专题08 反比例面积问题-中考一轮复习之热点题型练习（全国通用）

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专题08 【反比例面积问题】
知识点
图1 图2
1、反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线，所得的矩形面积为，如图1，矩形OCAD、OEBF的面积均为；
2、反比例函数图象上任意两点与原点所构成的三角形的面积与这两点向x轴或y轴作垂线所形成的梯形的面积相等，如图2，三角形OAB的面积等于直角梯形ADFB的面积；
【命题一】k的几何意义简单应用
1．如图，A、B是反比例函数y＝的图象上关于原点O对称的任意两点，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC，则△ABC的面积为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据反比例函数的性质可知△AOC的面积为1，由于对称性可知：△AOC与△BOC的面积相等，从而可求出答案．
【解答】解：由题意可知：△AOC的面积为1，
∵A、B关于原点O对称，
∴△AOC与△BOC的面积相等，
∴S△ABC＝2S△AOC＝2，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数，解题的关键是熟练运用反比例函数的性质，本题属于基础题型．
2．如图，直线x＝t（t＞0）与反比例函数y＝（x＞0）、y＝（x＞0）的图象分别交于B、C两点，A为y轴上任意一点，△ABC的面积为3，则k的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据点B、C的横坐标，代入反比例函数的解析式求出纵坐标，表示出BC的长，根据三角形面积公式求出k的值．
【解答】解：由题意得，点C的坐标（t，﹣），
点B的坐标（t，），
BC＝+，
则（+）×t＝3，
解得k＝5，
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，利用函数解析式表示出点的横纵坐标的关系是解题的关键．
3．如图，直线y＝kx（k＞0）与双曲线y＝交于A，B两点，BC⊥x轴于C，连接AC交y轴于D，下列结论：①A、B关于原点对称；②△ABC的面积为定值；③D是AC的中点；④S△AOD＝．其中正确结论的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据反比例函数的对称性、函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝|k|及三角形中位线的判定作答．
【解答】解：①反比例函数与正比例函数若有交点，一定是两个，且关于原点对称，所以正确；
②根据A、B关于原点对称，S△ABC为即A点横纵坐标的乘积，为定值1，所以正确；
③因为AO＝BO，OD∥BC，所以OD为△ABC的中位线，即D是AC中点，所以正确；
④在△ADO中，因为AD和y轴并不垂直，所以面积不等于k的一半，即不会等于，所以错误．
因此正确的是：①②③，
故选：C．
【点评】此题主要考查了反比例函数中比例系数k的几何意义，难易程度适中．
4．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A在x轴负半轴上，OC是△OAB的中线，点B、C在反比例函数的图象上，若△OAB的面积等于6，则k的值为　﹣4　．

【分析】设A的坐标是（a，0），设B的坐标是（m，n）．则mn＝k，C的坐标是（，），然后根据C在反比例函数上，则•＝k，再根据三角形的面积公式可得an＝12，据此即可求解．
【解答】解：设A的坐标是（a，0），设B的坐标是（m，n）．则mn＝k．
∵C是AB的中点，
∴C的坐标是（，）．
∵C在反比例函数上，
∴•＝k，即（m+a）n＝4k，mn+an＝4k．
∵△OAB的面积是6，
∴﹣an＝6，即an＝﹣12，
∴k﹣12＝4k，
解得k＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，求反比例函数的解析式，正确设出未知数是关键．
5．如图，是反比例函数y＝和y＝﹣在x轴上方的图象，x轴的平行线AB分别与这两个函数图象相交于点A．B，则△AOB的面积是（　　）

A．5 B．4 C．10 D．20
【分析】利用反比例函数的比例系数的几何意义直接写出答案即可．
【解答】解：∵x轴的平行线AB分别与这两个函数图象相交于点A．B，
∴AB⊥y轴，
∵点A、B在反比例函数y＝和y＝﹣在x轴上方的图象上，
∴S△AOB＝S△COB+S△AOC＝（3+7）＝5，
故选：A．
【点评】考查了反比例函数的知识，解题的关键是了解三角形的面积等于|k|的一半，难度不大．
6．如图，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点（﹣，4），点A为图象上任意一点，点B在x轴负半轴上，连接AO，AB，当AB＝OA时，△AOB的面积为（　　）

A．1 B．2 C．4 D．无法确定
【分析】根据待定系数法求得k的值，然后过A点作AC⊥OB于C，根据根据反比例函数系数k的几何意义可求得△ACO的面积为1，等腰三角形的性质可求△AOB的面积．
【解答】解：∵反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点（﹣，4），
∴k＝﹣×4＝﹣2，
过A点作AC⊥OB于C，
∴△ACO的面积为×2＝1，
∵AO＝AB，
∴OC＝OB，
∴S△AOB＝2S△AOC＝2，
故选：B．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式；也考查了反比例函数的性质，等腰三角形的性质、以及三角形的面积公式．
7．如图直线y＝mx与双曲线交于点A、B，过A作AM⊥x轴于M点，连接BM，若S△AMB＝2，则k的值是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】此题可根据反比例函数图象的对称性得到A、B两点关于原点对称，再由S△ABM＝2S△AOM并结合反比例函数系数k的几何意义得到k的值．
【解答】解：由题意得：S△ABM＝2S△AOM＝2，S△AOM＝|k|＝1，
则k＝±2．又由于反比例函数图象位于一三象限，k＞0，所以k＝2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．
8．如图，点A，B分别在函数y＝（k1＞0）与y＝（k2＜0）的图象上，线段AB的中点M在y轴上．若△AOB的面积为2，则k1﹣k2的值是　4　．

【分析】设A（a，b），B（﹣a，d），代入双曲线得到k1＝ab，k2＝﹣ad，根据三角形的面积公式求出ab+ad＝4，即可得出答案．
【解答】解：作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，
∴AC∥BD∥y轴，
∵M是AB的中点，
∴OC＝OD，
设A（a，b），B（﹣a，d），
代入得：k1＝ab，k2＝﹣ad，
∵S△AOB＝2，
∴（b+d）•2a﹣ab﹣ad＝2，
∴ab+ad＝4，
∴k1﹣k2＝4，
故选：4．

【点评】本题主要考查对反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出ab+ad＝4，4是解此题的关键．
9．已知反比例函数y＝和y＝在第一象限内的图象如图所示，则△AMN的面积为
　　．

【分析】设A（a，），则M（a，），N（，），进而得出AN＝a﹣＝，AM＝﹣＝，再根据△AMN的面积＝AN×AM进行计算即可．
【解答】解：设A（a，），则M（a，），N（，），
∴AN＝a﹣＝，AM＝﹣＝，
∴△AMN的面积＝AN×AM＝××＝，
故答案为：．

【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题时注意：在反比例函数y＝图象上任一点的横坐标与纵坐标的乘积等于k．
10．如图，P是反比例函数y＝图象上的一点，PA⊥y轴于点A，点B为x轴上任一点，连接AB、PB，若△APB的面积为4，则k的值是　﹣8　．

【分析】设P（m，n），根据题意用m、n的代数式表示AP和OA，进而根据已知三角形的面积，求得ab，进而用待定系数法求得k．
【解答】解：设P（m，n），
∵PA⊥y轴于点A，
∴A（0，n），
∴OA＝﹣n，AP＝m，
∵点B为x轴上任一点，
∴点B到AP的距离＝OA＝﹣n，
∵△APB的面积为4，
∴m（﹣n）＝4，
∴mn＝﹣8，
∵P是反比例函数y＝图象上的一点，
∴k＝mn＝﹣8，
故答案为：﹣8．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，关键是用P点的横纵坐标字母表示已知三角形的底和高，便于与反比例函数的比例系数联系起来．
【命题二】反比例函数设坐标求解
11．如图，在平面直角坐标系中，△ABO的边AB平行于y轴，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA中点C和点B，且△OAB的面积为6，则k＝　4　．

【分析】如图，延长AB交x轴于D，根据反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，设B（x，），则OD＝x，根据△OAB的面积为6，列等式可表示AB的长，表示点A的坐标，根据线段中点坐标公式可得C的坐标，从而得出结论．
【解答】解：如图，延长AB交x轴于D，

∵AB∥y轴，
∴AD⊥x轴，
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA中点C和点B，
∴设B（x，），则OD＝x，
∵△OAB的面积为6，
∴，即，
∴AB＝，
∴A（x，），
∵C是OA的中点，
∴C（，），
∴k＝，
∴k＝4，
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了反比例函数上点的坐标特征，线段的中点坐标公式，三角形面积公式，解本题的关键是设未知数建立方程解决问题．
12．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为4，1，反比例函数y＝的图象经过A，B两点，菱形ABCD的面积为9，则k的值为　4　．

【分析】由菱形ABCD的面积求出菱形的边长，进而求出BE＝3，设点A（m，4），则点B（m+3，1），将点A、B的坐标代入反比例函数表达式，即可求解．
【解答】解：过点A作BC的垂线交CB的延长线于点E，

菱形ABCD的面积为＝AE×BC＝9，
即（4﹣1）×BC＝9，则BC＝3＝AB，
在Rt△ABE中，AE＝3，AB＝3，则BE＝3，
设点A（m，4），则点B（m+3，1），
将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：k＝4m＝m+3，
解得：m＝1，k＝4，
故答案为4．
【点评】本题考查反比例系数k的几何意义，通过菱形面积计算菱形的边长是解题的关键．
13．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的对角线交于点D，双曲线y＝（x＞0）经过C、D两点，双曲线y＝（x＞0）经过点B，则平行四边形OABC的面积为　6　．

【分析】根据平行四边形的性质得到OD＝BD，设B的坐标是（2m，），得到D的坐标是（m，），C的纵坐标是，求得k＝m×＝2，把y＝代入y＝得到C的横坐标是，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵平行四边形OABC的对角线交于点D，
∴OD＝BD，
设B的坐标是（2m，），
∴D的坐标是（m，），C的纵坐标是，
∴k＝m×＝2，
把y＝代入y＝得：x＝，即C的横坐标是：，
∵BC＝OA，
∴平行四边形OABC的面积＝BC×点C的纵坐标＝（2m﹣）×＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了平形四边形的性质，反比例函数系数k的几何意义，根据D点的坐标表示出BC的长度是解题的关键．
14．如图，已知双曲线y＝（x＞0）经过矩形OABC的边AB、BC上的点F、E，其中CE＝CB，AF＝AB，且四边形OEBF的面积为6，则k的值为　3　．

【分析】根据反比例函数的k几何意义，得出S△COE＝S△OAF＝|k|，再根据矩形的性质及CE＝CB，AF＝AB，可求出S△COE，进而求出k的值．
【解答】解：连接OB，
∵OABC是矩形，
∴S△OAB＝S△OBC＝S矩形OABC，
∵E、F在反比例函数的图象上，
∴S△COE＝S△OAF＝|k|，
∵∴S△OBE＝S△OBF＝S四边形OEBF＝3，
∵CE＝CB，即，BE＝2CE，
∴S△OCE＝S△OBE＝×3＝|k|，
∴k＝3（k＞0）
故答案为：3．

【点评】考查反比例函数图象和性质，反比例函数k的几何意义以及矩形的性质，掌握三角形面积之间的关系是解决问题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，菱形OABC的对角线OB在x轴上，顶点A在反比例函数的图象上，则菱形的面积为　6　．

【分析】连接AC交OB于D，由菱形的性质可知AC⊥OB．根据反比例函数y＝中k的几何意义，得出△AOD的面积＝，从而求出菱形OABC的面积＝△AOD的面积的4倍．
【解答】解：如图，连接AC交OB于D．
∵四边形OABC是菱形，
∴AC⊥OB．
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴△AOD的面积＝×3＝，
∴菱形OABC的面积＝4×△AOD的面积＝6．
故答案为6．

【点评】本题主要考查菱形的性质及反比例函数的比例系数k的几何意义．反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S＝|k|．
16．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为4，2，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为2，则k的值为　4　．

【分析】过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，根据A，B两点的纵坐标分别为4，2，可得出横坐标，即可求得AE，BE的长，根据菱形的面积为2，求得AE的长，在Rt△AEB中，即可得出k的值．
【解答】解：过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，
∵A，B两点在反比例函数y＝（x＞0）的图象，且纵坐标分别为4，2，
∴A（，4），B（，2），
∴AE＝2，BE＝k﹣k＝k，
∵菱形ABCD的面积为2，
∴BC×AE＝2，即BC＝，
∴AB＝BC＝，
在Rt△AEB中，BE＝＝＝1，
∴k＝1，
∴k＝4．
故答案为4．

【点评】本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的面积公式是解题的关键．
17．如图，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形且面积为4，点A，D在轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B，E在反比例函数y＝的图象上，则点B的坐标为　（1，6）　．

【分析】根据正方形的面积为4，可以得出正方形的边长为2，从而知道点E的纵坐标为2，代入求得点E的纵坐标为3，进而求得OA＝1，即点B的横坐标，再代入求纵坐标即可．
【解答】解：∵正方形ADEF的面积为4，
∴AD＝DE＝EF＝FA＝2，
把y＝2代入y＝得：x＝3，
∴E（3，2），
OA＝OD﹣AD＝3﹣2＝1，
把x＝1代入y＝得：y＝6，
∴B（1，6），
故答案为：（1，6）

【点评】考查反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质等知识，点的坐标与相应的线段长之间的转化，是解决问题的关键．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点 E．若点B（6，3），四边形ODBE的面积为12，则k的值为　6　．

【分析】根据点B的坐标求得解析式OABC的面积，根据S四边形ODBE＝S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE＝12即可求出反比例函数的比例系数．
【解答】解：∵四边形OCBA是矩形，B（6，3），
∴S矩形OCBA＝6×3＝18，
∵S四边形ODBE＝S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE＝12．
∴18﹣|k|﹣|k|＝12，
∴|k|＝6，
∵在第一象限，
∴k＝6．
故答案为6．
【点评】此题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数比例系数k的几何意义，根据S四边形ODBE＝S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE＝12列出方程是解题的关键．
19．如图，正方形OABC的边长为6，A，C分别位于x轴、y轴上，点P在AB上，CP交OB于点Q，函数y＝的图象经过点Q，若S△BPQ＝S△OQC，则k的值为　16　．

【分析】根据正方形的性质可得出OC∥AB，从而得出△BPQ∽△OQC，再根据S△BPQ＝S△OQC，即可得出点P的坐标，利用待定系数法求出直线OB、CP的解析式，联立两个解析式求出交点坐标后再由反比例函数图象上点的坐标特征即可得出结论．
【解答】解：∵四边形OABC为正方形，
∴OC∥AB，
∴△BPQ∽△OQC，
∵S△BPQ＝S△OQC，
∴BP＝AB．
∵正方形OABC的边长为6，
∴点C（0，6），B（6，6），P（6，3），
利用待定系数法可求出：
直线OB的解析式为y＝x，直线CP的解析式为y＝﹣x+6，
联立OB、CP的解析式得：，
解得：，
∴Q（4，4）．
∵函数y＝的图象经过点Q，
∴k＝4×4＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了正方形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的性质，解题的关键是求出点Q的坐标．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
20．如图，反比例函数y＝﹣的图象经过▱ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥CD，则▱ABCD的面积是　6　．

【分析】应用反比例函数系数k的意义可得出矩形PDOE面积，依据▱ABCD对角线性质可知矩形BDOA的面积，然后转化为▱ABCD的面积即可．
【解答】解：如图，过点P作PE⊥y轴于点E．
∴S矩形PEOD＝xy＝|k|＝|﹣3|＝3
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，
∵四边形ABDO为矩形，
∴AB＝DO，
S▱ABCD＝S矩形ABDO，
∵P为▱ABCD对角线的交点，
∴BP＝PD，
∴S矩形ABDO＝2S矩形PEOD＝2×3＝6，
S▱ABCD＝6．
故答案为6．

【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义以及平行四边形的性质，理解等底等高的平行四边形与矩形面积相等是解题的关键．