2022年苏教版中考数学压轴题经典模型教案专题15 函数与平行四边形综合问题

【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题15函数与平行四边形综合问题

【例1】如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点（2，﹣3a），对称轴是直线x＝1，顶点是M．

（1）求抛物线对应的函数表达式；

（2）经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，满足以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）设直线y＝﹣x+3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由．

【例2】已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C．其中OC＝OB，tan∠CAO＝3．

（1）求抛物线的解析式；

（2）P是第一象限内的抛物线上一动点，Q为线段PB的中点，求△CPQ面积的最大值时P点坐标：

（3）将抛物线沿射线CB方向平移2个单位得新抛物线y'．M为新抛物线y′的顶点．D为新抛物线y'上任意一点，N为x轴上一点．当以M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点N的坐标．并选择一个你喜欢的N点．写出求解过程．

【例3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6）．

（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；

（2）求直线AB的函数解析式及sin∠ABO的值；连接OC．若过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，请求出点P的坐标；

（3）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【例4】．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点D（0，3）．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点P（m，0）为线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线EF，分别交抛物线于直线l于点E，F，连接CE，CF，BE，求四边形CEBF面积的最大值及此时m的值；

（3）点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线MN∥AC交直线l于点N，是否存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【例5】如图1，二次函数y＝ax2+bx的图象过点A（﹣1，3），顶点B的横坐标为1．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）点P在该二次函数的图象上，点Q在x轴上，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；

（3）如图3，一次函数y＝kx（k＞0）的图象与该二次函数的图象交于O、C两点，点T为该二次函数图象上位于直线OC下方的动点，过点T作直线TM⊥OC，垂足为点M，且M在线段OC上（不与O、C重合），过点T作直线TN∥y轴交OC于点N．若在点T运动的过程中，为常数，试确定k的值．

1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B（3，0），C（0，﹣3），连接BC，点P是抛物线上的一个动点，点N是对称轴上的一个动点．

（1）求该抛物线的函数解析式．

（2）当△PAB的面积为8时，求点P的坐标．

（3）若点P在直线BC的下方，当点P到直线BC的距离最大时，在抛物线上是否存在点Q，使得以点P，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为A（﹣2，0），点C的坐标为C（0，6），对称轴为直线x＝1．点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4），连接AC，BC，DC，DB．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求m的值；

（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

3．如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线y＝﹣+bx+c经过B、D两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．

（1）求抛物线的解析式．

（2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积．（请在图1中探索）

（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上．要使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）

4．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．顶点为点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若过点C的直线交线段AB于点E，且S△ACE：S△CEB＝3：5，求直线CE的解析式；

（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；

（4）已知点H（0，），G（2，0），在抛物线对称轴上找一点F，使HF+AF的值最小．此时，在抛物线上是否存在一点K，使KF+KG的值最小？若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．

5．如图，已知抛物线：y1＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．

（1）直接写出点A，B，C的坐标；

（2）将抛物线y1经过向右与向下平移，使得到的抛物线y2与x轴交于B，B'两点（B'在B的右侧），顶点D的对应点为点D'，若∠BD'B'＝90°，求点B'的坐标及抛物线y2的解析式；

（3）在（2）的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线y1或y2上是否存在点P，使以B′，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

6．如图，抛物线过点A（0，1）和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B（，0），平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为，四边形BDEF为平行四边形．

（1）求点F的坐标及抛物线的解析式；

（2）若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当△PAB面积最大时，求点P的坐标及△PAB面积的最大值；

（3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．

7．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）经过x轴上的点A（1，0）和点B（5，0）及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为y＝kx+b（k≠0）．

（1）求抛物线的解析式．

（2）点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．

（3）过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．

8．如图1，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PN⊥BC，交BC于点N．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）请用含m的代数式表示PN，并求出PN的最大值以及此时点P的坐标；

（3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+4沿着射线CB的方向平移，使得新抛物线y'过原点，点D为原抛物线y与新抛物线y'的交点，若点E为原抛物线的对称轴上一动点，点F为新抛物线y'上一动点，求点F使得以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点F的坐标，并写出一个F点的求解过程．

9．如图，抛物线M：y＝ax2+bx+b﹣a经过点（1，﹣3）和（﹣4，12），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，顶点为D．

（1）求抛物线M的表达式和顶点D的坐标；

（2）若抛物线N：y＝﹣（x﹣h）2+与抛物线M有一个公共点为E，则在抛物线N上是否存在一点F，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，请求出h的值；若不存在，请说明理由．

10．如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E．

（1）填空：△ABC的形状是 　   　．

（2）求抛物线的解析式；

（3）经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，求P点坐标；

（4）M在直线BC上，N在抛物线上，以M、N、E、D为顶点的四边形为平行四边形，直接写出符合条件的点M的坐标．

11．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．

（1）求该抛物线的解析式及顶点坐标；

（2）若P是线段OB上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交BC于点N，设OP＝t时，△BCH的面积为S．求S关于t的函数关系式；若S有最大值，请求出S的最大值，若没有，请说明理由．

（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

12．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8a与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．

（1）点A的坐标为　      　，点B的坐标为　      　，线段AC的长为　2　，抛物线的解析式为　　      　　      　．

（2）点P是线段BC下方抛物线上的一个动点．

①如果在x轴上存在点Q，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．求点Q的坐标．

②如图2，过点P作PE∥CA交线段BC于点E，过点P作直线x＝t交BC于点F，交x轴于点G，记PE＝f，求f关于t的函数解析式；当t取m和4m（0＜m＜2）时，试比较f的对应函数值f1和f2的大小．

13．抛物线y＝﹣x2+2x+n经过点M（﹣1，0），顶点为C．

（1）求点C的坐标；

（2）设直线y＝2x与抛物线交于A、B两点（点A在点B的左侧）．

①在抛物线的对称轴上是否存在点G．使∠AGC＝∠BGC？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；

②点P在直线y＝2x上，点Q在抛物线上，当以O，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点Q的坐标．

14图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与x轴交于点A（4，0）与y轴交于点B（0，8）．

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）若点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，当四边形PCOD的邻边之比为2：1时，求线段PC的长．

（3）若点Q是平面内任意一点，是否存在以A，O，B，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

15．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+4（k＜0）交x轴于点A，交y轴于点B．已知△ABO为等腰直角三角形．

（1）请直接写出k的值为　　      　；

（2）将一次函数y＝kx+4（k≠0）中，直线y＝﹣1下方的部分沿直线y＝﹣1翻折，其余部分保持不变，得到的新图象记为图象G．已知在x轴有一动点P（n，0），过点P作x轴的垂线，交于点M，交图象G于点N．当点M在点N上方时，且MN＜2，求n的取值范围；

（3）记图象G交x轴于另一点C，点D为图象G上一点，点E为图象G的对称轴上一点．当以A，C，D，E为顶点的四边形为平行四边形时，则点D的坐标为　      　　．

16．抛物线y＝ax2+bx的顶点M（，3）关于x轴的对称点为B，点A为抛物线与x轴的一个交点，点A关于原点O的对称点为A′；已知C为A′B的中点，P为抛物线上一动点，作CD⊥x轴，PE⊥x轴，垂足分别为D，E．

（1）求点A的坐标及抛物线的解析式；

（2）当0＜x＜2时，是否存在点P使以点C，D，P，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

17．已知：二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点为（﹣1，4），与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），如图．

（1）求二次函数的表达式；

（2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得△BCM的周长最小，求出点M的坐标；

（3）连接AD、CD，求cos∠ADC的值；

（4）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

18．已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和（1，﹣2）两点，抛物线L关于原点O的对称的为抛物线L′，点A的对应点为点A′．

（1）求抛物线L和L′的表达式；

（2）是否在抛物线L上存在一点P，抛物线L′上存在一点Q，使得以AA′为边，且以A、A′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

19．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+b的图象经过点C（0，2），与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A（1，a）．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）一次函数y＝x+b的图象与x轴交于B点，求△ABO的面积；

（3）设M是反比例函数y（x＞0）图象上一点，N是直线AB上一点，若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．

20．如图，反比例函数y（k≠0）的图象与一次函数y＝mx﹣2相交于A（6，1），B（n，﹣3），直线AB与x轴，y轴分别交于点C，D．

（1）求k，m的值；

（2）求出B点坐标，再直接写出不等式mx﹣2的解集；

（3）点M在函数y（k≠0）的图象上，点N在x轴上，若以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出N点坐标．

21．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+b的图象经过点C（0，2），与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A（1，a）．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）设M是反比例函数y（x＞0）图象上一点，N是直线AB上一点，若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．

22．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A，C两点，与x轴交于另一点B．

（1）求抛物线的解析式．

（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当EFBF时，求sin∠EBA的值．

（3）点N是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题15函数与平行四边形综合问题 

【例1】．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点（2，﹣3a），对称轴是直线x＝1，顶点是M．

（1）求抛物线对应的函数表达式；

（2）经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，满足以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）设直线y＝﹣x+3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由．

【分析】（1）因为抛物线经过点（2，﹣3a），代入到解析式中，得到关于a和b的方程，由于抛物线对称轴为直线x＝1，所以，联立两个方程，解方程组，即可求出a和b；

（2）先将解析式配成顶点式，求出M坐标，然后求出C点坐标，利用待定系数法，求出直线MC的解析式，再求出MC和x轴交点N的坐标，利用抛物线解析式分别求出A和C坐标，以A，C，N，P为顶点构造平行四边形，并且P点必须在抛物线上，通过构图可以发现，只有当AC为对角线时，才有可能构造出符合条件的P点，所以过C作CP∥AN，使CP＝AN，由于AN＝2，所以可以得到P（2，﹣3），将P代入到抛物线解析式中，满足解析式，P即为所求；

（3）利用y＝﹣x+3，可以求出直线与y轴交点D的坐标，可以证得△DOB是等腰直角三角形，同理可以证得△BOC也是等腰直角三角形，根据题意画出图形，利用同弧所对的圆周角相等，可以证得∠AEF＝∠AFE＝45°，所以△AEF是等腰直角三角形．

【解析】（1）∵抛物线经过点（2，﹣3a），

∴4a+2b﹣3＝﹣3a①，

又因为抛物线对称为x＝1，

∴②，

联立①②，解得，

∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）如图1，∵y＝（x﹣1）2﹣4，

∴M（1，﹣4），

令x＝0，则y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，

∴C（0，﹣3），

设直线MC为y＝kx﹣3，

代入点M得k＝﹣1，

∴直线MC为y＝﹣x﹣3，

令y＝0，则x＝﹣3，

∴N（﹣3，0），

令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，

∴x＝﹣1或3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

过C作CP∥AN，使CP＝AN，

则四边形ANCP为平行四边形，

∴CP＝AN＝﹣1﹣（﹣3）＝2，

∴P（2，﹣3），

∵P的坐标满足抛物线解析式，

∴P（2，﹣3）在抛物线上，

即P（2，﹣3）；

（3）如图2，令x＝0，则y＝﹣x+3＝3，

∴D（0，3），

∴OB＝OD＝3，又∠DOB＝90°，

∴∠DBO＝45°，

同理，∠ABC＝45°，

∵同弧所对的圆周角相等，

∴∠AEF＝∠ABC＝45°，

∠AFE＝∠DBO＝45°，

∴∠AEF＝∠AFE＝45°，

∴△AEF为等腰直角三角形．

【例2】已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C．其中OC＝OB，tan∠CAO＝3．

（1）求抛物线的解析式；

（2）P是第一象限内的抛物线上一动点，Q为线段PB的中点，求△CPQ面积的最大值时P点坐标：

（3）将抛物线沿射线CB方向平移2个单位得新抛物线y'．M为新抛物线y′的顶点．D为新抛物线y'上任意一点，N为x轴上一点．当以M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点N的坐标．并选择一个你喜欢的N点．写出求解过程．

【分析】（1）第一题将ABC三个点坐标表示后，代入求值即可．

（2）第二题求面积最大值，可用铅锤法将面积转化为求铅垂高的最大值．

（3）第三题平行四边形存在性问题，利用平行四边形对角线互相平分，套用中点坐标公式即可求出相应的点．

【解析】（1）∵抛物线解析式为y＝ax2+bx+3，

令x＝0得y＝3，

∴点C坐标为（0，3），

∵OG﹣OB＝3，

∴B坐标为（3，0），

∵tan∠CAO＝3，

∴＝3，

∴OA＝1，

∴点A坐标为（﹣1，0），

∴设解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），

代入（0，3）得a＝﹣1，

∴y＝﹣（x+1）（x﹣3），

＝﹣（x2﹣2x﹣3）

＝﹣x2+2x+3

＝﹣（x﹣1）2+4，

∴抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4；

（2）∵Q为线段PB中点，

∴S△CPQ＝S△CPB，

当S△CPB面积最大时，△CPQ面积最大．

设P坐标（a，﹣a2+2a+3），

过点P作PH∥y轴交BC于点H，

H坐标为（a，﹣a+3），

∴PH＝（﹣a2+2a+3）﹣（﹣a+3）

＝﹣a2+2a+3+a﹣3

＝﹣a2+3a，

S△CPB＝•PH•（xB﹣xC）

＝•PH•3

＝PH＝（﹣a2+3a）

＝﹣（a2﹣3a+﹣）

＝﹣（a﹣）2+，

当a＝时，即P坐标为（，）时，

最大S△CPQ＝S△CPB＝，

∴P坐标为（，）；

（3）沿CB方向平移2个单位，

即向右2个单位，向下2个单位，

∴新抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）2+2，

M坐标为（3，2）C坐标为（0，3），

点N坐标设为（n，0），

∵＝，

∴＝，

∴yD＝1，

则1＝﹣（x﹣3）2+2

﹣1＝﹣（x﹣3）2，

（x﹣3）2＝1，

x﹣3＝±1，

∴x＝4或2，

∴xD＝4或xD＝2，

＝⇒＝，

∴xN＝7，

或＝，

∴xN＝5，

∴N坐标为（7，0）或（5，0），

或＝⇒＝，

得yD＝﹣1，

则﹣1＝﹣（x﹣3）2+2，

（x﹣3）2＝3，

x＝±+3，

∴xD＝3﹣或xD＝3+，

即xN＝﹣或，

N坐标为（﹣，0）或（，0）．

【例3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6）．

（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；

（2）求直线AB的函数解析式及sin∠ABO的值；连接OC．若过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，请求出点P的坐标；

（3）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将A（﹣4，0），C（2，6）代入y＝x2+bx+c，用待定系数法可得解析式，从而可得顶点M的坐标；

（2）由OA＝OB可得B（0，4），设直线AB的函数解析式解析式为y＝kx+b，将A（﹣4，0）、B（0，4）代入可求得AB为y＝x+4，Rt△AOB中，可得sin∠ABO＝＝，

过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，过P作PQ⊥x轴于Q，过C作CH⊥x轴于H，分两种情况：①当S△AOP：S△COP＝1：2时，PQ：CH＝1：3，可求PQ＝2，从而求得P坐标，②当S△COP：S△AOP＝1：2时，S△AOP：S△AOC＝2：3，同理可求P坐标；

（3）设N（m，n），利用平行四边形对角线互相平分，即对角线的中点重合，分三种情况分别列方程组求解即可．

【解析】（1）将A（﹣4，0），C（2，6）代入y＝x2+bx+c得：

，解得，

∴抛物线的解析式为y＝x2+2x，

对称轴x＝＝﹣2，当x＝﹣2时，y＝×4+2×（﹣2）＝﹣2，

∴顶点M的坐标为（﹣2，﹣2）；

（2）∵A（﹣4，0），

∴OA＝4，

∵OA＝OB，

∴OB＝4，B（0，4），

设直线AB的函数解析式解析式为y＝kx+b，将A（﹣4，0）、B（0，4）代入得：

，解得，

∴直线AB的函数解析式解析式为y＝x+4，

Rt△AOB中，AB＝＝4，

∴sin∠ABO＝＝＝，

过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，过P作PQ⊥x轴于Q，过C作CH⊥x轴于H，分两种情况：

①当S△AOP：S△COP＝1：2时，如图：

∵S△AOP：S△COP＝1：2，

∴S△AOP：S△AOC＝1：3，

∴PQ：CH＝1：3，

而C（2，6），即CH＝6，

∴PQ＝2，即yP＝2，

在y＝x+4中，令y＝2得2＝x+4，

∴x＝﹣2，

∴P（﹣2，2）；

②当S△COP：S△AOP＝1：2时，如图：

∵S△COP：S△AOP＝1：2，

∴S△AOP：S△AOC＝2：3，

∴PQ：CH＝2：3，

∵CH＝6，

∴PQ＝4，即yP＝4，

在y＝x+4中，令y＝4得4＝x+4，

∴x＝0，

∴P（0，4）；

综上所述，过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，则P坐标为（﹣2，2）或（0，4）；

（3）点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形时，设N（m，n），分三种情况：

①以AN、CO为对角线，此时AN中点与CO中点重合，

∵A（﹣4，0）、O（0，0），C（2，6），

∴AN的中点为（，），OC中点为（，），

∴，解得，

∴N（6，6），

②以AC、NO为对角线，此时AC中点与NO中点重合，同理可得：

解得，

∴N（﹣2，6），

③以AO、CN为对角线，此时AO中点与CN中点重合，同理可得：，

解得，

∴N（﹣6，﹣6），

综上所述，点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形，N的坐标为：（6，6）或（﹣2，6）或（﹣6，﹣6）．

【例4】如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点D（0，3）．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点P（m，0）为线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线EF，分别交抛物线于直线l于点E，F，连接CE，CF，BE，求四边形CEBF面积的最大值及此时m的值；

（3）点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线MN∥AC交直线l于点N，是否存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将A，B坐标代入y＝ax2+bx﹣3中，利用待定系数法可求；

（2）求出直线l的解析式，用m表示点E，F的坐标，进而表示线段EF，根据S四边形CEBF＝S△CEF+S△BEF＝EF•OP+•BP＝FE•OB，用含m的代数式表示四边形CEBF的面积，利用二次函数的性质，通过配方法得出结论；

（3）分点M在直线BD的下方和点M在直线BD的上方时两种情形讨论解答；依据题意画出图形，①过M作ME⊥y轴于E，过N作NF⊥ME于F，通过说明△AOC≌△MFN，得出NF＝3，设出点M的坐标，用坐标表示相应线段，利用线段与坐标的关系，用相同的字母表示点N的坐标后，用坐标表示出线段NG，GF，利用NG+GF＝NF＝3，列出方程，解方程，点M坐标可求；

②利用①中相同的方法求得点M在直线BD的上方时点M的坐标．

【解析】（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3中得：

．

解得：．

∴该抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．

（2）设直线l的解析式为y＝kx+n，

将B（3，0），D（0，3）代入上式得：

．

解得：．

∴直线l的解析式为：y＝﹣x+3．

∵点P（m，0），EF⊥x轴，

∴E点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），点F的坐标为（m，﹣m+3）．

∴EF＝﹣m+3﹣m2+2m+3＝﹣m2+m+6．

∵B（3，0），

∴OB＝3．

∵S四边形CEBF＝S△CEF+S△BEF＝EF•OP+•BP×EF＝FE•OB，

∴＝﹣．

∵＜0，

∴当m＝时，S四边形CEBF有最大值＝．

即：当m＝时，四边形CEBF面积的最大值为．

（3）存在．

①当点M在直线BD的下方时，如图，

令x＝0，则y＝﹣3．

∴C（0，﹣3）．

∴OC＝3．

∵A（﹣1，0），

∴OA＝1．

过M作ME⊥y轴于E，过N作NF⊥ME于F，交x轴于点G，

∵四边形ACMN为平行四边形，

∴AC∥MN，AC＝MN．

∵NF⊥ME，ME⊥OE，

∴NF∥OE．

∴∠ACO＝∠MNF．

在△AOC和△MFN中，

．

∴△AOC≌△MFN（AAS）．

∴NF＝OC＝3，MF＝OA＝1．

设M（h，h2﹣2h﹣3），则ME＝h，GF＝OE＝﹣h2+2h+3．

∴OG＝EF＝ME﹣MF＝h﹣1．

∴N（h﹣1，﹣h+4）．

∴NG＝﹣h+4，

∵NG+GF＝NF＝3，

∴﹣h+4﹣h2+2h+3＝3．

解得：h＝（负数不合题意，舍去）．

∴h＝．

∴M（）．

②当点M在直线BD的上方时，如图，

过N作NE⊥y轴于E，过M作MF⊥NE于F，交x轴于点G，

由①知：△MNF≌△CAO（AAS），可得NF＝OA＝1，MF＝OC＝3．

设M（h，h2﹣2h﹣3），则OG＝FE＝h，GM＝h2﹣2h﹣3．

∴NE＝EF+NF＝h+1．

∴N（h+1，﹣h+2）．

∴GF＝OE＝h﹣2．

∵MG+GF＝MF＝3，

∴h﹣2+h2﹣2h﹣3＝3．

解得：h＝（负数不合题意，舍去）．

∴h＝．

∴M（）．

综上所述，存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，此时点M的坐标为（）或（）．

【例5】如图1，二次函数y＝ax2+bx的图象过点A（﹣1，3），顶点B的横坐标为1．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）点P在该二次函数的图象上，点Q在x轴上，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；

（3）如图3，一次函数y＝kx（k＞0）的图象与该二次函数的图象交于O、C两点，点T为该二次函数图象上位于直线OC下方的动点，过点T作直线TM⊥OC，垂足为点M，且M在线段OC上（不与O、C重合），过点T作直线TN∥y轴交OC于点N．若在点T运动的过程中，为常数，试确定k的值．

【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．

（2）①当AB为对角线时，根据中点坐标公式，列出方程组解决问题．②当AB为边时，根据中点坐标公式列出方程组解决问题．

（3）设T（m，m2﹣2m），由TM⊥OC，可以设直线TM为yx+b，则m2﹣2mm+b，b＝m2﹣2m，求出点M、N坐标，求出OM、ON，根据列出等式，即可解决问题．

【解析】（1）∵二次函数y＝ax2+bx的图象过点A（﹣1，3），顶点B的横坐标为1，

则有解得

∴二次函数y＝x2﹣2x，

（2）由（1）得，B（1，﹣1），

∵A（﹣1，3），

∴直线AB解析式为y＝﹣2x+1，AB＝2，

设点Q（m，0），P（n，n2﹣2n）

∵以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，

①当AB为对角线时，根据中点坐标公式得，则有，解得或，

∴P（1，2）和（1，2）

②当AB为边时，根据中点坐标公式得解得或

∴P（1，4）或（1，4）．

故答案为P（1，2）或（1，2）或P（1，4）或（1，4）．

（3）设T（m，m2﹣2m），∵TM⊥OC，

∴可以设直线TM为yx+b，则m2﹣2mm+b，b＝m2﹣2m，

由解得，

∴OM，ON＝m•，

∴，

∴k时，．

∴当k时，点T运动的过程中，为常数．

1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B（3，0），C（0，﹣3），连接BC，点P是抛物线上的一个动点，点N是对称轴上的一个动点．

（1）求该抛物线的函数解析式．

（2）当△PAB的面积为8时，求点P的坐标．

（3）若点P在直线BC的下方，当点P到直线BC的距离最大时，在抛物线上是否存在点Q，使得以点P，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；

（2）设点P（p，p2﹣2p﹣3），由三角形的面积公式可求解；

（3）利用二次函数的性质先求点P坐标，分三种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解．

【解析】（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点B（3，0），C（0，﹣3），

∴，

解得：，

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点，

∴0＝x2﹣2x﹣3，

∴x1＝﹣1，x2＝3，

∴点A（﹣1，0），

∴AB＝4，

设点P（p，p2﹣2p﹣3），

∵△PAB的面积为8，

∴×4×|p2﹣2p﹣3|＝8，

∴p2﹣2p﹣3＝4或p2﹣2p﹣3＝﹣4，

∴p1＝2+1，p2＝﹣2+1，p3＝1，

∴点P坐标为（2+1，4）或（﹣2+1，4）或（1，﹣4）；

（3）如图1，过点P作PE∥y轴，交BC于E，

∵点B（3，0），C（0，﹣3），

∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，

设点P（a，a2﹣2a﹣3），则点E（a，a﹣3），

∴PE＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a，

∴S△BCP＝×（﹣a2+3a）×3＝﹣（a﹣）2+，

∴当a＝时，S△BCP有最大值，即点P到直线BC的距离最大，

此时点P（，﹣），

设点N（1，n），点Q（m，m2﹣2m﹣3），

若CP为边，CN为边时，则CQ与NP互相平分，

∴，

∴m＝，

∴点Q（，﹣），

若CP为边，CQ为边时，则CN与PQ互相平分，

∴＝，

∴m＝﹣，

∴点Q（﹣，﹣），

若CP为对角线，则CP与NQ互相平分，

∴，

∴m＝，

∴点Q（，﹣），

综上所述：点Q坐标为（，﹣）或（﹣，﹣）或（，﹣）．

2．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为A（﹣2，0），点C的坐标为C（0，6），对称轴为直线x＝1．点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4），连接AC，BC，DC，DB．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求m的值；

（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由题意得出方程组，解方程组即可；

（2）过点D作DE⊥x轴于E，交BC于G，过点C作CF⊥ED交ED的延长线于F，求出点B的坐标为（4，0），由待定系数法求出直线BC的函数表达式为y＝﹣x+6，则点D的坐标为（m，﹣m2+m+6），点G的坐标为（m，﹣m+6），求出S△BCD＝﹣m2+6m＝，解方程即可；

（3）求出点D的坐标为（3，），分三种情况，①当DB为对角线时，证出DN∥x轴，则点D与点N关于直线x＝1对称，得出N（﹣1，）求出BM＝4，即可得出答案；

②当DM为对角线时，由①得N（﹣1，），DN＝4，由平行四边形的性质得出DN＝BM＝4，进而得出答案；

③当DN为对角线时，点D与点N的纵坐标互为相反数，N（1+，﹣）或N（1﹣，﹣），再分两种情况解答即可．

【解析】（1）由题意得：，

解得：，

∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+x+6；

（2）过点D作DE⊥x轴于E，交BC于G，过点C作CF⊥ED交ED的延长线于F，如图1所示：

∵点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（0，6），

∴OA＝2，OC＝6，

∴S△AOC＝OA•OC＝×2×6＝6，

∴S△BCD＝S△AOC＝×6＝，

当y＝0时，﹣x2+x+6＝0，

解得：x1＝﹣2，x2＝4，

∴点B的坐标为（4，0），

设直线BC的函数表达式为：y＝kx+n，

则，

解得：，

∴直线BC的函数表达式为：y＝﹣x+6，

∵点D的横坐标为m（1＜m＜4），

∴点D的坐标为：（m，﹣m2+m+6），

点G的坐标为：（m，﹣m+6），

∴DG＝﹣m2+m+6﹣（﹣m+6）＝﹣m2+3m，CF＝m，BE＝4﹣m，

∴S△BCD＝S△CDG+S△BDG＝DG•CF+DG•BE＝DG×（CF+BE）＝×（﹣m2+3m）×（m+4﹣m）＝﹣m2+6m，

∴﹣m2+6m＝，

解得：m1＝1（不合题意舍去），m2＝3，

∴m的值为3；

（3）由（2）得：m＝3，﹣m2+m+6＝﹣×32+×3+6＝，

∴点D的坐标为：（3，），

分三种情况讨论：

①当DB为对角线时，如图2所示：

∵四边形BDNM是平行四边形，

∴DN∥BM，

∴DN∥x轴，

∴点D与点N关于直线x＝1对称，

∴N（﹣1，），

∴DN＝3﹣（﹣1）＝4，

∴BM＝4，

∵B（4，0），

∴M（8，0）；

②当DM为对角线时，如图3所示：

由①得：N（﹣1，），DN＝4，

∵四边形BDNM是平行四边形，

∴DN＝BM＝4，

∵B（4，0），

∴M（0，0）；

③当DN为对角线时，

∵四边形BDNM是平行四边形，

∴DM＝BN，DM∥BN，

∴∠DMB＝∠MBN，

∴点D与点N的纵坐标互为相反数，

∵点D（3，），

∴点N的纵坐标为：﹣，

将y＝﹣代入y＝﹣x2+x+6中，

得：﹣x2+x+6＝﹣，

解得：x1＝1+，x2＝1﹣，

当x＝1+时，如图4所示：

则N（1+，﹣），

分别过点D、N作x轴的垂线，垂足分别为E、Q，

在Rt△DEM和Rt△NQB中，，

∴Rt△DEM≌Rt△NQB（HL），

∴BQ＝EM，

∵BQ＝1+﹣4＝﹣3，

∴EM＝﹣3，

∵E（3，0），

∴M（，0）；

当x＝1﹣时，如图5所示：

则N（1﹣，﹣），

同理得点M（﹣，0）；

综上所述，点M的坐标为（8，0）或（0，0）或（，0）或（﹣，0）．

3．如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线y＝﹣+bx+c经过B、D两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．

（1）求抛物线的解析式．

（2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积．（请在图1中探索）

（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上．要使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）

【分析】（1）用待定系数法解答便可；

（2）求出抛物线与坐标轴的交点A、C坐标及抛物线顶点M的坐标，再将四边形ABMC的面积分为三角形的面积的和，进行计算便可；

（3）分两种情况：AB为平行四边形的边；AB为平行四边形的对角线．分别解答便可．

【解析】（1）把B（3，0）和D（﹣2，﹣）代入抛物线的解析式得，

，

解得，，

∴抛物线的解析式为：；

（2）令x＝0，得＝，

∴，

令y＝0，得＝0，

解得，x＝﹣1，或x＝3，

∴A（﹣1，0），

∵＝，

∴M（1，2），

∴S四边形ABMC＝S△AOC+S△COM+S△MOB

＝

＝；

（3）设Q（0，n），

①当AB为平行四边形的边时，有AB∥PQ，AB＝PQ，

a）．P点在Q点左边时，则P（﹣4，n），

把P（﹣4，n）代入，得

n＝，

∴P（﹣4，﹣）；

②当AB为平行四边形的边时，有AB∥PQ，AB＝PQ，

当P点在Q点右边时，则P（4，n），

把P（4，n）代入，得

n＝，

∴P（4，﹣）；

③当AB为平行四边形的对角线时，如图2，AB与PQ交于点E，

则E（1，0），

∵PE＝QE，

∴P（2，﹣n），

把P（2，﹣n）代入，得

﹣n＝，

∴n＝﹣，

∴P（2，）．

综上，满足条件的P点坐标为：（﹣4，﹣）或（4，﹣）或（2，）．

4．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．顶点为点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若过点C的直线交线段AB于点E，且S△ACE：S△CEB＝3：5，求直线CE的解析式；

（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；

（4）已知点H（0，），G（2，0），在抛物线对称轴上找一点F，使HF+AF的值最小．此时，在抛物线上是否存在一点K，使KF+KG的值最小？若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）因为抛物线经过A（﹣1，0），B（3，0），可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），利用待定系数法解决问题即可．

（2）求出点E的坐标即可解决问题．

（3）分点P在x轴的上方或下方，点P的纵坐标为1或﹣1，利用待定系数法求解即可．

（4）如图3中，连接BH交对称轴于F，连接AF，此时AF+FH的值最小．求出直线HB的解析式，可得点F的坐标，设K（x，y），作直线y＝，过点K作KM⊥直线y＝于M．证明KF＝KM，利用垂线段最短解决问题即可．

【解析】（1）因为抛物线经过A（﹣1，0），B（3，0），

∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），

把C（0，3）代入，可得a＝﹣1，

∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．

（2）如图1中，连接AC，BC．

∵S△ACE：S△CEB＝3：5，

∴AE：EB＝3：5，

∵AB＝4，

∴AE＝4×＝，

∴OE＝0.5，

设直线CE的解析式为y＝kx+b′，则有，

解得，

∴直线EC的解析式为y＝﹣6x+3．

（3）由题意C（0，3），D（1，4）．

观察图像可知CD只能说平行四边形的边，不可能是对角线，

当四边形P1Q1CD，四边形P2Q2CD是平行四边形时，点P的纵坐标为1，

当y＝1时，﹣x2+2x+3＝1，

解得x＝1±，