专题12 三角函数的应用-中考一轮复习之热点题型练习（全国通用）

专题12 【三角函数的应用】

知识点

（1）坡比：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．

（2）仰角：是向上看的视线与水平线的夹角；俯角：是向下看的视线与水平线的夹角

（3）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．

     在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时需要用平行或互余等知识转化为所需要的角

（4）解直角三角形的一般过程是：

①将实际问题抽象为数学问题（构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．

②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形。

【命题一】重叠式三角形的三角函数问题

1．如图1，永祚寺双塔，又名凌霄双塔，是山西省会太原现存古建筑中最高的建筑位于太原市城区东南向山脚畔．数学活动小组的同学对其中一塔进行了测量．测量方法如下：如图2，在地面上选取两点和，且点，及其中一塔在同一平面内，塔底部与点，在同一条直线上，测得，在，两处分别放置学生制作的高为的测倾仪，在，两处测得塔顶的仰角分别为和．

（1）请写出数学小组的同学带的测量工具至少有什么？

（2）根据测量小组提供的数据，求该塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，．

2．如图，学校一幢教学楼的顶部竖有一块写有“校训”的宣传牌，已知米，小宏在点测得点的仰角为，再向教学楼前进9米到达点，测得点的仰角为，若测倾器的高米，不考虑其它因素，求教学楼的高度．（结果保留根号）．

3．为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）的山坡上发现有一棵古树．测得古树底端到山脚点的距离米，在距山脚点水平距离6米的点处，测得古树顶端的仰角（古树与山坡的剖面、点在同一平面上，古树与直线垂直），则古树的高度约为多少米？（参考数据：，，

【命题二】重叠式三角形+矩形的三角函数

4．如图，在教室前面墙壁处安装了一个摄像头，当恰好观测到后面墙壁与底面交接处点时，摄像头俯角约为，受安装支架限制，摄像头观测的俯角最大约为，已知摄像头安装点高度约为2.7米，摄像头与安装的墙壁之间距离忽略不计．

（1）求教室的长（教室前后墙壁之间的距离的值）；

（2）若第一排桌子前边缘与前面墙壁的距离为1.2米，桌子的高度为0.8米，那么第一排桌子是否在监控范围内？如果不在，应该怎样移动？，，，精确到0.1米）

5．某学校有一栋教学楼，小明（身高忽略不计）在教学楼一侧的斜坡底端处测得教学楼顶端的仰角为，他沿着斜坡向上行走到达斜坡顶端处，又测得教学楼顶端的仰角为．已知斜坡的坡角为，坡面长度，求楼房的高度．，结果保留整数）

【命题三】背靠背式三角形的三角函数问题

6．如图，航拍无人机从点处测得一幢建筑物顶部的仰角为，测得底部的俯角为，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离为54米，求该建筑物的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，

7．小明想测量楼房的高度，他从楼底的处沿着斜坡向上行走，到达坡顶处．已知斜坡的坡角为．（以下计算结果精确到

（1）求小明此时与地面的垂直距离的值；

（2）小明的身高是，他站在坡顶看楼顶处的仰角为，求楼房的高度．，，

8．如图，、两个小岛相距，一架直升飞机由岛飞往岛，其飞行高度一直保持在海平面以上的，当直升机飞到处时，由处测得岛和岛的俯角分别是和，已知、、和海平面上一点都在同一个平面上，且位于的正下方，求（结果取整数，

【命题四】背靠背式三角形+矩形的三角函数

9．如图，一架无人机在点处悬停，从地面处观察无人机的仰角是，从楼顶处观察无人机的仰角是．已知、、在同一平面内，，楼高，求无人机的高度．（参考数据：

，，

10．某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的处，无人机测得操控者的俯角为，测得点处的俯角为．又经过人工测量操控者和教学楼距离为57米，求教学楼的高度．（注：点，，，都在同一平面上．参考数据：，，

11．如图，我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图2中的线段就是悬挂在墙壁上的某块匾额的截面示意图，已知米，．从水平地面点处看点，仰角，从点处看点，仰角．且米，求匾额悬挂的高度的长．（参考数据：，，

【命题五】多边形构造直角三角形解决三角函数问题

12．如图，小明想测量楼的高度，他先从楼的底端地以2米每秒的速度走了100米到达坡度为的山坡的底端处，又以1米每秒的速度爬到了山坡的顶端处，从到整个过程总共用了3分钟，在处测得楼的顶端的仰角为30度，则楼的高度是多少？（结果保留整数，

13．如图，电线杆直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面和地面上，若与地面成，，，，则电线杆的长为多少米？

14．如图是在写字台上放置一本数学书和一个折叠式台灯时的截面示意图，已知数学书长，台灯上半节长，下半节长．当台灯灯泡恰好在数学书的中点的正上方时，台灯上、下半节的夹角即，下半节与写字台的夹角即，求的长．（书的厚度和台灯底座的宽度、高度都忽略不计，，，，，，在同一条直线上，参考数据：，；，，结果精确到

15．如图是某路灯在铅锤面内的示意图，灯柱的高为15.25米，灯杆与灯柱的夹角，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域长为22米，从、两处测得路灯的仰角分别为和，且，，求灯杆的长度．

【命题六】与圆有关的三角函数问题

16．投石机是古代的大型攻城武器，是数学、工程、物理等复杂学科相互融合的应用（如图（1）．在我国《元史亦思马因传》中对这种投石机就有过记载（如图（2）．

图（1）中人工投石机的侧面示意图，炮架的横向支架均与地面相互平行，已知米，炮轴距地面4.5米，，炮梢顶端点能到达水平地面，最高点能到达点处，且旋转的夹角（点，，，在同一平面内），求点到水平地面的距离（参考数据：，，，，，

17．小明想利用所学知识测量一公园门前热气球直径的大小，如图，当热气球升到某一位置时，小明在点处测得热气球底部点、中部点的仰角分别为和，已知点为热气球中心，，，，点在上，，且点、、、、在同一平面内，根据以上提供的信息，求热气球的直径约为多少米？（精确到

（参考数据：，，

18．机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图所示，“海宝”从圆心出发，先沿北偏西方向行走13米至点处，再沿正南方向行走14米至点处，最后沿正东方向行走至点处，点、都在圆上．（本题参考数据：，，

（1）求弦的长；

（2）请判断点和圆的位置关系，试说明理由．

19．小明家的门框上装有一把防盗门锁（如图，其平面结构图如图2所示，锁身可以看成由两条等弧，和矩形组成的，的圆心是倒锁按钮点．已知的弓形高，，．当锁柄绕着点顺时针旋转至位置时，门锁打开，此时直线与所在的圆相切，且，．

（1）求所在圆的半径；

（2）求线段的长度．，结果精确到

20．有一只拉杆式旅行箱（图，其侧面示意图如图2所示，已知箱体长，拉杆的伸长距离最大时可达，点，，在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚筒轮，与水平地面相切于点，在拉杆伸长到最大的情况下，当点距离水平地面时，点到水平地面的距离为．设．

（1）求的半径．

（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感到较为舒服，某人将手自然下垂在端拉旅行箱时，为，，求此时拉杆的伸长距离（结果精确到，参考数据：，，．

【命题七】三角函数的实际问题

21．如图1是一款可调节儿童书桌椅，图2是它的示意图，座位宽度为，其竖直高度为，为桌面板的中点，某儿童坐在座位上眼睛距离水平地面的高度为．研究表明：当桌面板与竖直方向夹角，视线与桌面板所呈锐角时最舒适，问此时高度应调节为多少？（参考数据：，，，，，，结果精确到

22．图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点逆时针方向旋转，当旋转角为时，箱盖落在的位置（如图2所示）．已知厘米，厘米，厘米．

（1）求点到的距离；

（2）求、两点的距离．

23．如图1为放置在水平桌面上的台灯，底座的高为，长度均为的连杆、与始终在同一平面上．

（1）转动连杆，，使成平角，，如图2，求连杆端点离桌面的高度．

（2）将（1）中的连杆再绕点逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当时台灯光线最佳．求此时连杆端点离桌面的高度比原来降低了多少厘米？

24．图1是某浴室花洒实景图，图2是该花洒的侧面示意图．已知活动调节点可以上下调整高度，离地面的距离．设花洒臂与墙面的夹角为，可以扭动花洒臂调整角度，且花洒臂长．假设水柱垂直直线喷射，小华在离墙面距离处淋浴．

（1）当时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身高．

（2）如果小华要洗脚，需要调整水柱，使点与点重合，调整的方式有两种：

①其他条件不变，只要把活动调节点向下移动即可，移动的距离与小华的身高有什么数量关系？直接写出你的结论；

②活动调节点不动，只要调整的大小，在图3中，试求的度数．

（参考数据：，，，

25．某型号飞机的机翼形状如图所示，已知、、所在直线互相平行且都与所在直线垂直，，，，，，求的长度（参考数据，，，，，．