第二单元 函数及其图像

教学目标

【考试目标】

1.了解一次函数、反比例函数的意义，根据已知条件确定一次函数、反比例函数的表达式，会用待定系数法求函数表达式.

2.会画一次函数、反比例函数图象，熟知一次函数、反比例函数的图象性质.

3.能用合理方法比较函数值大小关系

【教学重点】

1. 了解一次函数、反比例函数的定义、图象与性质.
2. 熟悉一次函数、反比例函数的定义、图象与性质.
3. 学会用待定系数法求函数的解析式.
4. 学会用函数的观点看方程（组）与不等式.

教学过程

例一．已知反比例函数y=（k＜0）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，则y1﹣y2的值是（　　）y1

A．正数 B．负数 C．非正数 D．不能确定

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．

【专题】压轴题．

【分析】由于自变量所在象限不定，那么相应函数值的大小也不定．

【解答】解：∵函数值的大小不定，若x1、x2同号，则y1﹣y2＜0；

若x1、x2异号，则y1﹣y2＞0．

故选D．

【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，注意反比例函数的图象的增减性只指在同一象限内．

例二、(2015泰州15题3分)点(a－1，y1)、(a＋1，y2)在反比例函数y＝(k>0)的图象上，若y1<y2，则a的取值范围是________．

【解析】当k＞0时，在同一个象限内，函数值y随x的增大而减小，因为a－1＜a＋1，而y1＜y2，所以这两个点不在同一个象限内，∴第一个点在第三象限，第二个点在第一象限，则，解得－1＜a＜1.

例三．已知如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点．

（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

【专题】代数综合题；数形结合．

【分析】（1）利用已知求出反比例函数的解析式，再利用两函数交点求出一次函数解析式；

（2）利用函数图象求出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．

【解答】解：（1）据题意，反比例函数的图象经过点A（﹣2，1），

∴有m=xy=﹣2

∴反比例函数解析式为y=﹣，

又反比例函数的图象经过点B（1，n）

∴n=﹣2，

∴B（1，﹣2）

将A、B两点代入y=kx+b，有，

解得，

∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣1，

（2）一次函数的值大于反比例函数的值时，

x取相同值，一次函数图象在反比例函数上方即一次函数大于反比例函数，

∴x＜﹣2或0＜x＜1，

【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式以及待定系数法求一次函数解析式，利用图象判定函数的大小关系是中学的难点，同学们应重点掌握．

联想:我们看到，两个一次函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数的关系式.而这两个关系式可以看成关于x、y的两个方程，所以交点的坐标就是这两个方程组成的方程组的解.

利用图象解方程组:

师:(点拨)由前面探索的经验得出,两个函数图象的交点坐标, 同时满足这两个­图象的方程,表明交点的坐标是联立两个图象方程组成的方程组的解.

由此,你能想像出用图象法解方程组的一般步骤吗?请在讨论的基础上举手回答.

生:讨论交流,逐个举手回答,达成共识.

师:请尝试解答过程,然后同桌交流结果.

生:动手操作,并交流解答的过程和结论.

明确  师生共同归纳解题的过程和结果,教师用多媒体演示.

解:在直角坐标系中画出两条直线,如图所示.

由图象观察可得:两条直线的交点坐标是(2,-1).

所以方程组的解为

练习一．甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象．

（1）求出图中m，a的值；

（2）求出甲车行驶路程y（km）与时间x（h）的函数解析式，并写出相应的x的取值范围；

（3）当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距50km．

考点： 一次函数的应用；一元一次方程的应用．

专题： 行程问题；数形结合．

分析： （1）根据“路程÷时间=速度”由函数图象就可以求出甲的速度求出a的值和m的值；

（2）由分段函数当0≤x≤1，1＜x≤1.5，1.5＜x≤7由待定系数法就可以求出结论；

（3）先求出乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式，由解析式之间的关系建立方程求出其解即可．

解答： 解：（1）由题意，得

m=1.5﹣0.5=1．

120÷（3.5﹣0.5）=40，

∴a=40．

答：a=40，m=1；

（2）当0≤x≤1时设y与x之间的函数关系式为y=k1x，由题意，得

40=k1，

∴y=40x

当1＜x≤1.5时，

y=40；

当1.5＜x≤7设y与x之间的函数关系式为y=k2x+b，由题意，得

，

解得：，

∴y=40x﹣20．

y=；

（3）设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为y=k3x+b3，由题意，得

，

解得：，

∴y=80x﹣160．

当40x﹣20﹣50=80x﹣160时，

解得：x=．

当40x﹣20+50=80x﹣160时，

解得：x=．

=，．

答：乙车行驶小时或小时，两车恰好相距50km．

点评： 本题考出了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．

练习二．周末，甲从家出发前往与家相距100千米的旅游景点旅游，以10千米/时的速度步行1小时后，改骑自行车以30千米/时的速度继续向目的地出发，乙在甲前面40千米处，在甲出发3小时后开车追赶甲，两人同时到达目的地．设甲、乙两人离甲家的距离y（千米）与甲出发的时间x（小时）之间的函数关系如图所示．

（1）求乙的速度；

（2）求甲出发多长时间后两人第一次相遇；

（3）求甲出发几小时后两人相距12千米．

考点： 一次函数的应用．

分析： （1）先求出甲走完全程的时间就可以求出乙行驶的时间，由速度=路程÷时间就可以得出结论；

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，由待定系数法求出解析式，当y=40时，代入解析式求出其值即可；

（3）分类讨论由（2）的解析式，当y﹣40=12或40﹣y=12建立方程求出其解即可

解答： 解：（1）甲行驶完全程的时间为：1+（100﹣10）÷30=4小时．

乙的速度为：60÷（4﹣3）=60千米/时．

答：乙的速度为60千米/时；

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，由题意，得

，

解得：，

y=30x﹣20．

当y=40时，

40=30x﹣20，

x=2．

答：甲出发2小时后两人第一次相遇；

（3）当40﹣（30x﹣20）=12时，

解得：x=1.6．

当30x﹣20﹣40=12时

解得：x=2.4．

答：甲出发1.6小时或2.4小时后两人相距12千米．

点评： 本题考查了行程问题的数量关系路程÷速度=时间的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键．

课后作业

布置作业：同步导练

教学反思

同学们对本节内容理解很好，但是用函数观点看方程（组）与不等式还有有些不熟练，有待提高