2022年苏教版中考数学压轴题经典模型教案专题16 函数与矩形菱形正方形综合问题

这是一份2022年苏教版中考数学压轴题经典模型教案专题16 函数与矩形菱形正方形综合问题，共97页。
【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题16函数与矩形菱形正方形综合问题
经典例题



【例1】如图，抛物线y＝ax2+2x（a≠0）过点A（6，0）．点B是抛物线的顶点，点D是x轴上方抛物线上的一点，连接OB，OD．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，当∠BOD＝30°时，求点D的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点C，交线段OD于点E，点F是线段OB上的动点（点F不与点O和点B重合）连接EF，将△BEF沿EF折叠，点B的对应点为点B′，△EFB′与△OBE的重叠部分为△EFG，在坐标平面内是否存在一点H，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由．

【例2】如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x+n经过B、C两点．点D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE∥y轴，分别交x轴，BC于点E，F．
（1）求直线BC及抛物线的表达式；
（2）点D在移动过程中，若存在∠DCF＝∠ACO，求线段DE的长；
（3）在抛物线上取点M，在坐标系内取点N，问是否存在以C、B、M、N为顶点且以CB为边的矩形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．

【例3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点E，一次函数y＝x+1与抛物线交于A、D两点，交y轴于点C，且D（4，5）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第四象限内抛物线上的一点，过点作PQ⊥AD交AD于点Q，求PQ的最大值以及相应的P点坐标；
（3）将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点R，M点在原抛物线的对称轴上，在平面内是否存在点N，使得以点A、R、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

【例4】在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．点D是抛物线上位于直线BC下方的一点．
（1）如图1，连接AD，CD，当点D的横坐标为5时，求S△ADC；
（2）如图2，过点D作DE∥AC交BC于点E，求DE长度的最大值及此时点D的坐标；
（3）如图3，将抛物线y＝x2﹣x+3向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到新抛物线y'＝ax2+bx+c．新抛物线与原抛物线的交点为点F，G为新抛物线的对称轴上的一点，点H是坐标平面内一点，若以C，F，G，H为顶点的四边形是矩形，请求出所有符合条件的点H坐标．

【例5】如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B（2，23），反比例函数y=kx（x＞0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD=12．
（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；
（2）写出DE与AC的位置关系并说明理由；
（3）点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．

培优训练


1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与直线AB交于A、B两点，A（1，﹣），B（﹣2，0），其中点A是抛物线y＝ax2+bx+c的顶点，交y轴于点D．
（1）求二次函数解析式；
（2）如图1，点P是第四象限抛物线上一点，且满足BP∥AD，抛物线交x轴于点C．M为直线AB下方抛物线上一点，过点M作PC的平行线交BP于点N，求MN最大值；
（3）如图2，点Q是抛物线第三象限上一点（不与点B、D重合），连接BQ，以BQ为边作正方形BEFQ，当顶点E或F恰好落在抛物线对称轴上时，直接写出对应的Q点的坐标．

2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x﹣4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．
（1）求△ABC的周长；
（2）已知P是直线AC下方抛物线上一动点，连接PA，PC，求△PAC面积的最大值；
（3）如图2，点D为抛物线的顶点，对称轴DE交x轴于点E，M是直线AC上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点N，使得以点C，E，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

3．如图，已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，横坐标分别为m，n（m＜n）的D、E两点在线段BC（不与B、C重合），过D、E两点作x轴的垂线分别交抛物线于点F、G，连接FG．
（1）求线段AB的值；
（2）若四边形DEGF是平行四边形；
①点D、E横坐标之和是否为定值，若是定值，请求出；若不是，请说明理由；
②当a＝时，平行四边形DEGF能否为菱形，若能，求出菱形的周长；若不能，请说明理由．

4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，B点坐标为（4，0），C点坐标为（0，2）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线BC上方抛物线上的任意一点，过P作PF∥x轴交直线BC于点F，过P作PE∥y轴交直线BC于点E，求线段EF的最大值及此时P点坐标；
（3）将该抛物线沿着射线AC方向平移个单位得到新抛物线y，N是新抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点B、C、Q、N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

5．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣2，0），直线BC的解析式为y＝x﹣4．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，过点A作AD∥BC交抛物线于点D（异于点A），P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PQ∥y轴，交AD于点Q，过点Q作QR⊥BC于点R，连接PR．求△PQR面积的最大值及此时点P的坐标．
（3）如图2，点C关于x轴的对称点为点C′，将抛物线沿射线C′A的方向平移2个单位长度得到新的抛物线y′，新抛物线y′与原抛物线交于点M，原抛物线的对称轴上有一动点N，平面直角坐标系内是否存在一点K，使得以D，M，N，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．

6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx的顶点为A，与x轴交于O、B两点，且点B的横坐标为4，连接OA、AB，直线y＝x交AB于点C，P为线段OC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，以PQ为边向其右侧作矩形PQDE，且QD＝1，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）分别求点A，C的坐标；
（3）设矩形PQDE的周长为L，求L与m之间的函数关系式；
（4）当矩形PQDE与△OAB重叠部分图形为轴对称图形时，直接写出m的取值范围．

7．抛物线经过点A（2，），与y轴交于点C（0，）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AC，过A作AB⊥x轴，垂足为点B，E，F分别是线段CA，OB上的动点，E，F不与线段CA，OB的端点重合；
①在直线EF变化的过程中，若直线EF平分四边形ACOB的面积，且C到直线EF的距离最大，求此时直线EF的解析式；
②如图2，连接BE，在直线BE的左边作矩形EBNM，在点E的运动过程中，若点N落在y轴上的同时，点M恰好落在抛物线上，求出此时AE的长．

8．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线BC的解析式为y＝x﹣4；线段OC的垂直平分线交抛物线于点M、N，点M、N横坐标分别为x1、x2且满足x1+x2＝3．

（1）求抛物线的解析式；
（2）设点Q是直线MN上一动点，当点Q在什么位置上时，△QOB的周长最小？求出此时点Q的坐标及△QOB周长的最小值；
（3）如图2，P线段CB上的一点，过点P作直线PF⊥x轴于F，交抛物线于G，且PF＝PG；点H是直线BC上一个动点，点Q是坐标平面内一点，以点H，Q，P，F为顶点的四边形是菱形，求所有满足条件的Q点坐标（写出其中一个点的坐标的详细求解过程，其余的点的坐标直接写出即可）．
9．已知抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴交于A（﹣3，0），B两点，交y轴于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P在抛物线的对称轴上，P的纵坐标为n，若﹣3＜n＜0，以C、P为顶点作正方形CPDE（C、P、D、E顺时针排列），若正方形CPDE有两个顶点在抛物线上，求n的值；
（3）如图2，C、F两点关于对称轴对称，直线y＝kx+b（k＜0）过点F，且与抛物线有且只有一个交点，平移直线y＝kx+b交抛物线于G，H两点（点G在点H上方），请判断∠GCF与∠HCF的数量关系，并说明理由．

10．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB：y＝﹣x+相交于点A（1，0）和B，直线AB交y轴于点C，抛物线交y轴于点D（0，﹣）．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点E是x轴上的一个动点，连接BE、CE，请问△BCE的周长是否存在最小值？若存在，请求出点E的坐标，并求出周长最小值；若不存在，请说明理由；
（3）设点M是抛物线对称轴上一点，点N在抛物线上，以点A、B、M、N为顶点的四边形是否可能为矩形？若能，请求出点M的坐标，若不能，请说明理由．

11．如图，在矩形ABCD中，点O为坐标原点，点B的坐标为（2，1），点A．C在坐标轴上，点P在BC边上，直线l1：y＝2x+1，直线l2：y＝2x﹣1．
（1）分别求直线l1与x轴交点坐标，直线l2与AB的交点坐标；
（2）已知点M在第一象限，且是直线l2上的点，若△APM是等腰直角三角形，求点M的坐标；
（3）已知矩形ANPQ的顶点N在直线l2上，Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请求出x的取值范围．

12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2ax+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C（0，3），tan∠OAC=34．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点H是线段AC上任意一点，过H作直线HN⊥x轴于点N，交抛物线于点P，求线段PH的最大值；
（3）点M是抛物线上任意一点，连接CM，以CM为边作正方形CMEF，是否存在点M使点E恰好落在对称轴上？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

13．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x＝1
（1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标．
（2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，四边形OMPN为矩形．
②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

14．如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y＝ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP＝t（0＜t＜10）．
（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；
（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE＝∠OCD？
（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．

15．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB＝42，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．
（1）求抛物线C的函数表达式；
（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．
（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．

16．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点O（0，0），点A（3，0），点C（0，4）；D为AB边上的动点．
（Ⅰ）如图1，将△ABC对折，使得点B的对应点B落在对角线AC上，折痕为CD，求此刻点D的坐标：
（Ⅱ）如图2，将△ABC对折，使得点A与点C重合，折痕交AB于点D，交AC于点E，求直线CD的解析式；
（Ⅲ）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

17．如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=13x-43与x轴交于点A，经过点A的抛物线y＝ax2﹣3x+c的对称轴是x=32．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PF＝3PE．求证：PE⊥PF；
（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．

18．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c和直线y＝x+1交于A，B两点，点A在x轴上，点B在直线x＝3上，直线x＝3与x轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线x＝3上．
①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；
②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上．
19．Rt△OBC在直角坐标系内的位置如图所示，点C在y轴上，∠OCB＝90°，反比例函数y=kx（k＞0）在第一象限内的图象与OB边交于点D（m，3），与BC边交于点E（n，6）．
（1）求m与n的数量关系；
（2）连接CD，若△BCD的面积为12，求反比例函数的解析式和直线OB的解析式；
（3）设点P是线段OB边上的点，在（2）的条件下，是否存在点P，使得以B、C、P为顶点的三角形与△BDE相似？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
20．已知抛物线y=-14x2+bx+c经过点A（4，3），顶点为B，对称轴是直线x＝2．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点B的坐标；
（2）如图1，抛物线与y轴交于点C，连接AC，过A作AD⊥x轴于点D，E是线段AC上的动点（点E不与A，C两点重合）；
（i）若直线BE将四边形ACOD分成面积比为1：3的两部分，求点E的坐标；
（ii）如图2，连接DE，作矩形DEFG，在点E的运动过程中，是否存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上？若存在，求出此时AE的长；若不存在，请说明理由．



【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题16函数与矩形菱形正方形综合问题
经典例题



【例1】如图，抛物线y＝ax2+2x（a≠0）过点A（6，0）．点B是抛物线的顶点，点D是x轴上方抛物线上的一点，连接OB，OD．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，当∠BOD＝30°时，求点D的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点C，交线段OD于点E，点F是线段OB上的动点（点F不与点O和点B重合）连接EF，将△BEF沿EF折叠，点B的对应点为点B′，△EFB′与△OBE的重叠部分为△EFG，在坐标平面内是否存在一点H，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）如图①中，设抛物线的对称轴交x轴于M，与OD交于点N．解直角三角形求出点N的坐标，求出直线ON的解析式，构建方程组确定点D坐标即可．
（3）分三种情形：如图2﹣①中，当∠EFG＝90°时，点H在第一象限，此时G，B′，O重合．如图2﹣②中，当∠EGF＝90°时，点H在对称轴右侧．如图2﹣③中当∠FEG＝90°时，点H在对称轴左侧，点B′在对称轴上，分别求解即可．
【解答】解：（1）把点A（6，0）代入y＝ax2+2x中，得：a×62+2×6＝0，
解得：a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x；
（2）方法一：
如图1，设抛物线的对称轴交x轴于M，与OD交于点N，
∵y＝﹣x2+2x＝y＝﹣（x﹣3）2+3，
∴顶点B（3，3），M（3，0），
∴OM＝3，BM＝3，
∴tan∠MOB＝＝，
∴∠MOB＝60°，
∵∠BOD＝30°，
∴∠MON＝∠MOB﹣∠BOD＝30°，
∴MN＝OM•tan∠MON＝3•tan30°＝，
∴N（3，）；
设直线ON的解析式为y＝kx，将N（3，）代入，得3k＝，
解得：k＝，
∴直线ON的解析式为y＝x，
由，解得：（舍去）或，
∴D（5，）；
方法二：
如图1﹣②，设抛物线的对称轴交x轴于M，与OD交于点N，作DE⊥x轴于E，
∵y＝﹣x2+2x＝y＝﹣（x﹣3）2+3，
∴顶点B（3，3），M（3，0），
∴OM＝3，BM＝3，
∴tan∠MOB＝＝，
∴∠MOB＝60°，
∵∠BOD＝30°，
∴∠MON＝∠MOB﹣∠BOD＝30°，
设D（a，﹣+2a），
∴tan∠MON＝，即＝，
解得：a＝0（舍去）或a＝5，
∴D（5，）；
（3）存在．
如图2﹣①中，当∠EFG＝90°时，点H在第一象限，此时G，B′，O重合，
由题意OF＝BF，可得F（，），E（3，），利用平移的性质可得H（，﹣）．

如图2﹣②中，当∠EGF＝90°时，点H在对称轴右侧，由题意，∠EBF＝∠FEB＝30°
∴EF＝BF，可得F（2，2），利用平移的性质可得H（，），

如图2﹣③中当∠FGE＝90°时，点H在对称轴左侧，点B′在对称轴上，
由题意EF⊥BE，可得F（1，），G（，），利用平移的性质，可得H（，）．

综上所述，满足条件的点H的坐标为（，）或（，）或（，）．


【例2】如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x+n经过B、C两点．点D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE∥y轴，分别交x轴，BC于点E，F．
（1）求直线BC及抛物线的表达式；
（2）点D在移动过程中，若存在∠DCF＝∠ACO，求线段DE的长；
（3）在抛物线上取点M，在坐标系内取点N，问是否存在以C、B、M、N为顶点且以CB为边的矩形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用抛物线的解析式求得点C的坐标，将点C的坐标代入直线的解析式可求n的值，直线解析式可得；利用直线解析式求得点B的坐标，利用待定系数法，抛物线的解析式可得；
（2）利用各点的坐标求得线段OA，OC，OB的长度，可得∠ABC＝45°；依据解析式和DE∥y轴设D（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3）；可得FE、DE和DF的长．过D作DH⊥BC于H，利用∠DCF＝∠ACO，得到tan∠DCF＝tan∠ACO．在Rt△CDH，Rt△DHF，Rt△BEF中分别表示CH，HF，BF．利用CH+HF+FB＝BC列出方程求出m的值，线段DE可求；
（3）由于C，D，M均在抛物线上，若存在以C、B、M、N为顶点且以CB为边的矩形，只需分别过C，B作直线BC的垂线，与抛物线的交点即为点M，所以求得过B或C且与直线BC垂直的直线的解析式，再与抛物线解析式联立成方程组，解方程组即可得到点M的坐标．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3．
∴C（0，3）．
∵直线y＝﹣x+n经过C点，
∴n＝3．
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3．
令y＝0，则x＝3．
∴B（3，0）．
∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣1，0），B两点，
∴．
解得：．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3．
（2）∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴OA＝1，OB＝OC＝3．
∴∠OBC＝45°．
∵点D为第一象限内抛物线上一动点，
∴设D（m，﹣m2+2m+3），其中m＞0．﹣m2+2m+3＞0．
∴DE＝﹣m2+2m+3．
∵DE∥y轴，F在DE上，F在直线BC上，
∴F（m，﹣m+3）．
∴EF＝﹣m+3．
∴DF＝DE﹣EF＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m．
过点D作DH⊥BC于H，如图，

∵∠DCF＝∠ACO，
∴tan∠DCF＝tan∠ACO＝．
在Rt△BEF中，
∵∠OBC＝45°，
∴∠BFE＝∠OBC＝45°．
∴EF＝BE＝﹣m+3．
∴BF＝（﹣m+3）．
在Rt△DHF中，
∵∠DFH＝∠BFE＝45°，
∴HF＝DH＝DF＝（﹣m2+3m）．
在Rt△CDH中，
∵tan∠DCH＝，
∴．
∴CH＝3DH＝（﹣m2+3m）．
在Rt△OBC中，BC＝．
∵BC＝BF+HF+CH，
∴3＝（﹣m+3）+（﹣m2+3m）+（﹣m2+3m）．
解得：m＝或m＝0（不合题意，舍去）．
∴DE＝﹣+2×+3＝．
（3）存在．
∵C，D，M均在抛物线上，以C、B、M、N为顶点且以CB为边的矩形，
∴过点B且垂直于直线BC的直线与抛物线的交点或过点C且垂直于直线BC的直线与抛物线的交点即为点M．
∵直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∴设过点C且垂直于直线BC的直线为y＝x+3．
∴．
解得：（舍去）或．
∴M（1，4）．
∵直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∴设过点B且垂直于直线BC的直线为y＝x﹣3．
∴．
解得：（舍去）或．
∴M（﹣2，﹣5）．
综上，存在以C、B、M、N为顶点且以CB为边的矩形，点M的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）．
【例3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点E，一次函数y＝x+1与抛物线交于A、D两点，交y轴于点C，且D（4，5）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第四象限内抛物线上的一点，过点作PQ⊥AD交AD于点Q，求PQ的最大值以及相应的P点坐标；
（3）将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点R，M点在原抛物线的对称轴上，在平面内是否存在点N，使得以点A、R、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由PQ＝PHsin45°＝（x+1﹣x2+2x+3），即可求解；
（3）当AR是边时，用图象的平移和矩形对角线相等即可求解；当AR是对角线时，用中点坐标公式和矩形对角线相等，即可求解．
【解答】解：（1）令y＝x+1＝0，解得x＝﹣1，故点A（﹣1，0），
将点A、D的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3①；

（2）过点P作PH∥y轴交AD于点H，

设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则点H（x，x+1），
由直线AD的表达式知，∠DAB＝45°＝∠AHP，
则PQ＝PHsin45°＝（x+1﹣x2+2x+3）＝﹣（x2﹣3x﹣4），
∵﹣＜0，故PQ有最大值，
当x＝时，PQ的最大值为，此时点P的坐标为（，﹣）；

（3）存在，理由：
由平移的性质得：平移后的抛物线表达式为y＝x2﹣4x+1②，
联立①②并解得，故点R的坐标为（2，﹣3），
由原抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝1，故设点M的坐标为（1，m），设点N的坐标为（s，t），
①当AR是边时，
点A向右平移3个单位向下平移3个单位得到点R，
则点M（N）向右平移3个单位向下平移3个单位得到点N（m），且AN＝RM（AM＝RN），
即或，
解得：
故点N的坐标为（4，﹣1）或（﹣2，﹣1）；
②当AR是对角线时，
由中点坐标公式和AR＝MN得：
，解得或，
故点N的坐标为（0，）或（0，）．
综上，点N的坐标为（4，﹣1）或（﹣2，﹣1）或（0，）或（0，）．
【例4】在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．点D是抛物线上位于直线BC下方的一点．
（1）如图1，连接AD，CD，当点D的横坐标为5时，求S△ADC；
（2）如图2，过点D作DE∥AC交BC于点E，求DE长度的最大值及此时点D的坐标；
（3）如图3，将抛物线y＝x2﹣x+3向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到新抛物线y'＝ax2+bx+c．新抛物线与原抛物线的交点为点F，G为新抛物线的对称轴上的一点，点H是坐标平面内一点，若以C，F，G，H为顶点的四边形是矩形，请求出所有符合条件的点H坐标．

【分析】（1）把D的横坐标代入抛物线解析式得纵坐标，根据解析式，当x＝0时，可得C的坐标，令直线DC与x交点为E，两点确定一条直线，解析式，直线CD为y＝﹣x+3，即得E坐标，当y＝0时，代入抛物线解析式得A、B坐标，S△ACD＝S△AEC+S△AED，通过计算可得结果；
（2）由（1）知A，B，C坐标，两点确定一条直线，可得直线AC和直线BC的解析式，过D点作l平行于BC，只有当l与抛物线相切时候，DE取最大值，设l解析式为y＝﹣x+b，联立直线l和抛物线的解析式得到二元一次方程组，可得x2﹣6x+6﹣2b＝0，相切时即Δ＝0，可得b的值和D的坐标，设直线DE的解析式为y＝﹣3x+b，直线DE与抛物线的解析式联立方程组可得E的坐标，根据两点间的距离公式得DE的值；
（3）根据平移的性质得到新的抛物线为y＝x2﹣x+23，由对称轴公式x＝﹣得对称轴，联立抛物线和新抛物线得F点坐标为（5，﹣2），两点确定一条直线的解析式，直线CF为y＝﹣x+3，分情况讨论，若CFGH是矩形，当CF⊥FG时，两直线垂直，斜率积为1，HG⊥FG，HC⊥CF，可求得直线FG、直线CH、直线HG的解析式，可得H的坐标，当CG⊥CF时，同理可得H的坐标．
【解答】解：（1）将x＝5代入y＝x2﹣x+3，
得y＝﹣2，
∴D（5，﹣2），
令DC与x轴交点为E，
由题可知：C（0，3），
∴CD直线的表达式：y＝x+3＝﹣x+3，
由此可知E（3，0），且如图1可知，

S△ADC＝S△ACE+S△ADE＝•AE•OC+•AE•|y0|＝×AE（OC+|y0|），
将y＝0代入方程，
x2﹣x+3＝0，
可知A（1，0），B（6，0），
∴AE＝2，
∴S△ADC＝×2×（3+2）＝5，
∴S△ADC＝5；
（2）如图2，

∵方程表达式没有变化，
∴由（1）可知A（1，0），B（6，0），C（0，3），
∴KAC＝﹣3，KBC＝﹣，
∴AC：y＝﹣3x+3，BC：y＝﹣x+3，
∵DE∥AC，
∴KDE＝KAC＝﹣3，
过D点作l平行于BC，
只有当l与抛物线相切的时候，DE取最大值，
∵l∥BC，
∴令l：y＝﹣x+b，
，
得x2﹣x+3＝﹣x+b，
x2﹣3x+3﹣b＝0，
x2﹣6x+6﹣2b＝0，
当两条直线相切时，Δ＝0，
∴b2﹣4ac＝0，
3b﹣4（6﹣2b）＝0，
12+8b＝0，
∴b＝﹣，
∴l：y＝﹣x﹣，
将b＝﹣代入x2﹣6x+6﹣2b＝0，
可得x＝3，
∴xD＝3，
∴D（3，﹣3），
∵KDE＝﹣3，
∴DE：y＝﹣3（x﹣3）﹣3＝﹣3x+6，
∵E是CB、DE的交点，
∴，
得E（，），
∴DEmax＝＝，
D坐标为（3，﹣3）；
（3）

y＝x2﹣x+3向右平移4个单位，向下平移2个单位，
∴新抛物线方程为：y＝（x﹣4）2﹣（x﹣4）+3﹣2＝x2﹣x+23，
∴对称轴为：x＝，
∵F是它两交点，
∴，
得F（5，﹣2），
∵C（0，3），
∴CF：y＝﹣x+3，
①如果CFGH是矩形，
即CF⊥FG，
∴KFG•KCF＝﹣1，
∴KFG＝1，
∴PG：y＝x﹣5﹣2＝x﹣7，
∵xG＝，
∴G（，），
∵HG⊥FG，HC⊥CF，
∴KCH＝1，KHG＝﹣1，
∴CH：y＝x+3，
HG：y＝﹣x+8，
∴H（，），
②如果CG⊥CF，
如下图，

CF：y＝﹣x+3，
∴CG：y＝x+3，
∴G（，），
∵KGH＝﹣1，KFH＝1，
∴GH：y＝﹣x+18，
FH：y＝x﹣7，
∴H（，），
综上所述，H（，）或（，）．
【例5】如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B（2，23），反比例函数y=kx（x＞0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD=12．
（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；
（2）写出DE与AC的位置关系并说明理由；
（3）点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．

【分析】（1）求出D（32，23），再用待定系数法即可求解；
（2）证明EBAB=BDBC，即可求解；
（3）①当点F在点C的下方时，求出FH＝1，CH=3，求出点F（1，3），则点G（3，3），即可求解；②当点F在点C的上方时，同理可解．
【解析】（1）∵B（2，23），则BC＝2，
而BD=12，
∴CD＝2-12=32，故点D（32，23），
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：23=k32，解得k＝33，
故反比例函数表达式为y=33x，
当x＝2时，y=332，故点E（2，332）；

（2）由（1）知，D（32，23），点E（2，332），点B（2，23），
则BD=12，BE=32，
故BDBC=122=14，EBAB=3223=14=BDBC，
∴DE∥AC；

（3）①当点F在点C的下方时，
当点G在点F的右方时，如下图，

过点F作FH⊥y轴于点H，
∵四边形BCFG为菱形，则BC＝CF＝FG＝BG＝2，
在Rt△OAC中，OA＝BC＝2，OC＝AB＝23，
则tan∠OCA=AOCO=223=33，故∠OCA＝30°，
则FH=12FC＝1，CH＝CF•cos∠OCA＝2×32=3，
故点F（1，3），则点G（3，3），
当x＝3时，y=33x=3，故点G在反比例函数图象上；
②当点F在点C的上方时，
同理可得，点G（1，33），
同理可得，点G在反比例函数图象上；
综上，点G的坐标为（3，3）或（1，33）都在反比例函数图象上．

培优训练


1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与直线AB交于A、B两点，A（1，﹣），B（﹣2，0），其中点A是抛物线y＝ax2+bx+c的顶点，交y轴于点D．
（1）求二次函数解析式；
（2）如图1，点P是第四象限抛物线上一点，且满足BP∥AD，抛物线交x轴于点C．M为直线AB下方抛物线上一点，过点M作PC的平行线交BP于点N，求MN最大值；
（3）如图2，点Q是抛物线第三象限上一点（不与点B、D重合），连接BQ，以BQ为边作正方形BEFQ，当顶点E或F恰好落在抛物线对称轴上时，直接写出对应的Q点的坐标．

【分析】（1）设抛物线为顶点式，用待定系数法求得函数解析式；
（2）先用两点间距离公式求得PC的长，再利用相似三角形将MN用含ME的式子表示，并把MN表示成关于M点横坐标的二次函数，从而求得MN的最大值；
（3）先设出点Q的坐标，再利用三角形全等用含点Q横坐标的式子表示E、F的坐标，最后根据点E、F在抛物线对称轴上时横坐标为1求出点Q的横坐标，进而求得点Q的坐标．
【解答】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣

由于抛物线经过点B（﹣2，0），
∴a（﹣2﹣1）2﹣＝0，
解得：a＝，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣4．
（2）易知：D点坐标为（0，﹣4），
可求得直线AD的函数解析式为y＝﹣x﹣4，
由于BP∥AD，故可设直线BP的函数解析式为：
y＝﹣x+b，
又BP经过点B，得：﹣×（﹣2）+b＝0，
解得：b＝﹣1，
从而BP的解析式为y＝﹣x﹣1，
∴该直线与抛物线的交点P的坐标为（3，﹣），
又可求得点C（4，0），
∴PC＝＝，
过点M作ME∥x轴交直线BP于点E，
设点M的坐标为（m，n），则点E的纵坐标为n，
∴点E的横坐标为﹣2n﹣2，
∴ME＝﹣2n﹣2﹣m，
∵ME∥BC，MN∥PC，
∴∠E＝∠PBC，∠MNE＝∠BPC，
∴△MNE∽△CPB，
∴，
MN＝PC＝﹣（m+2n+2）
＝﹣（m+m2﹣2m﹣8+2）
＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，MN有最大值，

（3）设点Q的坐标为（a，b），过点Q作QM∥x轴，过点B作BM∥y轴，交QM于点M，过点F作FN∥y轴交QM于点N，过点E作EK∥x轴交BM于点K，
∴△BMQ≌△QNF≌△EKB，
∴NF＝KB＝MQ＝a+2，QN＝EK＝BM＝b
∴点F的坐标为（a﹣b，a+b+2），
点E的坐标为（﹣2﹣b，a+2），
当点F在抛物线的对称轴上时，a﹣b＝1，
∴a﹣（a2﹣a﹣4）＝1，
解得：a＝2﹣（舍去正值），
得点Q的坐标为（2﹣，1﹣），
当点E在抛物线的对称轴上时，﹣2﹣b＝1，
∴﹣2﹣（a2﹣a﹣4）＝1，
解得：a＝1﹣（舍去正值），
得点Q的坐标为（1﹣，﹣3）．
故点Q的坐标为：（2﹣，1﹣）或（1﹣，﹣3）．
2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x﹣4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．
（1）求△ABC的周长；
（2）已知P是直线AC下方抛物线上一动点，连接PA，PC，求△PAC面积的最大值；
（3）如图2，点D为抛物线的顶点，对称轴DE交x轴于点E，M是直线AC上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点N，使得以点C，E，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用抛物线的表达式，分别求出点A，点B，点C的坐标，根据两点间的距离公式可求出△ABC的周长；
（2）过点P作x轴的垂线，与AC交于点Q，设出点P的坐标，表达出点Q的坐标，进行表达△APC的面积，利用二次函数最值问题，求出此时面积的最大值；
（3）分类讨论：当CE为边，且四边形CEM1N为菱形；当CE为边，且四边形CENM为菱形；当CE为对角线，且四边形CNEM为菱形，再利用菱形的性质求出点N的坐标即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+x﹣4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，
∴令x＝0，则y＝﹣4；令y＝0，则x＝﹣4或2，
∴A（﹣4，0），B（2，0），C（0，﹣4）；
∴AB＝6，AC＝4，BC＝2，
∴△ABC的周长＝6+4+2；
（2）如图，过点P作x轴的垂线，与AC交于点Q，

∵A（﹣4，0），C（0，﹣4），
∴直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣4，
设点P的横坐标为m，则P（m，m2+m﹣4），
∴Q（m，﹣m﹣4），
∴PQ＝（﹣m﹣4）﹣（m2+m﹣4）＝﹣m2﹣2m，
∴S△PAC＝S△PAQ+S△PCQ
＝•PQ•（xP﹣xA）+•PQ•（xC﹣xP）
＝•PQ•（xC﹣xA）
＝×（﹣m2﹣2m）×（0+4）
＝﹣m2﹣4m
＝﹣（m+2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴当m＝﹣2时，△PAC的面积最大为4；
（3）存在，此时点N的坐标为：（﹣4，﹣3）；（﹣1，）；（﹣1，﹣）；（，﹣）．
由y＝x2+x﹣4，可知，对称轴为直线x＝﹣1，
∴E（﹣1，0），
连接CE，可得CE＝，
①当CE为边，且四边形CEMN为菱形时，如图所示，

此时CE＝M1E＝，过点M1作M1G⊥x轴于点G，
设M1（t，﹣t﹣4），
则M1G＝﹣t﹣4，OG＝﹣t，EG＝﹣t﹣1，
∴（﹣t﹣1）2+（﹣t﹣4）2＝（）2，解得t＝0（舍去），t＝﹣5，
∴M1（﹣5，1），N1（﹣4，﹣3）；
②当CE为边，且四边形CENM为菱形时，如图所示，

此时CE＝CM2＝CM3＝，过点M2作M2H⊥y轴于点H，过点M3作M3T⊥y轴于点T，
∵AO⊥OC，
∴AO∥M2H，AO∥M3T，
∴CH：CO＝M2H：OA＝CM2：CA＝：4，
CT：CO＝M3T：OA＝CM3：CA＝：4，
∴CH＝M2H＝，CT＝TM3＝，
∴M2（，﹣4+），M3（，﹣4﹣），
∴N2（﹣1，），N3（﹣1，﹣）；
③当CE为对角线，且四边形CNEM为菱形时，如图所示，

取CE的中点K，过点K作MN⊥CE，交AC于点M，
∴K（﹣，﹣2），
由E（﹣1，0），C（0，﹣4）的可知，直线EC的表达式为：y＝﹣4x﹣4
∴直线M4N4的表达式为：y＝x﹣，
联立，
∴M4（﹣，﹣），
∴N4（，﹣）．
综上可知，此时点N的坐标为：（﹣4，﹣3）；（﹣1，）；（﹣1，﹣）；（，﹣）．
3．如图，已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，横坐标分别为m，n（m＜n）的D、E两点在线段BC（不与B、C重合），过D、E两点作x轴的垂线分别交抛物线于点F、G，连接FG．
（1）求线段AB的值；
（2）若四边形DEGF是平行四边形；
①点D、E横坐标之和是否为定值，若是定值，请求出；若不是，请说明理由；
②当a＝时，平行四边形DEGF能否为菱形，若能，求出菱形的周长；若不能，请说明理由．

【分析】（1）令y＝0，即可求得抛物线与x轴的交点的横坐标，则线段OA，OB可得，AB的值可求；
（2）①求出直线BC的解析式，利用直线BC的解析式和抛物线的解析式得出点D，E，F，G各点的坐标，进而得到线段DF，EG的长，利用平行四边形的对边相等，得到DF＝EG，从而得出关于m，n的式子，因式分解变形后，结论可得；
②过点D作DM⊥OC于点M，过点E作EN⊥OC于点N，利用平行线分线段成比例定理求得线段CD，CE，可得线段DE，由（2）①可知EG，利用菱形的四个边都相等，得出关于n的方程，解方程求得n，m，则结论可求．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，
∴当y＝0时，0＝ax2﹣4ax+3a，
解得：x1＝1，x2＝3．
∵点A在点B的左侧，
∴A（1，0），B（3，0）．
∴OA＝1，OB＝3，
∴AB＝AB﹣OA＝2．
（2）①D，E的横坐标之和是定值．
当x＝0时，y＝3a，
∴C（0，3a）．
设直线BC的解析式为：y＝kx+3a （k≠0），
∴0＝3k+3a，
∴k＝﹣a．
∴直线BC的解析式为：y＝﹣ax+3a．
当x＝m时，y＝﹣am+3a，D（m，﹣am+3a），
当x＝m时，y＝am2﹣4am+3a，F（m，am2﹣4am+3a），
当x＝n时，y＝﹣an+3a，E（n，﹣an+3a），
当x＝n时，y＝an2﹣4an+3a，G（n，an2﹣4an+3a），
∴DF＝﹣am+3a﹣am2+4am﹣3a＝﹣am2+3am，
EG＝﹣an+3a﹣an2+4an﹣3a＝﹣an2+3an，
∵四边形DEGF是平行四边形，
∴DF＝EG，DF∥EG．
∴﹣am2+3am＝﹣an2+3an，
即am2﹣an2+3an﹣3am＝0．
∴a（m﹣n）（m+n﹣3）＝0．
∵a＞0，m＜n，
∴a（m﹣n）≠0，
∴m+n﹣3＝0．
∴m+n＝3．
②当a＝时，平行四边形DEGF能为菱形．
当a＝时，y＝x2﹣x+4，
由（1）知：C（0，4），B（3，0），
∴OC＝4，OB＝3，
∴BC＝．
过点D作DM⊥OC于点M，过点E作EN⊥OC于点N，如图，

则DM＝m，EN＝n．
∵DM⊥OC，EN⊥OC，OB⊥OC，
∴DM∥EN∥OB，
∴，．
∴，．
∴CD＝，CE＝n．
∴DE＝CE﹣CD＝（n﹣m）．
若平行四边形DEGF为菱形，则EG＝DE．
∵EG＝﹣+4n，
∴﹣+4n＝（n﹣m）．
∵m+n＝3，
∴﹣+4n＝（n﹣3+n）．
即：4n2﹣2n﹣15＝0．
解得：n＝＝，
∵n＞0，
∴n＝．
∴m＝3﹣n＝．
∴DE＝（n﹣m）＝（）＝×＝．
∴菱形的周长为4×DE＝4×＝．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，B点坐标为（4，0），C点坐标为（0，2）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线BC上方抛物线上的任意一点，过P作PF∥x轴交直线BC于点F，过P作PE∥y轴交直线BC于点E，求线段EF的最大值及此时P点坐标；
（3）将该抛物线沿着射线AC方向平移个单位得到新抛物线y，N是新抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点B、C、Q、N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将B点和C点坐标代入解析式即可求出函数表达式；
（2）设出点P的坐标，表示出点E、F坐标后，EF的长可表示为EF＝，得到关于m的函数表达式求最值即可；
（3）先根据图形的平移求出新抛物线的对称轴，再分两种情况：（Ⅰ）BC为边时，设N1点的坐标为（2，﹣t），根据线段比例关系求出t值，再求出直线N1B的解析式，最后根据平移求出Q点的坐标；
（Ⅱ）BC为对角线时，以BC为直径画圆，Q3与N4重合，Q4与N3重合，分别求出坐标即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，B点坐标为（4，0），C点坐标为（0，2），
∴将B点、C点坐标代入解析式，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，代入点B、点C坐标，
得，
解得，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+2，
设P点坐标为（m，﹣m2+m+2），则E点的坐标为（m，﹣m+2），
设F的横坐标为n，则纵坐标为：﹣m2+m+2，
令﹣n+2＝﹣m2+m+2，
解得：n＝m2﹣3m，
∴PE＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，PF＝m﹣（m2﹣3m）＝﹣m2+4m，
∴EF＝＝＝＝＝|m2﹣4m|，
∵0≤m≤4，
∴EF＝﹣（m2﹣4m）＝﹣（m﹣2）2+2，
∴当m＝2时，EF有最大值为2，
此时，点P的坐标为（2，3）；
（3）存在点Q，使以点B、C、Q、N为顶点的四边形为矩形，
Q点的坐标为：（﹣2，﹣2）或（6，4）或（2，1﹣）或（2，1+）；
理由如下：
∵OA＝1，OC＝2，
∴AC＝＝，
又∵（OA）2+（OC）2＝（）2，
∴抛物线沿着射线AC方向平移个单位，实际上等同于将该抛物线向右移动个单位，再向上移动1个单位，
∵原抛物线的对称轴为直线x＝，
∴新抛物线的对称轴为直线x＝+＝2，
设对称轴交直线BC于M，交x轴于P，
（Ⅰ）当以BC为边时，如右图设N1点的坐标为（2，﹣t），
∵直线BC的解析式为：y＝﹣x+2，新对称轴直线为：x＝2，
∴P（2，0），M（2，1），
∴MP＝1，PB＝4﹣2＝2，
∵∠MN1B+∠PBN1＝90°，∠MBO+∠PBN1＝90°，
∴∠MN1B＝∠MBO，
∵tan∠MBO＝＝，
∴tan∠MN1B＝＝＝，
∴t＝4，
即N1（2，﹣4），
设直线BN1的解析式为：y＝ex+g，
代入B点和N1点坐标，
得，
解得，
∴直线BN1的解析式为：y＝2x﹣8，
由图可知，Q1的坐标是C点先向右移动2个单位再向下移动4个单位，
即Q1的坐标为（﹣2，﹣2），
同理Q2的坐标是点B先向右移动2个单位再向上移动4个单位，
即Q2的坐标为（6，4），
（Ⅱ）以BC为对角线时，如右图，以BC为直径画圆，交新对称轴于N3和N4，
由图知此时BN3CN4为矩形，
即Q3与N4重合，Q4与N3重合，
由（Ⅰ）知，MP＝1，BP＝2，
∴MN3＝MN4＝BM＝＝，
∴Q3（2，1﹣），Q4（2，1+），
综上，Q点的坐标为：（﹣2，﹣2）或（6，4）或（2，1﹣）或（2，1+）．


5．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣2，0），直线BC的解析式为y＝x﹣4．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，过点A作AD∥BC交抛物线于点D（异于点A），P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PQ∥y轴，交AD于点Q，过点Q作QR⊥BC于点R，连接PR．求△PQR面积的最大值及此时点P的坐标．
（3）如图2，点C关于x轴的对称点为点C′，将抛物线沿射线C′A的方向平移2个单位长度得到新的抛物线y′，新抛物线y′与原抛物线交于点M，原抛物线的对称轴上有一动点N，平面直角坐标系内是否存在一点K，使得以D，M，N，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由题可知B点既在x轴上，又在y＝x﹣4上，则B（8，0），再将A、B代入y＝ax2+bx﹣4即可求解析式；
（2）先求出直线AD的解析式为y＝x+1，过点B作BG⊥AD，在Rt△ABG中，AB＝10，tan∠BAG＝，求出BG＝2，设P（m，﹣m2﹣m﹣4），R（n，n﹣4），则Q（m，m+1），QR＝2，代入点的坐标可得n﹣m＝2，则R（m+2，m﹣3），S△PQR＝﹣（m﹣4）2+9，当m＝4时，S△PQR有最大值9，则可求P（4，﹣6）；
（3）求出C'（0，﹣4），直线AC的解析式为y＝2x+4，由平移可知抛物线沿着x轴负方向平移2个单位长度，沿着y轴负方向平移4个单位长度，可得平移后抛物线解析式为y'＝（x﹣1）2﹣，联立（x﹣3）2﹣＝（x﹣1）2﹣可求两抛物线交点M（6，﹣4），联立x+1＝x2﹣x﹣4，可求D（10，6），设N（3，t），K（x，y），①当DM与KN为矩形对角线时，8＝，1＝，再由DM＝KN，则16+100＝（3﹣x）2+（t﹣y）2，可求K（13，﹣1）或K（13，3）；②当DN与MK为矩形对角线时，＝，＝，再由DN＝MK，则49+（6﹣t）2＝（6﹣x）2+（y+4）2，求出K（7，）；③当KD与MN为矩形对角线时，＝，＝，再由KD＝MN，（x﹣10）2+（6﹣y）2＝9+（t+4）2，求出K（﹣1，﹣）．
【解答】解：（1）∵B点在x轴上，且B点在y＝x﹣4上，
∴B（8，0），
∵A（﹣2，0），B（8，0），都在抛物线y＝ax2+bx﹣4上，
∴x＝﹣2，x＝8是方程ax2+bx﹣4＝0的两个根，
∴﹣16＝﹣，＝6，
∴a＝，b＝﹣，
∴y＝x2﹣x﹣4；
（2）∵AD∥BC，直线BC的解析式为y＝x﹣4，
∴直线AD的解析式为y＝x+1，
过点B作BG⊥AD交点G，
∵QR⊥BC，
∴QR＝BG，
在Rt△ABG中，AB＝10，tan∠BAG＝，
∴BG＝2，
设P（m，m2﹣m﹣4），R（n，n﹣4），则Q（m，m+1），
∵QR＝2，
∴20＝（m﹣n）2+，
∴n﹣m＝2，
∴R（m+2，m﹣3），
S△PQR＝×（m+1﹣m2+m+4）×2＝﹣m2+2m+5＝﹣（m﹣4）2+9，
∴当m＝4时，S△PQR有最大值9，
∴P（4，﹣6）；
（3）∵点C关于x轴的对称点为点C′，
∴C'（0，﹣4），
∴直线AC的解析式为y＝2x+4，
∵抛物线沿射线C′A的方向平移2个单位长度，
∴抛物线沿着x轴负方向平移2个单位长度，沿着y轴负方向平移4个单位长度，
∵y＝x2﹣x﹣4＝（x﹣3）2﹣，
∴y'＝（x﹣1）2﹣，
联立（x﹣3）2﹣＝（x﹣1）2﹣，解得x＝6，
∴M（6，﹣4），
联立x+1＝x2﹣x﹣4，解得x＝10或x＝﹣2，
∵D异于点A，
∴D（10，6），
∵y＝x2﹣x﹣4的对称轴为直线x＝3，
设N（3，t），K（x，y），
①当DM与KN为矩形对角线时，
DM的中点与KN的中点重合，
∴8＝，1＝，
∴x＝13，t＝2﹣y，
∵DM＝KN，
∴16+100＝（3﹣x）2+（t﹣y）2，
∴y＝﹣1或y＝3，
∴K（13，﹣1）或K（13，3）；
②当DN与MK为矩形对角线时，
DN的中点与MK的中点重合，
∴＝，＝，
∴x＝7，t＝y﹣10，
∵DN＝MK，
∴49+（6﹣t）2＝（6﹣x）2+（y+4）2，
∴y＝，
∴K（7，）；
③当KD与MN为矩形对角线时，
KD的中点与MN的中点重合
∴＝，＝，
∴x＝﹣1，t＝10+y，
∵KD＝MN，
∴（x﹣10）2+（6﹣y）2＝9+（t+4）2，
∴y＝﹣，
∴K（﹣1，﹣）；
综上所述：以D，M，N，K为顶点的四边形是矩形时，K点坐标为（﹣1，﹣）或（7，）或（13，﹣1）或（13，3）．

6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx的顶点为A，与x轴交于O、B两点，且点B的横坐标为4，连接OA、AB，直线y＝x交AB于点C，P为线段OC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，以PQ为边向其右侧作矩形PQDE，且QD＝1，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）分别求点A，C的坐标；
（3）设矩形PQDE的周长为L，求L与m之间的函数关系式；
（4）当矩形PQDE与△OAB重叠部分图形为轴对称图形时，直接写出m的取值范围．

【分析】（1）把B点坐标代入抛物线解析式即可；
（2）根据抛物线解析式求顶点坐标即可求出A点坐标，求出直线AB解析式与OC直线解析式联立即可求出C点坐标；
（3）根据P，Q坐标求出PQ，根据L＝2（PQ+QD）即可求出函数关系式；
（4）分P点在抛物线对称轴左边和右边两种情况讨论m的取值范围．
【解答】解：（1）由题知，B（4，0），
代入抛物线y＝﹣x2+bx，
得0＝﹣×42+4b，
解得b＝2，
∴抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+2x；
（2）由（1）知，抛物线函数解析式为y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣2）2+2，
∴抛物线的顶点A（2，2），
设直线AB的解析式为y＝kx+t，
把A（2，2），B（4，0）代入解析式，
得，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4，
∵直线y＝x交AB于点C，
∴，
解得，
∴C（，）；
（3）∵P为线段OC上的动点，点P的横坐标为m，
∴P（m，m）且0＜m≤，
∵PQ⊥x轴，Q在抛物线y＝﹣x2+2x上，
∴Q（m，﹣m2+2m），
∴PQ＝﹣m2+2m﹣m＝﹣m2+m，
又∵四边形PQDE是矩形，QD＝1，矩形PQDE的周长为L，
∴L＝2（PQ+QD）＝2（﹣m2+m+1），
即L＝﹣m2+3m+2（0＜m）；
（4）∵A（2，2），
∴当x＝2时，y＝×2＝1，
∴OC交抛物线对称轴于点P1（2，1），
（Ⅰ）当P在线段OP1上时，
此时，矩形PQDE是正方形时，与△OAB重叠的部分是轴对称图形，
即PQ＝QD＝1，
∴﹣m2+m＝1，
解得m＝1或2，
（Ⅱ）如右图，当点P在线段P1C上时，
∵PE∥x轴，
∴此时矩形PQDE与△OAB重叠的部分是等腰直角三角形是轴对称图形，
∴2≤m≤，
综上，m的取值为m＝1或2≤m≤．

7．抛物线经过点A（2，），与y轴交于点C（0，）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AC，过A作AB⊥x轴，垂足为点B，E，F分别是线段CA，OB上的动点，E，F不与线段CA，OB的端点重合；
①在直线EF变化的过程中，若直线EF平分四边形ACOB的面积，且C到直线EF的距离最大，求此时直线EF的解析式；
②如图2，连接BE，在直线BE的左边作矩形EBNM，在点E的运动过程中，若点N落在y轴上的同时，点M恰好落在抛物线上，求出此时AE的长．

【分析】（1）直接将B和C点坐标代入到解析式中，解方程组即可；
（2）因为A和C纵坐标相同，所以AC∥x轴，可证四边形ACOB为矩形，别切四个顶点坐标都可求，因为EF平分四边形ACOB，所以EF经过矩形对角线交点D，过C作CQ⊥EF于Q，CQ≤CD，所以当CD与CQ重合时，CQ最大，此时Q与D重合，由于此时Q是线段BC中点，所以Q（1，），过E作EM⊥x轴于M，可以证得∠FEM＝∠CBO，在Rt△CBO中，求得tan∠CBO＝，所以tan∠FEM＝，FM＝，设F（a，0），则E（a+），再利用Q（1，），利用待定系数法，求出直线EF的解析式；
（3）设N（0，n），E（m，），因为四边形EBNM为矩形，利用坐标与平移关系，可以求得M（m﹣2，），过M作MG⊥AC于G，构造一个三垂直相似模型，列出关于m与n的方程，又由于M在抛物线上，得到m与n的第二个方程，联立两个方程，解方程组，即可解决．
【解答】解：（1）将B，C代入到抛物线解析式中得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）①如图2，连接AO，BC相交于D点，过C作CQ⊥EF于Q点，
∵A和C的纵坐标相同，
∴AC∥x轴，
又AB⊥x轴，
∴∠ACO＝∠COB＝∠OBA＝90°，
∴四边形ACOB为矩形，
∵直线EF平分矩形AOBC的面积，
∴直线EF必经过D点，
∵CQ⊥EF，
∴CQ≤CD，
当CQ＝CD时，Q与D重合，
即BC⊥EF于D，此时CQ最大，如图2，
∵Q为BC中点，且B（2，0），
∴Q（1，），
过E作EM⊥OB于M，
则四边形COME为矩形，
∴EM＝OC＝，
∵∠FEM+∠EFM＝∠EFM+∠CBO＝90°，
∴∠FEM＝∠CBO，
又tan∠CBO＝，
∴tan∠FEM＝，
∴，
设F（a，0），则E（a+），
设直线EF为y＝kx+b，
代入点E，F，Q得，
，
解得，
∴直线EF的解析式为y＝；
②如图3，过M作MG⊥AC于G，
设E（m，），N（0，n），
∵四边形EMNB为矩形，
∴M（m﹣2，），
∵∠MGE＝∠EAB＝90°，
∴∠MEG+∠GME＝∠MEG+∠AEB＝90°，
∴∠GME＝∠AEB，
∴△EGM∽△BAE，
∴，
∴，
∴，
又M在抛物线上，
∴，
∴m＝2或，
∵E在AE左侧，
∴，
∴．



8．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线BC的解析式为y＝x﹣4；线段OC的垂直平分线交抛物线于点M、N，点M、N横坐标分别为x1、x2且满足x1+x2＝3．

（1）求抛物线的解析式；
（2）设点Q是直线MN上一动点，当点Q在什么位置上时，△QOB的周长最小？求出此时点Q的坐标及△QOB周长的最小值；
（3）如图2，P线段CB上的一点，过点P作直线PF⊥x轴于F，交抛物线于G，且PF＝PG；点H是直线BC上一个动点，点Q是坐标平面内一点，以点H，Q，P，F为顶点的四边形是菱形，求所有满足条件的Q点坐标（写出其中一个点的坐标的详细求解过程，其余的点的坐标直接写出即可）．
【分析】（1）根据直线BC：y＝x﹣4，求出点B（4，0），C（0，﹣4），由MN是线段OC的垂直平分线，可求出对称轴为直线x＝，运用待定系数法即可求得答案；
（2）根据点Q是直线MN上一动点，O、B是定点，求△QOB周长的最小值，即求OQ+BQ的最小值，连接CQ，则CQ＝OQ，当点C、Q、B在同一直线上时，OQ+BQ＝CQ+BQ＝BC最短，由此即可求得答案；
（3）设P（m，m﹣4），且0＜m＜4，则F（m，0），G（m，m2﹣3m﹣4），进行分类讨论即可：①PF为菱形的边且点H在点P左侧，②PF为菱形的边且点H在点P右侧，③PF为菱形的对角线．
【解答】解：（1）由直线BC：y＝x﹣4，可得与x轴交点为B（4，0），与y轴交点为C（0，﹣4），
∵MN是线段OC的垂直平分线，
∴MN∥x轴，
∴M、N关于抛物线对称轴对称，
∴抛物线对称轴为直线x＝＝，
∴抛物线与x轴的另一个交点为A（﹣1，0），
设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），将C（0，﹣4）代入，
得：﹣4a＝﹣4，
解得：a＝1，
∴y＝（x+1）（x﹣4）＝x2﹣3x﹣4，
故该抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣4．
（2）如图1，连接CQ，
∵MN是线段OC的垂直平分线，
∴CQ＝OQ，
∴当点C、Q、B在同一直线上时，OQ+BQ＝CQ+BQ＝BC最短，
当x﹣4＝﹣2时，解得：x＝2，
∴Q（2，﹣2），
∵OB＝OC＝4，
∴BC＝＝4，
∴△QOB周长最小值＝OQ+BQ+OB＝BC+OB＝4+4．
（3）设P（m，m﹣4），且0＜m＜4，
则F（m，0），G（m，m2﹣3m﹣4），
∵PF＝PG，
∴﹣（m﹣4）＝（m﹣4）﹣（m2﹣3m﹣4），
解得：m1＝1，m2＝4（舍去），
∴F（1，0），P（1，﹣3），
∴FP＝3，
①PF为菱形的边且点H在点P左侧，如图2，
延长HQ交x轴于点N，
∵FP＝FQ＝3，QH∥FP，QF∥HP，
∴∠QNF＝90°，∠NFQ＝∠ABC＝45°，
∴NQ＝NF＝FQ＝，
∴ON＝NF﹣OF＝﹣1＝，
∵Q点在第三象限，
∴Q1（，），
②PF为菱形的边且点H在点P右侧，如图3，
设QH交x轴于点E，
∵FP＝FQ＝3，QH∥FP，QF∥HP，
∴∠QEF＝90°，∠EFQ＝∠ABC＝45°，
∴EQ＝EF＝FQ＝，
∴OE＝OF+EF＝1+＝，
∴Q2（，），
③PF为菱形的对角线，如图4，连接QH交PF于点E，
∵PQFH是菱形，
∴QH⊥PF，PE＝EF＝PF＝，
∵PF⊥x轴，
∴QH∥x轴，
∴Q、E、H的纵坐标都等于﹣，
∴x﹣4＝﹣，
解得：x＝，
∴H（，﹣），
∵E（1，﹣），EQ＝EH，
∴Q3（，），
④PH为菱形的对角线，如图5，
点H与点B重合时，四边形PFBQ是正方形（特殊的菱形），
此时点Q4（4，﹣3）；
综上所述，点Q的坐标为：Q1（，），Q2（，），Q3（，），Q4（4，﹣3）．





9．已知抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴交于A（﹣3，0），B两点，交y轴于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P在抛物线的对称轴上，P的纵坐标为n，若﹣3＜n＜0，以C、P为顶点作正方形CPDE（C、P、D、E顺时针排列），若正方形CPDE有两个顶点在抛物线上，求n的值；
（3）如图2，C、F两点关于对称轴对称，直线y＝kx+b（k＜0）过点F，且与抛物线有且只有一个交点，平移直线y＝kx+b交抛物线于G，H两点（点G在点H上方），请判断∠GCF与∠HCF的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）将A（﹣3，0），点C（0，﹣3）分别代入抛物线的关系式y＝ax2+2ax+c，，即可求解；
（2）正方形CPDE有两个顶点在抛物线上，而点C必在抛物线上，分三种情况①点P在抛物线上，即点P是抛物线的顶点，如图①，点P即顶点；
②点D在抛物线上，如图2，过点C作CN⊥直线x＝﹣1于点N，过点D作DM⊥直线x＝﹣1于点M，构造K型全等．得CN＝PM＝1，PN＝DM＝n+3．用n的代数式表示出点D坐标为（﹣1+n+3，n+1），代入抛物线得（n+2）2+2（n+2）﹣3＝n+1，解得，n＝﹣1或﹣4，（﹣4时如图1）；
③点E在抛物线上，如图③，④，过点C作CN⊥直线x＝﹣1于点N，过点E作EM⊥CN于点Q，同理可知△CPN≌△ECQ，得CN＝EQ＝1，CQ＝PN＝n+3，表示出点E坐标表示为（n+3，﹣2）或（﹣n﹣3，﹣2），代入抛物线解析式得（n+3）2+2（n+3）﹣3＝﹣2，解得，n＝﹣4±．
（3）∠GCF与∠HCF互补．根据C、F两点关于对称轴对称，求出点F坐标为（﹣2，﹣3），根据直线与抛物线只有一个交点，用方程组只有一解，求出直线y＝kx+b关系式，解得，k＝﹣2，根据平行得设直线GH的关系式为y＝﹣2x+m，构建方程组 的解就是对应的G、H的横纵坐标，设点G的坐标为（x1，y1），点H的坐标为（x2，y2 ），则x1，x2是方程x2+2x﹣3＝﹣2x+m的两个根，得x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣3﹣m，过点G作GK⊥CF于点K，过点H作HL⊥CF于点L，分别表示tan∠GCF＝＝＝＝2﹣，tan∠HCL＝＝＝＝﹣2+，作差法比较两个代数式的大小关系，tan∠GCF﹣tan∠HCL＝2﹣﹣（﹣2+）＝＝4﹣（）＝4﹣＝4﹣＝0，得tan∠GCF＝tan∠HCL，即可求解．
【解答】解：（1）将A（﹣3，0），点C（0，﹣3）分别代入抛物线的关系式y＝ax2+2ax+c，
，
解得，，
∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）正方形CPDE有两个顶点在抛物线上，
而点C必在抛物线上，
∴P、D、E中有一点在抛物线上，
①点P在抛物线上，即点P是抛物线的顶点，如图①，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴点P的纵坐标n＝﹣4；
②点D在抛物线上，如图2，
过点C作CN⊥直线x＝﹣1于点N，过点D作DM⊥直线x＝﹣1于点M，
∵∠MDP+∠DPM＝90°，∠DPM+∠CPN＝90°，
∴∠MDP＝∠CPN，
∵∠DMP＝∠PNC＝90°，
DP＝PC，
∴△DPM≌△PCN（AAS），
∴CN＝PM＝1，PN＝DM＝n+3．
∴点P向上平移1个单位，向右平移（n+3）个单位得到点D，
∴点D坐标为（﹣1+n+3，n+1），
∵点D在抛物线上，
∴（n+2）2+2（n+2）﹣3＝n+1，
解得，n＝﹣1或﹣4，（﹣4时如图1），
此时点D恰好也在x轴上；
③点E在抛物线上，如图③，④，
过点C作CN⊥直线x＝﹣1于点N，过点E作EM⊥CN于点Q，
同理可知△CPN≌△ECQ（AAS），
∴CN＝EQ＝1，CQ＝PN＝n+3，
∴点E坐标表示为（n+3，﹣2）或（﹣n﹣3，﹣2），
∵点E在抛物线上，
∴（n+3）2+2（n+3）﹣3＝﹣2，
解得，n＝﹣4±．
综上，n的值为﹣4或﹣1或﹣4±．
（3）∠GCF+HCF＝180°．
理由：∵C、F两点关于对称轴对称，
∴点F坐标为（﹣2，﹣3），
∵直线y＝kx+b（k＜0）过点F，
∴﹣2k+b＝﹣3，得b＝2k﹣3，
∵直线与抛物线有且只有一个交点，
∴方程组，有且只有一解，
消元得，x2+（2﹣k）x﹣2k＝0，
根的判别式＝（2﹣k）2+8k＝0，
解得，k＝﹣2，
∵平移直线y＝kx+b交抛物线于G，H两点（点G在点H上方）
∴直线GH的关系式为y＝﹣2x+m，
方程组 的解就是对应的G、H的横纵坐标，
设点G的坐标为（x1，y1），点H的坐标为（x2，y2 ），
则x1，x2是方程x2+2x﹣3＝﹣2x+m的两个根，
∴x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣3﹣m，
过点G作GK⊥CF于点K，过点H作HL⊥CF于点L，
在Rt△GKC中，tan∠GCF＝＝＝＝2﹣，
在Rt△HLC中，tan∠HCL＝＝＝＝﹣2+，
∴tan∠GCF﹣tan∠HCL＝2﹣﹣（﹣2+）
＝4﹣（）
＝4﹣
＝4﹣＝0，
∴tan∠GCF＝tan∠HCL，
∴∠GCF＝∠HCL，
∴∠GCF+∠HCF＝180°．





10．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB：y＝﹣x+相交于点A（1，0）和B，直线AB交y轴于点C，抛物线交y轴于点D（0，﹣）．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点E是x轴上的一个动点，连接BE、CE，请问△BCE的周长是否存在最小值？若存在，请求出点E的坐标，并求出周长最小值；若不存在，请说明理由；
（3）设点M是抛物线对称轴上一点，点N在抛物线上，以点A、B、M、N为顶点的四边形是否可能为矩形？若能，请求出点M的坐标，若不能，请说明理由．

【分析】（1）将A（1，0）、D（0，）代入y＝x2+bx+c，列方程组求b、c的值，求出抛物线的解析式并将其配成顶点式，即可得到抛物线的对称轴；
（2）作点C关于x轴的对称点C′，直线BC′与x轴的交点E就是使BE+CE的值最小的点，而BC为定值，求直线BC′的解析式并求出其与x轴的交点E的坐标，再求△BCE的周长；
（3）以点A、B、M、N为顶点的四边形能为矩形，若以AB为对角线，根据点M、N关于AB的中点对称，点A、B也关于AB的中点对称，可列方程先求出点N的坐标，再求点M的坐标，然后分别计算AB、MN的长度，确定以点A、B、M、N为顶点的四边形能为矩形；若以AB为边，则过点A作AB的垂线，可证明该垂线与抛物线只有一个公共点，从而证明这种情况下不存在符合条件的矩形．
【解答】解：（1）把A（1，0）、D（0，）代入y＝x2+bx+c，
得，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x；
∵y＝x2+x＝（x+1）2﹣2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
（2）存在．
如图1，作点C关于x轴的对称点C′，连结BC′交x轴于点E，连结CE，此时BE+CE＝BC′的值最小，
∵BC为定值，
∴此时，BE+CE+BC的值，即△BCE的周长最小．
由，得，，
∴B（﹣4，）；
∵直线y＝﹣x+与y轴交于点C，
∴C（0，），
∴C′（0，）；
设直线BC′的解析式为y＝kx，则﹣4k﹣＝，解得k＝，
∴y＝x，
当y＝0时，由x＝0，得x＝，
∴E（，0）；
BC+BE+CE＝BC+BC′＝+＝2+5，
∴E（，0），△BCE的周长为的最小值为2+5．
（3）能.
如图2，设四边形AMBN是以AB为对角线的的平行四边形，AB的中点为P．
∵点A与点B关于点P对称，点M与点N也关于点P对称，
∴，，
∴xM+xN＝xA+xB，yM+yN＝yA+yB，
由﹣1+xN＝﹣4+1，得xN＝﹣2，
∴yN＝（﹣2）2﹣2﹣＝﹣，
∴N（﹣2，﹣）；
由yM﹣＝0+，得yM＝4，
∴M（﹣1，4），
此时MN＝＝，AB＝＝，
∴MN＝AB，
∴四边形AMBN是矩形；
如图3，若矩形以AB为一边，过点A作AQ⊥AB交y轴于点Q，则∠OAQ＝90°﹣∠OAC＝∠OCA，
∴＝tan∠OCA＝＝2，
∴OQ＝2OA＝2，
∴Q（0，﹣2）；
设直线AQ的解析式为y＝mx﹣2，则m﹣2＝0，
∴m＝2，
∴y＝2x﹣2；
由，得2x﹣2＝x2+x，解得x1＝x2＝1，
∴直线AQ与抛物线只有一个交点，
∴不存在以AB为边且符合条件的矩形．
综上所述，以点A、B、M、N为顶点的四边形能为矩形，M（﹣1，4）．




11．如图，在矩形ABCD中，点O为坐标原点，点B的坐标为（2，1），点A．C在坐标轴上，点P在BC边上，直线l1：y＝2x+1，直线l2：y＝2x﹣1．
（1）分别求直线l1与x轴交点坐标，直线l2与AB的交点坐标；
（2）已知点M在第一象限，且是直线l2上的点，若△APM是等腰直角三角形，求点M的坐标；
（3）已知矩形ANPQ的顶点N在直线l2上，Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请求出x的取值范围．

【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；
（2）分三种情况：①若点A为直角顶点时，点M在第一象限；若点P为直角顶点时，点M在第一象限；③若点M为直角顶点时，点M在第一象限；进行讨论可求点M的坐标；
（3）根据矩形的性质可求N点的横坐标x的取值范围．
【解析】（1）将y＝0代入直线直线l1：当y＝0时，2x+1＝0，
则直线l1与x轴坐标为（-12，0），
直线l2：当y＝1时，2x﹣1＝1，即x＝1，
则直线l2与AB的交点坐标为（1，1）；
（2）①若点A为直角顶点时，点M在第一象限，连接AC，
如图1，∠APB＞∠ACB＞45°，
∴△APM不可能是等腰直角三角形，
∴点M不存在；
②若点P为直角顶点时，点M在第一象限，如图2，
过点M作MN⊥CB，交CB的延长线于点N，
则Rt△ABP≌Rt△PNM，
∴AB＝PN＝2，MN＝BP，
设M（x，2x﹣1），则MN＝x﹣2，
∴2x﹣1＝2+1﹣（x﹣2），
∴x＝2，
∴M（ 2，3）；
③若点M为直角顶点时，点M在第一象限，如图3，
设M1（x，2x﹣1），
过点M1作M1G1⊥OA，交BC于点H1，
则Rt△AM1G1≌Rt△PM1H1，
∴AG1＝M1H1＝1﹣（2x﹣1），
∴x+1﹣（2x﹣1）＝2，
解得，x＝0，
∴M1（0，﹣1）（不合题意舍去）；
设M2（x，2x﹣1），
同理可得x+2x﹣1﹣1＝2，
∴x=43，
∴M2（43，53）；
综上所述，点M的坐标为（ 2，3）或（43，53）；
（3）当点N在直线l2上时，
∵点N的横坐标为x，
∴N（x，2x﹣1），
当点P和点B重合时，P（2，1），
∴AP的中点G坐标为（1，1），
∵四边形ANPQ是矩形，
∴∠ANB＝90°，
∴NG=12AP＝1，
∴（x﹣1）2+（2x﹣1﹣1）2＝1，
∴x=5+55（点N在AB上方的横坐标）或x=5-55（点N在AB下方的横坐标），
当点P和点C重合时，P（2，0），AP的中点G'坐标为（1，12），
同理：NG'=12AP=52，
∴（x﹣1）2+（2x﹣1-12）2=54，
∴x=4+65（和点N在AB上方构成的四边形是矩形的横坐标）或x=4-65（和点N在AB下方构成的四边形是矩形的横坐标），
∴4-65≤x≤5-55或4+65≤x≤5+55．



12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2ax+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C（0，3），tan∠OAC=34．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点H是线段AC上任意一点，过H作直线HN⊥x轴于点N，交抛物线于点P，求线段PH的最大值；
（3）点M是抛物线上任意一点，连接CM，以CM为边作正方形CMEF，是否存在点M使点E恰好落在对称轴上？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由点C的坐标以及tan∠OAC=34可得出点A的坐标，结合点A、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，由点A、C的解析式利用待定系数法即可求出直线AC的解析式，设N（x，0）（﹣4＜x＜0），可找出H、P的坐标，由此即可得出PH关于x的解析式，利用配方法即二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）过点M作MK⊥y轴于点K，交对称轴于点G，根据角的计算依据正方形的性质即可得出△MCK≌△MEG（AAS），进而得出MG＝CK．设出点M的坐标利用正方形的性质即可得出点G、K的坐标，由正方形的性质即可得出关于x的含绝对值符号的一元二次方程，解方程即可求出x值，将其代入抛物线解析式中即可求出点M的坐标．
【解析】（1）∵C（0，3），
∴OC＝3，
∵tan∠OAC=34，
∴OA＝4，
∴A（﹣4，0）．
把A（﹣4，0）、C（0，3）代入y＝ax2+2ax+c中，
得16a-8a+c=0c=3，解得：a=-38c=3，
∴抛物线的解析式为y=-38x2-34x+3．
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣4，0）、C（0，3）代入y＝kx+b中，
得：-4k+b=0b=3，解得：k=34b=3，
∴直线AC的解析式为y=34x+3．
设N（x，0）（﹣4＜x＜0），则H（x，34x+3），P（x，-38x2-34x+3），
∴PH=-38x2-34x+3﹣（34x+3）=-38x2-32x=-38（x+2）2+32，
∵-38＜0，
∴PH有最大值，
当x＝﹣2时，PH取最大值，最大值为32．
（3）过点M作MK⊥y轴于点K，交对称轴于点G，则∠MGE＝∠MKC＝90°，
∴∠MEG+∠EMG＝90°，
∵四边形CMEF是正方形，
∴EM＝MC，∠EMC＝90°，
∴∠EMG+∠CMK＝90°，
∴∠MEG＝∠CMK．
在△MCK和△MEG中，∠MEG=∠CMK∠MGE=∠CKM=90°EM=MC，
∴△MCK≌△MEG（AAS），
∴MG＝CK．
由抛物线的对称轴为x＝﹣1，设M（x，-38x2-34x+3），则G（﹣1，-38x2-34x+3），K（0，-38x2-34x+3），
∴MG＝|x+1|，CK＝|-38x2-34x+3﹣3|＝|-38x2-34x|＝|38x2+34x|，
∴|x+1|＝|38x2+34x|，
∴38x2+34x＝±（x+1），
解得：x1＝﹣4，x2=-23，x3=-43，x4＝2，
代入抛物线解析式得：y1＝0，y2=103，y3=103，y4＝0，
∴点M的坐标是（﹣4，0），（-23，103），（-43，103）或（2，0）．

13．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x＝1
（1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标．
（2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，四边形OMPN为矩形．
②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

【分析】（1）由对称轴公式可求得b，由A点坐标可求得c，则可求得抛物线解析式；再令y＝0可求得B点坐标；
（2）①用t可表示出ON和OM，则可表示出P点坐标，即可表示出PM的长，由矩形的性质可得ON＝PM，可得到关于t的方程，可求得t的值；②由题意可知OB＝OA，故当△BOQ为等腰三角形时，只能有OB＝BQ或OQ＝BQ，用t可表示出Q点的坐标，则可表示出OQ和BQ的长，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
【解析】
（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c对称轴是直线x＝1，
∴-b2×(-1)=1，解得b＝2，
∵抛物线过A（0，3），
∴c＝3，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0可得﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或x＝3，
∴B点坐标为（3，0）；
（2）①由题意可知ON＝3t，OM＝2t，
∵P在抛物线上，
∴P（2t，﹣4t2+4t+3），
∵四边形OMPN为矩形，
∴ON＝PM，
∴3t＝﹣4t2+4t+3，解得t＝1或t=-34（舍去），
∴当t的值为1时，四边形OMPN为矩形；
②∵A（0，3），B（3，0），
∴OA＝OB＝3，且可求得直线AB解析式为y＝﹣x+3，
∴当t＞0时，OQ≠OB，
∴当△BOQ为等腰三角形时，有OB＝QB或OQ＝BQ两种情况，
由题意可知OM＝2t，
∴Q（2t，﹣2t+3），
∴OQ=(2t)2+(-2t+3)2=8t2-12t+9，BQ=(2t-3)2+(-2t+3)2=2|2t﹣3|，
又由题意可知0＜t＜1，
当OB＝QB时，则有2|2t﹣3|＝3，解得t=6+324（舍去）或t=6-324；
当OQ＝BQ时，则有8t2-12t+9=2|2t﹣3|，解得t=34；
综上可知当t的值为6-324或34时，△BOQ为等腰三角形．
14．如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y＝ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP＝t（0＜t＜10）．
（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；
（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE＝∠OCD？
（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．

【分析】（1）由抛物线的解析式可求得C点坐标，由矩形的性质可求得B点坐标，由B、D的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）可设P（t，4），则可表示出E点坐标，从而可表示出PB、PE的长，由条件可证得△PBE∽△OCD，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；
（3）当四边形PMQN为正方形时，则可证得△COQ∽△QAB，利用相似三角形的性质可求得CQ的长，在Rt△BCQ中可求得BQ、CQ，则可用t分别表示出PM和PN，可得到关于t的方程，可求得t的值．
【解析】
（1）在y＝ax2+bx+4中，令x＝0可得y＝4，
∴C（0，4），
∵四边形OABC为矩形，且A（10，0），
∴B（10，4），
把B、D坐标代入抛物线解析式可得100a+10b+4=44a-2b+4=0，解得a=-16b=53，
∴抛物线解析式为y=-16x2+53x+4；
（2）由题意可设P（t，4），则E（t，-16t2+53t+4），
∴PB＝10﹣t，PE=-16t2+53t+4﹣4=-16t2+53t，
∵∠BPE＝∠COD＝90°，∠PBE＝∠OCD，
∴△PBE∽△OCD，
∴BPCO=PEOD，即BP•OD＝CO•PE，
∴2（10﹣t）＝4（-16t2+53t），解得t＝3或t＝10（不合题意，舍去），
∴当t＝3时，∠PBE＝∠OCD；
（3）当四边形PMQN为正方形时，则∠PMC＝∠PNB＝∠CQB＝90°，PM＝PN，
∴∠CQO+∠AQB＝90°，
∵∠CQO+∠OCQ＝90°，
∴∠OCQ＝∠AQB，
∴Rt△COQ∽Rt△QAB，
∴COAQ=OQAB，即OQ•AQ＝CO•AB，
设OQ＝m，则AQ＝10﹣m，
∴m（10﹣m）＝4×4，解得m＝2或m＝8，
①当m＝2时，CQ=OC2+OQ2=25，BQ=AQ2+AB2=45，
∴sin∠BCQ=BQBC=255，sin∠CBQ=CQCB=55，
∴PM＝PC•sin∠PCQ=255t，PN＝PB•sin∠CBQ=55（10﹣t），
∴255t=55（10﹣t），解得t=103，
②当m＝8时，同理可求得t=203，
∴当四边形PMQN为正方形时，t的值为103或203．
15．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB＝42，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．
（1）求抛物线C的函数表达式；
（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．
（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．

【分析】（1）由题意抛物线的顶点D（0，4），A（﹣22，0），设抛物线的解析式为y＝ax2+4，把A（22，0）代入可得a=-12，由此即可解决问题；
（2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为y=12（x﹣2m）2﹣4，由y=-12x2+4y=12(x-2m)2-4，消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8＝0，由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有(2m)2-4(2m2-8)＞02m＞02m2-8＞0，解不等式组即可解决问题；
（3）情形1，四边形PMP′N能成为正方形．作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，推出PF＝FM，∠PFM＝90°，易证△PFE≌△FMH，可得PE＝FH＝2，EF＝HM＝2﹣m，可得M（m+2，m﹣2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），利用待定系数法即可解决问题．
【解析】（1）由题意抛物线的顶点D（0，4），A（﹣22，0），设抛物线的解析式为y＝ax2+4，
把A（﹣22，0）代入可得a=-12，
∴抛物线C的函数表达式为y=-12x2+4．

（2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为y=12（x﹣2m）2﹣4，
由y=-12x2+4y=12(x-2m)2-4，消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8＝0，
由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，
则有(2m)2-4(2m2-8)＞02m＞02m2-8＞0，解得2＜m＜22，
∴满足条件的m的取值范围为2＜m＜22．

（3）结论：四边形PMP′N能成为正方形．
理由：1情形1，如图，作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．

由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，
∴PF＝FM，∠PFM＝90°，
易证△PFE≌△FMH，可得PE＝FH＝2，EF＝HM＝2﹣m，
∴M（m+2，m﹣2），
∵点M在y=-12x2+4上，
∴m﹣2=-12（m+2）2+4，解得m=17-3或-17-3（舍弃），
∴m=17-3时，四边形PMP′N是正方形．
情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），

把M（m﹣2，2﹣m）代入y=-12x2+4中，2﹣m=-12（m﹣2）2+4，解得m＝6或0（舍弃），
∴m＝6时，四边形PMP′N是正方形．
综上，四边形PMP′N能成为正方形，m=17-3或6．
16．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点O（0，0），点A（3，0），点C（0，4）；D为AB边上的动点．
（Ⅰ）如图1，将△ABC对折，使得点B的对应点B落在对角线AC上，折痕为CD，求此刻点D的坐标：
（Ⅱ）如图2，将△ABC对折，使得点A与点C重合，折痕交AB于点D，交AC于点E，求直线CD的解析式；
（Ⅲ）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（Ⅰ）由三角形的面积，得S△ACD=12AD•BC=12AC•B′D，即12×3b=12×5×（4﹣b），即可求解；
（Ⅱ）设AD＝x，则CD＝x，BD＝8﹣x，由题意得（8﹣x）2+42＝x2，从而求出D（4，5），即可求解；
（Ⅲ）分点P与点O重合、点P在第一象限、点P在第二象限三种情况，分别求解即可．
【解析】（Ⅰ）设D（3，b），根据折叠的性质可得B′D＝BD＝4﹣b，
由勾股定理，得
AC=OA2+CO2=32+42=5，
由三角形的面积，得S△ACD=12AD•BC=12AC•B′D，即12×3b=12×5×（4﹣b）．
解得b=52，即D（3，52）；

（Ⅱ）由折叠可知：CD＝AD，
设AD＝x，则CD＝x，BD＝4﹣x，
由题意得，（4﹣x）2+32＝x2，
解得x=258，
此时AD=258，
∴D（3，258），
设直线CD为y＝kx+4，
把D坐标代入上式解得k=-724，
∴直线CD的解析式为y=-724x+4；

（Ⅲ）①当点P与点O重合时，△APC≌△CBA，此时P（0，0）；
②当点P在第一象限时，如图1，

由△APC≌△CBA得：AP＝BC＝3，∠CPA＝∠B＝90°，
∠CDB＝∠ADP，
∴△CBD≌△APD（AAS），
∴CD＝AD，BD＝PD，
设：BD＝PD＝x，则CD＝DA＝4﹣x，而BC＝3，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：（4﹣x）2＝x2+9，解得：x=78，
则AD＝4﹣x=258，
由S△ADP=12AD×PQ=12DP×AP得：258×PQ=78×3，解得：PQ=2125，
而AQ=AO2-PQ2=7225，
故点P的坐标为（9625，7225）；
③当点P在第二象限时，如图2，

同理可求得：故点P（-2125，2825）；
综合得，满足条件的点P有三个，为（0，0）或（9625，7225）或（-2125，2825）．
17．如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=13x-43与x轴交于点A，经过点A的抛物线y＝ax2﹣3x+c的对称轴是x=32．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PF＝3PE．求证：PE⊥PF；
（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．

【分析】（1）先求得点A的坐标，然后依据抛物线过点A，对称轴是x=32列出关于a、c的方程组求解即可；
（2）设P（3a，a），则PC＝3a，PB＝a，然后再证明∠FPC＝∠EPB，最后通过等量代换进行证明即可；
（3）设E（a，0），然后用含a的式子表示BE的长，从而可得到CF的长，于是可得到点F的坐标，然后依据中点坐标公式可得到Qx+Px2=FX+Ex2，Qy+Py2=Fy+Ey2，从而可求得点Q的坐标（用含a的式子表示），最后，将点Q的坐标代入抛物线的解析式求得a的值即可．
【解析】（1）当y＝0时，13x-43=0，解得x＝4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=32，得16a-12+c=0--32a=32，
解得a=1c=-4，抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4；
（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，
∴直线m的解析式为y=13x．
∵点P是直线m上任意一点，
∴设P（3a，a），则PC＝|3a|，PB＝|a|．
又∵PF＝3PE，
设PB＝n，PC＝3n，PE＝m，PF＝3m，
则CF=9m2-9n2=3m2-n2，BE=m2-n2，
∴PCPB=PFPE=FCEB=3，∵∠PCF＝∠PBE＝90°，
∴△PCF∽△PBE，
∴∠FPC＝∠EPB．
∵∠CPE+∠EPB＝90°，
∴∠FPC+∠CPE＝90°，
∴FP⊥PE．
（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE＝6﹣a．

∵CF＝3BE＝18﹣3a，
∴OF＝20﹣3a．
∴F（0，20﹣3a）．
∵PEQF为矩形，
∴Qx+Px2=FX+Ex2，Qy+Py2=Fy+Ey2，
∴Qx+6＝0+a，Qy+2＝20﹣3a+0，
∴Qx＝a﹣6，Qy＝18﹣3a．
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a＝（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a＝4或a＝8（舍去）．
∴Q（﹣2，6）．
如下图所示：当点E在点B的右侧时，设E（a，0），则BE＝a﹣6．

∵CF＝3BE＝3a﹣18，
∴OF＝3a﹣20．
∴F（0，20﹣3a）．
∵PEQF为矩形，
∴Qx+Px2=FX+Ex2，Qy+Py2=Fy+Ey2，
∴Qx+6＝0+a，Qy+2＝20﹣3a+0，
∴Qx＝a﹣6，Qy＝18﹣3a．
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a＝（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a＝8或a＝4（舍去）．
∴Q（2，﹣6）．
综上所述，点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．

18．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c和直线y＝x+1交于A，B两点，点A在x轴上，点B在直线x＝3上，直线x＝3与x轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线x＝3上．
①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；
②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上．
【分析】（1）利用待定系数法即可；
（2）①分别用t表示PE、PQ、EQ，用△PQE∽△QNC表示NC及QN，列出矩形PQNM面积与t的函数关系式问题可解；
②由①利用线段中点坐标分别等于两个端点横纵坐标平均分的数量关系，表示点M坐标，分别讨论M、N、Q在抛物线上时的情况，并分别求出t值．
【解析】（1）由已知，B点横坐标为3
∵A、B在y＝x+1上
∴A（﹣1，0），B（3，4）
把A（﹣1，0），B（3，4）代入y＝﹣x2+bx+c得
-1-b+c=0-9+3b+c=4
解得
b=3c=4
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4；
（2）①过点P作PE⊥x轴于点E．

∵直线y＝x+1与x轴夹角为45°，P点速度为每秒2个单位长度
∴t秒时点E坐标为（﹣1+t，0），Q点坐标为（3﹣2t，0）
∴EQ＝4﹣3t，PE＝t
∵∠PQE+∠NQC＝90°
∠PQE+∠EPQ＝90°
∴∠EPQ＝∠NQC
∴△PQE∽△QNC
∴PQNQ=PEQC=12
∴矩形PQNM的面积S＝PQ•NQ＝2PQ2
∵PQ2＝PE2+EQ2
∴S＝2（t2+(4-3t)2）2＝20t2﹣48t+32
当t=-b2a=65时，
S最小＝20×（65）2﹣48×65+32=165
②由①点Q坐标为（3﹣2t，0），P坐标为（﹣1+t，t）
∴△PQE∽△QNC，可得NC＝2EQ＝8﹣6t
∴N点坐标为（3，8﹣6t）
由矩形对角线互相平分
∴点M坐标为（3t﹣1，8﹣5t）
当M在抛物线上时
8﹣5t＝﹣（3t﹣1）2+3（3t﹣1）+4
解得t=10-279或10+279
当点Q到A时，Q在抛物线上，此时t＝2
当N在抛物线上时，8﹣6t＝4
∴t=23
综上所述当t=23或10-279或10+279或2时，矩形PQNM的顶点落在抛物线上．
19．Rt△OBC在直角坐标系内的位置如图所示，点C在y轴上，∠OCB＝90°，反比例函数y=kx（k＞0）在第一象限内的图象与OB边交于点D（m，3），与BC边交于点E（n，6）．
（1）求m与n的数量关系；
（2）连接CD，若△BCD的面积为12，求反比例函数的解析式和直线OB的解析式；
（3）设点P是线段OB边上的点，在（2）的条件下，是否存在点P，使得以B、C、P为顶点的三角形与△BDE相似？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点D，E坐标代入反比例函数解析式中，即可得出结论；
（2）利用三角形的面积求出点B的坐标，进而得出OB的解析式，再求出点D坐标，最后将点D坐标代入反比例函数解析式中，即可得出结论；
（3）先求出BE＝6，BD＝5，BC＝8，分两种情况，利用相似三角形的性质得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．
【解析】（1）∵点D（m，3），E（n，6）都在反比例函数y=kx的图象上，
∴k＝3m＝6n，
∴m＝2n；

（2）设△BDC的边BC上的高为h，
∵∠OCB＝90°，
∴BC⊥y轴，
∵点E在BC上，且D（m，3），E（n，6），
∴h＝3，∵△BCD的面积为12，
∴12BC•h＝12，
∴BC=24h=8，
∴B（8，6），
设直线OB的解析式为y＝k'x，
∴6＝8k'，
∴k'=34，
∴直线OB的解析式为y=34x，
∵点D（m，3）在边OB上，
∴3=34m，
∴m＝4，
∴D（4，3），
∵点D在反比例函数y=kx的图象上，
∴k＝4×3＝12，
∴反比例函数的解析式为y=12x；

（3）存在，理由：
由（2）知，反比例函数的解析式为y=12x，
∵点E（n，6）在反比例函数的图象上，
∴n=126=2，
∴E（2，6），
由（2）知，B（8，6），D（4，3），
∴BC＝8，BE＝6，BD=(8-4)2+(6-3)2=5，
设点P（a，34a），
∵点P在线段OB上，
∴0≤a＜8，
∴BP=(8-a)2+(6-34a)2，
∵B、C、P为顶点的三角形与△BDE相似，且∠DBE＝∠CBP，
∴①当△BDE∽△BPC时，
∴BDBP=BEBC，
∴5(8-a)2+(6-34a)2=68，
∴a=83或a=403（舍），
∴P（83，2），
②当△BDE∽△BCP时，
∴BDBC=BEBP，
∴58=6(8-a)2+(6-34a)2，
∴a=825或a=39225（舍），
∴P（825，625），
即，存在点P，使得以B、C、P为顶点的三角形与△BDE相似，此时点P的坐标为P（83，2）或（825，625）．
20．已知抛物线y=-14x2+bx+c经过点A（4，3），顶点为B，对称轴是直线x＝2．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点B的坐标；
（2）如图1，抛物线与y轴交于点C，连接AC，过A作AD⊥x轴于点D，E是线段AC上的动点（点E不与A，C两点重合）；
（i）若直线BE将四边形ACOD分成面积比为1：3的两部分，求点E的坐标；
（ii）如图2，连接DE，作矩形DEFG，在点E的运动过程中，是否存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上？若存在，求出此时AE的长；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由题意得出-14×42+4b+c=3-b2×(-14)=2，解得b=1c=3，得出抛物线的函数表达式为：y=-14x2+x+3=-14（x﹣2）2+4，即可得出顶点B的坐标为（2，4）；
（2）（i）求出C（0，3），设点E的坐标为（m，3），求出直线BE的函数表达式为：y=-1m-2x+4m-6m-2，则点M的坐标为（4m﹣6，0），由题意得出OC＝3，AC＝4，OM＝4m﹣6，CE＝m，则S矩形ACOD＝12，S梯形ECOM=15m-182，分两种情况求出m的值即可；
（ii）过点F作FN⊥AC于N，则NF∥CG，设点F的坐标为：（a，-14a2+a+3），则NF＝3﹣（-14a2+a+3）=14a2﹣a，NC＝﹣a，证△EFN≌△DGO（ASA），得出NE＝OD＝AC＝4，则AE＝NC＝﹣a，证△ENF∽△DAE，得出NEAD=NFAE，求出a=-43或0，当a＝0时，点E与点A重合，舍去，得出AE＝NC＝﹣a=43，即可得出结论．
【解析】（1）∵抛物线y=-14x2+bx+c经过点A（4，3），对称轴是直线x＝2，
∴-14×42+4b+c=3-b2×(-14)=2，
解得：b=1c=3，
∴抛物线的函数表达式为：y=-14x2+x+3，
∵y=-14x2+x+3=-14（x﹣2）2+4，
∴顶点B的坐标为（2，4）；
（2）（i）∵y=-14x2+x+3，
∴x＝0时，y＝3，
则C点的坐标为（0，3），
∵A（4，3），
∴AC∥OD，
∵AD⊥x，
∴四边形ACOD是矩形，
设点E的坐标为（m，3），直线BE的函数表达式为：y＝kx+n，直线BE交x轴于点M，如图1所示：
则2k+n=4mk+n=3，
解得：k=-1m-2n=4m-6m-2，
∴直线BE的函数表达式为：y=-1m-2x+4m-6m-2，
令y=-1m-2x+4m-6m-2=0，则x＝4m﹣6，
∴点M的坐标为（4m﹣6，0），
∵直线BE将四边形ACOD分成面积比为1：3的两部分，
∴点M在线段OD上，点M不与点O重合，
∵C（0，3），A（4，3），M（4m﹣6，0），E（m，3），
∴OC＝3，AC＝4，OM＝4m﹣6，CE＝m，
∴S矩形ACOD＝OC•AC＝3×4＝12，
S梯形ECOM=12（OM+EC）•OC=12（4m﹣6+m）×3=15m-182，
分两种情况：
①S梯形ECOMS矩形ACOD=14，即15m-18212=14，
解得：m=85，
∴点E的坐标为：（85，3）；
②S梯形ECOMS矩形ACOD=34，即15m-18212=34，
解得：m=125，
∴点E的坐标为：（125，3）；
综上所述，点E的坐标为：（85，3）或（125，3）；
（ii）存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上；理由如下：
由题意得：满足条件的矩形DEFG在直线AC的下方，
过点F作FN⊥AC于N，则NF∥CG，如图2所示：
设点F的坐标为：（a，-14a2+a+3），
则NF＝3﹣（-14a2+a+3）=14a2﹣a，NC＝﹣a，
∵四边形DEFG与四边形ACOD都是矩形，
∴∠DAE＝∠DEF＝∠N＝90°，EF＝DG，EF∥DG，AC∥OD，
∴∠NEF＝∠ODG，∠EMC＝∠DGO，
∵NF∥CG，
∴∠EMC＝∠EFN，
∴∠EFN＝∠DGO，
在△EFN和△DGO中，∠NEF=∠ODGEF=DG∠EFN=∠DGO，
∴△EFN≌△DGO（ASA），
∴NE＝OD＝AC＝4，
∴AC﹣CE＝NE﹣CE，即AE＝NC＝﹣a，
∵∠DAE＝∠DEF＝∠N＝90°，
∴∠NEF+∠EFN＝90°，∠NEF+∠DEA＝90°，
∴∠EFN＝∠DEA，
∴△ENF∽△DAE，
∴NEAD=NFAE，即43=14a2-a-a，
整理得：34a2+a＝0，
解得：a=-43或0，
当a＝0时，点E与点A重合，
∴a＝0舍去，
∴AE＝NC＝﹣a=43，
∴当点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上，此时AE的长为43．