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八年级数学下学期期中测试卷(人教版,广东专用)02
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八年级下学期期中考试数学试卷答案(测试范围:第16章~第19章,满分:120分,时间:90分钟) 一、单选题(每题3分,共30分)1.下列根式中是最简二次根式的是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析:利用最简二次根式的定义分析得出答案.选项A:被开方数中含有分母,故不是最简二次根式;选项C:,故不是最简二次根式;选项D:,故不是最简二次根式.故选B.考点:最简二次根式.2.计算的结果为( )A.±3 B.-3 C.3 D.9【答案】C【解析】【分析】根据=|a|进行计算即可.【详解】=|-3|=3,故选:C.【点睛】此题考查了二次根式的性质,熟练掌握这一性质是解题的关键.3.下列长度的线段,首尾顺次相接不能拼成直角三角形的是( )A.3,4,5 B. C.1,2,3 D.5,12,13【答案】C【分析】根据勾股定理的逆定理逐项判断即可得.【详解】A、,能拼成直角三角形,此项不符题意B、,能拼成直角三角形,此项不符题意C、,不能拼成直角三角形,此项符合题意D、,能拼成直角三角形,此项不符题意故选:C.【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理,熟记勾股定理的逆定理是解题关键.4.已知平行四边形ABCD中,∠B=5∠A,则∠C=( )A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】A【解析】试题解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∠A=∠C,∴∠A+∠B=180°,∵∠B=5∠A,∴∠A+5∠A=180°,解得:∠A=30°,∴∠C=30°,故选:A.5.如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,则下列条件中不能判定四边形ABCD为矩形的是( )A.AB=AD B.OA=OB C.AC=BD D.DC⊥BC【答案】A【解析】【分析】根据矩形的判定定理:有一个角是直角的平行四边形是矩形,对角线相等的平行四边形是矩形分别进行分析即可.【详解】A、不能判定四边形ABCD为矩形,故此选项符合题意;B、由AO=BO可证明AC=BD,能判定四边形ABCD为矩形,故此选项不符合题意;C、AC=BD能判定四边形ABCD为矩形,故此选项不符合题意;D、DC⊥BC能判定四边形ABCD为矩形,故此选项不符合题意;故选:A.【点睛】此题主要考查了矩形的判定,关键是熟练掌握矩形的判定定理.6.如图,在菱形ABCD中,∠A=130°,连接BD,∠DBC等于( )A.25° B.35° C.50° D.65°【答案】A【解析】【分析】直接利用菱形的性质得出∠C的度数,再利用等腰三角形的性质得出答案.【详解】∵在菱形ABCD中,∠A=130°,∴∠C=130°,BC=DC,∴∠DBC=∠CDB=(180°-130°)=25°.故选A.【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及等腰三角形的性质,正确应用菱形的性质是解题关键.7.如图是边长为1的4×4的正方形网络,已知A,B,C三点均在正方形格点上,则点A到线段BC所在直线的距离是( )A. B. C.2 D.2.5【答案】C【分析】连接AC,过点A作AH⊥BC于点H,根据勾股定理以及勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形,∠CAB=90°,再根据三角形的面积即可求得答案.【详解】连接AC,过点A作AH⊥BC于点H,由勾股定理可得:AB2=22+42=20,AC2=12+22=5,BC2=32+42=25,AB2+AC2=BC2,∴△ABC是直角三角形,∠CAB=90°,∴S△ABC=AB•AC==5,又∵S△ABC=BC•AH,∴AH=5,∴AH=2,即点A到线段BC所在直线的距离是2,故选C. 【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的面积等,用不同的方法表示三角形的面积是解题的关键.8.已知一个三角形三边长为6,8,10,则这个三角形最大边的中线长是 A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】首先根据勾股定理的逆定理可判定此三角形是直角三角形,则最大边上的中线即为斜边上的中线,然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,从而得出结果.【详解】,三边长分别为6、8、10的三角形是直角三角形,最大边是斜边为10.最大边上的中线长为5.故选C.【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理及直角三角形的性质,掌握勾股定理的逆定理是解题的关键.9.如图,将长方形纸片ABCD折叠,使点D与点B重合,点C落在点C'处,折痕为EF,若∠ABE=25°,则∠EFC'的度数为( )A.122.5° B.130° C.135° D.140°【答案】A【分析】由折叠的性质知:∠EBC′、∠BC′F都是直角,因此BE∥C′F,那么∠EFC′和∠BEF互补,欲求∠EFC′的度数,需先求出∠BEF的度数;根据折叠的性质知∠BEF=∠DEF,而∠AEB的度数可在Rt△ABE中求得,由此可求出∠BEF的度数,即可得解.【详解】解:Rt△ABE中,∠ABE=25°,∴∠AEB= 65°;由折叠的性质知:∠BEF=∠DEF;而∠BED=180°﹣∠AEB=115°,∴∠BEF= 57.5°;∵∠EBC′=∠D=∠BC′F=∠C=90°,∴BE∥C′F, ∴∠EFC′=180°﹣∠BEF=122.5°.故选:A.【点睛】本题主要考查折叠的性质及平行线的性质,掌握折叠的性质及平行线的性质是解题的关键.10.如图,正方形边长为4,对角线上有一动点,过作于,于,连结,则的最小值为( )A. B.2 C.4 D.【答案】A【分析】连接PB,由矩形性质可知EF=BP,由垂线段最短可知,当BP⊥AC时,BP最小,利用正方形性质求得AC的长,从而利用三角形面积求得BP的长即可即可.【详解】解:连接PB,∵,,正方形ABCD中,∠ABC=90°∴四边形PFBE是矩形∴EF=BP当BP⊥AC时,BP最小,即EF最小在正方形ABCD中,∴,解得:∴EF的最小值为故选:A.【点睛】本题主要考查的是矩形的判定与性质,正方形性质的应用,关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答. 二、填空题(每题4分,共28分)11.当x___________ 时,式子在实数范围内无意义.【答案】<2 【解析】试题解析:由二次根式无意义的条件知:x-2<0,解得:x<2.12.已知一个直角三角形的两条直角边长分别为5cm、12cm,那么第三条斜边的长是 _________【答案】13cm【分析】根据勾股定理计算即可.【详解】∵三角形是直角三角形,且两条直角边长分别为5cm、12cm∴斜边长:cm故答案为:13cm【点睛】本题考查勾股定理,掌握勾股定理求算是解题关键.13.已知实数x,y满足+(y+2)2=0,那么xy的值为________.【答案】4【分析】首先利用二次根式以及偶次方的性质得出、的值,进而利用负指数幂的性质得出答案.【详解】,,,解得:,,故.故答案为:.【点睛】此题主要考查了二次根式以及偶次方的性质,正确得出,的值是解题关键.14.在正方形ABCD中,∠CBF=25°,BF交对角线AC于E点,则∠AED=_____.【答案】70°.【解析】【分析】根据正方形是轴对称图形,利用轴对称图形的性质进行求解.【详解】∵四边形ABCD是正方形,
∴直线AC是对称轴,∠ACB=45°,
∴∠AED=∠AEB,
∵∠AEB=∠EBC+∠ACB=25°+45°=70°,
∴∠AED=70°,
故答案是:70°.【点睛】本题考查正方形的性质、轴对称图形的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.15.如果等腰直角三角形的一条腰长为1,则它底边的长=________.【答案】【分析】根据等腰直角三角形两腰相等及勾股定理求解即可.【详解】解:∵等腰直角三角形的一腰长为1,则另一腰长也为1∴由勾股定理知,底边的长为故答案为:.【点睛】本题考查了等腰三角形的腰相等,勾股定理等知识点,熟练掌握基本的定理及图形的性质是解决此类题的关键.16.已知矩形ABCD,对角线AC、BD相交于点O,点E为BD上一点,OE=1,连接AE,∠AOB=60°,AB=2,则AE的长为_________.【答案】或【分析】由矩形的性质可得OA=OB,可证,△AOB是等边三角形,可得AO=AB=BO=2,由等边三角形的性质可证AE⊥BO,由勾股定理可求解.【详解】∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OB,又∠AOB=60°∴△AOB是等边三角形,∴OA=OB=AB=2,∵OE=1∴点E是OB的中点或OD的中点,如图若点E是OB的中点,则AE⊥BO,∴在Rt△AEO中,AE===,若点E是OD的中点,则=2,
∴在Rt△中,===,故AE的长是或.【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及等边三角形的判定与性质,点E位置的确定是解决本题的关键,避免丢掉.17.如图,矩形中,,,点从 开始沿折线以的速度运动,点从开始沿边以的速度移动,如果点、分别从、同时出发,当其中一点到达时,另一点也随之停止运动,设运动时间为,当________时,四边形也为矩形.【答案】【分析】四边形APQD为矩形,也就是AP=DQ,分别用含t的代数式表示,列出方程求解即可.【详解】根据题意,当AP=DQ时,四边形APQD为矩形.此时,4t=20-t,解得t=4(s).故答案是:4.【点睛】本题考查了矩形的判定与性质.此题利用了矩形的对边相等的性质进行解题的. 三、解答题(每题6分,共18分)18.先化简,再求值:,其中【答案】,【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果,将x的值代入计算即可.【详解】解:原式,当时,原式.【点睛】此题考查了分式的化简求值及二次根式的计算,熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键.19.如图,在平行四边形ABCD中,若AB=6,AD=10,∠ABC的平分线交AD于点E,交CD的延长线于点F,求DF的长.【答案】4【分析】首先根据平行四边形的性质可得AB=DC=6,AD=BC=10,AB∥DC,再根据平行线的性质与角平分线的性质证明∠2=∠3,根据等角对等边可得BC=CF=10,再用CF﹣CD即可算出DF的长.【详解】∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=DC=6,AD=BC=10,AB∥DC. ∵AB∥DC,∴∠1=∠3,又∵BF平分∠ABC,∴∠1=∠2,∴∠2=∠3,∴BC=CF=10,∴DF=CF﹣DC=10﹣6=4.【点睛】本题考查了平行四边形的性质;等腰三角形的判定与性质,熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.20.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,折叠纸片,使AD边与对角线BD重合,得折痕DG,求DG的长.【答案】【解析】【分析】设AG=x,由勾股定理可求得BD的长,又由折叠的性质,可求得A′B的长,然后由勾股定理可得方程:x2+22=(4﹣x)2,解此方程即可求得AG的长,继而求得答案.【详解】解:设AG=x,∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,∵AB=4,AD=3,∴BD==5,由折叠的性质可得:A′D=AD=3,A′G=AG=x,∠DA′G=∠A=90°,∴∠BA′G=90°,BG=AB﹣AG=4﹣x,A′B=BD﹣A′D=5﹣3=2,∵在Rt△A′BG中,A′G2+A′B2=BG2,∴x2+22=(4﹣x)2,解得:x=,∴AG=,∴在Rt△ADG中,DG=【点睛】本题主要考查了矩形的性质、翻折变换的性质以及勾股定理;解答的关键是利用勾股定理得到x2+22=(4﹣x)2.四、解答题(每题8分,共24分)21.如图,▱ABCD中,∠ABC的平分线BE交AD于点E.(1)求证:AE=AB;(2)若BC=8,CD=6,求DE的长度.【答案】(1)见解析;(2)2【分析】(1)根据平行四边形的性质求出AD∥BC,根据平行线的性质得出∠1=∠2,根据角平分线的定义得出∠2=∠3,求出∠1=∠3即可;(2)根据平行四边形的性质得出AD=BC=8,AB=CD=6,求出AE=AB=6即可.【详解】(1)证明:如图:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠1=∠2,∵BE平分∠ABC,∴∠2=∠3,∴∠1=∠3,∴AE=AB;(2)解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC=8,AB=CD=6,∴AE=AB=6,∴DE=AB-AE=2.【点睛】本题考查了平行四边形的性质,等腰三角形的判定和性质等知识点,能综合运用知识点进行推理是解此题的关键.22.如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F两点,垂足是点O.(1) 求证:△AOE≌△COF;(2) 问:四边形AFCE是什么特殊的四边形?(直接写出结论,不需要证明)【答案】(1)见解析 (2)四边形AFCE是菱形.【分析】(1)根据平行四边形ABCD的对边相互平行知,AD∥BC;然后由两直线平行,内错角相等,得∠EAO=∠FCO,∠AEO=∠CFO;最后根据全等三角形的判定定理ASA来证明△AOE≌△COF;
(2)由(1)可得AC与EF互相垂直平分,故可判断四边形AFCE是菱形.【详解】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC(
∴∠EAO=∠FCO,∠AEO=∠CFO
∵EF垂直平分AC,
∴OA=OC.
在△AOE和△COF中,
∠EAO=∠FCO,∠AEO=∠CFO,OA=OC.
∴△AOE≌△COF(ASA);
(2)由(1)得:△AOE≌△COF∴OE=OF又OA=OC∴四边形AFCE是平行四边形又∵EF⊥AC∴四边形AFCE是菱形.【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定、全等三角形的判定与性质.掌握平行四边形的性质与判定,菱形的判定定理是关键.23.如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点E,∠CBD=90°,BC=4,BE=ED=3,AC=10;(1)求证:四边形ABCD是平行四边形.(2)求四边形ABCD的面积.【答案】(1)证明见解析(2)24.【分析】(1)根据勾股定理,可得EC的长,根据对角线互相平分的四边形是平行四边形,可得四边形ABCD的形状; (2)根据平行四边形的面积公式,即可求解.【详解】(1)在Rt△BCE中,由勾股定理得:CE===5.∵BE=DE=3,AE=CE=5,∴四边形ABCD是平行四边形;(2)平行四边形ABCD的面积为BC•BD=4×(3+3)=24.所以平行四边形ABCD的面积为24.五、解答题(每题10分,共20分)24.如图,在平面直角坐标系中,点,,且,满足,点为上一个动点(不与,)重合),连接. 图1 图2(1)直接写出 ___________,___________;(2)如图1,过点作的垂线交过点平行于轴的直线于点,若点,求点的坐标;(3)如图2,以为斜边在右侧作等腰,.连接,当点从向运动过程中,的面积是否发生变化,请判断并说明理由.【答案】(1),;(2);(3)面积不变为4,理由见解析.【分析】(1)根据完全平方公式即可化简,再根据非负性求解;(2)过点作交轴于点,证明△APM为等腰直角三角形,再得到,得到,过作轴于点,根据得到,故可得到OM,即可求出AC的长,即可求解;(3)延长到,使, 得到为等腰三角形,再证明得到,根据直角三角形斜边上的中线性质得到AD=PD=DE,延长至点,使,得到四边形APFE为矩形,得到点在运动过程中,点在垂直平分线上运动,可得△BOD的BO边上的高为,再根据三角形的面积即可求解.【详解】(1)∵∴a+b=0,a-4=0,∴a=4,b=-4故答案为:,;(2)过点作交轴于点,∵A(0,4),B(-4,0)∴∠BAO=45°,∴△APM为等腰直角三角形,∵∠OPC=∠MPA=90°∴∠OPC-∠MPC=∠MPA-∠MPC∴∠OPM=∠CPA∴AP=MP,∠PAM=∠PMA=45°又∠PAC=∠PMO=135°∴,,过作轴于点,又,,,; (3)延长到,使,连接,,∵△POD为等腰直角三角形,∴PD=OD=DE,OD⊥PE则为等腰三角形,∴PO=EO∴AO=BO,∠POE=∠AOB=90°,∵∠POE-∠AOP=∠AOB-∠AOP∴∠POB=∠EOA∴(SAS),∴AD=PD=DE,延长至点,使,∴AD=DF=PD=DE,∴四边形APFE为矩形,,即,点在运动过程中,点在垂直平分线上运动,∴△BOD的BO边上的高为,.【点睛】此题主要考查四边形综合,解题的关键是熟知等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质及矩形的判定与性质.25.已知直角△ABC,∠BAC=90°,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF连接EF(1)如图1,求证:∠BED=∠AFD;(2)求证:BE2+CF2=EF2;(3)如图2,当∠ABC=45°,若BE=12,CF=5,求△DEF的面积.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)【分析】(1)利用四边形内角和得出∠AED+∠AFD=180°,再根据补角的性质即可得; (2)延长ED至点P,使ED=DP,构造全等三角形,利用全等三角形的性质得到直角三角形,由勾股定理及等量代换可得;(3)由(2)结论求EF长,再通过全等证明DE=DF,由面积公式求解.【详解】解:(1)∵DE⊥DF,∴∠EDF=90°,∵∠BAC=90°,∴∠AED+∠AFD=180°,∵∠AED+∠BED=180°,∴∠BED=∠AFD;(2)如图,延长ED至点P,使ED=DP,连接CP,EP,∵FD⊥EP,∴FD为EP的垂直平分线,∴EF=FP,∵ED=DP, ∠EDB=∠CDP,BD=CD,∴△EDB≌PDC,∴EB=CP, ∠B=∠DCP,∵∠BAC=90°,∴∠B+∠ACB=90°,∴∠DCP+∠ACB=90°,即∠ACP=90°,由勾股定理得,CP2+CF2=FP2,∴BE2+CF2=EF2;(3)如图,∵BE2+CF2=EF2∴52+122=EF2,∴EF=13,∵△ABC是等腰直角三角形,BD=CD,∴AD⊥BC, ∴∠ADC=90°, ∠BAD=∠B=∠C=45°,∵∠EDF=90°∴∠ADE=∠CDF,∴△ADE≌CDF,∴DE =DF= ,∴S△DEF= .【点睛】本题为三角形的综合应用,主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质,以及勾股定理等,构造全等三角形、掌握“倍长中线”型全等三角形的模型是解答此题的关键.
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