数学八年级下册17.5 一元二次方程的应用一等奖第1课时教案设计

17.5一元二次方程的应用

第1课时  平均变化率与利润问题

【知识与技能】

使学生会用列一元二次方程的方法解决有关面积问题和增长率问题.

【过程与方法】

进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生用数学的意识.

【情感态度】

进一步使学生深刻体会转化及设未知数列方程的思想方法.

【教学重点】

学会用列方程的方法解决有关增长率问题.

【教学难点】

有关增长率之间的数量关系．下列词语的异同：增长，增长了，增长到；扩大，扩大到，扩大了.

一、创设情境，导入新课

1.如图，长方形的长为20m，宽为15m，面积为多少？如果在其中修一条宽2m的小路，剩下的面积是多少？如果小路的宽是xm，那么剩下的面积是多少？

2.某工厂一月份的产值是100万元，二月份比一月份增长10％，那么二月份的产值是多少？如果三月份保持这个增长率，那么三月份的产值是多少？如果增长率为x，那么，二月份的产值和三月份的产值分别是多少？

【教学说明】通过两个问题，使学生对面积问题和增长率问题有一个初步的认识，为后面的探究做好准备.

二、示例讲解，合作探究

1.前面我们研究了17.1节的问题2，请同学们思考，若果设小路的宽为xm，还可以怎样列方程？

【分析】通过平移，剩下的图形是一个长方形，长是（32-2x）m，宽是（20-x）m，则可列方程：（32-2x）（20-x）=570

2.小结：修筑小路的图形问题，可以通过平移构建新的长方形来列方程.

【教学说明】学生可能会用总面积去减小路的面积，这样重叠部分的面积就容易忽略，教师引导学生进行平移，构成新的长方形，重点观察怎样平移，平移后的长方形的长和宽分别是多少，然后列出方程.最后教师进行总结，形成方法.

3.请同学们思考下列问题，发现规律.

例1  原来每盒27元的一种药品，经过两次降价后每盒售价为9元，求该药品两次降价的平均降价率是多少？（精确到1％）

【分析】如果设两次降价的平均降价率是x，那么第一次降价后的价格是      ，第二次降价后的价格是      ，由“两次降价后每盒售价为9元”可列方程为      .

请同学们列出方程，求解.

4.小结：

（1）方程求得的解有两个，要根据实际情况舍去不符合实际情况的解；

（2）若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是A,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=A，其中增长取“+”,降低取“－”

【教学说明】这是一个增长率的问题，关键是让学生明白谁是单位“1”，两次的单位“1”是不同的，可以引导学生逐步列出相应的式子，最后再列出方程.教师在学生解答后及时进行总结，让学生掌握解决此类问题的一般方法.

5.请同学们思考下列问题，思考列一元二次方程解应用题的一般步骤.

例2  一农户原来种植的花生，每公顷产量为3000kg，出油率为50％（即每100kg生可加工出花生油50kg).现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油1980kg，已知花生出油率的增长率是产量增长率的50%.求新品种花生产量的增长率.

【分析】如果设新品花生产量增长率为x，那么花生出油率的增长率是      ，花生原来每公顷产量为3000kg，那么新品种花生每公顷的产量为      ，原来的出油率为50％，则现在的出油率为      ，那么现在每公顷可产花生油用含有x的式子表示为      ，根据“现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油1980kg”可以列方程      .

请同学们列出方程求解.

6.小结：

（1）求得的两个解要根据实际情况舍去不符合实际的解

（2）花生油产量=花生产量×出油率

7.列一元二次方程解应用题的一般步骤：

（1）根据题意，设出适当的未知数

（2）根据数量关系，用含未知数的式子表示相关的数量

（3）根据相等关系列出方程

（4）解出方程，根据实际情况舍去不符合实际的解

（5）作答

【教学说明】  例2的讲解设计到两个“率”的理解，一个是增长率，一个是出油率，学生理解起来有一定的困难，教师要将问题进行分解，让学生明确计算的方法.最后教师引导学生总结列一元二次方程解应用题的一般步骤，给学生提供解题的思路和方法

三、练习反馈，巩固提高

1.某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，第二年的产量为       kg，第三年的产量为       kg，三年总产量为       kg.

2.某糖厂2012年食糖产量为at，如果在以后两年平均增长的百分率为x，那么预计2014年的产量将是      .

3.我国政府为了解决老百姓看病难的问题，决定下调药品价格，某种药品在1999年涨价30%后， 2001年降价70%至a元，则这种药品在1999年涨价前价格是      .

4.某电脑公司2014年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率.

【答案】二、1.6（1+x）    6（1+x）2    6+6（1+x）+6（1+x）2

2.a（1+x）2t

3.

4. 解：设平均增长率为x则200+200（1+x）+200（1+x）2=950,整理，得：x2+3x-1.75=0,

解得：x=50%,

答：所求的增长率为50%.

【教学说明】第1、2题是对增长率公式的直接应用，第3、4题是需要列方程求解，让学生在练习中得到巩固和提高.

四、师生互动，课堂小结

1.修筑小路的图形问题，可以通过平移构建新的长方形来列方程.若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是A,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=A，其中增长取“+”,降低取“－”

2.在解方程时，注意巧算；注意方程两根的取舍问题.

3.我们只学习一元一次方程，一元二次方程的解法，所以只求到两年的增长率.3年、4年……，n年，应该说按照规律我们可以列出方程，随着知识的增加，我们也将会解这些方程.

【教学说明】通过总结，让学生进一步掌握两类问题的特征和一般解题思路，形成一定的方法，教师在对教学中容易出现的问题进行强调和总结.

完成同步练习册中本课时的练习.

利用一元二次方程解应用题是数学教学中的一个重点，而对于学生来说却是学习的一个难点.学生分析问题、寻找数量关系的能力较差，在学习一元二次方程的应用的这节课中，应该始终把分析题意、寻找数量关系作为重点来进行教学，不断地对学生加以引导、启发，努力使学生理解、掌握解题的基本思路和方法.但学生在学习的过程中，却不能很好地掌握这一要领，会经常出现一些意想不到的错误.如数量之间的相等关系找得不清；列方程忽视了解设的步骤等.对于增长率问题中的单位“1”的理解不够透彻.需要通过进一步的训练，以加深学生的理解.