专题10.3 全等三角形、相似三角形、勾股定理（3）-备战2022年中考数学精选考点专项突破题集（全国通用）

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专题10.3 全等三角形、相似三角形、勾股定理
备战2022年中考数学精选考点专项突破卷（3）
一、单选题(共30分)
1．(本题3分)如图，△ACE≌△DBF，AEDF，AB＝3，BC＝2，则AD的长度等于（　　）

A．2 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】
根据全等三角形的对应边相等解答．
【详解】
解：由图形可知，AC＝AB＋BC＝3＋2＝5，
∵△ACE≌△DBF，
∴BD＝AC＝5，
∴CD＝BD−BC＝3，
∴AD＝AC＋CD＝5＋3＝8，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
2．(本题3分)如图，在中，，的垂直平分线交于点，交边于点，的周长等于，则的长度等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由的周长等于即BC+BE+EC=22cm，BC=10cm，可求BE+EC，由的垂直平分线，得AE=BE，则AC=AE+EC=BE+EC即可．
【详解】
∵的周长等于即BC+BE+EC=22cm，BC=10cm，
∴BE+EC=22-BC=22-10=12cm，
∵的垂直平分线交于点，交边于点，
∴AE=BE，
∴AC=AE+EC=BE+EC=12cm，
故选择：B．

【点睛】
本题考查三角形的周长与垂直平分线问题，会利用垂直平分线证线段相等，会利用周长求线段的和，利用等式的性质求线段是解题关键．
3．(本题3分)如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝9cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是（　　）

A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm
【答案】D
【分析】
由垂直的定义，三角形的内角和定理和角的和差求∠FBD＝∠FAE，直角三角形中两锐角互余和等腰三角形的判定与性质求得BD＝AD，用角角边证明△FBD≌△CAD，由其性质得BF＝AC，求出BF的长是9cm．
【详解】
解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∠BEA＝90°，
又∵∠FBD＋∠BDF＋∠BFD＝180°，
∠FAE＋∠FEA＋∠AFE＝180°，
∠BFD＝∠AFE，
∴∠FBD＝∠FAE，
又∵∠ABC＝45°，∠ABD＋∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝45°，
∴BD＝AD，
在△FBD 和△CAD中，
∴△FBD≌△CAD（AAS），
∴BF＝AC，
又∵AC＝9cm，
∴BF＝9cm．
故选：D．
【点睛】
本题综合了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角的和差，垂直定义和等腰三角形的判定与性质，重点掌握全等三角形的判定与性质，难点用角角边证明的三角形全等问题，也可以用角边角证明三角形全等．
4．(本题3分)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A， B都是格点，则线段AB的长为（ ）

A．5 B．6 C．7 D．2
【答案】A
【分析】
建立格点三角形，利用勾股定理求解AB的长度即可．
【详解】
解：如图所示：

，
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理的知识，关键是作出图形使用勾股定理求解．
5．(本题3分)在RtABC中，∠ABC=90º，BC=6，AC=8，则RtABC的斜边AB上的高CD的长是（ ）

A． B． C．9 D．6
【答案】B
【分析】
先由勾股定理算出AB=10，然后再由Rt△ABC中等面积法得到即可求解．
【详解】
解：由勾股定理有：，
在Rt△ABC中，由等面积法可知：，
代入数据：，
解得：，
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理、直角三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，运用直角三角形面积的计算方法求出CD是解决问题的关键．
6．(本题3分)如图，在等腰三角形ABC中，AC=BC=5cm， AB=6cm，则等腰△ABC的面积为（ ）

A．12 B．11 C．10 D．13
【答案】A
【分析】
过点C作CD⊥AB于D，由等腰三角形的性质得到AD=BD==3cm，根据勾股定理求出CD=4cm，在利用三角形的面积公式计算求出答案.
【详解】
过点C作CD⊥AB于D，
∵AC=BC，CD⊥AB，
∴AD=BD==3cm，
∴cm，
∴等腰△ABC的面积为，
故选：A.

【点睛】
此题考查了等腰三角形的三线合一的性质，勾股定理，三角形的面积计算公式，正确掌握等腰三角形的性质是解题的关键.
7．(本题3分)如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m远，该同学的身高为1.7m，则树高为（　　）m．

A．3.4 B．5.1 C．6.8 D．8.5
【答案】B
【分析】
根据相似三角形的性质即可列方程求解．
【详解】
由相似三角形的性质，设树高x米，则，
∴x＝5.1m．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟知相似三角形的性质．
8．(本题3分)如图，已知则添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先根据∠1=∠2得出∠BAC=∠DAE，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】
解：∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠DAE．
A. ，∠B与∠D的大小无法判定，∴无法判定△ABC∽△ADE，故本选项符合题意；
B. ，∴△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
C. ∴△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
D. ∴△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
故选：A
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
9．(本题3分)如图，、是锐角两边、上的高，它们交于点，图中共有几对相似三角形（ ）

A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
【答案】D
【分析】
先分类找出所有的相似的三角形，分类型查相似三角形的对数，最后求和计算即可．
【详解】
先找出相似的三角形由△ABF，△ACE，△DBE，△DCF，
△ABF与△ACE，△DBE，△DCF都相似，有3对，
△ACE与△DBE，△DCF都相似，有2对，
△DBE与△DCF都相似，有1对，
相似的三角形共有3+2+1=6对．
故选择：D．
【点睛】
本题考查相似三角形的对数问题，关键掌握相似三角形的判定方法，会分类确定相似三角形，是解题关键．
10．(本题3分)△ABC与△DBC如图放置，已知，∠ABC＝∠BDC＝90°，∠A＝60°，BD＝CD＝2，将△ABC沿BC方向平移至△A'B'C'位置，使得A'C边恰好经过点D，则平移的距离是（ ）

A．1 B．2﹣2 C．2﹣2 D．2﹣4
【答案】C
【分析】
过点D作DJ⊥BC于J，根据勾股定理求出BC，利用等腰直角三角形的性质求出DJ、BJ、JC，利用平行线分线段成比例定理求出JC′即可解决问题．
【详解】
解：过点D作DJ⊥BC于J．

∵DB＝DC＝2，∠BDC＝90°，
∴BC＝＝4，DJ＝BJ＝JC＝2，
∵∠ABC＝90°，∠A＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∴AC=2AB，
∵AB2+42=(2AB)2，
∴A′B′=AB＝，
∵DJ//A′B′，
∴＝，
∴＝，
∴C′J＝2，
∴JB′＝4﹣2，
∴BB′＝2﹣(4﹣2)＝2﹣2.
故选：C．
【点睛】
本题考查了平移的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，以及平行线分线段成比例定理．
二、填空题(共30分)
11．(本题3分)如图所示，要测量河两岸相对的两点、的距离，在的垂线上取两点、，使，过作的垂线，与的延长线交于点，若测得的长为15米，则河宽长为___

【答案】15米
【分析】
先根据垂直的定义可得，再根据对顶角相等可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得．
【详解】
，
，
由对顶角相等得：，
在和中，，
，
米，
故答案为：15米．
【点睛】
本题考查了垂直的定义、对顶角相等、三角形全等的判定定理与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．
12．(本题3分)在△ABC中，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE=_______时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．
【答案】或
【分析】
以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，则或，分情况进行讨论求解AE的长即可．
【详解】
解：如图所示：

∵AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，
∴当以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，则有：
①当时，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴；
②当时，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
综上所述：以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，或；
故答案为或．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
13．(本题3分)一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC边上的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，则CD的长为________．
【答案】3或．
【分析】
分类讨论，第一种情况：，证明，设，利用勾股定理方程思想求出x的值；第二种情况：，根据题意得到四边形CDEF是正方形，再证明，设，利用对应边成比例求出x的值．
【详解】
解：①若，则，，

连接AD，则，
∴，，
设，则，
∵中，，
∴，解得，
∴；
②若，则，，

∴四边形CDEF是正方形，
∴，，
∴，
∴，
设，则，，，
∴，解得，
∴．
故答案是：3或．
【点睛】
本题考查几何综合题，涉及折叠的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，相似三角形的性质和判定，正方形的性质等几何知识，解题的关键是熟练掌握这些几何的性质定理进行证明求解．
14．(本题3分)如图,矩形的两边在坐标轴上,点为平面直角坐标系的原点,以轴上的某一点为位似中心,作位似图形,且点的坐标,则位似中心的坐标为__________．

【答案】
【分析】
连接BF交y轴于P，根据题意求出CG，再根据相似三角形的性质求出GP，即可求出点P的坐标．
【详解】
解：如图所示，连接BF交y轴于P，

∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形,点B,F的坐标分别为(−4,4),(2,1)，
∴点C的坐标为(0,4),点G的坐标为(0,1)，
∴CG=3，
∵BC∥GF，
∴△PGF∽△PCB，
∴GP：PC=GF：BC=1：2，
∴GP=1，PC=2，
∴OP=2，
∴点P的坐标为(0,2)，
即：位似中心的坐标为（0，2）.
故答案为（0，2）.
【点睛】
本题考查了位似的性质、矩形的性质、相似的判定和性质等知识.合理构造辅助线是解题的关键..
15．(本题3分)如图，在△ACB中，∠C=90°，AB的垂直平分线分别交BC、AB于点M、N，BC=8，AC=4，则MC的长度为____．

【答案】3
【分析】
由题意易得BM=MA，设BM=MA=x，则有MC=8-x，然后利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】
解：∵MN垂直平分线段AB，
∴BM=AM，
∵BC=8，AC=4，
∴设BM=MA=x，则有MC=8-x，
在Rt△ACM中，，即，
解得：x=5，即BM=5，
∴MC=8-5=3；
故答案为3．
【点睛】
本题主要考查勾股定理及线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握勾股定理及线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
16．(本题3分)如图，在中，是边上的中线，，，，则_______．

【答案】
【分析】
延长到点，使，连接，证明，，再根据勾股定理的逆定理证得，即=90°，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】

延长到点，使，连接，
是边上的中线，
，
在和中，

，
，，
，，，
，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的应用，做辅助线构造全等三角形及证得∠BAD=∠CED=90°是关键．
17．(本题3分)如图点D是△ABC的两外角平分线的交点，下列说法：
①AD＝CD；
②AB＝AC；
③D到AB、BC所在直线的距离相等；
④点D在∠B的平分线上；
其中正确的说法的序号是_____．

【答案】③④．
【分析】
作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F，DH⊥AC于H，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DH，DH＝DF，则DE＝DF，于是可对③进行判断；然后根据角平分线的性质定理的逆定理可对④进行判断．
【详解】
解：AD与CD不能确定相等，AB与AC也不能确定相等，所以①②错误；
作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F，DH⊥AC于H，如图，

∵AD平分∠EAC，
∴DE＝DH，
同理可得DH＝DF，
∴DE＝DF，
即D到AB、BC所在直线的距离相等，所以③正确；
∴点D在∠B的平分线上；所以④正确．
故答案为：③④．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，掌握知识点是解题关键．
18．(本题3分)如图，在ABC中，点D、E、F分别是BC，AB，AC上的点，若∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠EDF＝56°，则∠A＝_____°．

【答案】68°．
【分析】
先由已知可证△BDF≌△CED（SAS），由性质∠BFD=∠CDE，∠BDF=∠CED，
∠B=∠C=∠EDF，再利用三角形内角和求∠A即可．
【详解】
在△BDF和△CED中
∵BF=CD，∠B=∠C，BD＝CE，
∴△BDF≌△CED（SAS），
∴∠BFD=∠CDE，∠BDF=∠CED，
∴∠BDF+∠CDE=180º-∠EDF=180º-56º=124º，
∴∠BFD+∠BDF=∠BDF+∠CDE=124º，
∴∠C=∠B=180º-∠BFD-∠BDF=56º，
∴∠A=180º-∠B-∠C=180º-56º-56º=68º．
故答案为：68º．

【点睛】
本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质，会利用性质得出∠BFD=∠CDE，∠BDF=∠CED，利用平角定义算出∠B=∠C=∠EDF是解题关键．
19．(本题3分)《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在勾股章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折着高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，在ΔABC中，∠ACB=90º， AC+AB=10， BC=3，求AC的长，若设AC=x， 则可列方程为________________．

【答案】
【分析】
设AC=x，则AB=10-x，再由即可列出方程．
【详解】
解：∵，且，
∴，
在Rt△ABC中，由勾股定理有：，
即：，
故可列出的方程为：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键．
20．(本题3分)如图，在中，，，如果绕点B旋转，使点C落在AB边上的点D处得到，则点A到BE的距离是__________．

【答案】3
【分析】
连接AE，作AH⊥BE于H，根据勾股定理求出AC的值，根据旋转的性质可知BE=AB=5，DE=AC=3，然后根据等面积法求解即可．
【详解】
解：连接AE，作AH⊥BE于H，
∵在中，，，
∴AC=，
由旋转的性质得
BE=AB=5，DE=AC=3，
∵，
∴5AH=5×3，
∴AH=3，
故答案为：3．

【点睛】
本题考查了勾股定理，旋转的性质，等面积法求线段的长，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
三、解答题(共60分)
21．(本题7分)如图所示，，，，求证：

【答案】证明见解析
【分析】
由，证明再利用边角边公理证明：，从而可得结论．
【详解】
证明：，


在与中，



【点睛】
本题考查的是角的和差关系，三角形全等的判定与性质，掌握利用边角边公理判定三角形全等是解题的关键．
22．(本题8分)在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于种种原因，由C到A的路现在已经不通了，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米．
（1）问CH是不是从村庄C到河边的最近路，请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线AC的长．

【答案】（1）是，理由见解析；（2）2.5米．
【分析】
（1）先根据勾股定理逆定理证得Rt△CHB是直角三角形，然后根据点到直线的距离中，垂线段最短即可解答；
（2）设AC＝AB＝x，则AH＝x－1.8，在Rt△ACH中，根据勾股定理列方程求得x即可．
【详解】
（1）∵，即，
∴Rt△CHB是直角三角形，即CH⊥BH，
∴CH是从村庄C到河边的最近路（点到直线的距离中，垂线段最短）；
（2）设AC＝AB＝x，则AH＝x－1.8，
∵在Rt△ACH，
∴，即 ，解得x＝2.5，
∴原来的路线AC的长为2.5米．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理的逆定理和定理是解答本题的关键．
23．(本题9分)已知：如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠B=∠DAE．
（1）求证：△ABC∽△DAE；
（2）若AB=8，AD=6，AE=12，求BC的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）16．
【分析】
（1）根据已知条件可得∠EDA=∠CAB，由∠B=∠DAE，即可证明△ABC∽△DAE；
（2）根据△ABC∽△DAE可得对应边成比例，进而可得BC的长．
【详解】
（1）证明： ∵ DE∥AB，
∴ ∠EDA=∠CAB，
∵ ∠B=∠DAE ，
∴ △ABC∽△DAE；
（2） 解∵ △ABC∽△DAE，
∴，
即，
∴BC=16．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
24．(本题10分)如图，已知AB＝DC，ABCD，E、F是AC上两点，且AF＝CE．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，求∠CFD的度数．

【答案】（1）见解析；（2）100°
【分析】
（1）由平行线的性质得出∠BAE＝∠FCD，根据SAS可得出△ABE≌△CDF；
（2）求出∠AEB＝∠BCE＋∠CBE＝100°，可得出∠CFD＝∠AEB＝100°．
【详解】
（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠FCD，
∵AF＝CE，
∴AE＝CF，
又∵AB＝CD，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
（2）解：∵∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，
∴∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝30°+70°＝100°，
∵△ABE≌△CDF，
∴∠CFD＝∠AEB＝100°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的外角和等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
25．(本题12分)“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点处，将镜子放在点处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走3米，到达点处，将镜子放在点处时，刚好看到大树的顶端（点，，，，在同一条直线上）．若测得米，米，测量者眼睛到地面的距离为米，求大树的高度．

【答案】8
【分析】
设NB的长为x米，则MB＝x＋1＋3−1.5＝（x＋2.5）米．通过△CND∽△ANB和△EMF∽△AMB的性质求得x的值，然后结合求得大树的高．
【详解】
解：设NB的长为x米，则MB＝x＋1＋3−1.5＝（x＋2.5）米．
由题意，得∠CND＝∠ANB，∠CDN＝∠ABN＝90°，
∴△CND∽△ANB，
∴．
同理，△EMF∽△AMB，
∴．
∵EF＝CD，
∴，即，
解得x＝5，
∵，
∴．
解得AB＝8．
答：大树AB的高度为8米．
【点睛】
本题考查相似三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
26．(本题14分)（发现问题）
（1）如图， 已知和均为等边三角形，在上，在上， 易得线段和的数量关系是 ．

（2）将图中的绕点旋转到图的位置， 直线和直线交于点
①判断线段和的数量关系，并证明你的结论．
②图中的度数是 ．

（3）（探究拓展）
如图3，若和均为等腰直角三角形，，，， 直线和直线交于点， 分别写出的度数， 线段、之间的数量关系 ．

【答案】（1）；（2）①，证明见解析；②；（3），
【分析】
（1）由等腰三角形的性质，结合等量代换即可求解；
（2）①根据SAS证明，然后根据全等三角形的性质即可证明；
②由全等三角形的性质得，然后利用等量代换即可求解；
（3）首先证明，然后根据相似三角形的性质得到，和，即可求解．
【详解】
（1）∵和均为等边三角形
∴CA=CB，CD=CE
∴AC-CD=BC-CE，即AD=BE
∴AD=BE；
（2）①AD=BE
证明：∵和均为等边三角形
∴CA=CB，CD=CE，
∴
∴
∴AD=BE
②∵
∴
设BC和AF交于点O，如图2

∵
∴，即
∴；
（3）结论，
证明：∵，AB=BC，DE=EC
∴，
∴
∴，
∴
∵
∴
【点睛】
本题考查了几何变换综合，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，关键证明全等和相似，并且分类讨论．