专题07 函数图象问题-中考一轮复习之热点题型练习（全国通用）

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专题07 【函数图象问题】
知识点
有关面积的函数图像的判定方法
通过初中阶段对几何图形的面积的学习，不难发现三角形、矩形、菱形、平行四边形、正方形的面积都可以用同一个面积公式：(上底+下底)×高、来概括，所以我们在做此类题目的时候，只需要判断底与高的变化情况即可，具体判定方法如下表：
底的变化

高的变化
对应函数图象

增长
增长




减小
减小




一增一减



当面积总变化趋势是增加时



当面积总变化趋势是减小时
不变
增长



不变
减小



增长
不变



减小
不变



不变
不变

















【命题一】几何图形面积变化的函数图像判断
1．如右图所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，若动直线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：①当直线l经过BA段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越快；
②直线l经过AD段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度保持不变；
③直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越小；
结合选项可得，A选项的图象符合．
故选：A．
2．如图，正方形ABCD中，AB＝8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意BE＝CF＝t，CE＝8﹣t，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，
∵在△OBE和△OCF中
，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴S△OBE＝S△OCF，
∴S四边形OECF＝S△OBC＝×82＝16，
∴S＝S四边形OECF﹣S△CEF＝16﹣（8﹣t）•t＝t2﹣4t+16＝（t﹣4）2+8（0≤t≤8），
∴s（cm2）与t（s）的函数图象为抛物线一部分，顶点为（4，8），自变量为0≤t≤8．
故选：B．
3．如图，菱形ABCD的边长为2，∠B＝30°．动点P从点B出发，沿B﹣C﹣D的路线向点D运动．设△ABP的面积为y（B、P两点重合时，△ABP的面积可以看做0），点P运动的路程为x，则y与x之间函数关系的图象大致为（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：由题意知，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，则
当0＜x≤2，y＝x，
当2＜x≤4，y＝1，
由以上分析可知，这个分段函数的图象是C．
故选：C．
4．已知菱形ABCD的边长为1，∠DAB＝60°，E为AD上的动点，F在CD上，且AE+CF＝1，设△BEF的面积为y，AE＝x，当点E运动时，能正确描述y与x关系的图象是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：连接BD，如图所示：
∵菱形ABCD的边长为1，∠DAB＝60°，
∴△ABD和△BCD都为正三角形，
∴∠BDE＝∠BCF＝60°，BD＝BC，
∵AE+DE＝AD＝1，而AE+CF＝1，
∴DE＝CF，
在△BDE和△BCF中，，
∴△BDE≌△BCF（SAS）；
∴∠DBE＝∠CBF，BE＝BF，
∵∠DBC＝∠DBF+∠CBF＝60°，
∴∠DBF+∠DBE＝60°即∠EBF＝60°，
∴△BEF为正三角形；
∴BE＝EF，△BEF的面积y＝BE2，
作BE'⊥AD于E'，则AE'＝AD＝，BE'＝，
∵AE＝x，
∴EE'＝﹣x，
∴BE2＝（﹣x）2+（）2，
∴y＝（x﹣）2+（0≤x≤1）；
故选：A．

5．如图1，S是矩形ABCD的AD边上一点，点E以每秒kcm的速度沿折线BS﹣SD﹣DC匀速运动，同时点F从点C出发点，以每秒1cm的速度沿边CB匀速运动并且点F运动到点B时点E也运动到点C．动点E，F同时停止运动．设点E，F出发t秒时，△EBF的面积为ycm2．已知y与t的函数图象如图2所示．其中曲线OM，NP为两段抛物线，MN为线段．则下列说法：
①点E运动到点S时，用了2.5秒，运动到点D时共用了4秒
②矩形ABCD的两邻边长为BC＝6cm，CD＝4cm；
③sin∠ABS＝；
④点E的运动速度为每秒2cm．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【解答】解：由图象可知点E运动到点S时用了2.5秒，运动到点D时共用了4秒．故①正确．
设AB＝CD＝acm，BC＝AD＝bcm，
由题意，
解得，
所以AB＝CD＝4cm，BC＝AD＝6cm，故②正确，
∵BS＝2.5k，SD＝1.5k，
∴＝，设SD＝3x，BS＝5x，
在RT△ABS中，∵AB2+AS2＝BS2，
∴42+（6﹣3x）2＝（5x）2，
解得x＝1或﹣（舍），
∴BS＝5，SD＝3，AS＝3，
∴sin∠ABS＝＝故③错误，
∵BS＝5，
∴5＝2.5k，
∴k＝2cm/s，故④正确，
故选：C．
6．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．设△APQ的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：（1）当P、Q分别在AB、AC上运动时，
∵ABCD是菱形，∠B＝60°，则△ABC、△ACD为边长为2的等边三角形，
过点Q作QH⊥AB于点H，

y＝AP×QH＝（2﹣x）×xsin60°＝﹣x2+x，
函数最大值为，符合条件的有A、B、D；
（2）当P、Q分别在AC、DC上运动时，
同理可得：y＝（x﹣2）2，
符合条件的有B；
故选：B．
7．如图1，菱形ABCD中，∠B＝60°，动点P以每秒1个单位的速度自点A出发沿线段AB运动到点B，同时动点Q以每秒2个单位的速度自点B出发沿折线B﹣C﹣D运动到点D．图2是点P、Q运动时，△BPQ的面积S随时间t变化关系图象，则a的值是（　　）

A．2 B．2.5 C．3 D．
【解答】解：由图2得，t＝4时两点停止运动，
∴点P以每秒1个单位速度从点A运动到点B用了4秒
∴AB＝4
∵点Q运动到点C之前和之后，△BPQ面积算法不同，即t＝2时，S的解析式发生变化
∴图2中点M对应的横坐标为2，
此时P为AB中点，点C与点Q重合
连接AC
∵菱形ABCD中，AB＝BC＝4，∠B＝60°
∴△ABC是等边三角形
∴CP⊥AB，BP＝AB＝2
∴CP＝
∴a＝S＝BP•CP＝×2×＝2
故选：D．

8．如图，已知菱形ABCD的边长为2cm，∠A＝60°，点M从点A出发，以1cm/s的速度向点B运动，点N从点A同时出发，以2cm/s的速度经过点D向点C运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．则△AMN的面积y（cm2）与点M运动的时间t（s）的函数的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：点M从点A出发，以1cm/s的速度向点B运动，点N从点A同时出发，以2cm/s的速度经过点D向点C运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．
因而点M，N应同时到达端点，当点N到达点D时，点M正好到达AB的中点，
则当t≤1秒时，△AMN的面积y（cm2）与点M运动的时间t（s）的函数关系式是：y＝；
当t＞1时：函数关系式是：y＝．
故选：A．






【命题二】线段关系的函数图象判断问题
知识点
有关线段长度的函数图像的判定方法
线段间关系需要找到题目中将两个线段联系起来的条件，一般是全等、相似、勾股定理等。
（1）由全等结合时，一般为一次函数或者不变化的常函数图象；
（2）由相似结合时，一般为反比例函数图象；
（3）由勾股定理结合时，一般为二次函数图象。




1．如图，矩形ABCD中，P为CD中点，点Q为AB上的动点（不与A，B重合）．过Q作QM⊥PA于M，QN⊥PB于N．设AQ的长度为x，QM与QN的长度和为y．则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：方法一：
连接PQ，作PE⊥AB垂足为E，
∵过Q作QM⊥PA于M，QN⊥PB于N
∴S△PAB＝PE•AB；
S△PAB＝S△PQB+S△PAQ＝QN•PB+PA•MQ，
∵矩形ABCD中，P为CD中点，
∴PA＝PB，
∵QM与QN的长度和为y，
∴S△PAB＝S△PQB+S△PAQ＝QN•PB+PA•MQ＝PB（QM+QN）＝PB•y，
∴S△PAB＝PE•AB＝PB•y，
∴y＝，
∵PE＝AD，
∴PE，AB，PB都为定值，
∴y的值为定值，符合要求的图形为D，

方法二：
由题意可得：PA＝PB，
设∠PAB＝∠PBA＝α，
则MQ＝AQ•sinα，
NQ＝BQ•sinα，
MQ+AQ＝（AQ+BQ）•sinα
＝AB•sinα，
∴MQ+NQ为定值，即y的值为定值，符合要求的图形为D．
故选：D．

2．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA＝x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：①点P在AB上时，0≤x≤3，点D到AP的距离为AD的长度，是定值4；
②点P在BC上时，3＜x≤5，
∵∠APB+∠BAP＝90°，
∠PAD+∠BAP＝90°，
∴∠APB＝∠PAD，
又∵∠B＝∠DEA＝90°，
∴△ABP∽△DEA，
∴＝，
即＝，
∴y＝，
纵观各选项，只有B选项图形符合．
故选：B．

3．如图，线段AB＝1，点P是线段AB上一个动点（不包括A、B）在AB同侧作Rt△PAC，Rt△PBD，∠A＝∠D＝30°，∠APC＝∠BPD＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，连接MN，设AP＝x，MN2＝y，则y关于x的函数图象为（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：连接PM、PN，则PM、PN分别为Rt△PAC，Rt△PBD的中线，

∵∠A＝∠D＝30°，则∠MPA＝∠A＝30°，
则PM＝＝，
同理PN＝＝1﹣x，
y＝MN2＝（PM）2+（PN）2＝x2﹣2x+1，
函数的对称轴x＝﹣，
故选：B．
4．如图，在△ABC中，AC＝BC，有一动点P从点A出发，沿A→C→B→A匀速运动．则CP的长度s与时间t之间的函数关系用图象描述大致是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D．
∵在△ABC中，AC＝BC，
∴AD＝BD．
①点P在边AC上时，s随t的增大而减小．故A、B错误；
②当点P在边BC上时，s随t的增大而增大；
③当点P在线段BD上时，s随t的增大而减小，点P与点D重合时，s最小，但是不等于零．故C错误；
④当点P在线段AD上时，s随t的增大而增大．故D正确．
故选：D．

5．如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°．动点E沿路径A﹣B﹣C从点A开始以每秒2个单位的速度移动，过点E作AD的垂线，被菱形所截得的线段长为y．设点E移动的时间为x（单位：s）（0＜x＜4），则y关于x的函数图象大致是（　　）

A．
B．
C．
D．
【解答】解：当E在AB边上时，0＜x＜2，AE＝2x时，
在Rt△AEF中，此时
y＝EF
＝AE×sin60°
＝x；
当E在B与BC的中点之间时，2≤x＜3，此时EF为菱形ABCD的高，
y＝EF
＝AB×sin60°
＝2；
当E在BC的中点与C之间时，3≤x＜4，CE＝8﹣2x，
此时设EF与CD交于M，如图：

此时y=；
结合图像，即可知道关于的函数图像大致是A选项．
故选：A．

【函数图像问题综合强化训练】
1．如图，线段AB的长为1，点P为线段AB上的一个动点（P不与A，B重合），以AP，BP为边在线段AB的同侧作正三角形AEP与正三角形BFP．过E作EM⊥AP于点M，过F作FN⊥BP于点N．连接EF．设AP的长度为x，四边形EMNF的面积为y，则能表示y与x之间函数关系的大致图象是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据等边三角形的性质表示出EM、MP、FN、PN，再求出MN，然后根据梯形的面积公式列式表示出四边形EMNF的面积y，即可得解．
【解答】解：∵AB＝1，AP＝x，
∴PB＝1﹣x，
∵△AEP与△BFP都是正三角形，EM⊥AP，FN⊥BP，
∴EM＝x、MP＝x、FN＝（1﹣x）、PN＝（1﹣x），
∴MN＝MP+PN＝x+（1﹣x）＝，
∴四边形EMNF的面积为y＝[x+（1﹣x）]×＝，为定值，
纵观各选项，只有D选项图形符合．
故选：D．
【点评】本题考查了动点问题函数图象，主要利用了等边三角形的性质，梯形的面积公式，熟记性质并求出y是定值是解题的关键．
2．如图，有一块等腰直角△ABC的空地，要在这块空地上开辟一个内接矩形EFGH的绿地．已知AB⊥AC，AB＝4．设AF＝x，矩形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据勾股定理和三角函数表示出矩形EFGH的面积，再根据x的取值范围即可判断S与x的函数图象．
【解答】解：∵三角形ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝45°，AB＝AC＝4，
∵AF＝x，
∴CF＝AC﹣AF＝4﹣x，
∵四边形EFGH是内接矩形，
∴EF∥BC，∠FGC＝90°，
∴∠AEF＝∠AFE＝45°，
∴AE＝AF＝x，
∴EF＝＝x，
∵∠FGC＝90°，∠C＝45°
∴FG＝CF•sin∠C＝CF＝（4﹣x）．
∴y＝EF•FG＝x×（4﹣x）
＝x（4﹣x）
＝﹣x2+4x
＝﹣（x﹣2）2+4（0＜x＜4）．
所以此函数图象是开口向下的抛物线，
根据自变量的取值范围C选项符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
3．如图，两个全等的等腰直角三角板（斜边长为2）如图放置，其中一块三角板45°角的顶点与另一块三角板ABC的直角顶点A重合．若三角板ABC固定，当另一个三角板绕点A旋转时，它的直角边和斜边所在的直线分别与边BC交于点E、F．设BF＝x，CE＝y，则y关于x的函数图象大致是（　　）

A． B． C． D．
【分析】由题意得∠B＝∠C＝45°，∠G＝∠EAF＝45°，推出△ACE∽△ABF，得到∠AEC＝∠BAF，根据相似三角形的性质得到 ，于是得到结论．
【解答】解：由题意得∠B＝∠C＝45°，∠G＝∠EAF＝45°，
∵∠AFE＝∠C+∠CAF＝45°+∠CAF，∠CAE＝45°+∠CAF，
∴∠AFB＝∠CAE，
∴△ACE∽△ABF，
∴∠AEC＝∠BAF，
∴，
又∵△ABC是等腰直角三角形，且BC＝2，
∴AB＝AC＝，又BF＝x，CE＝y，
∴＝，即xy＝2，（1＜x＜2）．
故选：C．

【点评】本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质，本题中求证△ABF∽△ACE是解题的关键．
4．如图，动点P从点A出发，按顺时针方向绕半圆O匀速运动到点B，再以相同的速度沿直径BA回到点A停止，线段OP的长度d与运动时间t的函数图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据P点半圆O、线段OB、线段OA这三段运动的情况分析即可．
【解答】解：①当P点半圆O匀速运动时，OP长度始终等于半径不变，对应的函数图象是平行于横轴的一段线段，排除A答案；
②当P点在OB段运动时，OP长度越来越小，当P点与O点重合时OP＝0，排除C答案；
③当P点在OA段运动时，OP长度越来越大，B答案符合．
故选：B．
【点评】本题主要考查动点问题的函数图象，解决这类问题要考虑动点在不同的时间段所产生的函数意义，分情况讨论，动中找静是通用方法．
5．边长为1的正方形ABCD中，点E在CB延长线上，连接ED交AB于点F，AF＝x（0.2≤x≤0.8），EC＝y．则在下面函数图象中，大致能反映y与x之间函数关系的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】通过相似三角形△EFB∽△EDC的对应边成比例列出比例式，从而得到y与x之间函数关系式，从而推知该函数图象．
【解答】解：根据题意知，BF＝1﹣x，BE＝y﹣1，且△EFB∽△EDC，
则，即，
所以y＝（0.2≤x≤0.8），该函数图象是位于第一象限的双曲线的一部分．
C、B的图象都是直线的一部分，D的图象是抛物线的一部分，A的图象是双曲线的一部分．
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象．解题时，注意自变量x的取值范围．
6．如图，点P是▱ABCD边上的一动点，E是AD的中点，点P沿E→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据题意分类讨论，随着点P位置的变化，△BAP的面积的变化趋势．
【解答】解：通过已知条件可知，当点P与点E重合时，△BAP的面积大于0；当点P在AD边上运动时，△BAP的底边AB不变，则其面积是x的一次函数，面积随x增大而增大；当P在DC边上运动时，由同底等高的三角形面积不变，△BAP面积保持不变；当点P带CB边上运动时，△BAP的底边AB不变，则其面积是x的一次函数，面积随x增大而减小；
故选：D．
【点评】本题以动点问题为背景，考查了分类讨论的数学思想以及函数图象的变化规律．
7．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，BC＝4，AG⊥BC于点G，点D为BC边上一动点，DE⊥BC交射线CA于点E，作△DEC关于DE的轴对称图形得到△DEF，设CD的长为x，△DEF与△ABG重合部分的面积为y．下列图象中，能反映点D从点C向点B运动过程中，y与x的函数关系的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据等腰三角形的性质可得BG＝GC＝，由△DEC与△DEF关于DE对称，即可求出当点F与G重合时x的值，再根据分段函数解题即可．
【解答】解：∵AB＝AC，AG⊥BC，∴BG＝GC＝，
∵△DEC与△DEF关于DE对称，
∴FD＝CD＝x．当点F与G重合时，FD＝CD，即2x＝2，∴x＝1，当点F与点B重合时，FC＝BC，即2x＝4，∴x＝2，
如图1，当0≤x≤1时，y＝0，∴B选项错误；

如图2，当1＜x≤2时，，∴选项D错误；

如图3，当2＜x≤4时，，∴选项C错误．

故选：A．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象问题，根据几何知识求出函数解析式是解题的关键．
8．如图，正方形ABCD和正方形EFGH的对角线BD，EG都在直线l上，将正方形ABCD沿着直线l从点D与点E重合开始向右平移，直到点B与点G重合为止，设点D平移的距离为x，，，两个正方形重合部分的面积为S，则S关于x的函数图象大致为（　　）

A． B．
C． D．
【分析】由题意易知，重合部分的形状是点或正方形，BD＝2，EG＝4．然后分0≤x≤2、2＜x＜4、4≤x≤6讨论即可．
【解答】解：如图（1），当0≤x≤2时，；

如图（2），当2＜x＜4时，正方形ABCD在正方形EFGH内部，
则；

如图（3），当4≤x≤6时，BG＝2﹣（x﹣4）＝6﹣x，
∴．综上所述，选项A符合题意．

故选：A．
【点评】本题以正方形为背景，结合动点问题，考查函数图象的判断，涉及数形结合思想、函数模型思想和分类讨论思想，体现了逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．
9．如图，边长为2的正方形ABCD，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿A﹣D﹣C的路径向点C运动，同时点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿B﹣C﹣D﹣A的路径向点A运动，当Q到达终点时，P停止移动，设△PQC的面积为S，运动时间为t秒，则能大致反映S与t的函数关系的图象是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】分三种情况求出解析式，即可求解．
【解答】解：当0≤t≤1时，S＝×2×（2﹣2t）＝2﹣2t，
∴该图象y随x的增大而减小，
当1＜t≤2时，S＝（2﹣t）（2t﹣2）＝﹣t2+3t﹣2，
∴该图象开口向下，
当2＜t≤3，S＝（4﹣t）（2t﹣4）＝﹣t2+6t﹣8，
∴该图象开口向下，
故选：C．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，求出分段函数解析式是本题的关键．
10．如图，四边形ABCD是正方形，AB＝8，AC、BD交于点O，点P、Q分别是AB、BD上的动点，点P的运动路径是AB→BC，点Q的运动路径是BD，两点的运动速度相同并且同时结束．若点P的行程为x，△PBQ的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（　　）

A． B．
C． D．
【分析】分两种情况，求出y关于x的函数关系式，即可求解．
【解答】解：当0＜x≤8时，则，
∴此段抛物线的开口向下；
当时，则，
∴此段抛物线的开口向上，
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，找出对应的函数关系式是本题的关键．
11．如图，正方形ABCD边长是4cm，点P从点A出发，沿A→B的路径运动，到B点停止运动，运动速度是1cm/s，以PD为边，在直线PD下方做正方形DPEF，连接BE，下列函数图象中能反映BE的长度y（cm）与运动时间t（s）的函数关系的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】作CH⊥AB于H，如图，AP＝t，利用正方形的性质得到AD＝AB＝4，∠A＝90°，PD＝PE，∠DPE＝90°，再证明△APD≌△HEP得到EH＝AP＝t，PH＝AD＝4，则BH＝AP+PH﹣AB＝t，所以y＝t（0≤t≤4），然后利用次函数关系式对各选项进行判断．
【解答】解：作CH⊥AB于H，如图，AP＝t，
∵四边形ABCD和四边形DPEF都为正方形，
∴AD＝AB＝4，∠A＝90°，PD＝PE，∠DPE＝90°，
∵∠APD+∠ADP＝90°，∠APD+∠EPH＝90°，
∴∠ADP＝∠EPH，
在△APD和△HEP中，

∴△APD≌△HEP（AAS），
∴EH＝AP＝t，PH＝AD＝4，
∴BH＝AP+PH﹣AB＝t+4﹣4＝t，
∴△BEH为等腰直角三角形，
∴BE＝HE，
即y＝t（0≤t≤4）．
故选：A．

【点评】本题考查了动点问题的函数图象：通过几何证明确定线段之间的关系，从而得到两变量之间的函数关系，然后根据函数关系式确定对应的函数图象．也考查了正方形的性质．
12．如图，已知在边长为4的菱形ABCD中，∠C＝60°，E是BC边上一动点（与点B，C不重合）．连接DE，作∠DEF＝60°，交AB于点F，设CE＝x，△FBE的面积为y．下列图象中，能大致表示y与x的函数关系的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】如图，延长CB至H，使BH＝BF，通过证明△DEC∽△EFH，可得，可得HF＝x，由三角形面积公式可求函数解析式，即可求解．
【解答】解：如图，延长CB至H，使BH＝BF，

∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD＝4，AB∥CD，
∴∠ABH＝∠C＝60°，
∴△BFH是等边三角形，
∴∠H＝60°，BF＝BH＝FH，
∵∠DEB＝∠EDC+∠C＝∠DEF+∠FEB，且∠DEF＝60°＝∠C，
∴∠FEB＝∠EDC，且∠H＝∠C＝60°，
∴△DEC∽△EFH，
∴，
∴
∴HF＝x，
∴S＝×（4﹣x）×x＝﹣（x﹣2）2+，
∴该函数图象开口向下，当x＝2时，最大值为，
故选：B．
【点评】本题考查了动点函数的图象，相似三角形的判定和性质，求出HF＝x是本题的关键．
13．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，OA＝4，OC＝3，直线m：y＝﹣x从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M，N，直线m运动的时间为t（秒），设△OMN的面积为S，则能反映S与t之间函数关系的大致图象是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】分两种情形①如图1中，当0＜t≤4时，②如图2中，当4＜t≤8时，分别求出y与t的函数关系式即可解决问题．
【解答】解：如图1中，当0＜t≤4时，

∵MN∥CA，
∴OM：OA＝ON：OC，
∴OM：ON＝OA：OC＝4：3，
∴OM＝t，ON＝t，
∴y＝•OM•ON＝t2．
如图2中，当4＜t≤8时，

y＝S△EOF﹣S△EON﹣S△OFM＝t2﹣t•（t﹣4）﹣（t﹣4）＝﹣2+3t．
综上所述y＝．
故选：D．
【点评】本题考查动点问题函数图象、矩形的性质．三角形的面积等知识，解题的关键是学会分类讨论，求出分段函数的解析式，属于中考常考题．
14．如图，在菱形ABCD中，一动点P从点B出发，沿着B→C→D→A的方向匀速运动，最后到达点A，则点P在匀速运动过程中，△APB的面积y随时间x变化的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】分析动点P在BC、CD、DA上时，△APB的面积y随x的变化而形成变化趋势即可．
【解答】解：当点P沿BC运动时，△APB的面积y随时间x变化而增加，当点P到CD上时，△APB的面积y保持不变，当P到AD上时，△APB的面积y随时间x增大而减少到0．
故选：D．
【点评】本题为动点问题的图象探究题，考查了函数问题中函数随自变量变化而变化的关系，解答时注意动点到达临界点前后函数图象的变化．
15．如图，菱形ABCD的边长是4厘米，∠B＝60°，动点P以1厘米/秒的速度自A点出发沿AB方向运动，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿BC方向运动至C点停止，同时P点也停止运动若点P，Q同时出发运动了t秒，记△BPQ的面积为S厘米2，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】由题意可得，AP＝t，BP＝4﹣t，BQ＝2t，0≤t≤2，在△BPQ中，∠B＝60°，BQ边上的高＝BP×sin60°＝（4﹣t），所以S＝×2t×（4﹣t）＝（﹣t2+4t）．
【解答】解：由题意可得，AP＝t，BP＝4﹣t，BQ＝2t，
∵BC＝4，
∴0≤t≤2，
在△BPQ中，∠B＝60°，
∴BQ边上的高＝BP×sin60°＝（4﹣t），
∴S＝×2t×（4﹣t）＝（﹣t2+4t），
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握三角形面积的求法，能通过函数解析式确定函数图象是解题的关键．
16．如图，菱形ABCD中，AB＝3，E是BC上一个动点（不与点B、C重合），EF∥AB，交BD于点G，设BE＝x，△GED的面积与菱形ABCD的面积之比为y，则y与x的函数图象大致为（　　）

A． B．
C． D．
【分析】连接BF，求出平行四边形ABEF与平行四边形ABCD的面积关系，再求得△BEF与△BEF的面积关系，进而得△BDE与平行四边形ABCD的面积的关系，再证明△GBE∽△GDF，得出GE：GF，进而得△BEG与△BEF的面积关系，最后得y与x的关系式，根据函数关系式确定函数图象．
【解答】解：连接BF，

∵四边形ABCD是菱形，AB＝3，
∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝AD＝3，
∵EF∥AB，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴AF＝BE＝x，
∴＝，
∵AD∥BC，
∴△GBE∽△GDF，
∴＝，
∴＝，
∵AD∥BC，
∴，
∴S△GED＝S△BED﹣S△BEG＝＝，
∴＝，
即y＝（0＜x＜3），
∵，
∴y＝（0＜x＜3）是开口向下的抛物线，
故选：A．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的性质，三角形的面积，二次函数的图象与性质，关键是理清各个图形之间的面积关系．
17．如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为入口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB＝CG＝EF；弯道为以点O为圆心的一段弧，且所对的圆心角均为90°．甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以8m/s的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系如图2所示结合题目信息，下列说法错误的是（　　）

A．立交桥总长为168 m
B．从F口出比从G口出多行驶48m
C．甲车在立交桥上共行驶11 s
D．甲车从F口出，乙车从G口出
【分析】根据题意、结合图象问题可得．
【解答】解：由图象可知，两车通过，，弧时每段所用时间均为3s，通过直行道AB，CG，EF时，每段用时为4s．
因此，甲车所用时间为4+3+4＝11s，故C正确；
根据两车运行路线，从F口驶出比从G口多走，弧长之和，用时为6s，则走48m，故B正确；
根据两车运行时间，可知甲先驶出，应从G口驶出，故D错误；
根据题意立交桥总长为（3×3+4×3）×8＝168m，过A正确；
故选：D．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解答时要注意数形结合．
18．如图所示，MN是半圆O的直径，MP与半圆O相切于M，R是半圆上一动点，RE⊥MP于E，连接MR．设MR＝x，MR﹣RE＝y，则下列函数图象能反映y与x之间关系的是（　　）

A．
B．
C．
D．
【分析】设圆的半径为R，连接RN，求得sin∠MNR的值，再由切线的性质得∠RME＝∠RMN，进而求得RE，最后由MR﹣RE＝y，得解析式便可．
【解答】解：设圆的半径为R，连接RN，

则sin∠MNR＝＝，
∵PM是圆的切线，则∠RME＝∠RMN，
则RE＝MRsin∠RMN＝x×＝x2，
则y＝RM﹣RE＝﹣x2+x，
∴图象为过原点且开口向下的抛物线，
故选：D．
【点评】本题考查的动点的函数图象，涉及到解直角三角形、圆的切线的性质、二次函数基本性质等，关键是找出相应线段的数量关系，列出函数表达式．
19．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，直线l垂直于AB，从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，与AB交于点M，与AC﹣CB交于点N．当直线l经过点B时停止运动，若运动过程中△AMN的面积是y（cm2），直线l的运动时间是x（s），则y与x之间函数关系的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】用面积公式，分段求出△AMN的面积即可求解．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于D，
∵AC2+BC2＝64+36＝100＝AB2，
故△ABC为直角三角形，
sin∠CAB＝，则cos∠CAB＝，tan∠CAB＝，
故CD＝ACsin∠CAB＝8×＝4.8，同理AD＝6.4，
（1）当0≤x≤6.4，如图1，

∵tan∠CAB＝＝，即MN＝x，
y＝×AM•MN＝x×x＝x2，该函数为开口向上的抛物线，且对称轴为y轴，位于y轴的右侧抛物线的一部分；
（2）当6.4＜x≤10时，如图2，

同理：MN＝（10﹣x），
y＝x×（10﹣x）＝﹣（x﹣5）2+，该函数为开口向下的抛物线的一部分，对称轴为x＝5，
故选：B．
【点评】本题考查的是动点图象问题，涉及到解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
20．如图，等腰Rt△ABC中，AB＝AC＝2cm，动点Q从点C出发沿C→A→B路径以1cm/s的速度运动，设点Q运动时间为t（s），△BCQ的面积为S，则S关于t的函数图象大致为（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据题意，得CQ＝t，等腰Rt△ABC中，AB＝AC＝2cm，得∠C＝45°，BC＝2，过点Q作QD⊥BC于点D，分两种情况讨论即可求出S关于t的函数，进而即可判断．
【解答】解：如图，

根据题意，得
CQ＝t，
∵等腰Rt△ABC中，AB＝AC＝2cm，
∴∠C＝45°，BC＝2，
过点Q作QD⊥BC于点D，
当0＜t≤2时，
则QD＝t，
∴S＝BC•QD＝2×t＝t，
当2＜t＜4时，
QD＝（4﹣t），
∴S＝2×（4﹣t）＝4﹣t．
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是利用分段函数分类讨论．
21．如图，在边长为2一个内角为60°的菱形ABCD中，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿AD→DC的路径运动，到点C停止，过点P作PQ⊥BD，PQ与边AD（或边CD）交于点Q，△ABQ的面积y（cm2）与点P的运动时间x（秒）的函数图象大致是（　　）

A．
B．
C．
D．
【分析】根据动点P的运动过程分两种情况说明：①PQ与边CD交于点Q时，过点D作DE⊥AB于点E，根据在边长为2一个内角为60°的菱形ABCD中，即可求当0≤x≤2时，y＝；②当PQ与边AD交于点Q时，过点Q作QE⊥AB于点E，即可求当2＜x≤4时，y＝﹣x+4，进而可判断，△ABQ的面积y（cm2）与点P的运动时间x（秒）的函数图象．
【解答】解：①PQ与边CD交于点Q时，
如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∴∠DEA＝90°，

在边长为2一个内角为60°的菱形ABCD中，
AD＝DC＝2，∠DAB＝60°，
∴AE＝1，DE＝＝，
∴S△ABQ＝AB•DE＝2×＝，
即当0≤x≤2时，y＝．
该函数图象是平行于x轴的一段线段；
②当PQ与边AD交于点Q时，如图，

过点Q作QE⊥AB于点E，
∴∠QEA＝90°，
∵PQ⊥BD，
∴∠DFP＝∠DFQ＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ADC，
∴∠CDB＝∠ADB，
DF＝DF，
∴△DFP≌△DFQ（ASA），
∴DP＝DQ，
∵AD＝DC＝2，
∴AQ＝PC＝4﹣x，
∴在Rt△AQE中，∠QAE＝60°，
∴QE＝AQ＝（4﹣x），
∴S△ABQ＝AB•QE＝2×（4﹣x）＝﹣x+4
即当2＜x≤4时，y＝﹣x+4，
该函数图象是y随x的增大而减小的一段线段．
所以△ABQ的面积y（cm2）与点P的运动时间x（秒）的函数图象大致是选项C．
故选：C．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是根据动点的运动过程分两种情况画图说明．
22．如图，已知△ABC和△DEF均为等腰直角三角形，AB＝2，DE＝1，E、B、F、C在同一条直线上，开始时点B与点F重合，让△DEF沿直线BC向右移动，最后点C与点E重合，设两三角形重合面积为y，点F移动的距离为x，则y关于x的大致图象是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】要找出准确反映y与x之间对应关系的图象，需分析在不同阶段中y随x变化的情况，根据题意可得在△DEF移动的过程中，阴影部分总为等腰直角三角形，据此根据重合部分的面积的不同分情况讨论求解．
【解答】解：根据题意，得
△DEF移动的过程中，阴影部分总为等腰直角三角形，
当0≤x≤1时，重合部分的直角边长为x，
则y＝•x•x＝x2；
当1＜x＜2时，重合部分的直角边长为1，
则y＝＝；
当2≤x≤3时，重合部分的直角边长为1﹣（x﹣2）＝3﹣x，
则y＝（3﹣x）2＝x2﹣3x+4.5．
由以上分析可知：这个分段函数的图象左边为开口向上的抛物线一部分，
中间为直线的一部分，右边为开口向上的抛物线一部分．
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是要找出准确反映y与x之间对应关系的图象．
23．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝3cm，动点P从A点出发以1cm/秒向终点B运动，动点Q同时从A点出发以2cm/秒按A→D→C→B的方向在边AD，DC，CB上运动，设运动时间为x（秒），那么△APQ的面积y（cm2）随着时间x（秒）变化的函数图象大致为（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据题意分三种情况讨论△APQ面积的变化，进而得出△APQ的面积y（cm2）随着时间x（秒）变化的函数图象大致情况．
【解答】解：根据题意可知：
AP＝x，AQ＝2x，
①当点Q在AD上运动时，
y＝•AP•AQ＝x•2x＝x2，
为开口向上的二次函数；
②当点Q在DC上运动时，
y＝AP•DA＝x×3＝x，
为一次函数；
③当点Q在BC上运动时，
y＝•AP•BQ＝•x•（12﹣2x）＝﹣x2+6x，
为开口向下的二次函数．
结合图象可知A选项函数关系图正确．
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是分三种情况讨论三角形APQ的面积变化．
24．如图，等腰直角三角形ABC的腰长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B和A→C的路径向点B、C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBCQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤4）之间的函数关系可用图象表示为（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据题意，得AP＝AQ＝x，AB＝AC＝4，进而表示出y＝S△ABC﹣S△APQ＝﹣x2+8，再根据x的取值范围即可判断．
【解答】解：根据题意，得
AP＝AQ＝x，AB＝AC＝4，
y＝S△ABC﹣S△APQ
＝4×4﹣x2
＝﹣x2+8，
∴此函数图象是开口向下的抛物线，
与y轴交点坐标为（0，8）
∵0≤x≤4，
所以符合题意的图象为C．
故选：C．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是根据动点运动过程表示出函数关系式．
25．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，直角边AC长与正方形MNPQ的边长均为2cm，CA与MN在直线l上．开始时A点与M点重合；让△ABC向右平移；直到C点与N点重合时为止．设△ABC与正方形MNPQ重叠部分（图中阴影部分）的面积为ycm2，MA的长度为xcm，则y与x之间的函数关系大致是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据动点的运动过程确定每段阴影部分与x的关系类型，根据函数的性质确定选项．
【解答】解：当x≤2cm时，重合部分是边长为x的等腰直角三角形，
面积为：y＝x2，
是一个开口向上的二次函数；
当x＞2时，
重合部分是直角梯形，
面积为：y＝2﹣（x﹣2）2，
是一个开口向下的二次函数．
故选：C．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是确定每段阴影部分与x的关系类型，根据函数的性质确定选项．
26．如图，点P从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，选项图是点P运动时，△PBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据点P在AD边上运动时，△PBC的面积保持不变，当点P在BD边上运动时，过点P作PE⊥BC于点E，可得S△PBC＝•PE，根据BC的长不变，PE的长随着时间x增大而减小，即可得到面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象．
【解答】解：如图，

当点P在AD边上运动时，
△PBC的面积保持不变，
当点P在BD边上运动时，
过点P作PE⊥BC于点E，
所以S△PBC＝•PE
因为BC的长不变，
PE的长随着时间x增大而减小，
所以y的值随x的增大而减小．
所以符合条件的图象为A．
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是观察动点的运动过程得到△PBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化情况．
27．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝10，一个三角形的直角顶点E是边AB上的一动点，一直角边过点D，另一直角边与BC交于F，若AE＝x，BF＝y，则y关于x的函数关系的图象大致为（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据△DEF为直角三角形，运用勾股定理列出y与x之间的函数关系式即可判断．
【解答】解：如图，连接DF，

设AE＝x，BF＝y，
则DE2＝62+x2，
EF2＝（10﹣x）2+y2，
DF2＝（6﹣y）2+102；
∵△DEF为直角三角形，
∴DE2+EF2＝DF2，
即62+x2+（10﹣x）2+y2＝（6﹣y）2+102，
解得y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣5）2+，
根据函数关系式可看出A中的函数图象与之对应．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是函数的关系式，矩形的性质，动点函数的图象，勾股定理的有关知识，由于直角边DE始终经过点D，△DEF为直角三角形，运用勾股定理列出y与x之间的函数关系式即可．
28．如图，正方形ABCD的边长为2，点P和点Q分别从点B和点C出发，沿射线BC向右运动，且速度相同，过点Q作QH⊥BD，垂足为H，连接PH，设点P运动的距离为x（0＜x≤2），△BPH的面积为S，则能反映S与x之间的函数关系的图象大致为（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据正方形的性质得到∠DBC＝45°，由题意得出△BHQ是等腰直角三角形；过点H作△BHQ的高，同时也是△BPH的高；再根据三角形的面积公式可以得出BQ•HE＝BH•HQ，从而求出HE，也就能求出△BPH的面积了．
【解答】解：过点H作HE⊥BC，垂足为E．

∵BD是正方形的对角线
∴∠DBC＝45°
∵QH⊥BD
∴△BHQ是等腰直角三角形．
∵BQ•HE＝BH•HQ
∴HE＝
∴△BPH的面积S＝BP•HE＝x＝
∴S与x之间的函数关系是二次函数，且二次函数图象开口方向向上；
因此，选项中只有A选项符合条件．
故选：A．
【点评】此题综合性较强，涉及二次函数、等腰三角形、勾股定理等知识，是近年来较为流行的试题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难．
29．如图等边△ABC的边长为4cm，点P，点Q同时从点A出发点，Q沿AC以1cm/s的速度向点C运动，点P沿A﹣B﹣C以2cm/s的速度也向点C运动，直到到达点C时停止运动，若△APQ的面积为S（cm2），点Q的运动时间为t（s），则下列最能反映S与t之间大致图象是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】当点P在AB边运动时，S＝AQ×APsinA，图象为开口向上的抛物线，当点P在BC边运动时，如下图，S＝×AQ×PCsinC，即可求解．
【解答】解：当点P在AB边运动时，S＝AQ×APsinA＝×2t×t×＝t2，图象为开口向上的抛物线，
当点P在BC边运动时，如下图，S＝×AQ×PCsinC＝×2t×（8﹣2t）×＝t（4﹣t），

图象为开口向下的抛物线；
故选：C．
【点评】本题是运动型综合题，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
30．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，BE＝1，动点P从点A出发，沿路径A→D→C→E运动，则△APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据题意找到点P到达D、C前后的一般情况，列出函数关系式即可．
【解答】解：由题意可知
当0≤x≤3时，y＝
当3≤x≤5时，y＝2×3﹣＝
当5≤x≤7时，y＝＝7﹣x
根据函数解析式，可知B正确
故选：B．
【点评】本题为动点问题的函数图象探究题，考查列函数关系式以及函数图象性质，解答关键是确定动点到达临界点前后的图形变化规律．