5月大数据精选模拟卷03-2022年高考数学大数据精选模拟卷（广东专用）

这是一份5月大数据精选模拟卷03-2022年高考数学大数据精选模拟卷（广东专用），文件包含5月大数据精选模拟卷03广东专用解析版docx、5月大数据精选模拟卷03广东专用原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
因为集合，，
且，
所以3是方程的根，即，解得，
所以集合，
所以，
故选：B
2．“虚数”这个词是17世纪著名数学家､哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数.人们发现，最简单的二次方程在实数范围内没有解.已知复数满足，则（ ）
A．4B．2C．D．1
【答案】B
【详解】
解：因为，
所以，
故，
所以．
故选：．
3．已知是相互垂直的单位向量，与共面的向量满足则的模为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
是相互垂直的单位向量，
不妨设，，
设，由
可得，即，
则的模为.
故选：D
4．《周髀算经》中给出了：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二节气的日影长依次成等差数列的结论.已知某地立春与立夏两个节气的日影长分别为尺和尺，现在从该地日影长小于9尺的节气中随机抽取2个节气进行日影长情况统计，则所选取这2个节气中至少有1个节气的日影长小于5尺的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
设这十二节气中第个节气的日影长为尺，
可知数列为等差数列，设其公差为，
由题意得，，，
.
令，解得；令，解得.
从该地日影长小于尺的节气中随机抽取个节气，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共个，
其中，事件“所选取这个节气中至少有个节气的日影长小于尺”所包含的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共个，
因此，所求事件的概率为.
5．已知双曲线的右顶点到一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
由题意知双曲线的一条渐近线方程为，
所以右顶点到渐近线的距离为，即，则，
所以，该双曲线的离心率.
6．已知函数，，若函数有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
作出的图象，如图所示，
当与相切时，设切点为，
则有，解得，
所以相切时的斜率；
将函数的图象顺时针旋转，
当时，与有2个交点，满足题意；
当时，与有3个交点，不满足题意；
当时，与有1个交点，不满足题意；
当时，与有0个或1个交点，不满足题意.
7．密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为份，每一份叫做密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如密位写成“”，密位写成“”，周角等于密位，记作周角，直角．如果一个半径为的扇形，它的面积为，则其圆心角用密位制表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
设扇形所对的圆心角为，所对的密位为，则，解得，
由题意可得，解得，
因此，该扇形圆心角用密位制表示为.
故选：B.
8．已知四面体的四个顶点都在以为直径的球面上，且，若四面体的体积是，则这个球面的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
如下图所示，取的中点，设的外心，连接、，
由题意可知，
设点到平面的距离为，则，解得，
由球的几何性质可得平面，平面，，
因为为的中点，则，由正弦定理可得，
所以，则
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．为了解目前淮安市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀．则下列说明正确的是（ ）
参考数据：随机变量，则，，．
A．该校学生体育成绩的方差为10
B．该校学生体育成绩的期望为70
C．该校学生体育成绩的及格率不到85%
D．该校学生体育成绩不及格的人数和优秀的人数相当
【答案】BC
【详解】
A：由题设知，所以该校学生体育成绩的方差，错误；
B：由题设知，即该校学生体育成绩的期望为70，正确；
C：，所以该校学生体育成绩的及格率不到85%，正确；
D：，而，错误；
故选：BC.
10．当，时，下列不等式中恒成立的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【详解】
对于A，当且仅当时取等号，正确.
对于B，，当且仅当时取等号，正确.
对于C，，当且仅当时取等号，错误.
对于D，，当且仅当时取等号，正确.
11．在平面直角坐标系中，设曲线的方程是，下列结论正确的是（ ）
A．曲线上的点与定点距离的最小值是
B．曲线上的点和定点的距离与到定直线：的距离的比是
C．曲线绕原点顺时针旋转，所得曲线方程是
D．曲线的切线与坐标轴围成的三角形的面积是4
【答案】ABC
【详解】
设是曲线上任一点，
，
显然的最小值在时取得，时，，当且仅当时等号成立，
所以．A正确；
由上面分析得曲线上的点和定点的距离与到定直线：的距离的比是：，B正确；
由A，B两选项分析得曲线是双曲线，离心率是，一个焦点是，它顺时针旋转变成，为其对称轴，因此，，，则，
新方程是，即，C正确；
曲线变为，，设，则时，，
切线方程为，令得，令得，
所以切线与坐标轴围成的三角形的面积是，D错．
12．设函数，下列说法正确的是（ ）
A．若，是奇函数
B．若，，在单调递减
C．若，，在有且仅有一个零点
D．若，，
【答案】BC
【详解】
选项A，若时，，，又，故A不下正确；
选项B，时，，，，，故B正确；
选项C，时，，，
函数在R上单调递减，，所以函数在有且仅有一个零点；
选项D，取，，
当时，若成立，即成立.
令，，
，所以，故在是单调递增，
所以时，不成立.
故选：BC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若，则_______.
【答案】80
【详解】
∴其通项，
∴.
14．据报道，某地遭遇了70年一遇的沙漠蝗虫灾害．在所有的农业害虫中，沙漠蝗虫对人类粮食作物危害最大．沙漠蝗虫繁殖速度很快，迁徙能力很强，给农业生产和粮食安全构成重大威胁．已知某蝗虫群在适宜的环境条件下，每经过15天，数量就会增长为原来的10倍．该蝗虫群当前有1亿只蝗虫，则经过______天，蝗虫数量会达到4000亿只．（参考数据：，）
【答案】54
【详解】
由每经过15天，蝗虫的数量就会增长为原来的10倍，
设每天的增长率为，则有，解得，
设经过天后，蝗虫数量会达到4000亿只，
则有，所以，即，
故，所以，
故经过54天，蝗虫数量会达到4000亿只．
15．已知直线过定点，曲线，则过点的曲线的切线方程为______．
【答案】
【详解】
由，可得，
令，解得，
所以点的坐标为，显然点在曲线上，
因为，所以过点的曲线的切线的斜率为，
所以所求切线的方程为，即．
故答案为：．
16．在三棱锥中，是以为直角的等腰直角三角形，是边长为2的等边三角形，二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球的表面积为______.
【答案】
【详解】
如图，
设的中点为，过点作平面的法线，
过的重心作平面的法线，
与交于点，则为三棱锥的外接球的球心.
又，，所以.
又，所以，
故外接球的半径为，所以球的表面积为.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知中，角的对边分别为.现给出两个条件：①，②；要求你从中选出一个条件（选出其中一个条件解答，若两个都选，则按第一个解答计分），并以此为依据求解下面问题.问题：
（1）求角；
（2）若，，求的值.
【详解】
（1）若选①：由及正弦定理得：
，即，
，，
又，；
若选②：由及正弦定理得：，
即，
，，，
解得：或（舍），又，；
（2），；
由余弦定理得：，
解得：.
18．已知数列满足，，.
（1）证明：为等比数列；
（2）求数列的前项和.
【详解】
（1）因为，所以，
即，
又由，所以是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）知是以为首项，为公比的等比数列，
所以，可得
又由，所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，即，
所以，
所以，
两式相减，可得，
所以.
19．如图，四棱锥中，底面是边长为3的菱形，.面，且.在棱上，且，为棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
【详解】
（1）取的中点，连接、，连接交于，连接.
∵、分别为、的中点
∴，又面，面，∴面，
又，故为的中点，
∴，又面，面，∴面，
，面，
∴面面，
又面，∴面.
（2）取中点，连接，∵是的菱形，
∴，又面，
∴分别以、、为、、轴正方向建立空间直角坐标系如图所示.
则、、、、.
∴、.
设面的一个法向量，
则由可得，
不妨令，则解得，，
∴.
显然面的一个法向量，
∴，
∴二面角的余弦值为.
20．城市大气中总悬浮颗粒物(简称TSP)是影响城市空气质量的首要污染物，我国的《环境空气质量标准》规定，TSP日平均浓度(单位：)在时为一级水平，在时为二级水平.为打赢蓝天保卫战，有效管控和治理那些会加重TSP日平均浓度的扬尘污染刻不容缓.扬尘监测仪与智能雾化喷淋降尘系统为城市建筑工地的有效抑尘提供了技术支持.某建筑工地现新配置了智能雾化喷淋降尘系统，实现了依据扬尘监测仪的TSP日平均浓度进行自动雾化喷淋，其喷雾头的智能启用对应如下表：
根据以往扬尘监测数据可知，该工地施工期间TSP日平均浓度不高于，，，的概率分别为，，，.
（1）若单个喷雾头能实现有效降尘，求施工期间工地能平均有效降尘的立方米数.
（2）若实现智能雾化喷淋降尘之后，该工地施工期间TSP日平均浓度不高于，，，的概率均相应提升了，求：
①该工地在未来天中至少有天TSP日平均浓度能达到一级水平的概率；(，结果精确到)
②设单个喷雾头出水量一样，如果TSP日平均浓度达到一级水平时，无需实施雾化喷淋，二级及以上水平时启用所有喷雾头个，这样设置能否实现节水节能的目的？说明理由.
【详解】
解：（1）由已知条件和互斥事件的概率加法公式有
，，
，
，
.
则智能设置喷雾头个数的分布列为：
则(个)
所以施工期间工地能平均有效降尘的立方米数为
（2）①由已知，该工地智能雾化喷淋降尘之后，TSP日平均浓度达到一级水平的概率为
，
设未来天中TSP日平均浓度能达到一级水平的天数为，则
所以.
故该工地在未来天中至少有天TSP日平均浓度能达到一级水平的概率约为.
②该工地智能雾化喷淋降尘之后，TSP日平均浓度对应喷雾头个数的分布列为
则(个)，
若只有当TSP日平均浓度在二级及以上水平时启用个喷雾头，则启用喷雾头个数的期望值为(个)，大于之前智能启用喷雾头个数的期望值，由于单个喷雾头出水量一样，所以无法达到节水节能的目的.
21．已知椭圆经过点，且椭圆的离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点，是椭圆上的两个动点，，分别为直线，的斜率且，求证：的面积为定值.
【详解】
（1）由椭圆经过点，得
由椭圆的离心率可得，整理得
由得，，故椭圆的方程为
（2）①当直线的斜率不存在时，，，易得的面积为1，
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，得，
设，，
则，是方程的两个根，
所以，
且，，
则，
所以由，可得，
故，此时.
因为，
又点到直线的距离，
所以的面积
.
综上可知，的面积为定值1.
22．已知函数，为的导函数.
（1）讨论在区间内极值点的个数；
（2）若时，恒成立，求实数的取值范围.
【详解】
（1）由，得.
令，则.
因为，所以，.
当时，，单调递增，即在区间内无极值点；
当时，，，
所以，所以在单调递增.
又，，
故存在，使且时，，单调递减；
时，，单调递增，
所以为的极小值点，
此时在区间内存在一个极小值点，无极大值点.
综上所述，当时，在区间内无极值点；当时，在区间内存在一个极小值点，无极大值点.
（2）若时，恒成立，则，
所以.
下面证明当时，在恒成立.
因为时，，
所以时，.
令，，
所以.
令，则.
在区间单调递增.
又，
所以在区间上单调递减.
又，
，
所以存在，
使，且时，，单调递增；
时，，单调递减，
所以时，取得最大值，且.
因为，所以，所以单调递减，
所以时，，即成立.
综上，若时，恒成立，
则的取值范围为.TSP日平均浓度
喷雾头个数个
TSP日平均浓度
喷雾头个数个