2022年苏教版中考数学压轴题经典模型教案专题22 新定义综合问题

【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题22新定义综合问题  

【例1】．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y＝m与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为蝶宽，顶点M称为蝶顶．

（1）由定义知，取AB中点N，连接MN，MN与AB的关系是 　   　．

（2）抛物线y＝对应的准蝶形必经过B（m，m），则m＝　   　，对应的蝶宽AB是 　   　．

（3）抛物线y＝ax2﹣4a﹣（a＞0）对应的蝶宽在x轴上，且AB＝6．

①求抛物线的解析式；

②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P（xp，yp），使得∠APB为锐角，若有，请求出yp的取值范围．若没有，请说明理由．

【例2】．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，6），点B在x轴的正半轴上．点P，Q均在线段AB上，点P的横坐标为m，点Q的横坐标大于m，在△PQM中，若PM∥x轴，QM∥y轴，则称△PQM为点P，Q的“云三角形”．

（1）若B点的坐标为（4，0），m＝2，则点P，B的“云三角形”的面积为　   　．

（2）当点P，Q的“云三角形”是等腰三角形时，求点B的坐标．

（3）在（2）的条件下，作过O，P，B三点的抛物线y＝ax2+bx+c，

①若点M为抛物线上一点，△PQM是点P，Q的“云三角形”，求△POM的面积S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；

②当点P，Q的“云三角形”的面积为3，且抛物线y＝ax2+bx+c与点P，Q的“云三角形”恰有两个交点时，直接写出m的取值范围．

【例3】．如图1，我们将经过抛物线顶点的所有非竖直的直线，叫做该抛物线的“风车线”，若抛物线的顶点为P（a，b），则它的所有“风车线”可以统一表示为：y＝k（x﹣a）+b，即当x＝a时，y始终等于b．

（1）若抛物线y＝﹣2（x+1）2+3与y轴交于点A，求该抛物线经过点A的“风车线”的解析式；

（2）若抛物线可以通过y＝﹣x2平移得到，且它的“风车线”可以统一表示为y＝kx+3k﹣2，求该抛物线的解析式；

（3）如图2，直线m：y＝x+3与直线n：y＝﹣2x+9交于点A，抛物线y＝﹣2（x﹣2）2+1的“风车线”与直线m、n分别交于B、C两点，若△ABC的面积为12，求满足条件的“风车线”的解析式．

【例4】．对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界值是1．

（1）分别判断函数y＝（x＞0）和y＝x+2（﹣4≤x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；

（2）若函数y＝﹣x+2（a≤x≤b，b＞a）的边界值是3，且这个函数的最小值也是3，求b的取值范围；

（3）将函数y＝x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足≤t≤1？

【例5】．如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．

（1）若点P是等边三角形三条中线的交点，点P　是　（填是或不是）该三角形的费马点．

（2）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC＝60°．求证：△ABP∽△BCP；

（3）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P点．如图（2）

①求∠CPD的度数；

②求证：P点为△ABC的费马点．

1．定义：点T（t，0）是x轴上一点（t＞0），函数C1的图象与函数C2的图象关于点T（t，0）中心对称，将这一变换称为“T变换”．将函数C1的图象在直线x＝t的左侧部分与函数C2的图象在直线x＝t上及右侧部分组成的新图象记为F，F对应的函数为．

（1）若t＝2，函数C1图象上的点（2，3）经过T变换后的坐标为　   　；

（2）若函数C1为直线y＝3x+6，C2为直线y＝3x﹣9，则点T的坐标为　   　；

（3）已知C1：y＝x2﹣4x+3，且．

①若图象F上的三个点A（t﹣1，yA），B（t，yB），C（t+1，yC），且△ABC的面积为1，求t的值；

②当t﹣1≤x≤t+2时，图象F上的点的纵坐标的最大值与最小值之差为h，求h关于t的函数关系式．

2．我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“差常式”，这个常数称为A关于B的“差常值”．如多项式A＝x2﹣5x+6，B＝（x+1）（x﹣6），则A是B的“差常式”，A关于B的“差常值”为12．

（1）已知多项式C＝2x2﹣5x+4，D＝（x﹣2）（2x﹣1），判断C是否是D的“差常式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“差常值”；

（2）已知多项式M＝（x﹣a）2，N＝x2﹣2x+b（a，b为常数），M是N的“差常式”，且当x为实数时，N的最小值为﹣2，求M关于N的“差常值”；

（3）若多项式x2+b2x+c2是x2+b1x+c1的“差常式”（其中b1，b2，c1，c2为常数），令y1＝x2+b1x+c1，y2＝x2+b2x+c2（c1＜c2），直线y＝kx+m与y1＝x2+b1x+c1，y2＝x2+b2x+c2的图象相交于E（x1，y1），F（x2，y2），G（x3，y3），H（x4，y4），其中x1＜x2＜x3＜x4．若y1＝x2+b1x+c1的图象的顶点为P，记S1，S2，S3分别为△EPF，△EPG，△EPH的面积．问：的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请求出相关表达式．

3．定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“N”函数．

（1）写出y＝﹣x2+x﹣1的“N”函数的表达式；

（2）若题（1）中的两个“N”函数与正比例函数y＝kx（k≠0）的图象只有两个交点，求k的值；

（3）如图，二次函数y1与y2互为“N”函数，A、B分别是“N”函数y1与y2图象的顶点，C是“N”函数y2与y轴正半轴的交点，连接AB、AC、BC，若点A（﹣2，1）且△ABC为直角三角形，求点C的坐标．

4．我们规定：关于x的反比例函数y＝称为一次函数y＝ax+b的“次生函数”，关于x的二次函数y＝ax2+bx﹣（a+b）称为一次函数y＝ax+b的“再生函数”．

（1）按此规定：一次函数y＝x﹣3的“次生函数”为：　   　，“再生函数”为：　   　；

（2）若关于x的一次函数y＝x+b的“再生函数”的顶点在x轴上，求顶点坐标；

（3）若一次函数y＝ax+b与其“次生函数”交于点（1，﹣2）、（4，﹣）两点，其“再生函数”与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．

①若点D（1，3），求∠CBD的正切值；

②若点E在直线x＝1上，且∠CBE＝45°，求点E的坐标．

5．定义：与坐标轴不重合的直线l交x，y轴于A、B两点（A、B不重合），若抛物线L过点A和点B，则称此抛物线L为直线l的“和谐线”，如图L1，L2均为直线l的“和谐线”．

（1）已知直线的解析式为y＝﹣x+4，则下列抛物线是直线l的“和谐线”的有　   　．①y＝x2﹣5x+4

②y＝2x2﹣7x﹣4

③

（2）已知直线y＝kx+b的“和谐线”为，且直线与双曲线交于点M，N，求线段MN的长．

（3）已知直线y＝﹣cx+c（c≠0）的“和谐线”为y＝ax2+bx+c（a≠0，且a＞b＞c），求该“和谐线”在x轴上所截线段长d的取值范围．

6．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如（1，1），（2021，2021）…都是“雁点”．

（1）求函数y＝图象上的“雁点”坐标；

（2）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当a＞1时．

①求c的取值范围；

②求∠EMN的度数；

（3）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线y＝﹣x2+2x+3上一点，连接BP，以点P为直角顶点，构造等腰Rt△BPC，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

7．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”．根据该约定，完成下列各题．

（1）若点A（1，r）与点B（s，4）是关于x的“T函数”y＝的图象上的一对“T点”，则r＝　   　，s＝　   　，t＝　   　（将正确答案填在相应的横线上）；

（2）关于x的函数y＝kx+p（k，p是常数）是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”如果不是，请说明理由；

（3）若关于x的“T函数”y＝ax2+bx+c（a＞0，且a，b，c是常数）经过坐标原点O，且与直线l：y＝mx+n（m≠0，n＞0，且m，n是常数）交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，当x1，x2满足（1﹣x1）﹣1+x2＝1时，直线l是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．

8．如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x﹣b与y轴交于点B；抛物线L：y＝﹣x2+bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D．

（1）若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；

（2）当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；

（3）设x0≠0，点（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点（x0，0）与点D间的距离；

（4）在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2019和b＝2019.5时“美点”的个数．

9．如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，抛物线C2的顶点也在抛物线C1上时，那么我们称抛物线C1与C2“互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线C1：y1＝x2+x与C2：y2＝ax2+x+c是“互为关联”的抛物线，点A，B分别是抛物线C1，C2的顶点，抛物线C2经过点D（6，﹣1）．

（1）直接写出A，B的坐标和抛物线C2的解析式；

（2）抛物线C2上是否存在点E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）如图2，点F（﹣6，3）在抛物线C1上，点M，N分别是抛物线C1，C2上的动点，且点M，N的横坐标相同，记△AFM面积为S1（当点M与点A，F重合时S1＝0），△ABN的面积为S2（当点N与点A，B重合时，S2＝0），令S＝S1+S2，观察图象，当y1≤y2时，写出x的取值范围，并求出在此范围内S的最大值．

10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）

（1）若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1

①求该二次函数图象的顶点坐标；

②定义：对于二次函数y＝px2+qx+r（p≠0），满足方程y＝x的x的值叫做该二次函数的“不动点”．求证：二次函数y＝ax2+bx+c有两个不同的“不动点”．

（2）设b＝c3，如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），其中x1＜0，x2＞0，与y轴相交于点C，连接BC，点D在y轴的正半轴上，且OC＝OD，又点E的坐标为（1，0），过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F，满足∠AFC＝∠ABC．FA的延长线与BC的延长线相交于点P，若＝，求二次函数的表达式．

11．在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则称这个点为“美好点”，如图，过点P分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形OAPB的周长与面积相等，则P为“美好点”．

（1）在点M（2，2），N（4，4），Q（﹣6，3）中，是“美好点”的有　N、Q　．

（2）若“美好点”P（a，﹣3）在直线y＝x+b（b为常数）上，求a和b的值；

（3）若“美好点”P恰好在抛物线yx2第一象限的图象上，在x轴上是否存在一点Q使得△POQ为等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

12．如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x﹣b与y轴交于点B；抛物线L：y＝﹣x2+bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D．

（1）若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；

（2）当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；

（3）设x0≠0，点（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点（x0，0）与点D间的距离；

（4）在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2019和b＝2019.5时“美点”的个数．

13．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）

（1）若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1

①求该二次函数图象的顶点坐标；

②定义：对于二次函数y＝px2+qx+r（p≠0），满足方程y＝x的x的值叫做该二次函数的“不动点”．求证：二次函数y＝ax2+bx+c有两个不同的“不动点”．

（2）设bc3，如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），其中x1＜0，x2＞0，与y轴相交于点C，连接BC，点D在y轴的正半轴上，且OC＝OD，又点E的坐标为（1，0），过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F，满足∠AFC＝∠ABC．FA的延长线与BC的延长线相交于点P，若，求二次函数的表达式．

14．【了解概念】

有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．

【理解运用】

（1）如图①，对余四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC．若AC＝AB，求sin∠CAD的值；

（2）如图②，凸四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2+CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形．证明你的结论；

【拓展提升】

（3）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°+∠ABC．设u，点D的纵坐标为t，请直接写出u关于t的函数解析式．

15．如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ•PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．

（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．

①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点　D　（填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为　10　；

②若直线n的函数表达式为yx+4．求⊙O关于直线n的“特征数”；

（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点N（﹣1，0）是⊙F关于直线l的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是4，求直线l的函数表达式．

16．我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称点B为线段AC的黄金分割点．它们的比值为．

（1）在图①中，若AC＝20cm，则AB的长为　（10）　cm；

（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG．试说明：G是AB的黄金分割点；

（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE＞DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P．他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．

17．定义：在平面直角坐标系xOy中，点P为图形M上一点，点Q为图形N上一点．若存在OP＝OQ，则称图形M与图形N关于原点O“平衡”．

（1）如图1，已知⊙A是以（1，0）为圆心，2为半径的圆，点C（﹣1，0），D（﹣2，1），E（3，2）．

①在点C，D，E中，与⊙A关于原点O“平衡”的点是　C，D　；

②点H为直线y＝﹣x上一点，若点H与⊙A关于原点O“平衡”，求点H的横坐标的取值范围；

（2）如图2，已知图形G是以原点O为中心，边长为2的正方形．⊙K的圆心在x轴上，半径为2．若⊙K与图形G关于原点O“平衡”，请直接写出圆心K的横坐标的取值范围．

18．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，A，B为⊙O外两点，AB＝1．给出如下定义：平移线段AB，使线段AB的一个端点落在⊙O上，其他部分不在⊙O外，点A，B的对应点分别为点A'，B'，线段AA'长度的最大值称为线段AB到⊙O的“极大距离”，记为d（AB，⊙O）．

（1）若点A（﹣4，0）．

①当点B为（﹣3，0），如图所示，平移线段AB，在点P1（﹣2，0），P2（﹣1，0），P3（1，0），P4（2，0）中，连接点A与点　P3　的线段的长度就是d（AB，⊙O）；

②当点B为（﹣4，1），求线段AB到⊙O的“极大距离”所对应的点A'的坐标．

（2）若点A（﹣4，4），d（AB，⊙O）的取值范围是　41≤d（AB，⊙O）≤42　．

19．如图1，对于△PMN的顶点P及其对边MN上的一点Q，给出如下定义：以P为圆心，PQ为半径的圆与直线MN的公共点都在线段MN上，则称点Q为△PMN关于点P的内联点．

在平面直角坐标系xOy中：

（1）如图2，已知点A（7，0），点B在直线y＝x+1上．

①若点B（3，4），点C（3，0），则在点O，C，A中，点　O，C　是△AOB关于点B的内联点；

②若△AOB关于点B的内联点存在，求点B纵坐标n的取值范围；

（2）已知点D（2，0），点E（4，2），将点D绕原点O旋转得到点F．若△EOF关于点E的内联点存在，直接写出点F横坐标m的取值范围．

20．定义：如图①，⊙O的半径为r，若点P'在射线OP上，且OP•OP'＝r2．则称点P'是点P关于⊙O的“反演点”．

（1）如图①，设射线OP与⊙O交于点A，若点P'是点P关于⊙O的“反演点”，且OP'＝PA，求证：点P'为线段OP的一个黄金分割点；

（2）如图②，若点P'是点P关于⊙O的“反演点”，过点P'作P'B⊥OP，交⊙O于点B，连接PB，求证：PB为⊙O的切线；

（3）如图③，在Rt△CDE中，∠E＝90°，CE＝6，DE＝8，以CE为直径作⊙O，若点P为CD边上一动点，点P'是点P关于⊙O的“反演点”，则在点P运动的过程中，线段OP'长度的取值范围是　OP'　．

【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题22新定义综合问题  

【例1】．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y＝m与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为蝶宽，顶点M称为蝶顶．

（1）由定义知，取AB中点N，连接MN，MN与AB的关系是 　MN⊥AB，MN＝AB　．

（2）抛物线y＝对应的准蝶形必经过B（m，m），则m＝　2　，对应的蝶宽AB是 　4　．

（3）抛物线y＝ax2﹣4a﹣（a＞0）对应的蝶宽在x轴上，且AB＝6．

①求抛物线的解析式；

②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P（xp，yp），使得∠APB为锐角，若有，请求出yp的取值范围．若没有，请说明理由．

【分析】（1）直接利用等腰直角三角形的性质分析得出答案；

（2）利用已知点为B（m，m），代入抛物线解析式进而得出m的值，即可得出AB的值；

（3）①根据题意得出抛物线必过（3，0），进而代入求出答案；

②根据y＝x2﹣3的对称轴上P（0，3），P（0，﹣3）时，∠APB 为直角，进而得出答案．

【解析】（1）MN与AB的关系是：MN⊥AB，MN＝AB，

如图1，∵△AMB是等腰直角三角形，且N为AB的中点，

∴MN⊥AB，MN＝AB，

故答案为：MN⊥AB，MN＝AB；

（2）∵抛物线y＝对应的准蝶形必经过B（m，m），

∴m＝m2，

解得：m＝2或m＝0（不合题意舍去），

当m＝2则，2＝x2，

解得：x＝±2（﹣2不合题意舍去），

则AB＝2+2＝4；

故答案为：2，4；

（3）①由已知，抛物线对称轴为：y轴，

∵抛物线y＝ax2﹣4a﹣（a＞0）对应的蝶宽在x 轴上，且AB＝6．

∴抛物线必过（3，0），代入y＝ax2﹣4a﹣（a＞0），

得，9a﹣4a﹣＝0，

解得：a＝，

∴抛物线的解析式是：y＝x2﹣3；

②由①知，如图2，y＝x2﹣3的对称轴上P（0，3），P（0，﹣3）时，∠APB 为直角，

∴在此抛物线的对称轴上有这样的点P，使得∠APB 为锐角，yp的取值范围是yp＜﹣3或yp＞3．

【例2】．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，6），点B在x轴的正半轴上．点P，Q均在线段AB上，点P的横坐标为m，点Q的横坐标大于m，在△PQM中，若PM∥x轴，QM∥y轴，则称△PQM为点P，Q的“云三角形”．

（1）若B点的坐标为（4，0），m＝2，则点P，B的“云三角形”的面积为　3　．

（2）当点P，Q的“云三角形”是等腰三角形时，求点B的坐标．

（3）在（2）的条件下，作过O，P，B三点的抛物线y＝ax2+bx+c，

①若点M为抛物线上一点，△PQM是点P，Q的“云三角形”，求△POM的面积S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；

②当点P，Q的“云三角形”的面积为3，且抛物线y＝ax2+bx+c与点P，Q的“云三角形”恰有两个交点时，直接写出m的取值范围．

【分析】（1）待定系数法求直线AB解析式，根据点P，B的“云三角形”新定义即可求得面积；

（2）根据等腰三角形性质和平行线性质即可求得点B坐标；

（3）①先求得线段AB的表达式，设点P的坐标为（m，6﹣m），根据抛物线y＝ax2+bx+c经过O，B两点，可得点M的坐标为（6﹣m，6﹣m），再求得PM，即可得S与m的函数关系式；

②分两种情况：当点P在对称轴左侧，即m＜3时，当点P在对称轴上或对称轴右侧，即m≥3时，分别求得m的取值范围即可．

【解析】（1）如图1，∵A（0，6），B（4，0），

∴直线AB解析式为，

∵m＝2，

∴P（2，3）

∵PM∥x轴，QM∥y轴，

∴M（4，3），∠PMB＝90°，

∴PM＝2，BM＝3，

∴点P，B的“云三角形”△PBM的面积＝；

故答案为：3；

（2）如图2，根据题意，得MP＝MQ，∠PMQ＝90°，

∴∠MPQ＝45°，

∵PM∥x轴，

∴∠ABO＝45°，

∴OB＝OA＝6，点B的坐标为（6，0）；

（3）如图3，①首先，确定自变量取值范围为0≤m≤3，

由（2）易得，线段AB的表达式为y＝6﹣x，

∴点P的坐标为（m，6﹣m），

∵抛物线y＝ax2+bx+c经过O，B两点，

∴抛物线的对称轴为直线x＝3，

∴点M的坐标为（6﹣m，6﹣m），

∴PM＝（6﹣m）﹣m＝6﹣2m，

∴＝＝2m2﹣12m+18（0≤m≤3）；

②当点P在对称轴左侧，即m＜3时，

∵点P，Q的“云三角形”面积为3，

由①得：2m2﹣12m+18＝3，

解得：或（舍去）．

当点P在对称轴上或对称轴右侧，即m≥3时，，

∴，，，

∵抛物线＝ax2+bx+c与点P，Q的“云三角形”恰有两个交点，

∴，

解得：．

综上所述，m的取值范围为：或．

【例3】．如图1，我们将经过抛物线顶点的所有非竖直的直线，叫做该抛物线的“风车线”，若抛物线的顶点为P（a，b），则它的所有“风车线”可以统一表示为：y＝k（x﹣a）+b，即当x＝a时，y始终等于b．

（1）若抛物线y＝﹣2（x+1）2+3与y轴交于点A，求该抛物线经过点A的“风车线”的解析式；

（2）若抛物线可以通过y＝﹣x2平移得到，且它的“风车线”可以统一表示为y＝kx+3k﹣2，求该抛物线的解析式；

（3）如图2，直线m：y＝x+3与直线n：y＝﹣2x+9交于点A，抛物线y＝﹣2（x﹣2）2+1的“风车线”与直线m、n分别交于B、C两点，若△ABC的面积为12，求满足条件的“风车线”的解析式．

【分析】（1）求出点A的坐标，确定P的坐标为（﹣1，3），即可求解；

（2）y＝kx+3k﹣2＝k（x+3）﹣2，故点P的坐标为（﹣3，﹣2），即可求解；

（3）由△ABC的面积＝S△APB+S△APC＝12，求出xC﹣xB＝6，则点B（t，t+3），C（t+6，﹣2t﹣3），将点B、C的坐标分别代入y＝k（x﹣2）+1，即可求解．

【解析】（1）对于y＝﹣2（x+1）2+3，令x＝0，则y＝1，故点A（0，1），

顶点P的坐标为（﹣1，3），

则“风车线”的表达式为y＝k（x+1）+3，

将点A的坐标代入上式并解得：k＝﹣2，

故“风车线”的解析式为y＝﹣2（x+1）+3＝﹣2x+1；

（2）y＝kx+3k﹣2＝k（x+3）﹣2，故点P的坐标为（﹣3，﹣2），

故平移后的抛物线表达式为y＝﹣（x+3）2﹣2；

（3）∵抛物线的表达式为y＝﹣2（x﹣2）2+1，则点P（2，1），

则“风车线”的表达式为y＝k（x﹣2）+1，

联立，解得，故点A（2，5），

故AP＝5﹣1＝4，

①当点B在点C的下方时，

则△ABC的面积＝S△APB+S△APC＝×4×（xC﹣xB）＝12，

解得：xC﹣xB＝6，

设点B的横坐标为t，则点C的横坐标为t+6，

点B在直线m上，则点B（t，t+3），

同理点C（t+6，﹣2t﹣3），

将点B、C的坐标分别代入y＝k（x﹣2）+1，得，

解得或，

故“风车线”的表达式为y＝k（x﹣2）+1＝﹣（x﹣2）+1＝﹣x+3或y＝1．

②当点B在点C的上方时，

同理可得：xC﹣xB＝﹣6，

设点C、B的坐标分别为（t，﹣2t+9）、（t+6，t+9），

则，解得k＝，

故“风车线”的表达式为y＝x﹣或y＝x+；

故“风车线”的表达式为y＝k（x﹣2）+1＝﹣（x﹣2）+1＝﹣x+3或y＝1或y＝x﹣或y＝x+．

【例4】．对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界值是1．

（1）分别判断函数y＝（x＞0）和y＝x+2（﹣4≤x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；

（2）若函数y＝﹣x+2（a≤x≤b，b＞a）的边界值是3，且这个函数的最小值也是3，求b的取值范围；

（3）将函数y＝x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足≤t≤1？

【分析】（1）在x的取值范围内，y＝（x＞0）的y无最大值，不是有界函数；y＝x+2（﹣4≤x≤2）是有界函数，其边界值是4；

（2）由一次函数的增减性，可得当x＝a时，ymax＝3，当x＝b时，y＝﹣b+2，由边界值定义可列出不等式，即可求解；

（3）先设m＞1，函数向下平移m个单位后，x＝0时，y＝﹣m＜﹣1，此时边界值t＞1，与题意不符，故m≤1，判断出函数y＝x2所过的点，结合平移，即可求解．

【解析】（1）∵y＝（x＞0）的y无最大值，

∴y＝不是有界函数；

∵y＝x+2（﹣4≤x≤2）是有界函数，

当x＝﹣4时，y＝﹣2，

当x＝2时，y＝4，

对于﹣4≤x≤2时，任意函数值都满足﹣4＜y≤4，

∴边界值为4；

（2）∵y＝﹣x+2，y随x的增大而减小，

∴当x＝a时，ymax＝3，当x＝b时，y＝﹣b+2，

∵边界值是3，b＞a，

∴﹣3≤﹣b+2＜3，

∴﹣1＜b≤5；

（3）若m＞1，图象向下平移m个单位后，x＝0时，y＜﹣m＜﹣1，此时函数的边界值t＞1，不合题意，故m≤1．

∴函数y＝x2（﹣1≤x≤m，m≥0），当x＝﹣1时，ymax＝1，当x＝0时，ymin＝0，

∴向下平移m个单位后，ymax＝1﹣m，ymin＝﹣m，

∵边界值≤t≤1，

∴≤1﹣m≤1互﹣1≤﹣m≤﹣，

∴0≤m≤或≤m≤1．

【例5】．如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．

（1）若点P是等边三角形三条中线的交点，点P　是　（填是或不是）该三角形的费马点．

（2）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC＝60°．求证：△ABP∽△BCP；

（3）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P点．如图（2）

①求∠CPD的度数；

②求证：P点为△ABC的费马点．

【分析】（1）依据等腰三角形三线合一的性质可知：MB平分∠ABC，则∠ABP＝30°，同理∠BAP＝30°，则∠APB＝120°，同理可求得∠APC，∠BPC的度数，然后可作出判断；

（2）由费马点的定义可知∠PAB＝∠PBC，然后再证明∠PAB＝∠PBC即可；

（3）如图2所示：①首先证明△ACE≌△ABD，则∠1＝∠2，由∠3＝∠4可得到∠CPD＝∠5； ②由∠CPD＝60°可证明∠BPC＝120°，然后证明△ADF∽△CFP，由相似三角形的性质和判定定理再证明△AFP∽△CDF，故此可得到∠APF＝∠ACD＝60°，然后可求得∠APC＝120°，接下来可求得∠APB＝120°．

【解析】（1）如图1所示：

∵AB＝BC，BM是AC的中线，

∴MB平分∠ABC．

同理：AN平分∠BAC，PC平分∠BCA．

∵△ABC为等边三角形，

∴∠ABP＝30°，∠BAP＝30°．

∴∠APB＝120°．

同理：∠APC＝120°，∠BPC＝120°．

∴P是△ABC的费马点．

故答案为：是．

（2）∵∠PAB+∠PBA＝180°﹣∠APB＝60°，∠PBC+∠PBA＝∠ABC＝60°，

∴∠PAB＝∠PBC，

又∵∠APB＝∠BPC＝120°，

∴△ABP∽△BCP．

（3）如图2所示：

①∵△ABE与△ACD都为等边三角形，

∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AE＝AB，AC＝AD，

∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，

在△ACE和△ABD中，

∴△ACE≌△ABD（SAS），

∴∠1＝∠2，

∵∠3＝∠4，

∴∠CPD＝∠6＝∠5＝60°；

②证明：∵△ADF∽△CFP，

∴AF•CF＝DF•PF，

∵∠AFP＝∠CFD，

∴△AFP∽△CDF．

∴∠APF＝∠ACD＝60°，

∴∠APC＝∠CPD+∠APF＝120°，

∴∠BPC＝120°，

∴∠APB＝360°﹣∠BPC﹣∠APC＝120°，

∴P点为△ABC的费马点．

1．定义：点T（t，0）是x轴上一点（t＞0），函数C1的图象与函数C2的图象关于点T（t，0）中心对称，将这一变换称为“T变换”．将函数C1的图象在直线x＝t的左侧部分与函数C2的图象在直线x＝t上及右侧部分组成的新图象记为F，F对应的函数为．

（1）若t＝2，函数C1图象上的点（2，3）经过T变换后的坐标为　（2，﹣3）　；

（2）若函数C1为直线y＝3x+6，C2为直线y＝3x﹣9，则点T的坐标为　（，0）　；

（3）已知C1：y＝x2﹣4x+3，且．

①若图象F上的三个点A（t﹣1，yA），B（t，yB），C（t+1，yC），且△ABC的面积为1，求t的值；

②当t﹣1≤x≤t+2时，图象F上的点的纵坐标的最大值与最小值之差为h，求h关于t的函数关系式．

【分析】（1）设变换后的坐标为（x，y），根据定义可知（x，y）与（2，3）关于（2，0）对称，即可求出答案；

（2）设C1上点为（x1，y1），C2上点为（x2，y2），则y1＝3x1+6，y2＝3x2﹣9，根据定义即可得答案；

（3）①设C2上点的坐标为（x，y），可得C1上点的坐标为（2t﹣x，﹣y），进而可得C1：y1＝（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），T（t，0），C2：y2＝﹣[x﹣（2t﹣2）]2+1，顶点为（2t﹣2，1），根据题意可得A（t﹣1，t2﹣6t+8），B（t，﹣t2+4t﹣3），C（t+1，﹣t2+6t﹣8），由S△ABC＝1，列方程求解即可；

②结合图象可得：当时，h＝＝2t2﹣14t+23，当时，h＝12﹣4t，当时，h＝t2﹣8t+16．

【解析】（1）设变换后的坐标为（x，y），

∵（x，y）与（2，3）关于（2，0）对称，

∴，

解得：，

∴变换后的坐标为（2，﹣3），

故答案为：（2，﹣3）；

（2）设C1上点为（x1，y1），C2上点为（x2，y2），

∴y1＝3x1+6，y2＝3x2﹣9，

∴，

∴，

解得：t＝，

∴T（，0）；

故答案为：（，0）；

（3）∵①设C2上点的坐标为（x，y），

∴C1上点的坐标为（2t﹣x，﹣y），

将点（2t﹣x，﹣y）代入C1：y1＝x2﹣4x+3中，得：（2t﹣x）2﹣4（2t﹣x）+3＝﹣y，

∴y2＝﹣x2+（4t﹣4）x﹣4t2+8t﹣3＝﹣[x﹣（2t﹣2）]2+1，

∴C1：y1＝（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），T（t，0），

C2的顶点为（2t﹣2，1），

令C1中x＝t﹣1，则yA＝（t﹣1）2﹣4（t﹣1）+3＝t2﹣6t+8，

令C2中x＝t，则yB＝＝﹣[t﹣（2t﹣2）]2+1＝﹣t2+4t﹣3，

令C2中x＝t+1，则yC＝＝﹣[t+1﹣（2t﹣2）]2+1＝﹣t2+6t﹣8，

∴A（t﹣1，t2﹣6t+8），B（t，﹣t2+4t﹣3），C（t+1，﹣t2+6t﹣8），

如图1，过点B作BD⊥x轴，

∴D（t，0），

由上式知A与C对称，

∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝（xC﹣xA）|yB|＝|t2﹣4t+3|，

当S△ABC＝1，

解得，（大于2.5舍），t3＝2

∴，或t＝2，

②由t2﹣6t+8＝﹣t2+4t﹣3解得，（舍）

∴如图2，当时，

h＝（t﹣1﹣2）2﹣1﹣[﹣（t+2﹣2t+2）2+1]＝2t2﹣14t+23，

∴当时，

h＝[﹣（t﹣2t+2）2+1]﹣[﹣（t+2﹣2t+2）2+1]＝12﹣4t，

∴当时，函数F2上的点对应的值最大为1，

F2上当x＝t+2时对应的值最小为1﹣（t﹣4）2，

∴h＝1﹣1+（t﹣4）2＝t2﹣8t+16，

h＝．

2．我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“差常式”，这个常数称为A关于B的“差常值”．如多项式A＝x2﹣5x+6，B＝（x+1）（x﹣6），则A是B的“差常式”，A关于B的“差常值”为12．

（1）已知多项式C＝2x2﹣5x+4，D＝（x﹣2）（2x﹣1），判断C是否是D的“差常式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“差常值”；

（2）已知多项式M＝（x﹣a）2，N＝x2﹣2x+b（a，b为常数），M是N的“差常式”，且当x为实数时，N的最小值为﹣2，求M关于N的“差常值”；

（3）若多项式x2+b2x+c2是x2+b1x+c1的“差常式”（其中b1，b2，c1，c2为常数），令y1＝x2+b1x+c1，y2＝x2+b2x+c2（c1＜c2），直线y＝kx+m与y1＝x2+b1x+c1，y2＝x2+b2x+c2的图象相交于E（x1，y1），F（x2，y2），G（x3，y3），H（x4，y4），其中x1＜x2＜x3＜x4．若y1＝x2+b1x+c1的图象的顶点为P，记S1，S2，S3分别为△EPF，△EPG，△EPH的面积．问：的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请求出相关表达式．

【分析】（1）先计算C﹣D＝1，再根据“差常式”的定义即可判断C是D的“差常式”，并求出C关于D的“差常值”；

（2）先求出M﹣N＝（﹣2a+2）x+a2﹣b，由M是N的“差常式”得出﹣2a+2＝0，得出a＝1．由x为实数时，N的最小值为﹣2，得出﹣1+b＝﹣2，求出b＝﹣1，进而求出M﹣N＝2；

（3）多项式x2+b2x+c2是x2+b1x+c1的“差常式”，得b1＝b2，由x1，x4是方程组对应的两根方程x2+（b2﹣k）x+c2﹣m＝0的两根，得x1+x4＝k﹣b2，x1x4＝c2﹣m．同理：x2+x3＝k﹣b1，x2x3＝c1﹣m，得x1+x4＝x2+x3，即x1﹣x2＝x3﹣x4，得FM＝HN，从而可证△EFM≌△GHN，EF＝GH，由面积公式即可求S△EPF＝S△GPH，即＝1．

【解析】（1）∵C﹣D＝（2x2﹣5x+4）﹣（x﹣2）（2x﹣1）

＝（2x2﹣5x+4）﹣（2x2﹣5x+2）

＝2，

∴C是D的“差常式”，“差常值”为2；

（2）∵M是N的“差常式”，

∴M﹣N＝（x﹣a）2﹣（x2﹣2x+b）

＝（x2﹣2ax+a2）﹣（x2﹣2x+b）

＝（﹣2a+2）x+a2﹣b，

∴﹣2a+2＝0，

∴a＝1．

∵N＝x2﹣2x+b＝（x﹣1）2﹣1+b，

且当x为实数时，N的最小值为﹣2，

∴﹣1+b＝﹣2，

∴b＝﹣1，

∴M﹣N＝a2﹣b＝1﹣（﹣1）＝2；

（3）是定值，

理由：∵多项式x2+b2x+c2是x2+b1x+c1的“差常式”，

∴b1＝b2．

∵x1，x4是方程组对应的两根方程x2+（b2﹣k）x+c2﹣m＝0的两根，

∴x1+x4＝k﹣b2，x1x4＝c2﹣m．

同理：x2+x3＝k﹣b1，x2x3＝c1﹣m，

∴x1+x4＝x2+x3，

∴x4﹣x3＝x2﹣x1，

分别过E、F作x轴、y轴的垂线，两直线交于点M．

分别过G、H作x轴、y轴的垂线，两直线交于点N．

∴HN＝FM，

∵FM∥HN，

∴∠EFM＝∠GHN，

在△EFM和△GHN中，

，

∴△EFM≌△GHN（ASA），

∴EF＝GH，

∴S△EPF＝S△GPH，

∴＝1．

3．定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“N”函数．

（1）写出y＝﹣x2+x﹣1的“N”函数的表达式；