（x﹣4）=2（x+5），
去括号得：3x﹣12=2x+10，
移项得：3x﹣2x=10+12，
合并同类项得：x=22；
（2），
去分母得：3（3y+1）﹣6=2（y﹣2），
去括号得：9y+3﹣6=2y﹣4，
移项得：9y﹣2y=﹣4+6﹣3，
合并同类项得：7y=﹣1，
系数化为1得：y=﹣．
20．解方程：
（1）2（x+1）＝1﹣（x+3）．
（2）+1＝．
【答案】（1）x＝﹣；（2）x＝﹣1
【分析】（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解析】解：（1）去括号得：2x+2＝1﹣x﹣3，
移项合并得：3x＝﹣4，
解得：x＝﹣；
（2）去分母得：
去括号得：10x﹣14+12＝9x﹣3，
移项合并得：x＝﹣1．
21．解方程组：．
【答案】
【分析】由①-②先消去 求解 再把代入①求解 从而可得答案.
【解析】解：，
①﹣②得：﹣2x＝﹣2，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：1+2y＝7，
解得：y＝3，
所以原方程组的解为．
22．（2021·广东花都·二模）解方程组：．
【答案】
【分析】根据加减消元法解二元一次方程组即可．①﹣②求出x＝3，把x＝3代入②得出3+y＝2，再求出y即可．
【解析】解：，
①﹣②，得x＝3，
把x＝3代入②，得3+y＝2，
解得：y＝﹣1，
所以方程组的解是．
23．（2021·重庆市江津中学校九年级期中）良好的生态环境是最公平的公共产品，最普惠的民生福祉．为美化社区，某社区在一月份购买了甲，乙两种绿色植物共1100盆，花费27000元．已知甲种绿色植物每盆20元，乙种绿色植物每盆30元．
（1）该社区一月份购买甲，乙两种绿色植物各多少盆？
（2）二月份，该社区决定再次购买甲，乙两种绿色植物．因创卫需要，该社区二月份购买甲种绿色植物的数量比一月份购买甲种绿色植物的数量增加了，甲种绿色植物每盆的价格不变．购买乙种绿色植物的数量与一月份购买乙种绿色植物的数量相同，乙种绿色植物每盆的价格比一月份购买乙种绿色植物的价格贵了．若该社区二月份的总花费比一月份的总花费多6000元，求的值．
【答案】（1）该社区一月份购买甲种绿色植物600盆，购买乙种绿色植物500盆；（2）80．
【分析】（1）设该社区一月份购买甲种绿色植物x盆，购买乙种绿色植物y盆，根据“该社区在一月份购买了甲、乙两种绿色植物共1100盆，共花费了27000元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据总价=单价×数量结合该社区二月份的总花费比一月份的总花费多6000元，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】解：（1）设该社区一月份购买甲种绿色植物盆，购买乙种绿色植物盆．
，解得，
答：该社区一月份购买甲种绿色植物600盆，购买乙种绿色植物500盆．
（2）依题意得：
解得：，
答：的值为80．
24．（2021·重庆市育才中学九年级开学考试）若一个三位正整数，十位数字为，则称这个三位正整数为“行知数”；若将这个“行知数”的个位数字与百位数字交换位置得到新的正整数记为，并记．例如：．
若“行知数”的个位数字与百位数字恰好相同，则又称这个“行知数”为“行知对称数”，如：，等．
（1）最小的“行知数”是________；________；
（2）已知两个“行知数”和，其中是“行知对称数”，且能被整除，，求出满足条件的的值．
【答案】（1）130；363；（2）满足条件n的值为439、538、637、736、835、934
【分析】（1）根据题中所给定义可直接进行求解；
（2）由题意可设，则有，由且能被整除可得，则，然后设n的个位数为a，百位数为b，（），则有，进而可得，则，最后进行分类讨论求解即可．
【解析】解：（1）由题意得：
最小的“行知数”是130；；
故答案为130；363；
（2）由是“行知对称数”，所以设（），则有，
∴，
∵能被整除，
∴在中，只有符合题意；
∴，
设n的个位数为a，百位数为b，（），则有，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当，时，则；当，时，则；当，时，则；当，时，则；当，时，则；当，时，则；
综上所述：满足条件n的值为439、538、637、736、835、934．
25．（2021·吉林·三模）列方程解应用题：在庆祝深圳经济特区建立40周年的活动中，八年级组购买了“小红旗”装饰各班教室，家委会先后两次在同一家商店以相同的单价购买了两种材质的“小红旗”， 第一次购买300个塑料材质的“小红旗”， 200个涤纶材质的“小红旗”，共花费660元；第二次购买100个塑料材质的“小红旗”，300个涤纶材质的“小红旗"共花费570元，求这两种材质的“小红旗”单价各为多少元?
【答案】塑料材质的“小红旗”的单价为1.6元，涤纶材质的“小红旗”的单价为1.5元
【分析】设塑料材质的“小红旗"的单价为x元，涤纶材质的“小红旗”的单价为y元，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解析】解：设塑料材质的“小红旗”的单价为x元，涤纶材质的“小红旗”的单价为y元．
由题意得：，
解得：x=1.2y=1.5，
答：塑料材质的“小红旗”的单价为1.6元，涤纶材质的“小红旗”的单价为1.5元．
26．（2021·广西玉林·九年级期末）已知：用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货13吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货14吨．某物流公司现有45吨货物，计划租用型车辆，型车辆（一种或两种车型都可），一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆型车和1辆车型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
(2)若型车每辆需租金110元次，型车每辆需租金150元次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【答案】(1)1辆型车载满货物一次可运货4吨，1辆型车载满货物一次可运货5吨
(2)最省钱的租车方案为：租用10辆型车，1辆型车，最少租车费为1250元
【分析】（1）设1辆A型车载满货物一次可运货吨，1辆B型车载满货物一次可运货吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货13吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货14吨”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据“一次性运45吨货物，且恰好每辆车都载满货物”，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为自然数，即可得出各租车方案，再求出选择各租车方案所需租车费，比较后即可得出结论．
【解析】(1)设1辆A型车载满货物一次可运货吨，1辆B型车载满货物一次可运货吨，
依题意得：，
解得：．
答：1辆A型车载满货物一次可运货4吨，1辆B型车载满货物一次可运货5吨；
(2)依题意得：，
．
又，均为自然数，
或或，
共有3种租车方案，
方案1：租用9辆B型车，所需总租金为（元；
方案2：租用5辆A型车，5辆B型车，所需总租金为（元；
方案3：租用10辆A型车，1辆B型车，所需总租金为（元．
，
最省钱的租车方案为：租用10辆A型车，1辆B型车，最少租车费为1250元．
27．（2021·重庆实验外国语学校九年级）对于一个四位自然数M，如果M满足各个数位上的数字不全相同且均不为0，它的千位数字减去百位数字之差等于十位数字减去个位数字之差，那么称这个数M为“均衡数”．对于一个“均衡数”M，将它的前两位数减去后两位数所得记为s，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为t，定：F（M）＝，例如：M＝9764，因为9﹣7＝6﹣4，故：9764是一个“均衡数”，所以：s＝97﹣64＝33，t＝96﹣74＝22，则：F（9764）＝＝5．
（1）求出F（8541）和F（1234）的值；
（2）若自然数P，Q都是“均衡数”，其中P＝1000x+10y﹣515，Q＝100m+n+2041（2≤x≤9，2≤y≤9，1≤m≤9，0≤n≤8，x，y，m，n都是整数），规定： ，当F（P）﹣2F（Q）＝8时，求k的最大值．
【答案】（1）7，-3；（2）
【分析】（1）根据新定义，仿照样例进行解答便可；
（2）根据新定义与已知条件，分别求出，再由自然数P，Q都是“均衡数”可得，，最后根据求得，即可利用字母的取值范围便可求出k的最值．
【解析】解：（1），
∴，
，
∴；
（2）∵，
∴．
∵自然数P，Q都是“均衡数”，
∴，则．
∴．
∵，
∴．
∴，则．
∴．
当时，则，
∴．
∵2≤y≤9， 0≤n≤8， y，n都是整数，
∴y是奇数，
∴当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
∴k的最大值为．
28．（2021·浙江永嘉·一模）我国最新的个人所得税“起征点”是5000元，即月工资超过5000元的部分需要缴纳税收，具体如表，其中应纳税所得额＝月工资﹣5000﹣专项扣除金额﹣依法确定的其他扣除金额．
（1）某员工的应纳税所得额为4000元，求该员工缴纳的税额是多少？
（2）我国专项扣除的常见项目及金额如下：①每个子女教育扣除2000元；②住房贷款扣除2000元；③赡养每位老人扣除2000元．某公司一技术专家的月工资是40000元，他有1个读初中的子女、一套住房的贷款和赡养2位老人，则该技术专家缴纳的税额是多少元？
（3）公益捐赠属于依法确定的其他扣除项目，在（2）的基础上，该技术专家在三月份参加了公益捐赠活动后，实际收入33610元，求该技术专家在三月份捐赠了多少元？
【答案】（1）190元；（2）4090元；（3）3000元
【分析】（1）根据题意可以计算出该员工需缴纳的个人所得税；
（2）根据题意减去专项扣除的常见项目；可计算技术专家需缴纳的个人所得税；
（3）设该技术专家在三月份实际纳税额x，元捐赠了y元，公益捐赠属于依法确定的其他扣除项目，根据实际收入可计算出捐赠数；
【解析】解：（1）由题意可得，应纳税所得额为4000元
0-3000元部分：3000×3%=90
3000-4000元部分：（4000-3000）×10%=100
100+90=190元
答：该员工缴纳的税额是190元；
（2）应纳税所得额=40000-5000-2000-2000-2×2000=27000
依据税率表分级计算：
0-3000元部分：3000×3%=90
3000-12000元部分：（12000-3000）×10%=900
12000-25000元部分：（25000-12000）×20%=2600
25000-27000元部分：（27000-25000）×25%=500
90+900+2600+500=4090元
答：该技术专家缴纳的税额是4090元.
（3）设实际纳税额x元，公益捐赠了y元，
40000-33610=6390元
∵y＞6390-4090=2300
∴27000-y＜24700，即应纳税所得额不足25000元
由题意可列方程组
解得
答：技术专家在三月份捐赠了3000元．
2020年个人所得税税收表（工资薪金所得适用）
级数
应纳税所得额
税率
1
0至3000元的部分
3%
2
超过3000元至12000元的部分
10%
3
超过12000元至25000元的部分
20%
4
超过25000元至35000元的部分
25%
5
超过35000元至55000元的部分
30%