清单24 数列求和与数列综合问题(解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

这是一份清单24 数列求和与数列综合问题(解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共25页。试卷主要包含了知识与方法清单，跟踪检测，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
清单24 数列求和与数列综合问题
一、知识与方法清单
1.若一个数列为等差数列或可以转化为等差数列,求和时可以利用等差数列前n项和公式
【对点训练1】已知数列满足,则数列中前奇数的和为 .
【答案】
【解析】数列中前奇数构成等差数列,所以和为.
2. 若一个数列为等比数列或可以转化为等比数列,求和时可以利用等比数列前n项和公式
【对点训练2】= .
【答案】
【解析】=
=.
3.若,为等差数列或等比数列,求的前n项和可以采用分组求和,分别求出的前n项和,再相加.
【对点训练3】（2021届四川省宜宾市高三二模）已知数列的前项和为,且满足,则（ ）
A．543 B．546 C．1013 D．1022
【答案】A
【解析】∵,∴,两式相减得：,即,,
又当时,有,可得：,∴数列是首项为1,公比为的等比数列,
∴,,∴,
∴.
4. 若,为等差数列或等比数列,求的前n项和可以采用分组求和,分别求出的奇数项之和与偶数项之和再相加.
【对点训练4】（2021届四川省九市高三二模）记为数列的前项和,若,,且,则的值为（ ）
A．5050 B．2600 C．2550 D．2450
【答案】B
【解析】当为奇数时,,数列是首项为1,公差为2的等差数列；
当为偶数时,,数列是首项为2,公差为0的等差数列,即常数列.
则.故选B.
5.若为等差数列,求的前n项和,可采用并项求和,即把相邻两项合并,构造一个新数列求和
【对点训练5】若数列的通项公式是,则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】=.
6.若,为等差数列或等比数列,求的前n项和可以采用,即把相邻两项的和卡看作一项,构造一个新数列求和
【对点训练6】已知数列满足 ,则数列前101项之和为 .
【答案】2551
【解析】数列前101项之和为=1+2+4++100
=.
7.周期数列求和一般采用并项求和,即把一个周期内的所有项求和,构成一个新数列求和
【对点训练7】（2021届河南省洛阳市高三下学期4月调研）数列满足：,,是的前项和,则（ ）
A．4042 B．2021
C． D．
【答案】D
【解析】因为,,由得,进而得：,,可得：,
．故选D.
8. 求形如数列的和,一般根据正弦型函数的最小正周期,对n进行分类,然后再采用并项求和
【对点训练8】已知,则 .
【答案】30
【解析】由得,,,所以,所以.
9. 一些常见数列的前n项和公式
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2.
(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n(n＋1)．
(4)12＋22＋…＋n2＝.
【对点训练9】 .
【答案】
【解析】.
10. 裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项．(1)用裂项相消法求和时,要对通项进行变换,如：＝(－),＝(－),裂项后可以产生连续相互抵消的项．(2)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项．
【对点训练10】（2021届“超级全能生”高三5月联考）高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的美誉,用其名字命名的“高斯函数”：设用表示不超过的最大整数,则称为高斯函数,也称取整函数．在数列中,记为不超过的最大整数,则称数列为的取整数列,设数列满足,,记数列的前项和为,则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意,数列满足,则,同理可得,
所以,所以,则,
则数列的前项和为
.故选C.
11.常见的裂项公式
①＝－；
②＝；
③＝－；
④；
⑤；
⑥.
【对点训练11】（2021届江苏省盐城市高三下学期5月第三次模拟）已知数列的通项公式为,则其前项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为
所以其前项和为,故选A
12. 倒序相加法
把数列分别正着写和倒着写再相加,即等差数列求和公式的推导过程的推广,一般来说,若数列满足,数列的前n项和可求,可用倒序相加法.
【对点训练12】（2021届江苏省镇江市高三上学期10月月考）已知函数,数列满足,则数列的前2019项和为（ ）
A． B．1010 C． D．1011
【答案】A
【解析】因为,所以,
有.
记数列的前项和,又,所以



.所以.故选A.
13. 错位相减法
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,即等比数列求和公式的推导过程的推广．错位相减法求和时的注意点:
(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形；
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；
(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
【对点训练13】（2021届河北省唐山市高三下学期3月调研）已知是递减的等比数列,且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若,求数列的前项和．
【解析】（1）若递减的等比数列公比为,则,
∴且,故,可得.
∴,.
（2）由（1）：,
∴,
若,则,
∴,可得,
∴
14.数列不等式的证明
证明与求和有关的数列不等式一般先求和,然后再把和进行放缩,若所给数列无法直接求和,可考虑把所给数列放缩成等差等比数列求和.
【对点训练14】（2021届浙江省湖州市、衢州市、丽水市高三上学期质量检测）已知正项数列的前项和为,且,.
（1）求,的值,并写出数列的通项公式；
（2）设,数列的前项和为,求证：.
【解析】（1）由正项数列,可得
当时,,即,解得：或（舍去）
当时,,即,解得：或（舍去）
所以,
由,可得
即
,
又
是首项为,公差为的等差数列,
.
（2）由（1）得,,
因为当时,,
所以,
当时,,符合上式,所以.
由基本不等式的性质可知当时,有,当且仅当时取等号,
所以令,则,
将上式对从1到求和,得

,
所以,
所以,
综上可知,.
15.数列与函数的交汇
由于数列是一种特殊的函数,有时我们可以用函数观点研究数列
【对点训练15】（2021届山东省菏泽市高三二模）已知正项数列的首项,前项和为,且满足
（1）求数列的通项公式：
（2）设数列前和为,求使得成立的的最大值．
【解析】（1）由①
得②
②-①得,
因为,所以
由此可知…,…是公差为2的等差数列,
其通项公式为；
故时,
（2）方法①：
由（1）可知

要使,即,
由可知数列为递增数列,
由知数列为递减数列,
因为
所以当时,,
当时,
故满足条件的的最大值为4．
方法②：
由（1）可知

要使,有,即；
令,,
由,,可知当时是增函数,当时是减函数
由,,可知时,时,
所以当时,当且时,
所以时,故满足条件的的最大值为4．
二、跟踪检测
一、单选题
1．数列满足,,若,且数列的前项和为,则（ ）
A．64 B．80 C． D．
【答案】C
【解析】数列满足,,则,
可得数列是首项为1、公差为1的等差数列,即有,即为,
则,
则

.故选C.
2．（2021届重庆市高三下学期第三次月考）已知,若数列的前项和是,设,设,当且仅当时,不等式成立,则实数的范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当时,,当时, ,当时,不满足,
所以,当时,,
当时,, 所以,
所以


,
因为是递增的,当时,不等式成立,
所以,所以,解得,故选D
3．（2021届贵州省贵阳市高三二模）对于函数,部分x与y的对应关系如下表：
x
…
1
2
3
4
5
6
7
8
9
…
y
…
3
7
5
9
6
1
8
2
4
…
数列满足：,且对于任意,点都在函数的图象上,则（ ）
A．7576 B．7575 C．7569 D．7564
【答案】A
【解析】,,,,, ,数列满足,
则.故选A.
4．设数列{an}满足,若,且数列{bn}的前n项和为,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可得,
,,
则可得数列为常数列0,即,,
,
.
故选D.
5．（2021届重庆市南开中学高三五模）设等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1＝2,S7＝35,将a3,a7,a11,a15中去掉一项后,剩下的三项按原来的顺序恰为等比数列{bn}的前三项,则数列{anbn}的前10项的和T10＝（　　）
A．10212 B．9212 C．11212 D．12212
【答案】A
【解析】设等差数列{an}的公差为,则,解得.
故,即,
由题意知,是等比数列{bn}的前三项,即,公比,故.
故,,
,两式作差得,,所以.故选A.
6．（2021届云南省红河州高三三模）已知数列满足,若数列满足,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知,所以,当时,
,当时,
. 故
故选.
7．已知数列满足.记数列的前n项和为,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为,所以,．
由
,即
根据累加法可得,,当且仅当时取等号,
,
由累乘法可得,当且仅当时取等号,
由裂项求和法得：
所以,即．
故选A．
8．（2021届安徽省示范高中皖北协作区高三下学期联考）已知数列满足,其前项和,数列满足,其前项和为,若对任意恒成立,则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时,,解得：或,又,；
当时,由得：,
,整理可得：,
,,即,
是以为首项,为公差的等差数列,；
经检验：满足；
综上所述：,
,
,
由得：,
令,则,
为递增数列,,,即实数的取值范围为.
故选A.
9．（2021届河南省驻马店市高三上学期四校联考）数列满足,则数列的前60项和等于（ ）
A．1830 B．1820 C．1810 D．1800
【答案】D
【解析】当为正奇数时,由题意可得,,
两式相加得；
当为正偶数时,由题意可得,,
两式相减得.
因此,数列的前项和为.
故选D.
10．已知等比数列满足,,若,是数列的前项和,对任意,不等式恒成立,则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为,
因为,,所以,解得,,,
因为,所以,,
则,,
,
对任意不等式恒成立,即对任意不等式恒成立,
因为,所以,的取值范围为.
故选C.
11．设数列的前项积,记,求的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令,则,得,
当时,因为,所以,
所以,即,,
所以,
所以数列是以为首项,1为公差的等差数列,
所以,
所以,所以,
所以,
令,
所以
,
所以数列是递增数列,
,
因为
所以
,
所以,
综上,,故选D
12．已知数列满足,是数列的前项和,则（ ）
A．是定值,是定值 B．不是定值,是定值
C．是定值,不是定值 D．不是定值,不是定值
【答案】A
【解析】当,则,,
∴,即有,,
作差得,∴,
∴,令可得,,
∴为定值．
而
也为定值．故选A．
二、多选题
13．已知正项数列的首项为2,前项和为,且,,数列的前项和为,若,则的值可以为（ ）
A．543 B．542
C．546 D．544
【答案】AB
【解析】因为,所以,
即,故数列是首项为,公差为2的等差数列,
则,则,
所以,
则,
令,解得,即,故选AB
14．（2021届湖北省恩施高中、郧阳中学、十堰一中高三下学期仿真模拟）设随机变量的分布列如下：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10











则下列正确的是（ ）
A．当为等差数列时,
B．数列的通项公式可以为
C．当数列满足时,
D．当数列满足时,
【答案】ACD
【解析】由题目可知；
对于选项A,若为等差数列,则,
所以,因此选项A正确；
对于选项B,,
,因此选项B不正确；
对于选项C,由,则,
所以,因此选项C正确；
对于选项D,方法一：,则,所以满足题意
当时,,则
,所以满足题意
当时,


则当时,,因此选项D正确
方法二：令,则
即,,于是有


,解得,于是有
因此选项D正确故选ACD
15．（2021届重庆市第八中学2021届高三下学期适应性月考）已知,分别是等差数列的公差及前项和,,设,则数列的前项和为,则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．时,取得最小值 D．
【答案】BC
【解析】由题意知：,,
则,即,故A错误.
由上可知,
则
.
所以,故B正确.
由题意知：
则
又,要使取得最小值即取最小值.
由题意知
使取最大值,显然需,
而.
所以当时,取最小值.故C正确.
假设.又,即
又,即.而当时.
假设不成立.故D错误.故选BC.
16．已知数列满足,且,数列的前项和为,则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】因为,,
令,则,,所以,故正确,错误；
因为且,
同除以,得,
所以,,,

所以,
即,故正确,错误．
故选
三、填空题
17．（2021届江苏省南京高三下学期一模）在等差数列中,,前项和满足,,2,…,则_____________．
【答案】
【解析】依题意,,
所以,所以,
所以,
所以
.
18．（2021届江西省新余市高三全真模拟）数列的前项和为,且,且,则___________.
【答案】
【解析】由,又,得


19．（2021届山西省临汾市高三下学期考前适应性训练）设数列的前项和为,且,,则__________.
【答案】1189
【解析】因为,
所以,
所以,
由,可得
所以,
所以
.
20．（2021届安徽省蚌埠市下学期高三第三次教学质量检查）已知数列满足：,,(且),等比数列公比,则数列的前项和___________.
【答案】
【解析】因为,,(且),①
当时,,即,
由等比数列的的公比为,
即,解得,
所以,
当时,,即,
解得,
又(,且),②
①-②可得,,
即,化为,
又,
所以为等差数列,且公差,
则,
所以
,
,
上面两式相减可得
,
所以.
四、解答题
21．已知数列的前项和为,,数列是等差数列,且,．
（1）求数列和的通项公式；
（2）若,记数列的前项和为,证明：．
【解析】（1）由,可得时,,
解得,
时,,又,
两式相减可得,
即有,
可得数列是首项为1,公比为2的等比数列,
所以；
设等差数列的公差为,且,,
可得,
所以；
（2）证明：,
,
,
两式相减可得
,
化简可得．
因为,
所以．
22．（2022届湖南省邵阳市高三上学期月考）已知数列是首项为,公差为的等差数列．(为常数,且)．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）当时,设,求数列的前项和．
【解析】（1）∵数列是首项为,公差为的等差数列,
∴,∴,∴,∴,
又∵,
∴数列是以为首项,公比为的等比数列.
（2）由（1）得：,∵,∴
又,∴
∴．
23．（2021届湖南师大附中高三上学期月考）已知数列满足.
（1）证明为等差数列,并求数列的通项；
（2）设,求数列的前项和.
【解析】（1）由,得,
故是公差为2的等差数列,
故,由,得,
故,于是.
（2）依题意,,
故


.
24．（2021届浙江省杭州市高三上学期阶段性测试）已知数列满足,若记数列前项和为,则对于任意的,.
（1）求证：是等比数列,并写出的通项公式和其前项和的表达式；
（2）已知数列满足,,设数列的前项和为.求证：.
【解析】（1）由,所以是公比为2的等比数列.的通项公式为,.
（2）令.由题可知,的通项公式为.
对求和：



,
令,则.
令,则.
所以
则,
所以