2020-2021学年3 正方形的性质与判定第2课时习题

第六章  特殊平行四边形

3  正方形的性质与判定

第2课时  正方形的判定

知识梳理

1.定理：对角线相等的____________是正方形.

2.定理：对角线垂直的____________是正方形.

3.定理：有一个角是直角的________是正方形.

基础练习

1.一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a.两组对边分别相等；b.一组对边平行且相等；c.一组邻边相等；d.一个角是直角.顺次添加的条件：①a→c→d；②b→d→c；③a→b→c，则正确的是(   )

A.仅①      B.仅③      C. ①②      D. ②③

2.在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是(   )

A.∠D=90°      B.AB=CD      C.AD=BC      D.BC=CD

3.在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，B(2，0)，C(0，-2)，D(-2，0)，以这四个点为顶点的四边形ABCD是__________形.

4.如图，用一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形上的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB与边AD上的AF重合，则四边形ABEF即为所求作的图形，他判定的方法是____________.

5.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是DB延长线上一点，△ACE是等边三角形.

(1)求证：四边形ABCD是菱形；

(2)若∠AEB=2∠EAB，求证：四边形ABCD是正方形.

6.如图，在△ABC中，AB=AC，D，O分别为BC，AB的中点，连接DO，过点A作AE∥BC，交DO的延长线于点E，连接AD，BE.

(1)求证：四边形AEBD是矩形.

(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形？请证明你的结论.

巩固提高

7.如图，在矩形ABCD内有一点F，BF与CF分别平分∠ABC和∠BCD，E为矩形ABCD外一点，连接BE，CE.现添加下列条件：①EB∥CF，CE∥BF;②BE=CE,BE=BF;③BE∥CF, CE⊥BE；④BE=CE，CE∥BF.其中，能判定四边形BECF是正方形的共有(   )

A.1个        B.2个         C.3个         D.4个

第7题                  第8题

8.如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，E，F分别是AD，BC的中点，M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为正方形，则需添加的条件是(   )

A.AB=CD，AB⊥CD    B.AB=CD,AD=BC    C.AB=CD,AC⊥BD    D.AB=CD,AD∥BC

9.如图，在矩形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，E，F分别是BM，CM的中点，当AB：AD=__________时，四边形MENF是正方形.

10.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AE⊥BD于点O，交BC于点E，AD∥BC，连接CD.

(1)求证：AO=EO.

(2)连接ED，当△ABC满足什么条件时，四边形ABED是正方形?请说明理由.

11.如图，四边形ABCD为正方形，E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.

(1)求证：矩形DEFG是正方形；

(2)若AB=2，CE= 求CG的长；

(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数.

参考答案

［知识梳理］

1.菱形    2.矩形    3.菱形

［基础练习］

1.C    2.D    3.正方    4.有一组邻边相等的矩形是正方形

5.(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO.

∵△ACE是等边三角形，∴AE=CE.∴OE⊥AC.∴BD⊥AC.∴四边形ABCD是菱形.

(2)∵OE⊥AC，∴∠AOE=90°.∴∠AEB+∠EAO=90°.

∵△ACE是等边三角形，∴∠EAO=60°.∴∠AEB=30°.

∵∠AEB=2∠EAB,∴∠EAB=15°.∴∠BAO=∠EAO-∠EAB=60°-15°=45°.

又∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAD=2∠BAO=90°.∴四边形ABCD是正方形.

6.(1)∵AE∥BC,∴∠EAO=∠DBO,∠AEO=∠BDO.

∵O是AB的中点，∴AO=BO.

在△AOE和△BOD中，∴△AOE≌△BOD.∴AE=BD.∴四边形AEBD是平行四边形.

∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，即∠ADB=90°.∴四边形AEBD是矩形.

(2)当△ABC满足∠BAC=90°时，矩形AEBD是正方形.

∵∠BAC=90°，AB=AC，D是BC的中点，∴AD=BD=CD.

∵四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形.

[巩固提高]

7.D    8.A    9.1：2

10.(1)∵AD∥BC，∴∠CBD=∠ADB.

∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.∴∠ABD=∠ADB.∴AB=AD.

又∵AE⊥BD，∴BO=DO.又∵∠AOD=∠EOB，∴△AOD≌△EOB.∴AO=EO.

(2)当△ABC满足∠ABC=90°时，四边形ABED是正方形

理由：∵△AOD≌△EOB，∴AD=BE.又∵AD∥BE，∴四边形ABED是平行四边形.

∵AE⊥BD，∴四边形ABED是菱形.∴∠ABC=90°时，四边形ABED是正方形.

11.(1)如图①，过点E作EP⊥CD于点P，EQ⊥BC于点Q.∴∠EPC=∠EQC=90°.

∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°.∴四边形EQCP是矩形.∴∠QEP=90°，即∠QEF+∠FEP=90°.

∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，即∠PED+∠FEP=90°.∴∠QEF=∠PED.

∵易知EQ=EP,∠EQF=∠EPD=90°,∴△EQF≌△EPD.∴EF=ED.∴矩形DEFG是正方形.

(2)如图②，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=2，∠B=90°.∴在Rt△ABC中， AC=2.

∵CE=，∴AE=CE，∴点F与点C重合，此时△DCG是等腰直角三角形.由(1)，得四边形DEFG是正方形，∴CG=CE=.

(3)①当DE与AD的夹角为30°时，∠EFC=120°；

②当DE与DC的夹角为30°时，∠EFC=30°.

综上所述，∠EFC的度数为120°或30°.