专练08(三角函数与解三角形)（15题)-2022年高考数学考点必杀300题（广东专用）

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专练08  三角函数与解三角形1．【2021届广州一模】已知的内角的对边分别为，且，．（1）求；（2）求的周长．【答案】（1）；（2）9．【分析】（1）应用二倍角公式和诱导公式变形已知等式可求得；（2）由正弦定理化角为边，然后再结合余弦定理可求得，从而得三角形周长．【解析】（1）因为，所以，，因为，所以，；（2）因为．所以，又，即，，所以，，所以．【点睛】本题考查余弦的二倍角公式，诱导公式，正弦定理，余弦定理等．解题关键是利用正弦定理化角为边，然后结合余弦定理可求得边长．2．【2021届肇庆二模】在中，内角，，的对边分别为，，，且．（1）求角；（2）若，，求的面积．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由正弦定理化角为边，然后由余弦定理可得角；（2）利用余弦定理和已知可求得，从而得三角形面积．【解析】（1）由正弦定理，得，，，又，所以．由余弦定理，得，故．又，所以．（2）由余弦定理，得．联立方程组，得，化简，得，解得，所以的面积．3．【2020届广州二模】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a＝1,B,△ABC的面积为．（1）求△ABC的周长；（2）求cos（B﹣C）的值．【答案】（1）4；（2）．【分析】（1）由已知结合三角形的面积公式可求c,然后结合余弦定理可求b,进而可求；（2）由已知结合余弦定理及同角平方关系可分别求解cosC,sinC,然后结合差角余弦公式可求．【解析】（1）因为a＝1,B,△ABC的面积S,∴c＝3,由余弦定理可得,b27,∴b,故△ABC的周长4,（2）由余弦定理可得,cosC,因为,故 ,    cos（B﹣C）＝cosBcosC+sinBsinC【点睛】本题主要考查了正余弦定理和面积公式,以及三角恒等变换在解三角形中的运用,需要根据题意确定合适的公式进行求解．属于中档题．4．【2021届深圳一模】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为锐角，．（1）求A；（2）若，且边上的高为，求的面积．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先用余弦定理化余弦为边，再用正弦定理化边为角从而求得；（2）由余弦定理用表示，然后把三角形的面积用两种方法表示求得，从而可计算出面积．【解析】（1）由得，由余弦定理得，所以，由正弦定理得，是三角形内角，，所以，又A为锐角，所以．（2）由（1），，所以，即，，，．【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．利用正弦定理和余弦定理进行边角互化是解题关键．三角形的面积采取了二次计算，通过不同的计算方法得出等式，从而求解．这是一种解题技巧．5．【2020届惠州六月模拟】在中，已知内角所对的边分别为，向量，向量，且，角为锐角．（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由得，再化简得到角的大小；（2）先利用余弦定理得到，利用重要不等式可以整理得出，之后应用三角形的面积公式求得最大值，注意等号成立的条件；也可以应用正弦定理，将边用角表示，之后将面积转化为关于A的正弦型函数，求函数最值即可．【解析】（1）解法一：由得，即，所以，为锐角，，，即解法二：由得，即所以即，，即为锐角，所以． （2）解法一：，由余弦定理，得又代入上式得，当且仅当时取等号成立．，故的面积最大值为．解法二：，由正弦定理，得所以，，由，，因为，则当即时，，故的面积最大值为．【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查余弦定理解三角形、利用不等式求最值；正弦定理解三角形和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．6．【2021届湛江一模】如图，在平面四边形ABCD中，AD⊥CD， ∠BAD=，2AB=BD=4．（1）求cos∠ADB；（2）若BC=，求CD．【答案】（1）；（2）【分析】（1）中，利用正弦定理可得，进而得出答案；（2）中，利用余弦定理可得．【解析】（1）中，，即，解得，故；（2）中，，即，化简得，解得．7．【2020届汕头金山中学模拟考】如图，在中，是边的中点，，．（1）求的大小；（2）若，求的面积．【答案】（1）（2）【分析】（1）由，再结合两角差的余弦公式，将已知条件代入运算即可；（2）在中，由正弦定理，得，求出，再利用求解即可．【解析】（1）由，由，又因为，故；（2）在中，由正弦定理，得因为是边的中点，所以．故，故的面积为．【点睛】本题考查了两角差的余弦公式及正弦定理，重点考查了三角形的面积公式，属中档题．8．【2020届深圳二模】中，D为上的点，平分，，，的面积为．（1）求的长；（2）求．【答案】（1）（2）【分析】（1）根据三角形面积公式可得，可得，根据余弦定理可得；（2）根据余弦定理求出，可得，再利用以及两角差的正弦公式可得结果．【解析】（1）因为，，的面积为，∴，∴，∵，平分，∴，∴，在中，由余弦定理，得，∴．（2）在中，由余弦定理，得，∴，因为平分，所以，∴，【点睛】本题考查了余弦定理、三角形内角和定理、三角形的面积公式、两角差的正弦公式，属于基础题．．9．【2021届广州天河区二模】如图，在四边形中，，，．（1）求；（2）若，求周长的最大值．【答案】（1）；（2）12【分析】（1）在中，利用正弦定理可求得结果；（2）在中，由余弦定理可求得，在中，，设，由余弦定理得，即，利用基本不等式求得，进而求出周长的最大值．【解析】（1）在中，，利用正弦定理得：，，又为钝角，为锐角，，（2）在中，由余弦定理得解得：或（舍去），在中，，设由余弦定理得，即整理得：，又，利用基本不等式得：，即，即，当且仅当时，等号成立，即，所以，所以周长的最大值为12．【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，及利用基本不等式求三角形周长的最值，利用条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值，考查学生的转化能力与运算解能力，属于中档题．10．【2021届汕头一模】在中，角的对边分别为，已知：．（1）求边的长和三角形的面积；（2）在边上取一点D，使得，求的值．【答案】（1）；；（2）．【分析】（1）法一：中，由余弦定理求的长，应用三角形面积公式求的面积；法二：过作出高交于，在所得直角三角形中应用勾股定理求，即可求，由三角形面积公式求的面积；（2）由正弦定理、三角形的性质、同角三角函数的关系，法一：求、、、，由结合两角差正弦公式求值即可；法二：求、，再由结合两角和正切公式求值即可；法三：由（1）法二所作的高，直角△中求，进而求，再根据正弦定理及同角三角函数关系求值即可．【解析】（1）法一：在中，由，由余弦定理，，得，解得或（舍），所以，．法二：（1）过点作出高交于，即为等腰直角三角形，，，同理△为直角三角形，，，故，．（2）在中，由正弦定理，即，得，又，所以为锐角，法一：由上，，由（为锐角），得，由图可知：为锐角，则，所以．法二：由上，，由（为锐角），得，，，故．法三：△为直角三角形，且，所以，，在中，由正弦定理得，，故，由图可知为锐角，则，所以．【点睛】（1）应用余弦定理的边角关系或勾股定理求边长，由三角形面积公式求面积；（2）综合应用三角形性质、正弦定理、同角三角函数关系以及三角恒等变换求三角函数值．11．【2021届高州一模】从条件①，②，③中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，________，求的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分．【答案】答案见解析．【分析】若选①，利用余弦定理可得，求出角后可计算三角形的面积．若选②，利用正弦定理可得，求出角后可计算三角形的面积．若选③，利用正弦定理可得，求出角的正弦后可计算三角形的面积．【解析】选择①，因为，所以由余弦定理得，所以，所以由余弦定理得，而为三角形内角，所以，所以的面积为．选择②，因为，所以由正弦定理得，所以．又，所以，所以，而为三角形内角，所以，所以，所以的面积为．选择③，因为，所以由正弦定理得，即，所以．又，所以，所以，而为三角形内角，所以，所以的面积为．【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式．12．【2021届湛江调研】从①a＝3，②，③3sinB＝2sinA这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．若问题中的三角形存在，求出b的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，3ccosB＝3a＋2b，________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．【答案】答案见解析．【分析】先利用已知条件计算，再利用所选条件结合余弦定理、面积公式、正弦定理，逐一计算求b即可．【解析】解法1：由正弦定理，得3sinCcosB＝3sin[π-（B＋C）]＋2sinB，整理得3sinBcosC＋2sinB＝0．因为sinB≠0，所以．解法2：由3ccosB＝3a＋2b，得3accosB＝3a2＋2ab，由余弦定理，得3（a2＋c2-b2）＝6a2＋4ab，整理得3（-a2＋c2-b2）＝4ab，即3abcosC＋2ab＝0．所以．选①a＝3．由余弦定理可得c2＝a2＋b2-2abcos，所以b2＋4b-12＝0，解得b＝2或b＝-6（舍去），所以问题中的三角形存在．选②．，故ab＝9，由余弦定理可得c2＋a2＋b2-2abcosC，又a2＋b2≥2ab，所以，与ab＝9矛盾，所以问题中的三角形不存在．选③3sinB＝2sinA．由正弦定理得，3sinB＝2sinA3b＝2a，由余弦定理可得c2＝a2＋b2-2abcosC，所以b＝2或b＝-2（舍去），所以问题中的三角形存在．【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．13．【2021届揭阳一模】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，且，，______________？【答案】答案见解析．【分析】利用正弦定理化简可得的值．条件①借助辅助角公式可求得，再利用正弦定理解题．条件②可以利用二倍角公式计算的值，再利用正弦定理解题．条件③利用正弦定理求的值，再判断三角形不存在．【解析】由结合正弦定理可得，所以．因为，所以．[选择条件①的答案]所以．由得，所以．因为，所以．所以．由正弦定理得．[选择条件②的答案]所以．因为，所以．由正弦定理得． [选择条件③的答案]所以．由得．因为，所以．所以三角形不存在．14．【2021届梅州一模】在①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若_____，且a，b，c成等差数列，则是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】①；证明见解析【分析】选择①：由余弦降幂公式代入即可求得，结合a，b，c成等差数列可得，，代入余弦定理公式，即可得，结合等式可求得，进而证明为等边三角形．【解析】选择①，证明：则由余弦降幂公式可得，即，由可得，又因为a，b，c成等差数列，则B为锐角，则，，由余弦定理可知，代入可得，即，则，化简可得，即，又因为，所以为等边三角形．【点睛】本题考查了三角函数解析式的化简应用，余弦降幂公式化简三角函数式，余弦定理解三角形，等差中项性质的应用，综合性较强，属于中档题．15．【2021届韶关一模】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．问题：在中，角、、对应的边分别为、、，若，___________，求角的值和的最小值．【答案】条件选择见解析；，最小值为．【分析】选①，利用三角形的内角和定理、诱导公式以及两角和的余弦公式化简得出，结合可求得，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得的最小值；选②，利用三角形的内角和定理、诱导公式以及二倍角的余弦公式求出的值，结合可求得，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得的最小值；选③，利用正弦定理边角互化、三角形的内角和定理以及两角和的正弦公式化简可求得，结合可求得，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得的最小值．【解析】若选择①：在中，有，则由题可得：，，，，又，所以，则．又，所以，因为，所以，．由余弦定理可得：，，又， 所以，当时，，即的最小值为；若选择②：在中，有，则由题可得，解得或（舍去），又，所以．（剩下同①）若选择③：由正弦定理可将已知条件转化为，，代入上式得，又，所以，．又，所以．（剩下同①）【点睛】在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理．