5月大数据精选模拟卷02-2022年高考数学大数据精选模拟卷（广东专用）

这是一份5月大数据精选模拟卷02-2022年高考数学大数据精选模拟卷（广东专用），文件包含5月大数据精选模拟卷02广东专用解析版docx、5月大数据精选模拟卷02广东专用原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则=（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
由题意，集合，且，
根据集合并集的概念及运算，可得.
故选：A.
2．已知复数，为z的共轭复数，若复数w＝，则下列结论错误的是
A．w在复平面内对应的点位于第二象限
B．|w|＝1
C．w的实部为
D．w的虚部为
【答案】D
【详解】
∵z＝，为z的共轭复数，则，
∴复数w＝＝＝＝＝，
w在复平面内对应的点为，位于第二象限，|w|＝＝1，w的实部是，虚部是，所以A，B，C正确，D错误.
故选：D．
3．甲、乙、丙、丁、戊5名党员参加“党史知识竞赛”，决出第一名到第五名的名次（无并列名次），己知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五．据此推测5人的名次排列情况共有（ ）种
A．5B．8C．14D．21
【答案】C
【详解】
乙排在第五的情况有：，乙不在第五的方法有，
共有，
4．函数的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
详解：为奇函数，舍去A,
舍去D;
，
所以舍去C；
5．已知直角三角形ABC中，，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
以为原点建系，，
，即，故圆的半径为，
∴圆，设中点为，
，
，∴，
故选：D.
6．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作倾斜角为的直线交双曲线的右支于两点，其中点在第一象限，且若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
由双曲线的定义知，，
因为，即，
所以，
在中，由余弦定理知，，
所以，
所以，
因为，所以，解得或（舍去）
所以双曲线的离心率为2，
故选：D.
7．函数，对，则 的取值范围为（ ）
A． B．C．D．
【答案】C
【详解】
解：函数的定义域为，且，则函数为偶函数，
则问题只需考虑时即可.
当时，函数单调递增，的最小值为；
当时，函数单调递增，的最小值为.
要使，则只需即可，∴.
即的取值范围为.
8．如图，在直三棱柱中，已知是边长为1的等边三角形，，，分别在侧面和侧面内运动（含边界），且满足直线与平面所成的角为30°，点在平面上的射影在内（含边界）．令直线与平面所成的角为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【详解】
因为点为在平面上的射影，所以平面，连接，则，故在以为直径的球面上．又与平面所成的角为30°，所以，过作于点，如图1所示，则易得，，，，所以在如图2所示的圆锥的底面圆周上，又在内（含边界），故在三棱柱及其内部，其轨迹是以为圆心，为半径的圆中圆心角为60°的圆弧，且在底面上的射影的轨迹（以为圆心，为半径的一段圆弧）如图3所示，连接，易知直线与平面所成的角，且，故当最小时，最大，是圆弧圆心，则当在上时，最小，最小值为，所以．
故选：A．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．某高中2020年的高考考生人数是2010年高考考生人数的1.5倍，为了更好地比较该校考生的升学情况，统计了该校2010年和2020年的高考升学率，得到如下柱状图：
则下列说法中正确的有（ ）
A．与2010年相比，2020年一本达线人数有所减少
B．2020年二本达线率是2010年二本达线率的1.25倍
C．2010年与2020年艺体达线人数相同
D．与2010年相比，2020年不上线的人数有所增加
【答案】BD
【详解】
设2010年高考考生人数为a，则2020年的高考考生人数是的1.5a，
A. 2010年一本达线人数为0.28a，2020年一本达线人数a，故错误；
B. 2020年二本达线率是，2010年二本达线率是，，故正确；
C. 2010年艺体达线人数0.08a， 2020年艺体达线人数，故错误；
D.与2010年不上线的人数0.32a,相比，2020年不上线的人数,故正确；
故选：BD
10．设函数f(x)＝sin（x﹣），则下列结论正确的是（ ）
A．f(x)的最小正周期为2π
B．f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x)的图象关于点（﹣，0）对称
D．f(x)在区间（0，）上单调递增
【答案】AD
【详解】
解：对于，，，故正确；
对于：由，解得：，
时，，时，，故B错误；
对于：结合，故错误；
对于：由，解得：，
故函数在递增，故正确；
故选：AD．
11．如图，已知点是平行四边形的边的中点，为边上的一列点，连接交于，点满足，其中数列是首项为的正项数列，是数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）
A．B．数列是等比数列
C．D．
【答案】AB
【详解】
为中点，，即，
三点共线，，
又，，
化简得：，，
是以为首项，为公比的等比数列，B正确；
，，C错误；
则，A正确；
，D错误.
12．已知函数，其中是自然对数的底数，下列说法中，正确的是（ ）
A．在是增函数
B．是奇函数
C．在上有两个极值点
D．设，则满足的正整数的最小值是
【答案】ABD
【详解】
对于A选项，当时，，，
，所以，函数在是增函数，A选项正确；
对于B选项，令，该函数的定义域为，
，
，
则，
所以，函数为奇函数，B选项正确；
对于C选项，当时，，且，
所以，函数在内无极值点；
，
①当时，，，则，
则，，此时，，
所以，函数在上单调递减，
，，
所以，函数在上只有一个极值点；
②当时，，，
所以，，，则，
所以，，则，
所以，函数在上没有极值点.
综上所述，函数在上只有一个极值点，C选项错误；
对于D选项，.
当时，，，不成立；
当时，，
当时，，，
，，，则，
所以，，
所以，满足的正整数的最小值是，D选项正确.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：
则X的数学期望为_________．
【答案】
【详解】
由得，，
∴.
14．展开式中，的系数为______．
【答案】
【详解】
展开式的通项为：；
展开式的通项为：；
展开式通项为，
要求的系数，只需，又且，，
或，的系数为.
15．已知一族双曲线（且），设直线与在第一象限内的交点为，点在的两条渐近线上的射影分别为、，记的面积为，则___________.
【答案】
【详解】
双曲线（且）的两条渐近线为、，
所以，双曲线的两条渐近线互相垂直，
直线与在第一象限内的交点为，
设点在直线上的射影点为，则，
设点在直线上的射影点为，则，则，
则，，
所以，，
因此，.
16．如图，已知球O的半径为，圆为球O的两个半径均为2的截面圆，圆面O、圆面、圆面两两垂直，点分别为圆O与圆的交点，两点分别从同时出发，按箭头方向沿圆周以每秒弧度的角速度运动，直到两点回到起始位置时停止运动，则其运动过程中线段长度的最大值为________；研究发现线段长度最大的时刻有两个，则这两个时刻的时间差为________秒．
【详解】
由题意到圆面和圆面的距离为，以为坐标原点，与圆面，圆面，圆面垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
运动秒后，，，，
，
令，则，
时，，，或，
综上，两个时刻的时间差为8秒．
故答案为：；8．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角C；
（2）若，求的面积.
【详解】
（1）因为，由正弦定理得，即，
所以，，所以；
（2）由（1），，而，
所以，
．
18．已知等差数列的前项和为，，，数列满足，，为数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：数列为等比数列；
（3）若恒成立，求的最小值.
【详解】
（1）由已知得，所以，又，，所以所以，
所以数列的通项公式；
（2）由得，又因为，所以是以首项为，公比为的等比数列；
（3）由（2）得，所以，
，
因为，
所以随的增大而增大，又，所以要使恒成立，则的最小值为.
19．如图，四棱锥中，矩形，其中，，，点为矩形的边上一动点.
（1）为线段上一点，，是否存在点，使得平面，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由；
（2）若，求直线与平面所成角的余弦值.
【详解】
（1）四边形为矩形，，又平面，
则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，,，，
设，则；
平面轴，平面的一个法向量，
若存在点，使得平面，则，
即，解得：；
存在点，使得平面，此时；
（2）设，则，，
，，解得：，即；
，，
设平面的法向量，
则，令，则，，，
又，
设直线与平面所成角为，
，
又，，即直线与平面所成角的余弦值为.
20．已知椭圆E：（a＞b＞0）的左．右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F1且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为F2．
（1）求椭圆E的方程；
（2）如图，下顶点为A，过点B（0，2）作一条与y轴不重合的直线．该直线交椭圆E于C，D两点．直线AD，AC分别交x轴于点H，G．求证：△ABG与△AOH的面积之积为定值，并求出该定值．
【详解】
解：（1）过且斜率为的直线的方程为，
令，得，
由题意可得，解得，．
求椭圆的方程为；
证明：（2）由题意知，直线的斜率存在，设直线，
，，，，
联立，得．
，，
由，得，
，
，
直线的方程为，令，解得，
则，，同理可得，，
21．某市为了解2020年十一双节期间市民旅游出行的方式及满意程度，对去该市市区内甲､乙､丙三个景点旅游的市民进行了调查.现从中随机抽取100人作为样本，得到下表(单位：人)：
（1）从样本中任取1人，求这人没去丙景点的概率；
（2）根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.针对甲､乙､丙三个景点，从全市十一双节期间旅游出行选自驾游的所有人中，随机选取2人，记X为去乙景点的人数，求X的分布列和数学期望；
（3）如果王某要去甲､乙､丙三个景点旅游，那么以满意度得分的均值为依据，你建议王某是报团游还是自驾游？说明理由.
【详解】
（1）设事件“从样本中任取1人，这人没去丙景点”为事件A，
由表格中所给数据可得，去甲、乙、丙旅游的人数分别为19，39，42，
所以从样本中任取1个，这人没去丙景点的概率为.
（2）由题意，的所有可能取值为0，1，2，
从全市十一双节期间旅游出行选自驾游的所有人中，随机选取1人，
此人去乙景点的概率是，
所以，，，
所以随机变量的分布列为
故.
（3）由题干所给表格中的数据可知，报团游､自驾游的总人数分别为52，48，得分为10分的报团游､自驾游总人数分别为31，25，得分为5分的报团游､自驾游的总人数分别为12，14，得分为0分的报团游､自驾游总人数分别为9，9，
所以从满意度来看，报团游满意度的均值为，
自驾游满意度的均值为，
因为，所以建议王某选报团游.
22．已知函数，.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）设，若，求的取值范围．
【详解】
（1）当时，，则，，
又，故切点为
所以曲线在点处的切线方程为．
（2），定义域为，
令，求导，
所以在上单调递增，且，
若，则当时，恒成立，即，所以．
因为，
当时，令，则，
所以在上单调递增，且，，
所以存在，使得，即，，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以
．
综上，所求的取值范围为.X
1
2
3
P
满意度得分
甲
乙
丙
报团游
自驾游
报团游
自驾游
报团游
自驾游
10分
12
1
12
10
7
14
5分
4
1
4
4
4
9
0分
1
0
7
2
1
7
合计
17
2
23
16
12
30
0
1
2