3月大数据精选模拟卷01-2022年高考数学大数据精选模拟卷（广东专用）

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3月大数据精选模拟卷01（广东专用）数  学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：因为，所以，又所以故选：D2．已知复数，则的虚部为（    ）A．2 B．-2 C． D．【答案】B【详解】因为，所以的虚部为.故选：B.3．已知，则（    ）A． B．10 C． D．45【答案】A【详解】，.故选：A4．天河区某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”，试从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有（    ）A．54种 B．60种 C．72种 D．96种【答案】A【详解】由题意，甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，故先排乙，有3种情况，再排甲，也有3种情况，余下3人有种情况，利用分步相乘计数原理知有种情况5．在某次数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概率为0.6，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率为（    ）A．0.16 B．0.24 C．0.32 D．0.48【答案】C【详解】解：服从正态分布曲线的对称轴是直线，在内取值的概率为0.6，在内取值的概率为0.3，在内取值的概率为．现任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率故选：C6．已知函数，若，，，则，，的大小关系正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题可知：的定义域为，且，则为偶函数，，当时，，在上单调递增.又由所以，，故.7．已知双曲线的左､右顶点分别是，，右焦点为，点在过且垂直于轴的直线上，当的外接圆面积达到最小时，点恰好在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】根据双曲线的对称性不妨设点的坐标为，由于为定值，由正弦定理可知当取得最大值时，的外接圆面积取得最小值，也等价于取得最大值，，，，当且仅当，即当时，等号成立，此时最大，此时的外接圆面积取最小值，点的坐标为，代入，可得，即，即．所以双曲线的渐近线方程为：．8．大摆锤是一种大型游乐设备(如图)，游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险，座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动.假设小明坐在点处，“大摆锤”启动后，主轴在平面内绕点左右摆动，平面与水平地面垂直，摆动的过程中，点在平面内绕点作圆周运动，并且始终保持，.设，在“大摆锤”启动后，下列结论错误的是（    ）A．点在某个定球面上运动；B．与水平地面所成锐角记为，直线与水平地面所成角记为，则为定值；C．可能在某个时刻，；D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为.【答案】C【详解】因为点在平面内绕点作圆周运动，并且始终保持，所，又因为，为定值，所以也是定值，所以点在某个定球面上运动，故A正确；作出简图如下，，所以，故B正确；因为，所以不可能有，故C不正确；设，则，，当时，直线与平面所成角最大，此时直线与平面所成角的正弦值为，故D正确.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．某校实行选课走班制度，张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科，且生物在B层，该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是（    ）第1节第2节第3节第4节地理1班化学A层3班地理2班化学A层4班生物A层1班化学B层2班生物B层2班历史B层1班物理A层1班生物A层3班物理A层2班生物A层4班物理B层2班生物B层1班物理B层1班物理A层4班政治1班物理A层3班政治2班政治3班 A．此人有4种选课方式 B．此人有5种选课方式C．自习不可能安排在第2节 D．自习可安排在4节课中的任一节【答案】BD【详解】由于生物在B层，只有第2，3节有，故分两类：若生物选第2节，则地理可选第1节或第3节，有2种选法，其他两节政治、自习任意选，故有种（此种情况自习可安排在第1、3、4节中的某节）；若生物选第3节，则地理只能选第1节，政治只能选第4节，自习只能选第2节，故有1种．根据分类加法计数原理可得选课方式有种．综上，自习可安排在4节课中的任一节．故选：BD.10．设，为正数，若直线被圆截得弦长为4，则（    ）A． B．C． D．【答案】BCD【详解】由可得，故圆的直径是4，所以直线过圆心，即，故B正确；又，均为正数，所以由均值不等式，当且仅当时等号成立；故C正确；又，当且仅当，即，即时，等号成立，故D正确.11．如图所示，点是函数(，)图象的最高点，､是图象与轴的交点，若，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】BC【详解】由题知的纵坐标为，又，所以，，所以，所以的周期，所以，，故B正确；所以，故C正确；，故A错误，将代入函数解析式可得：，()，故D错误.故选：BC.12．太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，设圆O：，则下列说法中正确的是( )A．函数是圆O的一个太极函数B．圆O的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数C．函数是圆O的一个太极函数D．函数的图象关于原点对称是为圆O的太极函数的充要条件【答案】AC【详解】选项A：因为，所以函数是奇函数，它的图象关于原点对称，如下图所示：所以函数是圆O的一个太极函数，故本说法正确；选项B：如下图所示：函数是偶函数，也是圆O的一个太极函数，故本说法不正确；选项C：因为是奇函数，所以它的图象关于原点对称，而圆也关于原点对称，如下图所示：因此函数是圆O的一个太极函数，故本说法是正确的；选项D：根据选项B的分析，圆O的太极函数可以是偶函数不一定关于原点对称，故本说法不正确. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若曲线与曲线存在公共切线，则的取值范围为__________．【答案】【解析】解：由y=ax2(a>0),得y′=2ax，由y=ex,得y′=ex，曲线C1:y=ax2(a>0)与曲线C2:y=ex存在公共切线，设公切线与曲线C1切于点(x1,ax12),与曲线C2切于点，则，可得2x2=x1+2，∴ ，记，则 ，当x∈(0,2)时,f′(x)<0,f(x)递减；当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)递增．∴当x=2时,.∴a的范围是 .14．已知函数，且，则__________．【答案】【详解】当为奇数时，.当为偶数时，.所以15．过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于两点，若线段的中点的横坐标为，则等于________．【答案】【解析】试题分析：由抛物线得，设，因为线段的中点的横坐标为，所以，因为直线过焦点，所以.16．《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是弧田面积计算公式为：弧田碸（弦矢矢矢）.弧田是由圆弧（弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（弧田弦）围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差.现有一弧田，其弧田弦等于6米，其弧田弧所在圆为圆，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则____________.【答案】【详解】如图所示，，，由题意可得：，解得（舍）因为，可得所以，所以 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.问题：在中，角、、对应的边分别为、、，若，___________，求角的值和的最小值.【详解】解：若选择①：在中，有，则由题可得：，，，，又，所以，则.又，所以，因为，所以，.由余弦定理可得：，，又， 所以，当时，，即的最小值为；若选择②：在中，有，则由题可得，解得或（舍去），又，所以.（剩下同①）若选择③：由正弦定理可将已知条件转化为，，代入上式得，又，所以，.又，所以.（剩下同①）18．已知数列的前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【详解】（1）令得，可得；当时，与相减，可得.所以是以为首项，公比为的等比数列.故.（2）利用对数的性质可得，①.②两式相减①—②可得.整理得.19．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，已知，.（1）若为中点，求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）证明：连接交于点，连接.因为四边形为正方形，所以为中点，又为中点，所以.因为平面，平面，所以平面；（2）如图，过作，垂足为，连接.因为四边形为正方形，所以.因为，平面，平面，所以，.因为，，、平面，所以，平面.因为，平面，所以平面平面.因为，平面平面，，平面，所以，平面，则为斜线在平面内的射影.所以，为直线与平面所成的角.在中，，有，得.因为，所以平面，在中，有.所以.所以直线与平面所成角的正弦值为.20．某市场研究人员为了了解共享单车运营公司的经营状况，对该公司近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图.（1）月市场占有率与月份代码符合线性回归模型拟合的关系，求关于的线性回归方程，并预测公司2021年3月份(即时)的市场占有率；（2）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车.现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因(如骑行频率等)会导致车辆报废年限各不相同.考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：报废年限1年2年3年4年型车(辆)20353510型车(辆)10304020经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元.不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整年，且以每辆单车使用寿命的频率作为每辆单车使用寿命的概率.如果你是公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？参考公式及数据：回归直线方程为，其中，，，【详解】（1）由折线图所给的数据，可得，，所以，可得．所以月度市场占有率与月份代码之间的线性回归方程为，当时，可得．故公司2021年3月份(即时)的市场占有率预计为．（2）由频率估计概率，可得每辆款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.2、0.35、0.35和0.1，所以每辆款车可产生的利润期望值（元）．由频率估计概率，可得每辆款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.1、0.3、0.4和0.2，所以每辆款车可产生的利润期望值（元）．因为，所以应该采购款单车．21．设为坐标原点，已知椭圆的左，右焦点分别为，，点为直线上一点，是底角为的等腰三角形.（1）求椭圆的离心率；（2）若，设不与轴重合的直线过椭圆的右焦点，与椭圆相交于､两点，与圆相交于､两点，求的取值范围.【详解】设直线与x轴交于点Q，由是底角为的等腰三角形， ，，在直角中，，，，利用余弦定义可知，解得：所以椭圆的离心率为（2）由（1）知，，且，则，故，所以椭圆的方程为：设不与轴重合的直线的方程为：，设点联立，化简整理得其中，，利用弦长公式可得：设圆的圆心O到直线的距离为d，则利用圆的弦长公式可得：所以，，所以的取值范围是22．已知函数.（1）求的单调区间；（2）若时，方程有两个不等实数根，，求实数的取值范围，并证明：.【详解】（1）由题知定义域为，，由解得，得的增区间为，由解得，得的减区间为，所以的增区间为，减区间为.（2）当时，，，时，，，，，由（1）知在上递增，所以时，.设方程的两根为，设，则，是方程的两根，设，则，由解得.单调递增区间为，由解得，单调递减区间为，若有两个根，则，解得.可知，要证，即证，设，则，是减函数，不妨设，，即，又，，，，即.