2022年苏教版中考数学压轴题经典模型教案专题17 函数与圆综合问题

【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题17函数与圆综合问题 

【例1】如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在y轴上是否存在点P使得∠OBP+∠OBC＝45°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）点M是BC为直径的圆上的动点，将点M绕原点O顺时针旋转90°得点N，连接NA，求NA的取值范围．

【例2】如图1：抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．动点E（m，0）（0＜m＜3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．

（1）求抛物线的解析式及C点坐标；

（2）连接BM并延长交y轴于点N，连接AN，OM，若AN∥OM，求m的值．

（3）如图2．当m＝1时，P是直线l上的点，以P为圆心，PE为半径的圆交直线l于另一点F（点F在x轴上方），若线段AC上最多存在一个点Q使得∠FQE＝90°，求点P纵坐标的取值范围．

【例3】如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线AB相交于A（﹣1，0），B（3，2），与x轴交于另一点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在y上是否存在一点E，使四边形ABCE为矩形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）以C为圆心，1为半径作⊙O，D为⊙O上一动点，求DA+DB的最小值

【例4】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴是直线x＝2，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（Ⅰ）求抛物线的解析式及顶点坐标；

（Ⅱ）M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作MN⊥x轴于点N，交BC于点D，连接CM，当线段CM＝CD时，求点M的坐标；

（Ⅲ）以原点O为圆心，AO长为半径作⊙O，点P为⊙O上的一点，连接BP，CP，求2PC+3PB的最小值．

1．如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，连接BC并延长．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N．

1°求线段MN的最大值；

2°当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上时，求点P的坐标．

2．如图1，已知抛物线y＝ax2﹣12ax+32a（a＞0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．

（1）连接BC，若∠ABC＝30°，求a的值．

（2）如图2，已知M为△ABC的外心，试判断弦AB的弦心距d是否有最小值，若有，求出此时a的值，若没有，请说明理由；

（3）如图3，已知动点P（t，t）在第一象限，t为常数．

问：是否存在一点P，使得∠APB达到最大，若存在，求出此时∠APB的正弦值，若不存在，也请说明理由．

3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．

（1）求抛物线的表达式；

（2）判断△BCE的形状，并说明理由；

（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

4．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0）．

（1）求二次函数的表达式；

（2）求顶点A的坐标及直线AB的表达式；

（3）判断△ABO的形状，试说明理由；

（4）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为2，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值．

5．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：

（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；

（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；

（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

6．如图，抛物线的顶点为A（0，2），且经过点B（2，0）．以坐标原点O为圆心的圆的半径r＝，OC⊥AB于点C．

（1）求抛物线的函数解析式．

（2）求证：直线AB与⊙O相切．

（3）已知P为抛物线上一动点，线段PO交⊙O于点M．当以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，求PM的长．

7．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）如图甲，连接AC，PA，PC，若S△PAC＝，求点P的坐标；

（3）如图乙，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D，交⊙M于点E．点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长．

8．如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点．

（1）求二次函数的表达式；

（2）P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标；

（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y＝﹣1相切．若存在，求出点E的坐标，并求⊙E的半径；若不存在，说明理由．

9．如图1，已知抛物线y＝ax2﹣12ax+32a（a＞0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．

（1）连接BC，若∠ABC＝30°，求a的值．

（2）如图2，已知M为△ABC的外心，试判断弦AB的弦心距d是否有最小值，若有，求出此时a的值，若没有，请说明理由；

（3）如图3，已知动点P（t，t）在第一象限，t为常数．

问：是否存在一点P，使得∠APB达到最大，若存在，求出此时∠APB的正弦值，若不存在，也请说明理由．

10．如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，连接BC并延长．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N．

1°求线段MN的最大值；

2°当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上时，求点P的坐标．

11．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x与该抛物线交于E，F两点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值．

（3）以点C为圆心，1为半径作圆，⊙C上是否存在点M，使得△BCM是以CM为直角边的直角三角形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由．

12．如图，已知⊙A的圆心为点（3，0），抛物线y＝ax2x+c过点A，与⊙A交于B、C两点，连接AB、AC，且AB⊥AC，B、C两点的纵坐标分别是2、1．

（1）请直接写出点B的坐标，并求a、c的值；

（2）直线y＝kx+1经过点B，与x轴交于点D．点E（与点D不重合）在该直线上，且AD＝AE，请判断点E是否在此抛物线上，并说明理由；

（3）如果直线y＝k1x﹣1与⊙A相切，请直接写出满足此条件的直线解析式．

13．如图，在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），△ABO的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点．

（1）求圆心M的坐标；

（2）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF＝4时，求点P的坐标．

14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2﹣bx+c交x轴于点A，B，点B的坐标为（4，0），与y轴于交于点C（0，﹣2）．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）在抛物线上取点D，若点D的横坐标为5，求点D的坐标及∠ADB的度数；

（3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴l交x轴于点H，△ABD的外接圆圆心为M（如图1），

①求点M的坐标及⊙M的半径；

②过点B作⊙M的切线交于点P（如图2），设Q为⊙M上一动点，则在点运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．

15．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：yx﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．

（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；

（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；

（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；

②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．

16．已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2）．

（1）若点（，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；

（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．

①求抛物线的解析式；

②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．

17．如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点．

（1）求二次函数的表达式；

（2）P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标；

（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y＝﹣1相切．若存在，求出点E的坐标，并求⊙E的半径；若不存在，说明理由．

18．我们把方程（x﹣m）2+（y﹣n）2＝r2称为圆心为（m，n）、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为（1，﹣2）、半径长为3的圆的标准方程是（x﹣1）2+（y+2）2＝9．在平面直角坐标系中，⊙C与x轴交于点A，B，且点B的坐标为（8，0），与y轴相切于点D（0，4），过点A，B，D的抛物线的顶点为E．

（1）求⊙C的标准方程；

（2）试判断直线AE与⊙C的位置关系，并说明理由．

19．如图，抛物线y＝ax2x+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，3）与x轴的另一交点为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MP∥y轴，交抛物线于点P．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在一点Q，使得△QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）以M为圆心，MP为半径作⊙M，当⊙M与坐标轴相切时，求出⊙M的半径．

20．定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股点．已知点M、N是线段AB的勾股点，若AM＝1，MN＝2，则BN＝　或　．

（1）【类比探究】如图2，DE是△ABC的中位线，M、N是AB边的勾股点（AM＜MN＜NB），连接CM、CN分别交DE于点G、H．求证：G、H是线段DE的勾股点．

（2）【知识迁移】如图3，C，D是线段AB的勾股点，以CD为直径画⊙O，P在⊙O上，AC＝CP，连接PA，PB，若∠A＝2∠B，求∠B的度数．

（3）【拓展应用】如图4，点P（a，b）是反比例函数y（x＞0）上的动点，直线y＝﹣x+2与坐标轴分别交于A、B两点，过点P分别向x、y轴作垂线，垂足为C、D，且交线段AB于E、F．证明：E、F是线段AB的勾股点．

【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题17函数与圆综合问题 

【例1】如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在y轴上是否存在点P使得∠OBP+∠OBC＝45°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）点M是BC为直径的圆上的动点，将点M绕原点O顺时针旋转90°得点N，连接NA，求NA的取值范围．

【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2即可求解析式；

（2）过点P作PH⊥BC交于点H，设P（0，t），CH＝x，由已知分别可求BC＝2，BH＝2﹣x，HP＝BH＝2﹣x，在Rt△CPH中，sin∠PCH＝＝＝，cos∠PCH＝＝＝，求出t＝﹣，则P（0，﹣），与x轴对称点为（0，），此点也满足所求；

（3）当M点在B点处时，N点在F（0，﹣4）处，当M点在O点处时，N点在E（2，0）处，∠EOF＝90°，EF＝BC＝2，可以判断N点在以EF为直径的圆上运动，连接OO'，O'（1，﹣2），NA有最大值和最小值，O'A＝2，则可求NA最大值为2+，NA最小值为2﹣，进而求得2﹣≤NA≤2+．

【解析】（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，得

，

解得，

∴y＝﹣x2+x+2；

（2）过点P作PH⊥BC交于点H，

设P（0，t），CH＝x，

∵C（0，2），B（4，0），

∴BC＝2，

∴BH＝2﹣x，

∵∠OBP+∠OBC＝45°，

∴∠CBP＝45°，

∴HP＝BH＝2﹣x，

在Rt△CPH中，sin∠PCH＝＝，cos∠PCH＝＝，

在Rt△BOC中，sin∠PCH＝，cos∠PCH＝，

∴＝，＝，

∴x＝，t＝﹣，

∴P（0，﹣），

P点关于x轴对称点为（0，），此点也满足∠OBP+∠OBC＝45°，

∴满足条件的P点坐标为（0，﹣）或（0，）；

（3）当M点在B点处时，N点在F（0，﹣4）处，当M点在C点处时，N点在E（2，0）处，

∵∠EOF＝90°，EF＝BC＝2，可以判断N点在以EF为直径的圆上运动，连接OO'，

当NA经过圆心O'时，NA有最大值和最小值，

∴O'（1，﹣2），

∵A（﹣1，0），

∴O'A＝2，

∴NA最大值为2+，NA最小值为2﹣，

∴2﹣≤NA≤2+．

【例2】如图1：抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．动点E（m，0）（0＜m＜3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．

（1）求抛物线的解析式及C点坐标；

（2）连接BM并延长交y轴于点N，连接AN，OM，若AN∥OM，求m的值．

（3）如图2．当m＝1时，P是直线l上的点，以P为圆心，PE为半径的圆交直线l于另一点F（点F在x轴上方），若线段AC上最多存在一个点Q使得∠FQE＝90°，求点P纵坐标的取值范围．

【分析】（1）利用待定系数法可求出抛物线的解析式，即可得C点坐标；

（2）由抛物线的解析式可得M（m，﹣m2+2m+3），利用待定系数法求出直线BM的解析式，可得点N的坐标，根据平行线的性质可得∠NAO＝∠MOE，根据等角的正切值相等即可求解；

（3）由题意得点Q与点C重合时，点P纵坐标最小，设点P（1，a），则点F（1，2a），根据勾股定理求出a的值，即可得点P纵坐标的取值范围．

【解析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，

，

解得，

故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，

当x＝0时，y＝3，故点C（0，3）；

（2）∵点E（m，0）（0＜m＜3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M，

∴M（m，﹣m2+2m+3），

∵点B（3，0），

∴直线BM的表达式为y＝（﹣m﹣1）x﹣（﹣m﹣1）,

当x＝0时，3m+3，

∴点N（0，3m+3），

∵AN∥OM，

∴∠NAO＝∠MOE，

∴tan∠NAO＝tan∠MOE，

∴，即，

解得：m1＝，m2＝﹣1（舍去），

∴m的值为；

（3）由题意得点Q与点C重合时，点P纵坐标最小，设点P（1，a），则点F（1，2a），

∵点A（﹣1，0），点C（0，3），

∴CF2+CE2＝EF2，即1+（2a﹣3）2+1+32＝(2a)2，

解得：a＝，

∵点A（﹣1，0），点C（0，3），

∴AC:y＝3x+3,

设Q（a，3a+3）（﹣1≤a≤0），

过点Q作QG⊥x轴于G，过点F作FH⊥QG于H，连接QF，QE，

∵∠FQE＝90°，

∴∠FQH+∠EQG＝90°，

∵∠FQH+∠HFQ＝90°，

∴∠EQG＝∠HFQ，

又∵∠H＝∠QGE，

∴△HFQ∽△GQE，

∴，

∴，

∴HQ＝，

∴FE＝HQ+QG＝+3a+3，

令1+a＝t，（0≤t≤1），

∴a＝t﹣1，

∴FE＝+3t＝t+t﹣，

当t＝1时，FE＝，

∵t+t﹣≥2﹣，

∴t+t﹣≥，

∴yF最小值是，

∴yP最小值是，

∴当yP＞时，⊙P与线段AC有一个交点，

当＜yP≤时，⊙P与线段AC有两个交点，

yP＝时，⊙P与线段AC有一个交点，

0＜yP＜时，⊙P与线段AC没有交点，

∴点P纵坐标的取值范围为yp＞或0＜yP≤．

【例3】如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线AB相交于A（﹣1，0），B（3，2），与x轴交于另一点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在y上是否存在一点E，使四边形ABCE为矩形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）以C为圆心，1为半径作⊙O，D为⊙O上一动点，求DA+DB的最小值

【分析】（1）把A（﹣1，0）、B（3，2）代入y＝ax2+bx+2，列方程组求a、b的值；

（2）作AE⊥AB交y轴于点E，连结CE，作BF⊥x轴于点F，证明∠ABC＝90°及△BCF≌△EAO，从而证明四边形ABCE是矩形且求出点E的坐标；

（3）在（2）的基础上，作FL⊥BC于点L，证明△FCL∽△BCF及△DCL∽△BCD，得到LD＝DB，再根据DA+LD≥AL，求出AL的长即为所求的最小值．

【解析】（1）把A（﹣1，0）、B（3，2）代入y＝ax2+bx+2，

得，解得，

∴抛物线的解析式为y＝x2+x+2．

（2）存在．

如图1，作AE⊥AB交y轴于点E，连结CE；作BF⊥x轴于点F，则F（3，0）．

当y＝0时，由x2+x+2＝0，得x1＝1，x2＝4，

∴C（4，0），

∴CF＝AO＝1，AF＝3﹣（﹣1）＝4；

又∵BF＝2，

∴，

∵∠BFC＝∠AFB＝90°，

∴△BFC∽△AFB，

∴∠CBF＝∠BAF，

∴∠ABC＝∠CBF+∠ABF＝∠BAF+∠ABF＝90°，

∴BC∥AE，

∵∠BCF＝90°﹣∠BAC＝∠EAO，∠BFC＝∠EOA＝90°，

∴△BCF≌△EAO（ASA），

∴BC＝EA，

∴四边形ABCE是矩形；

∵OE＝FB＝2，

∴E（0，﹣2）．

（3）如图2，作FL⊥BC于点L，连结AL、CD.

由（2）得∠BFC＝90°，BF＝2，CF＝1，

∴CF＝CD，CB＝＝．

∵∠FLC＝∠BFC＝90°，∠FCL＝∠BCF（公共角），

∴△FCL∽△BCF，

∴＝，

∴＝，

∵∠DCL＝∠BCD（公共角），

∴△DCL∽△BCD，

∴＝，

∴LD＝DB；

∵DA+LD≥AL，

∴当DA+LD＝AL，即点D落在线段AL上时，DA+DB＝DA+LD＝AL最小．

∵CL＝CF＝，

∴BL＝＝，

∴BL2＝（）2＝，

又∵AB2＝22+42＝20，

∴AL＝＝＝，

DA+DB的最小值为．

【例4】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴是直线x＝2，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（Ⅰ）求抛物线的解析式及顶点坐标；

（Ⅱ）M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作MN⊥x轴于点N，交BC于点D，连接CM，当线段CM＝CD时，求点M的坐标；

（Ⅲ）以原点O为圆心，AO长为半径作⊙O，点P为⊙O上的一点，连接BP，CP，求2PC+3PB的最小值．

【分析】（Ⅰ）由x＝2＝﹣＝﹣，解得b＝1，即可求解；

（Ⅱ）当线段CM＝CD时，则点C在MD的中垂线上，即yC＝（yM+yD），即可求解；

（Ⅲ）在OC上取点G，使＝，即，则△POG∽△COP，故2PC+3PB＝2（PB+PC）＝2（BP+PG），故当B、P、G三点共线时，2PC+3PB最小，最小值为3BG，进而求解．

【解析】（Ⅰ）∵对称轴是直线x＝2，

故x＝2＝﹣＝﹣，解得b＝1，

故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，

∴抛物线的顶点为（2，4）；

（Ⅱ）对于y＝﹣x2+x+3，令y＝﹣x2+x+3＝0，解得x＝6或﹣2，令x＝0，则y＝3，

故点A、B、C的坐标分别为（﹣2，0）、（6，0）、（0，3），

设直线BC的表达式为y＝mx+n，则，解得，

故直线BC的表达式为y＝﹣x+3，

设点M的坐标为（x，﹣x2+x+3），则点D的坐标为（x，﹣x+3），

当线段CM＝CD时，则点C在MD的中垂线上，即yC＝（yM+yD），

即3＝（﹣x2+x+3﹣x+3），

解得x＝0（舍去）或2，

故点M的坐标为（2，4）；

（Ⅲ）在OC上取点G，使＝，即，则OG＝，则点G（0，），

∵，∠GOP＝∠COP，

∴△POG∽△COP，

∴，故PG＝PC，

则2PC+3PB＝3（PB+PC）＝3（BP+PG），

故当B、P、G三点共线时，2PC+3PB最小，最小值为3BG，

则2PC+3PB的最小值3BG＝3＝2．

1．如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，连接BC并延长．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N．

1°求线段MN的最大值；

2°当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上时，求点P的坐标．

【分析】（1）将三个已知点坐标代入抛物线的解析式中列出方程组求得a、b、c，便可得抛物线的解析式；

（2）1°用待定系数法求出直线BC的解析式，再设M的横坐标为t，用t表示MN的距离，再根据二次函数的性质求得MN的最大值；

2°分三种情况：当∠PMN＝90°时；当∠PNM＝90°时；当∠MPN＝90°时．分别求出符合条件的P点坐标便可．

【解析】（1）把A、B、C三点的坐标代入抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）中，得

，

解得，，

∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；

（2）1°设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0），则

，

解得，，

∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，

设M（t，﹣t+3）（0＜t＜3），则N（t，t2﹣4t+3），

∴MN＝﹣t2+3t＝﹣，

∴当t＝时，MN的值最大，其最大值为；

2°∵△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上，

∴△PMN为直角三角形，

由1°知，当MN取最大值时，M（），N（），

①当∠PMN＝90°时，PM∥x轴，则P点与M点的纵坐标相等，

∴P点的纵坐标为，

当y＝时，y＝x2﹣4x+3＝，

解得，x＝，或x＝（舍去），

∴P（）；

②当∠PNM＝90°时，PN∥x轴，则P点与N点的纵坐标相等，

∴P点的纵坐标为﹣，

当y＝﹣时，y＝x2﹣4x+3＝﹣，

解得，x＝，或x＝（舍去），

∴P（，）；

③当∠MPN＝90°时，则MN为△PMN的外接圆的直径，

∴△PMN的外接圆的圆心Q为MN的中点，

∴Q（），半径为，

过Q作QK∥x轴，与在MN右边的抛物线图象交于点K，如图②，

令y＝，得y＝x2﹣4x+3＝，

解得，x＝＜（舍），或x＝，

∴K（，），

∴QK＝＞，即K点在以MN为直径的⊙Q外，

设抛物线y＝x2﹣4x+3的顶点为点L，则l（2，﹣1），

连接LK，如图②，则L到QK的距离为，

LK＝，

设Q点到LK的距离为h，则

，

∴＝，

∴直线LK下方的抛物线与⊙Q没有公共点，

∵抛物线中NL部分（除N点外）在过N点与x轴平行的直线下方，

∴抛物线中NL部分（除N点外）与⊙Q没有公共点，

∵抛物线K点右边部分，在过K点与y轴平行的直线的右边，

∴抛物线K点右边部分与⊙Q没有公共点，综上，⊙Q与MN右边的抛物线没有交点，

∴在线段MN右侧的抛物线上不存在点P，使△PMN的外接圆圆心Q在MN边上；

综上，点P的坐标为（）或（）．

2．如图1，已知抛物线y＝ax2﹣12ax+32a（a＞0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．

（1）连接BC，若∠ABC＝30°，求a的值．

（2）如图2，已知M为△ABC的外心，试判断弦AB的弦心距d是否有最小值，若有，求出此时a的值，若没有，请说明理由；

（3）如图3，已知动点P（t，t）在第一象限，t为常数．

问：是否存在一点P，使得∠APB达到最大，若存在，求出此时∠APB的正弦值，若不存在，也请说明理由．

【分析】（1）令y＝0，求得抛物线与x轴的交点A、B的坐标，令x＝0，用a表示C点的坐标，再由三角函数列出a的方程，便可求得a的值；

（2）过M点作MH⊥AB于点H，连接MA、MC，用d表示出M的坐标，根据MA＝MC，列出a、d的关系式，再通过关系式求得结果；

（3）取AB的中点T，过T作MT⊥AB，以M为圆心，MA为半径作⊙M，MT与直线y＝x交于点S，P′为直线y＝x上异于P的任意一点，连接AP′，交⊙M于点K，连接BK，MP，AP，BP，MB，MA，当P为直线y＝x与⊙M的切点时，∠APB达到最大，利用圆圆周角性质和解直角三角形的知识求得结果便可．

【解析】（1）连接BC，

令y＝0，得y＝ax2﹣12ax+32a＝0，

解得，x＝4或8，

∴A（4，0），B（8，0），

令x＝0，得y＝ax2﹣12ax+32a＝32a，

∴C（0，32a），

又∠ABC＝30°，

∴tan∠ABC＝，

解得，a＝；

（2）过M点作MH⊥AB于点H，连接MA、MC，如图2，

∴AH＝BH＝＝2，

∴OH＝6，

设M（6，d），

∵MA＝MC，

∴4+d2＝36+（d﹣32a）2，

得2ad＝32a2+1，

∴d＝16a+＝，

∴当4时，有，

即当a＝时，有；

（3）∵P（t，t），

∴点P在直线y＝x上，

如图3，取AB的中点T，过T作MT⊥AB，以M为圆心，MA为半径作⊙M，MT与直线y＝x交于点S，P′为直线y＝x上异于P的任意一点，连接AP′，交⊙M于点K，连接BK，MP，AP，BP，MB，MA，

当⊙M与直线y＝x相切时，有∠APB＝∠AKB＞∠AP′B，

∴∠APB最大，此时相切点为P，

设M（6，d），而T（6，0），

∴S（6，6），

∴∠PSM＝90°﹣∠SOT＝45°，

又MP＝MB＝，

∴MS＝＝，

∵MS+MT＝ST＝6，

∴，

解得，d＝2（负根舍去），

经检验，d＝2是原方程的解，也符合题意，

∴M（6，2），

∴MB＝2，

∵∠AMB＝2∠APB，MT⊥AB，MA＝MB，

∴∠AMT＝∠BMT＝∠AMB＝∠APB，

∴sin∠APB＝sin∠BMT＝．

3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．

（1）求抛物线的表达式；

（2）判断△BCE的形状，并说明理由；

（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；

（2）△BCE是直角三角形．运用勾股定理逆定理即可证明；

（3）如图，在CE上截取CF＝（即CF等于半径的一半），连结BF交⊙C于点P，连结EP，则BF的长即为所求．

【解析】（1）∵抛物线的顶点坐标为E（2，8），

∴设该抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+8，

∵与y轴交于点C（0，6），

∴把点C（0，6）代入得：a＝﹣，

∴该抛物线的表达式为y＝x2+2x+6；

（2）△BCE是直角三角形．理由如下：

∵抛物线与x轴分别交于A、B两点，

∴令y＝0，则﹣（x﹣2）2+8＝0，

解得：x1＝﹣2，x2＝6，

∴A（﹣2，0），B（6，0），

∴BC2＝62+62＝72，CE2＝（8﹣6）2+22＝8，BE2＝（6﹣2）2+82＝80，

∴BE2＝BC2+CE2，

∴∠BCE＝90°，

∴△BCE是直角三角形；

（3）⊙C上存在点P，使得BP+EP的值最小且这个最小值为．理由如下：

如图，在CE上截取CF＝（即CF等于半径的一半），连结BF交⊙C于点P，连结EP，

则BF的长即为所求．理由如下：

连结CP，∵CP为半径，

∴＝＝，

又∵∠FCP＝∠PCE，

∴△FCP∽△PCE，

∴＝＝，即FP＝EP，

∴BF＝BP+EP，

由“两点之间，线段最短”可得：

BF的长即BP+EP为最小值．

∵CF＝CE，E（2，8），

∴由比例性质，易得F（，），

∴BF＝＝．

4．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0）．

（1）求二次函数的表达式；

（2）求顶点A的坐标及直线AB的表达式；

（3）判断△ABO的形状，试说明理由；

（4）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为2，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值．

【分析】（1）运用待定系数法即可求出答案；

（2）运用配方法将抛物线解析式化为顶点式，得出顶点坐标，运用待定系数法求出直线AB的函数表达式；

（3）方法1：如图1，过点A作AF⊥OB于点F，则F（4，0），得出△AFO、△AFB均为等腰直角三角形，即可得出答案，

方法2：由△ABO的三个顶点分别是O（0，0），A（4，﹣4），B（8，0），运用勾股定理及逆定理即可得出答案；

（4）以O为圆心，2为半径作圆，则点P在圆周上，根据t＝AP+PB＝PD+PB，可知当B、P、D三点共线时，PD+PB取得最小值，过点D作DG⊥OB于点G，由t＝DB＝即可求出答案．

【解析】（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0），

∴c＝0，二次函数表达式可设为：y＝ax2+bx（a≠0），

将C（2，﹣3），B（8，0）代入y＝ax2+bx得：

，

解得：，

∴二次函数的表达式为；

（2）∵＝（x﹣4）2﹣4，

∴抛物线的顶点A（4，﹣4），

设直线AB的函数表达式为y＝kx+m，将A（4，﹣4），B（8，0）代入，得：

，

解得：，

∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣8；

（3）△ABO是等腰直角三角形．

方法1：如图1，过点A作AF⊥OB于点F，则F（4，0），

∴∠AFO＝∠AFB＝90°，OF＝BF＝AF＝4，

∴△AFO、△AFB均为等腰直角三角形，

∴OA＝AB＝4，∠OAF＝∠BAF＝45°，

∴∠OAB＝90°，

∴△ABO是等腰直角三角形．

方法2：∵△ABO的三个顶点分别是O（0，0），A（4，﹣4），B（8，0），

∴OB＝8，OA＝＝＝，

AB＝＝＝，

且满足OB2＝OA2+AB2，

∴△ABO是等腰直角三角形；

（4）如图2，以O为圆心，2为半径作圆，则点P在圆周上，依题意知：

动点E的运动时间为t＝AP+PB，

在OA上取点D，使OD＝，连接PD，

则在△APO和△PDO中，

满足：＝＝2，∠AOP＝∠POD，

∴△APO∽△PDO，

∴＝＝2，

从而得：PD＝AP，

∴t＝AP+PB＝PD+PB，

∴当B、P、D三点共线时，PD+PB取得最小值，

过点D作DG⊥OB于点G，由于，且△ABO为等腰直角三角形，

则有 DG＝1，∠DOG＝45°

∴动点E的运动时间t的最小值为：t＝DB＝＝＝5．

5．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：

（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；

（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；

（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

【分析】（1）运用待定系数法即可求出抛物线解析式，再运用配方法求出顶点坐标；

（2）如图1，将点沿y轴向下平移1个单位得C′（0，2），连接BC′交抛物线对称轴x＝1于点Q′，过点C作CP′∥BC′，交对称轴于点P′，连接AQ′，此时，C′、Q′、B三点共线，BQ′+C′Q′的值最小，运用勾股定理即可求出答案；

（3）如图2，连接BE，设D（t，﹣t2+2t+3），且t＞3，可得DF＝t2﹣2t﹣3，BF＝t﹣3，AF＝t+1，运用圆内接四边形的性质可得∠DAF＝∠BEF，进而证明△AFD∽△EFB，利用＝，即可求得答案．

【解析】（1）根据表格可得出A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），

设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），

将C（0，3）代入，得：3＝a（0+1）（0﹣3），

解得：a＝﹣1，

∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴该抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为M（1，4）；

（2）如图1，将点C沿y轴向下平移1个单位得C′（0，2），连接BC′交抛物线对称轴x＝1于点Q′，

过点C作CP′∥BC′，交对称轴于点P′，连接AQ′，

∵A、B关于直线x＝1对称，

∴AQ′＝BQ′，

∵CP′∥BC′，P′Q′∥CC′，

∴四边形CC′Q′P′是平行四边形，

∴CP′＝C′Q′，Q′P′＝CC′＝1，

在Rt△BOC′中，BC′＝＝＝，

∴AQ′+Q′P′+P′C＝BQ′+C′Q′+Q′P′＝BC′+Q′P′＝+1，

此时，C′、Q′、B三点共线，BQ′+C′Q′的值最小，

∴AQ+QP+PC的最小值为+1；

（3）线段EF的长为定值1.

如图2，连接BE，

设D（t，﹣t2+2t+3），且t＞3，

∵EF⊥x轴，

∴DF＝﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t﹣3，

∵F（t，0），

∴BF＝OF﹣OB＝t﹣3，AF＝t﹣（﹣1）＝t+1，

∵四边形ABED是圆内接四边形，

∴∠DAF+∠BED＝180°，

∵∠BEF+∠BED＝180°，

∴∠DAF＝∠BEF，

∵∠AFD＝∠EFB＝90°，

∴△AFD∽△EFB，

∴＝，

∴＝，

∴EF＝＝＝1，

∴线段EF的长为定值1．

6．如图，抛物线的顶点为A（0，2），且经过点B（2，0）．以坐标原点O为圆心的圆的半径r＝，OC⊥AB于点C．

（1）求抛物线的函数解析式．

（2）求证：直线AB与⊙O相切．

（3）已知P为抛物线上一动点，线段PO交⊙O于点M．当以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，求PM的长．

【分析】（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：y＝ax2+2，把点B的坐标代入即可求出a的值，即可得出抛物线解析式；

（2）根据切线的判定，证明OC是⊙O的半径即可；

（3）由题意知，AC是以M，O，A，C为顶点的平行四边形的边，利用平行四边形对边平行的性质，可得出直线OM的解析式，直线OM与抛物线的交点为P，即可求出PM的长．

【解析】（1）∵抛物线的顶点为A（0，2），

∴可设抛物线的解析式为：y＝ax2+2，

∵抛物线经过点B（2，0），

∴4a+2＝0，

解得：a＝﹣，

∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2；

（2）证明：∵A（0，2），B（2，0），

∴OA＝OB＝2，

∴AB＝2，

∵OC⊥AB，

∴•OA•OB＝•AB•OC，

∴×2×2＝×2•OC，

解得：OC＝，

∵⊙O的半径r＝，

∴OC是⊙O的半径，

∴直线AB与⊙O相切；

（3）∵点P在抛物线y＝﹣x2+2上，

∴可设P（x，﹣x2+2），

以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，

可得：AC＝OM＝，CM＝OA＝2，

∵点C是AB的中点，

∴C（1，1），M（1，﹣1），

设直线OM的解析式为y＝kx，将点M（1，﹣1）代入，

得：k＝﹣1，

∴直线OM的解析式为y＝﹣x，

∵点P在OM上，

∴﹣x2+2＝﹣x，

解得：x1＝1+，x2＝1﹣，

∴y1＝﹣1﹣，y2＝﹣1+，

∴P1（1+，﹣1﹣），P2（1﹣，﹣1+），

如图，当点P位于P1位置时，

OP1＝＝＝（1+）＝+，

∴P1M＝OP1﹣OM＝+﹣＝，

当点P位于P2位置时，同理可得：OP2＝﹣，

∴P2M＝OP2﹣OM＝﹣﹣＝﹣2；

综上所述，PM的长是或﹣2．

7．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）如图甲，连接AC，PA，PC，若S△PAC＝，求点P的坐标；

（3）如图乙，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D，交⊙M于点E．点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长．

【分析】（1）由二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，可得二次函数的解析式为y＝（x+2）（x﹣4），由此即可解决问题．

（2）根据S△PAC＝S△AOC+S△OPC﹣S△AOP，构建方程即可解决问题．

（3）结论：点P在运动过程中线段DE的长是定值，DE＝2．根据AM＝MP，根据方程求出t，再利用中点坐标公式，求出点E的纵坐标即可解决问题．

【解析】（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，

∴二次函数的解析式为y＝（x+2）（x﹣4），

即y＝x2﹣x﹣4．

（2）如图甲中，连接OP．设P（m，m2﹣m﹣4）．

由题意，A（﹣2，0），C（0，﹣4），

∵S△PAC＝S△AOC+S△OPC﹣S△AOP，

∴＝×2×4+×4×m﹣×2×（﹣m2+m+4），

整理得，m2+2m﹣15＝0，

解得m＝3或﹣5（舍弃），

∴P（3，﹣）．

（3）结论：点P在运动过程中线段DE的长是定值，DE＝2．