八年级数学下学期期中测试卷（人教版 河南专用）01

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八年级数学下学期期中测试卷01姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．下列式子中，为最简二次根式的是（　　）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：A、原式＝，不符合题意；B、是最简二次根式，符合题意；C、原式＝2，不符合题意；D、原式＝2，不符合题意；故选：B．2．以下列长度的线段为边，不能构成直角三角形的是（　　）A．2，3，4 B．1，1， C． D．5，12，13【答案】A【解析】解：A、∵22+32＝13≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项符合要求；B、∵12+12＝（）2，∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求；C、∵（）2+（）2＝（）2，∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求；D、∵52+122＝132，∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求．故选：A．3．下列命题中，真命题的是（　　）A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形【答案】D【解析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理进行判断即可．解：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，A是假命题；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，B是假命题；对角线相等且平分的四边形是矩形，C是假命题；对角线互相平分的四边形是平行四边形是真命题，故选：D．4．下列计算正确的是（　　）A．﹣＝ B．3×2＝6   C．（2）2＝16 D．＝1【答案】B【解析】解：与不是同类二次根式，不能合并，A错误；3×2＝6，B正确；（2）2＝8，C错误；＝，D错误；故选：B．5．已知Rt△ABC的三边长为a，4，5，则a的值是（　　）A．3 B． C．3或 D．9或41【答案】C【解析】解：当5为斜边长时，a＝＝3，当a为斜边长时，a＝＝，则a的值为3或，故选：C．6．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝6，则AB的长为（　　）A．4 B．4 C．3 D．5【答案】C【解析】先由矩形的性质得出OA＝OB，再证明△AOB是等边三角形，得出AB＝OB＝3即可．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝AC，OB＝BD＝3，AC＝BD＝6，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OB＝3，故选：C．7.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，小正方形的面积为9，则大正方形的边长为（　　）A．9 B．6 C．5 D．4【答案】C【解析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的边长．解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，∴大正方形的面积为：4×ab+（a﹣b）2＝16+9＝25，∴大正方形的边长为5．故选：C．8．在菱形ABCD中，∠A：∠B＝1：2，若周长为8，则此菱形中较短的那条对角线长为（　　）A．2 B．4 C．1 D．2【答案】D【解析】由菱形ABCD中，∠DAB：∠ABC＝1：2，可求得∠DAB的度数，由周长为8，可求得菱形的边长，然后由勾股定理求得菱形的两条对角线的长，即可求解．解：如图：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝AB＝BC＝CD，AC⊥BD，∵菱形ABCD的周长为8，∴AB＝2，AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∵∠DAB：∠ABC＝1：2，∴∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝2，∵在Rt△OAB中，∠OAB＝∠DAB＝30°，∴OB＝1，OA＝OB＝，∴AC＝2OA＝2，∵2＞2，∴较短的那条对角线长为2，故选：D．9.如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下落了（　　）米．A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【答案】A【解析】在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得：AC＝2米，由于梯子的长度不变，在直角三角形CDE中，根据勾股定理，得CE＝1.5米，所以AE＝0.5米，即梯子的顶端下滑了0.5米．解：在Rt△ABC中，AB＝2.5米，BC＝1.5米，故AC＝＝＝2米，在Rt△ECD中，AB＝DE＝2.5米，CD＝（1.5+0.5）米，故EC＝＝＝1.5米，故AE＝AC﹣CE＝2﹣1.5＝0.5米．故选：A．10．在《类比探究菱形的有关问题》这节网课中，老师给出了如下画菱形的步骤，请问这么画的依据是（　　）A．四条边都相等的四边形是菱形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形，两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形【答案】B【解析】根据邻边相等的平行四边形是菱形判断即可．解：由作图的第一步可知AD＝AB，由作图的第二步可知CD∥AB，由作图的第三步可知AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形），故选：B．二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．中a的取值范围　      　．【答案】a≥﹣1且a≠1．【解析】直接利用二次根式和分式的性质得出答案．解：由题意，得a+1≥0且a﹣1≠0．解得a≥﹣1且a≠1．故答案是：a≥﹣1且a≠1．12．已知，则x+y＝　  　．【答案】1．【解析】解：∵，∴，解得，则x+y＝﹣1+2＝1，故答案为1．13．已知菱形ABCD的面积是12cm2，一条对角线长为4cm，则菱形的边长是　  　cm．【答案】．【解析】根据菱形的面积公式求出另一对角线的长．然后因为菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求出菱形的边长．解：由菱形的面积公式，可得另一对角线长12×2÷4＝6，∵菱形的对角线互相垂直平分，根据勾股定理可得菱形的边长＝＝cm．故答案为．14.图中每个小方格的边长是l，若线段EF能与线段AB、CD组成一个直角三角形，则线段EF的长度是　   　．【答案】或．【解析】根据勾股定理得出AB，CD的长度，进而利用勾股定理的逆定理解答即可．解：AB＝，CD＝，当EF为斜边时，EF＝，当EF是直角边时，EF＝，故答案为：或．15.如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE+DF＝EF；④S正方形ABCD＝2+．其中正确的序号是　    　（把你认为正确的都填上）．【答案】①②④．【解析】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF，∵BC＝DC，∴BC﹣BE＝CD﹣DF，∴CE＝CF，∴①说法正确；∵CE＝CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CEF＝45°，∵∠AEF＝60°，∴∠AEB＝75°，∴②说法正确；如图，连接AC，交EF于G点，∴AC⊥EF，且AC平分EF，∵∠CAF≠∠DAF，∴DF≠FG，∴BE+DF≠EF，∴③说法错误；∵EF＝2，∴CE＝CF＝，设正方形的边长为a，在Rt△ADF中，AD2+DF2＝AF2，即a2+（a﹣）2＝4，解得a＝，则a2＝2+，S正方形ABCD＝2+，④说法正确，故答案为：①②④．三．解答题（本大题共8个小题，共75分）16.计算题（9分）（1）（+﹣）（﹣+）；（2）（﹣1）2+2（﹣）（+）；（3）（﹣﹣）×（﹣2）．【解析】解：（1）（+﹣）（﹣+）＝[+（﹣）][﹣（﹣）]＝2﹣（﹣）2＝2﹣（3+6﹣6）＝﹣7+6；（2）（﹣1）2+2（﹣）（+）＝2+1﹣2+2×（3﹣2）＝3﹣2+6﹣4＝3；（3）（﹣﹣）×（﹣2）＝×（﹣2）﹣×（﹣2）﹣×（﹣2）＝﹣12++＝﹣12+2+18＝8． 17．（9分）如图：正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点．（1）求△ABC的面积；（2）通过计算判断△ABC的形状；．（3）求AB边上的高．【解析】解：（1）△ABC的面积＝4×4﹣×4×2﹣×2×1﹣×3×4＝5； （2）由勾股定理得：AC2＝42+22＝20，BC2＝22+12＝5，AB2＝32+42＝25，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°； （3）∵AC＝＝2，BC＝，△ABC是直角三角形，∴AB边上的高＝＝＝2．18.（8分）如图，E、F分别为平行四边形ABCD的边BC、AD上的点，且∠1＝∠2，求证：AE＝CF．【解析】根据平行四边形的性质证明∠2＝∠FCB，进而可得∠1＝∠FCB，然后证明四边形AECF是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，∴∠2＝∠FCB，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠FCB，∴AE∥FC，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE＝CF．19.（10分）如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD＝3cm，AB＝4cm，CD＝13cm，BC＝12cm，求四边形ABCD的面积．【解析】连接BD，利用勾股定理求出BD的长，在△BDC中，判断它的形状，并求出它的面积，最后求出四边形ABCD的面积．解：连接BD，∵AD＝4cm，AB＝3cm，AB⊥AD，∴BD＝＝5（cm）∴S△ABD＝AB•AD＝6（cm2）．在△BDC中，∵52+122＝132，即BD2+BC2＝CD2，∴△BDC为直角三角形，即∠DBC＝90°，∴S△DBC＝BD•BC＝30（cm2）．∴S四边形ABCD＝S△BDC﹣S△ABD＝30﹣6＝24（cm2）．答：四边形ABCD的面积为24cm2．20．（10分）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．（1）求证：BD＝EC；（2）若∠E＝50°，求∠BAO的大小．【解析】（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB＝CD，AB∥CD，然后证明得到BE＝CD，BE∥CD，从而证明四边形BECD是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；（2）根据两直线平行，同位角相等求出∠ABO的度数，再根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，然后根据直角三角形两锐角互余计算即可得解．【解答】（1）证明：∵菱形ABCD，∴AB＝CD，AB∥CD，又∵BE＝AB，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四边形BECD是平行四边形，∴BD＝EC； （2）解：∵平行四边形BECD，∴BD∥CE，∴∠ABO＝∠E＝50°，又∵菱形ABCD，∴AC丄BD，∴∠BAO＝90°﹣∠ABO＝40°．21．（9分）阅读并解答问题：明朝数学家程大位在其数学著作《直指算法统宗》中以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题：原文：平地秋千未起，踏板一尺离地送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？译文：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地尺，将它往前推送尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？（注：古代尺为步）建立数学模型：如图，秋千绳索静止的时候，踏板离地高尺，将它往前推进两步，此时踏板升高离地尺．已知于点，于点，于点，点在上，，求秋千绳索（或）的长度．请解答下列问题：（1）直接写出四边形是哪种特殊的四边形；（2）求的长．【解析】解：（1）四边形是矩形．设尺．，，．在中，，，，根据勾股定理，得，整理，得．解得．答：秋千绳的长度为尺．22.【阅读材料】嘉嘉在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：5+2＝（2+3）+2＝（）2+（）2+2×＝（+）2；8+2＝（1+7）+2＝12+（）2+2×1×＝（1+）2．【类比归纳】（1）请你仿照嘉嘉的方法将20+10化成另一个式子的平方；（2）请运用嘉嘉的方法化简：．【变式探究】若a±2＝（±）2，且a，m，n均为正整数，则a＝　  　．【解析】解：【类比归纳】（1）；（2）；【类比归纳】∵，∴m+n＝a，mn＝21，∵a，m，n均为正整数，∴mn＝1×21＝3×7，∴a＝22或10．故答案为：22或10．23.（11分）如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB＝PE，连接PD，O为AC中点．（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，不用说明理由；（2）如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．【解析】（1）根据点P在线段AO上时，利用三角形的全等判定可以得出PE⊥PD，PE＝PD；（2）利用三角形全等得出，BP＝PD，由PB＝PE，得出PE＝PD，要证PE⊥PD；从三方面分析，当点E在线段BC上（E与B、C不重合）时，当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，当点E在BC的延长线上时，分别分析即可得出；（3）利用PE＝PB得出P点在BE的垂直平分线上，利用垂直平分线的性质只要以P为圆心，PB为半径画弧即可得出E点位置，利用（2）中证明思路即可得出答案．【解答】解：（1）当点P在线段AO上时，在△ABP和△ADP中，∴△ABP≌△ADP，∴BP＝DP，∵PB＝PE，∴PE＝PD，过点P做PM⊥CD，于点M，作PN⊥BC，于点N，∵PB＝PE，PN⊥BE，∴BN＝NE，∵BN＝DM，∴DM＝NE，在Rt△PNE与Rt△PMD中，∵PD＝PE，NE＝DM，∴Rt△PNE≌Rt△PMD，∴∠DPM＝∠EPN，∵∠MPN＝90°，∴∠DPE＝90°，故PE⊥PD，PE与PD的数量关系和位置关系分别为：PE＝PD，PE⊥PD； （2）∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，∴BA＝DA，∠BAP＝∠DAP＝45°，∵PA＝PA，∴△BAP≌△DAP（SAS），∴PB＝PD，又∵PB＝PE，∴PE＝PD．（i）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD．（ii）当点E在BC的延长线上时，如图．∵△ADP≌△ABP，∴∠ABP＝∠ADP，∴∠CDP＝∠CBP，∵BP＝PE，∴∠CBP＝∠PEC，∴∠PEC＝∠PDC，∵∠1＝∠2，∴∠DPE＝∠DCE＝90°，∴PE⊥PD．综合（i）（ii），PE⊥PD； （3）同理即可得出：PE⊥PD，PD＝PE．