2021学年第17章 一元二次方程17.1 一元二次方程公开课教学设计

章末复习

【知识与技能】

1.了解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的公式解法和其他解法；能够根据方程的特征，灵活运用一元二次方程的解法求方程的根.

2.理解一元二次方程的根的判别式，会运用它解决一些简单的问题.

3.掌握一元二次方程根与系数的关系，会用它解一些简单的问题.

4.会列出一元二次方程解实际问题.

【过程与方法】

1.进一步培养学生快速准确的计算能力.

2.进一步培养学生严密的逻辑推理与论证能力.

3.进一步培养学生的分析问题、解决问题的能力.

【情感态度】

1.进一步渗透知识之间的相互联系和相互作用.

2.进一步渗透“转化”的思想方法及对学生进行辩证唯物主义思想教育.

3.进一步体会配方法是解决数学问题的一种思想方法.

【教学重点】

1.一元二次方程的解法及判别式.

2.一元二次方程根与系数的关系以及它的简单应用.

【教学难点】

列方程解决实际问题，灵活运用根与系数的关系解决问题.

一、知识框图，整体把握

【教学说明】教师引导学生回顾本章知识点，边回顾边画出本章知识框图，使学生对本章知识有一个总体把握，了解各知识点之间的联系，加深对知识点的理解，为后面的运用奠定基础.

二、释疑解惑，加深理解

1.一元二次方程的定义和一般形式

（1）只含有一个未知数、且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.

（2）一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）

特别注意：①分母中不含有未知数.

②只有当二次项系数a≠0时，整式方程ax2+bx+c=0才是一元二次方程.

2.一元二次方程的解法

一元二次方程解法有：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法.

说明：

（1）明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；

（2）根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；

值得注意的问题：

①一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数.

②直接开平方法是最基本的方法.

③公式法和配方法是最重要的方法.公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算根的判别式的值，以便判断方程是否有解.

配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程.但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好.（三种重要的数学方法：换元法配方法，待定系数法）.

3.一元二次方程根的判别式

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用“Δ”来表示，即Δ=b2－4ac,

①当Δ＞0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；

②当Δ=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；

③当Δ＜0时，一元二次方程没有实数根.

4.一元二次方程根与系数的关系

如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=－，x1x2=.应用根与系数的关系，可以不解方程，计算两根的和或积，求式子的值.

5.建立一元二次方程模型解决实际问题

建立一元二次方程模型的步骤是：审题、设未知数、列方程.

注意：（1）审题过程是找出已知量、未知量及等量关系；（2）设未知数要带单位；（3）建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系.

【教学说明】教师引导学生对本章重点知识和需要注意的问题进行详细的回顾，使学生对本章知识有进一步的理解，形成知识网络.

三、典例精析，复习新知

例1  判断关于x的方程x2-mx(2x-m+1)=x中是不是一元二次方程，如果是，指出二次项系数、一次项系数及常项数.

【分析】先把方程化为一般形式ax2+bx+c=0，然后根据一元二次方程的定义可知，当a≠0时方程是一元二次方程.

解：原方程可化为（1-2m）x2+(m2-m-1)x=0.

当1-2m=0,即m=时，原方程整理为-x=0,原方程是一元一次方程；

当1-2m≠0,即m≠时，原方程是一元二次方程.

此时，二次项系数为1-2m，一次项系数为m2-m-1,常数项为0.

例2  已知关于x的一元二次方程（m-）x2+3x+m2-2=0的一个根中零.求m的值.

【分析】(1)正确理解方程的根的概念；

（2）要特别注意一元二次方程ax2+bx+c=0中隐含的a≠0这个条件.

解：方程的一个根是零，即x=0,

当x=0时，原方程可化为m2-2=0.

解得m=±.

又∵m-≠0,即m≠,

∴m=-

例3（四川绵阳中考）已知关于x的一元二次方程x2=2(1-m)x-m2的两个实数根为x1，x2.

（1）求m的取值范围.

（2）设y=x1+x2,当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值.

【分析】（1）一元一次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根的条件是b2-4ac≥0，不要漏掉b2-4ac=0的情况.先把方程变形成一般形式，把a，b，c的值代入b2-4ac，根据b2-4ac≥0求出m的取值范围.

（2）可由一次函数y=kx+b，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小的性质，根据自变量取值范围，求出一次函数的最大值或最小值.

解：（1）将原方程整理为x2+2（m-1）x+m2=0.

∵原方程有两个实数根，

∴Δ=［2(m-1)］2-4m2=-8m+4≥0，得m≤.

（2）∵x1，x2=-2m+2，

∴y=x1+x2=-2m+2，

∵y随m的增大而减小，且m≤，

∴当m=时，y取得最小值1.

【教学说明】教师出示典型例题，让学生先尝试解答，教师予以讲解，在讲解的过程中，应着重于知识点的应用和解题方法的渗透.

四、复习训练，巩固提高

1.若方程x2－3x－1=0的两根为x1、x2，则的值为(     ).

A.3      B.－3       C.       D.－

2.关于x的方程(a-6)x2-8x+6=0有实数根，则整数a的最大值是（    ）

A.6      B.7         C.8        D.9

3.在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（     ）.

A.x2+130x－1400=0

B.x2+65x－350=0

C.x2－130x－1400=0

D.x2－65x－350=0

4.关于x的一元二次方程－x2+(2k+1)x+2－k2=0有实数根，则k的取值范围是      .

5.已知x1、x2是方程x2－3x－2＝0的两个实根，则(x1－2) (x2－2)=      .

6.某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为      .

7.解方程：(x－3)2+4x(x－3)=0

8.阅读材料：为解方程(x2－1)2－5(x2－1)+4=0，我们可以将x2－1 看作一个整体，然后设x2－1=y，那么原方程可化为y2－5y+4=0……①，解得y1=1，y2=4，当y=1时，x2－1=1，∴x2=2，∴x=±；当y=4时，x2－1=4，∴x2=5，∴x=±，故原方程的解为x1=，x2=－，x3=，x4=－.

解答问题：（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用     法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；

（2）请利用以上知识解方程x4－x2－6=0.

9.关于x的方程kx2+(k+2)x+=0有两个不相等的实数根.

(1)求k的取值范围.

(2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.

10.如图，利用一面墙，用80米长的篱笆围成一个矩形场地

（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750平方米？

（2）能否使所围的矩形场地面积为810平方米，为什么？

【答案】1.B      2.C     3.B     4.k≥－

5.－4     6.10％

10.解：设AD=BC=xm，则AB=（80－2x）m

（1）由题意得：x（80－2x）=750

解得：x1=15    x2=25

当x=15时，AD=BC=15m，AB=50m

当x=25时，AD=BC=25m，AB=30m

答：当平行于墙面的边长为50m，斜边长为15m时，矩形场地面积为750m2；或当平行于墙面的边长为30m，邻边长为25m时矩形场地面积为750m2.

（2）由题意得：x（80－2x）=810

Δ=40－4×405=1600－1620=－20＜0

∴方程无解，即不能围成面积为810m2的矩形场地.

【教学说明】学生独立完成练习，进一步熟练相关知识点的应用和提高解题能力.

五、师生互动，课堂小结

1.一元二次方程的定义和一般形式.

2.一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，要根据具体的问题选择合适的方法.

3.根的判别式：Δ=b2-4ac和根与系数的关系：

4.列方程解应用题的一般步骤.

【教学说明】学生结合刚才所进行的复习，进行自主交流与反思，提出自己的困惑，进一步掌握全章知识.

完成同步练习册中本课时的练习.

重点是让学生加强对一元二次方程解法的熟练性，难点是让学生掌握根的判别式和根与系数的关系.对于根的判别式这个知识点，学生还不时会在两个方面出问题：一是方程有解的时候，学生通常只考虑到△＞0的情况，而漏了△=0情况；二是在对方程中某一待定系数的取值范围的分析的时候，常常会忘记对二次项系数a≠0这种情况的分析.有一部分的学生问题主要还是出在了公式的误差记忆上，从而导致了整个运算的错误.还有一点问题就是学生的运算能力太差，在解方程时，方法基本都已经掌握，但无法保证计算的准确性.