初中数学鲁教版 (五四制)八年级下册1 菱形的性质与判定第2课时练习

第六章 特殊的平行四边形

1 菱形的性质与判定

第2课时 菱形的判定

知识梳理

1.定理：对角线______________的平行四边形是菱形.

2.定理：__________边都相等的四边形是菱形.

基础练习

1.下列条件中，能判定▱ABCD是菱形的是（   ）

A.AC＝BD      B.AB⊥BC      C.AD＝BD      D.AC⊥BD

2.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点○，请添加一个条件：________________，使▱ABCD是菱形.

第2题                            第3题

3.如图，四边形ABCD是平行四边形，点M，N分别在AB，AD上，且AM＝AN，BM＝DN，MG∥AD，NF∥AB.点F，G分别在BC，CD上，MG与NF相交于点E，则图中的菱形共有___________个.

4.如图，AE∥BF，BD平分∠ABC交AE于点D，点C在BF上且BC＝AB，连接CD.求证：四边形ABCD是菱形.

5.如图，过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB，BC，CD，DA于点P，M，Q，N.

（1）求证：△PBE≌△QDE；

（2）顺次连接点P，M，Q，N，求证：四边形PMQN是菱形.

巩固提高

6.如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥AB，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于点E，交BC于点F，连接AF，CE.现在添加一个适当的条件，使四边形AFCE是菱形，给出下列条件：①OE＝OA；②EF⊥AC；③AF平分∠BAC.其中，正确的有（   ）

A.0个      B.1个      C.2个      D.3个

第6题              第7题

7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD，CB为边作▱CDEB.若▱CDEB为菱形，则AD的长为（   ）

A.        B.        C.        D.3

8.如图，CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥BC交AC于点E，DF∥AC交BC于点F，那么四边形DFCE是__________________.

第8题               第9题

9.如图，在等腰三角形ABC中，AD平分顶角∠BAC，交底边BC于点H，点E在AD上，BE＝BD，则四边形BDCE是_________________.

10.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE.

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若AB＝5，BD＝2，求OE的长.

11.如图，在▱ABCD和▱BFDE中，∠A＝∠F，AD与BE交于点M，BC与DF交于点N.

（1）求证：四边形BNDM是平行四边形.

（2）当AB与BF满足什么数量关系时，四边形BNDM是菱形？请说明理由.

参考答案

［知识梳理］

1.互相垂直    2.四条

［基础练习］

1.D    2.答案不唯一，如AD＝DC    3.3

4.∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠DBC.

∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD.∴∠ADB＝∠ABD.∴AD＝AB.

又∵AB＝BC，∴AD＝BC.∵AE∥BF，即AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形.

又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形.

5.（1）四边形ABCD是平行四边形，∴EB＝ED，AB∥CD.∴∠EBP＝∠EDQ.

在△PBE和△QDE中，∴△PBE≌△QDE.

（2）如图，∵△PBE≌△QDE，∴EP＝EQ.

同理，得△BME≌△DNE.∴EM＝EN.∴四边形PMQN是平行四边形.

∵PQ⊥MN，∴四边形PMQN是菱形.

［巩固提高］

6.B    7.A     8.菱形    9.菱形

10.（1）∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA.

∵AC平分∠BAD，∴∠OAB＝∠DAC.∴∠DCA＝∠DAC.∴CD＝AD＝AB.

∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形.∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形.

（2）过点O作OF⊥AE于点F.∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC.

∵CE⊥AB，OF⊥AE，∴.OF∥CE.

∵OA＝OC，∴O为AC中点.∴易得F为AE中点.∴AF＝EF.

∵OF＝OF，∠AFO＝∠EFO＝90°，∴△AFO≌EFO.∴.OE＝OA.

∵BD＝2，∴OB＝BD＝1.∵在Rt△OAB中，AB＝，OB＝1，∴OA＝＝2.∴OE＝OA＝2.

11.（1）∵四边形ABCD和四边形BFDE是平行四边形，

∴BC∥AD，BE∥DF.∴四边形BNDM是平行四边形.

（2）当AB＝BF时，四边形BNDM是菱形 

理由：∵AD∥BC，BE∥DF，∴∠A＋∠ABC＝180°，∠EBF＋∠F＝180°.

∵∠A＝∠F，∴∠ABC＝∠EBF.∴∠ABC-∠EBC＝∠EBF-∠EBC.∴∠ABM＝∠FBN.在△ABM和△FBN中，∵∠ABM＝∠FBN，AB＝FB，∠A＝∠F，∴△ABM≌△FBN.∴BM＝BN.∴四边形BNDM是菱形.