专题17 圆中角度长度问题-中考一轮复习之热点题型练习（全国通用）

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专题17 【圆中角度长度问题】
知识点
（1） 半径相等，底角相等
（2） 同弧或等弧圆心角等于圆周角的2倍
（3） 圆内接四边形外角等于内对角
（4） 圆内接四边形对角互补
（5） 切线与半径夹角为90°
（6） 直径所对的圆周角为90°
（7） 弧相等，角相等；弦相等，角相等（对应）


【命题一】圆中的角度问题
1．如图，已知⨀O的直径CD⊥弦AB于点E，∠ACD＝25°，则∠ADB的大小为（　　）

A．120° B．130° C．140° D．150°
【分析】先由垂径定理得，再由圆周角定理得∠ADC＝∠BDC，∠DAC＝90°，然后由直角三角形的性质得∠BDC＝∠ADC＝65°，即可得出答案．
【解答】解：如图所示：
∵直径CD⊥弦AB，
∴，
∴∠ADC＝∠BDC，
∵CD是O的直径，
∴∠DAC＝90°，
∴∠BDC＝∠ADC＝90°﹣∠ACD＝90°﹣25°＝65°，
∴∠ADB＝2∠ADC＝130°，
故选：B．

【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
2．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，D为圆周上一点，若的度数为50°，则∠ADC的度数为（　　）

A．20° B．25° C．30° D．50°
【分析】利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到∠BOC＝50°，利用垂径定理得到＝，然后根据圆周角定理计算∠ADC的度数．
【解答】解：∵的度数为50°，
∴∠BOC＝50°，
∵半径OC⊥AB，
∴＝，
∴∠ADC＝∠BOC＝25°．
故选：B．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和圆周角定理．
3．如图，CD是⊙O的直径，⊙O上的两点A，B分别在直径CD的两侧，且∠ABC＝70°，则∠AOD的度数为（　　）

A．20° B．30° C．40° D．50°
【分析】先根据圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系求出和的度数，求出的度数，再求出答案即可．
【解答】解：∵圆周角∠ABC＝70°，CD是⊙O的直径，
∴的度数是180°，的度数是2×70°＝140°，
∴的度数是180°﹣140°＝40°，
∴圆心角∠AOD的度数是40°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能求出的度数是解此题的关键．
4．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，若∠CAB＝25°，则∠ADC的度数为（　　）

A．65° B．55° C．60° D．75°
【分析】由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB＝90°，又由∠CAB＝25°，得出∠B的度数，根据同弧所对的圆周角相等继而求得∠ADC的度数．
【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝25°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝65°，
∴∠ADC＝∠ABC＝65°．
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
5．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（　　）

A．25° B．50° C．65° D．75°
【分析】根据圆周角定理得出∠AOC＝2∠ABC，求出∠AOC＝50°，再根据等腰三角形的性质和进行内角和定理求出即可．
【解答】解：∵根据圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，
∵∠ABC+∠AOC＝75°，
∴∠AOC＝×75°＝50°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝65°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能求出∠AOC＝2∠ABC是解此题的关键．
6．如图，点A、B、C、D在⊙O上，OB∥CD．若∠A＝28°，则∠BOD的大小为（　　）

A．152° B．134° C．124° D．114°
【分析】连接OC，由平行线性质、等腰三角形的性质与圆周角定理证出∠D＝2∠A＝50°，由平行线的性质得出∠BOD+∠D＝180°，即可得出∠BOD的度数．
【解答】解：连接OC，如图所示：
∵OD＝OC，
∴∠D＝∠OCD，
∵OB∥CD，
∴∠BOC＝∠OCD
∴∠BOC＝∠D，
∵∠BOC＝2∠A，∠A＝28°，
∴∠D＝2∠A＝56°，
∵OB∥CD，
∴∠BOD+∠D＝180°，
∴∠BOD＝180°﹣56°＝124°；
故选：C．

【点评】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握圆周角定理和平行线的性质是解题的关键．
7．如图，AD是⊙O的直径，，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】求出∠BOC，利用圆周角定理即可解决问题．
【解答】解：∵＝，
∴∠AOB＝∠COD＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BPC＝∠BOC＝50°，
故选：B．
【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝20°，则∠BAD为（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】连接BD，如图，利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠B＝∠ACD＝20°，然后利用互余计算∠BAD的度数．
【解答】解：连接BD，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝∠ACD＝20°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝70°．
故选：D．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
9．如图，在⊙O中，AB＝AC，若∠ABC＝57.5°，则∠BOC的度数为（　　）

A．132.5° B．130° C．122.5° D．115°
【分析】根据等腰三角形性质求出∠ACB，根据三角形内角和定理求出∠A，根据圆周角定理求出即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝57.5°，
∴∠ACB＝∠ABC＝57.5°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝65°，
∴由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A＝130°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出∠A的度数和根据定理得出∠BOC＝2∠A是解此题的关键．
10．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是的中点，则∠D的度数是（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】连接OB，如图，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠AOB＝∠COB＝∠AOC＝60°，然后根据圆周角定理得到∠D的度数．
【解答】解：连接OB，如图，
∵点B是的中点，
∴∠AOB＝∠AOC＝×120°＝60°，
∴∠D＝∠AOB＝30°．
故选：A．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为劣弧BD的中点，若∠DAB＝40°，则∠ABC的度数是（　　）

A．140° B．40° C．70° D．50°
【分析】连接AC，根据圆周角定理得到∠CAB＝20°，∠ACB＝90°，根据直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：连接AC，
∵点C为劣弧BD的中点，∠DAB＝40°，
∴∠CAB＝∠DAB＝20°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°，
故选：C．

【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的的圆周角是直角是解题的关键．
12．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC＝30°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB的度数为（　　）度．

A．30 B．45 C．50 D．60
【分析】根据已知条件“过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，∠ABC＝30°”、及直角三角形OBE的两个锐角互余求得∠BOE＝60°；然后根据同弧BD所对的圆周角∠DCB是所对的圆心角∠DOB的一半，求得∠DCB的度数．
【解答】解：∵OD⊥BC，∠ABC＝30°，
∴在直角三角形OBE中，
∠BOE＝60°（直角三角形的两个锐角互余），即∠DOB＝60°．
又∵∠DCB＝∠DOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴∠DCB＝30°；
故选：A．

【点评】本题主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系．解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．
13．如图，AB为⊙O的直径，∠BED＝40°，则∠ACD的度数为（　　）

A．90° B．50° C．45° D．80°
【分析】连接AE，由AB为直径，则∠AEB＝90°，可得∠AED＝90°﹣40°＝50°，即可求出∠ACD＝∠AED＝50°．
【解答】解：连接AE，
∵AB为直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AED＝90°﹣40°＝50°，
∴∠ACD＝∠AED＝50°．
故选：B．

【点评】本题考查的是圆周角定理：①直径所对的圆周角为直角；②在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
14．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝25°，则∠BOC的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根据垂径定理，推出，可得∠AOC＝∠BOC，由同弧所对的圆周角等于圆心角的两倍解题即可．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵∠ADC＝25°，
∴∠AOC＝50°，
∴∠BOC＝50°，
故选：C．
【点评】本题考查圆的性质，其中涉及垂径定理、圆周角定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
15．如图，在扇形AOB中，点C、D在上，连接AD、BC交于点E，若∠AOB＝120°，的度数为50°，则∠AEB＝　145　°．

【分析】作所对的圆周角∠APB，连接OC、OD、BD，如图，利用圆周角定理得到∠APB＝60°，再根据圆内接四边形的性质得∠ADB＝120°，接着根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到∠COD＝50°，则
∠CBD＝25°，然后利用三角形外角性质计算∠AEB的度数．
【解答】解：作所对的圆周角∠APB，连接OC、OD、BD，如图，
∵∠APB＝∠AOB＝×120°＝60°，
∴∠ADB＝180°﹣∠APB＝180°﹣60°＝120°，
∵的度数为50°，
∴∠COD＝50°，
∴∠CBD＝∠COD＝25°，
∵∠AEB＝∠EDB+∠EBD，
∴∠AEB＝120°+25°＝145°．
故答案为145．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆心角、弧、弦的关系．
16．如图，AB是⊙O的直径，O为圆心，C是⊙O上的点，D是上的点，若∠D＝120°，则∠BOC的大小为（　　）

A．60° B．55° C．58° D．40°
【分析】利用圆内接四边形对角互补可得∠B的度数，然后再判定△COB是等边三角形，进而可得答案．
【解答】解：∵∠D＝120°，
∴∠B＝60°，
∵CO＝BO，
∴△COB是等边三角形，
∴∠COB＝60°，
故选：A．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握圆内接四边形对角互补．
17．如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD．若∠BOD＝∠BCD，则的度数为（　　）

A．60° B．90° C．120° D．150°
【分析】由圆内接四边形的性质和圆周角定理求出∠A＝60°，得出∠BOD＝120°即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠A＝180°，
∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠BCD，
∴2∠A+∠A＝180°，
解得：∠A＝60°，
∴∠BOD＝120°，
∴的度数为120°
故选：C．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理，求出∠BOD＝120°是解决问题的关键．
18．如图，已知AB是半圆O的直径，∠DAC＝27°，D是弧AC的中点，那么∠BAC的度数是（　　）

A．46° B．36° C．29° D．32°
【分析】首先连接BC，由∠DAC＝27°，D是弧AC的中点，可得AD＝CD，可求得∠ACD的度数，继而求得∠D的度数，又由圆的内接四边形的性质，可求得∠B的度数，由AB是半圆O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB＝90°，继而求得∠BAC的度数．
【解答】解：连接BC，
∵D是弧AC的中点，
∴AD＝CD，
∴∠ACD＝∠DAC＝27°，
∴∠D＝180°﹣∠DAC﹣∠ACD＝126°，
∴∠B＝180°﹣∠D＝54°，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝36°．
故选：B．

【点评】此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质以及弧与弦的关系．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
19．如图，点A、B、C、D、E都是⊙O上的点，＝，∠B＝118°，则∠D的度数为（　　）

A．128° B．126° C．124° D．122°
【分析】连接AD．首先证明∠ADC＝∠ADE，再利用圆内接四边形的性质求出∠ADC即可解决问题．
【解答】解：连接AD．

∵＝，
∴∠ADC＝∠ADE，
∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣118°＝62°，
∴∠CDE＝2×62°＝124°，
故选：C．
【点评】本题考查圆心角，弧，弦的关系，圆周角定理，圆内接四边形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．如图，BC为半圆O的直径，A、D为半圆上的两点，若A为半圆弧的中点，则∠ADC＝（　　）

A．105° B．120° C．135° D．150°
【分析】连接AC，根据圆周角定理，由BC为半圆的直径，可证∠BAC＝90°，又A为半圆弧的中点，可证AB＝AC，即可得∠B＝∠ACB＝45°，根据圆内接四边形的对角互补得∠ADC＝180°﹣45°＝135°．
【解答】解：连接AC，
∵BC为半圆的直径，
∴∠BAC＝90°，
又A为半圆弧的中点，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠ADC+∠B＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣45°＝135°．
故选：C．

【点评】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质和圆心角、弧的关系，利用直径所对的圆周角是直角，是在圆中构造直角三角形常用的方法．
21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A＝130°，则∠BDC的度数为（　　）

A．100° B．105° C．110° D．115°
【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠C的度数，进而利用平行线的性质得出∠ABC的度数，利用角平分线的定义和三角形内角和解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝130°，
∴∠C＝180°﹣130°＝50°，
∵AD∥BC，
∴∠ABC＝180°﹣∠A＝50°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝25°，
∴∠BDC＝180°﹣25°﹣50°＝105°，
故选：B．
【点评】此题考查圆内接四边形的性质，关键是根据圆内接四边形的性质得出∠C的度数．
22．如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，若∠BAC＝35°，∠CBD＝70°，则∠BCD的度数为　75°　．

【分析】根据圆周角定理求出∠BAD，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．
【解答】解：由圆周角定理得，∠CAD＝∠CBD＝70°，
∴∠BAD＝70°+35°＝105°，
∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，
∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝75°，
故答案为：75°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
23．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1+∠2＝64°，∠3+∠4＝　64　°．

【分析】利用圆内接四边形的性质，得出∠DAC+∠DCB＝180°，∠B+∠D＝180°，推出∠1+∠2+∠3+∠4+2∠5＝180°，再利用圆周角定理和三角形的内角和定理求出∠3+∠4的度数．
【解答】解：如图，

∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠DAB+∠DCB＝180°，∠B+∠D＝180°，
又∵△AOC为等腰三角形，
∴∠5＝∠OCA，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+2∠5＝180°，
∵∠1+∠2＝64°，
∴∠3+∠4＝180°﹣64°﹣2∠5＝116°﹣2∠5，
∵∠1+∠2+∠B＝180°，∠B+∠D＝180°，
∴∠D＝∠1+∠2＝64°，
∴∠O＝2∠D＝128，
在等腰三角形AOC中，
2∠5＝180°﹣∠O＝180°﹣128°＝52°，
∴∠3+∠4＝116°﹣52°＝64°，
故答案为64．
【点评】​本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，熟记定理是解题的关键．
24．如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，的度数为40°，则∠B+∠D的度数是　160°　．

【分析】连接AB，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠ABE，根据圆内接四边形的性质计算即可．
【解答】解：连接AB，
∵的度数为40°，
∴∠ABE＝20°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠D＝180°，
∴∠CBE+∠D＝180°﹣20°＝160°，
故答案为：160°．

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠A＝50°，∠E＝45°，则∠F＝　35　°．

【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠ADC+∠ABC＝180°，∠ECD＝∠A＝50°，∠BCF＝∠A＝50°，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，∠ECD＝∠A＝50°，∠BCF＝∠A＝50°，
∴∠EDC+∠FBC＝180°，
∴∠E+∠F＝360°﹣180°﹣50°﹣50°＝80°，
∵∠E＝45°，
∴∠F＝35°，
故答案为：35．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、三角形内角和定理，掌握圆内接四边形的对角互补、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．
26．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，∠DCE＝85°，∠F＝30°，则∠E的度数为　40°　．

【分析】根据三角形的外角的性质求出∠B，根据圆内接四边形的性质和三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵∠DCE＝∠F+∠B，∠DCE＝85°，∠F＝30°，
∴∠B＝∠DCE﹣∠F＝85°﹣30°＝55°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠EDC＝∠B＝55°，
∴∠E＝180°﹣∠DCE﹣∠EDC＝180°﹣85°﹣55°＝40°，
故答案为40°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质和三角形内角和定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．
27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD．若∠BDC＝40°，则∠BCD的度数为　100°　．

【分析】根据∠BDC的度数即可求得∠BAD的度数，由AC平分∠BAD得出∠BAC，再由圆周角定理和由四边形ABCD内接于⊙O求得∠BCD＝100°．
【解答】解：∵∠BDC＝40°，
∵∠BDC与∠BAC在BC的同侧，
∴∠BAC＝40°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAD＝2∠BAC＝80°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠BAD＝180°；
∴∠BCD的度数为100°，
故答案为：100°．
【点评】此题考查了圆的内接四边形的性质、圆周角定理．熟练掌握圆的内接四边形的性质，由圆周角定理得出结果是解决问题的关键．
28．如图，四边形ABCD是平行四边形，⊙O经过点A，C，D，与BC交于点E，连接AE，若∠D＝74°，则∠BAE＝　32　°．

【分析】根据平行四边形的性质得到∠B＝74°，根据圆内接四边形的性质得到∠AEB＝∠D＝74°，由三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠D＝74°，
∴∠B＝∠D＝74°，
∵四边形AECD是圆内接四边形，
∴∠AEB＝∠D＝74°，
∴∠BAE＝180°﹣74°﹣74°＝32°，
故答案为：32．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和，圆内接四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
29．如图，A、B、C、D是⊙O上四点，BD是⊙O的直径．若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADB＝　30　°．

【分析】根据已知条件得到四边形ABCO是菱形，推出△OAB是等边三角形，得到∠ABD＝60°，根据三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCO是平行四边形，OA＝OC，
∴四边形ABCO是菱形，
∴OA＝AB，
∴OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∴∠ADB＝30°，
故答案为：30．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理、平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
30．如图已知⊙O的内接五边形ABCDE，连接BE、CE，若AB＝BC＝CE，∠EDC＝130°，则∠ABE的度数为（　　）

A．25° B．30° C．35° D．40°
【分析】如图，连接OA，OB，OC，OE．想办法求出∠AOE即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OA，OB，OC，OE．

∵∠EBC+∠EDC＝180°，∠EDC＝130°，
∴∠EBC＝50°，
∴∠EOC＝2∠EBC＝100°，
∵AB＝BC＝CE，
∴＝＝，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠EOC＝100°，
∴∠AOE＝360°﹣3×100°＝60°，
∴∠ABE＝∠AOE＝30°．
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型
【命题二】圆中的长度问题
1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝45°，AB＝6，则⊙O的半径为　3　．

【解答】解：如图，连接OA，OB，

∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴OA＝OB＝AB＝3，
即⊙O的半径是3，
故答案为：3．
2．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝8，D是的中点，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，连接CD，则CD＝　4　．

【解答】解：连接AC，AD，OD，设OD与AB交于点E，如图所示.
∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∴线段AC为⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°．
∵D是的中点，
∴OD⊥AB，且AE＝BE＝AB＝4．
在Rt△AEO中，AO＝5，AE＝4，∠AEO＝90°，
∴OE＝＝3，
∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2．
在Rt△AED中，AE＝4，DE＝2，∠AED＝90°，
∴AD＝＝2．
在Rt△ADC中，AD＝2，AC＝10，∠ADC＝90°，
∴CD＝＝4．
故答案为：4．

3．如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长　　．

【解答】解：OA交BC于E，如图，
∵OA⊥BC，
∴＝，CE＝BE，
∴∠AOB＝2∠CDA＝2×30°＝60°，
在Rt△OBE中，OE＝OB＝1，
∴BE＝OE＝，
∴BC＝2BE＝2，
故答案为：2．

4．如图所示，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，连接BD，半径OE⊥BC，连接EA，EA⊥BD于点F．若BC＝5，则OD＝　　．

【解答】解：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵OE⊥BC，
∴∠BOE＝∠COE＝90°，
∴＝，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝×90°＝45°，
∵EA⊥BD，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴AD＝AB，
∵OD⊥AC，
∴DC＝AD，
设AB＝x，则AC＝2x，
∵BC＝5，AB2+AC2＝BC2，
∴x2+（2x）2＝52，
解得x＝．
∴AB＝．
∵OD⊥AC，AB⊥AC，
∴OD∥AB，
∵BO＝CO，
∴OD＝AB＝，
故答案为：．
5．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC＝30°，则弦AB的长为　5　．

【解答】解：连接OC、OA，
∵∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∵AB为弦，点C为的中点，
∴OC⊥AB，
在Rt△OAE中，AE＝，
∴AB＝5，
故答案为：5．

6．如图，△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点E，连接AD，OF⊥AD于点F，∠D＝45°．若OF＝1，则BE的长为　　．

【解答】解：连接DO并延长交⊙O于点N，连接AN，

则DN为⊙O的直径，
∴∠NAD＝90°，
∵OF⊥AD，ON＝OD，
∴AF＝DF，
∴OF＝，
∵OF＝1，
∴AN＝2，
∵AC⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，
又∵∠AND+∠ADN＝90°，∠AND＝∠ABD，
∴∠ADN＝∠BAE，
∴＝，
∴AN＝BC＝2，
∵∠ADB＝∠BCA＝45°，
∴∠EBC＝45°，
∴BE＝＝．
故答案为：．
7．如图，已知⨀O的半径为5，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP＝　3　．

【解答】解：连接OB，作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，
则BE＝AB＝4，四边形PEOF为矩形，
∵AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，
∴OE＝OF，
∴矩形PEOF为正方形，
∴OE＝PE，
在Rt△OEB中，OE＝＝3，
∴OP＝＝3，
故答案为3．

8．AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q．若AB＝2，则线段BQ的长为　　．

【解答】解：连接AQ，BQ，
∵∠P＝45°，
∴∠QAB＝∠P＝45°，
∵AB为直径，
∴∠AQB＝90°，
∴△ABQ是等腰直角三角形．
∵AB＝2，
∴2BQ2＝4，
∴BQ＝．
故答案为：．

9．如图，已知锐角三角形ABC内接于半径为2的⊙O，OD⊥BC于点D，∠BAC＝60°，则OD＝　1　．

【解答】解：连接OB和OC，
∵△ABC内接于半径为2的⊙O，∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝120°，OB＝OC＝2，
∵OD⊥BC，OB＝OC，
∴∠BOD＝∠COD＝60°，
∴∠OBD＝30°，
∴OD＝OB＝1，
故答案为：1．

10．如图，⊙O的半径为6，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB，OC，若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长是　6　．

【解答】解∵∠BAC与∠BOC互补，
∴∠BAC+∠BOC＝180°，
∵∠BAC＝∠BOC，
∴∠BOC＝120°，
过O作OD⊥BC，垂足为D，
∴BD＝CD，
∵OB＝OC，
∴OB平分∠BOC，
∴∠DOC＝∠BOC＝60°，
∴∠OCD＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△DOC中，OC＝6，
∴OD＝3，
∴DC＝3，
∴BC＝2DC＝6，
故答案为6．

11．如图，AB是⊙O切线，切点为A，OB与⊙O交于E，C、D是圆上的两点，且CA平分∠DCE，若AB＝，∠B＝30°，则DE的长是　2　．

【解答】解：连接OA，
∵AB是⊙O切线，
∴∠BAO＝90°，
∵∠B＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∵AB＝，
∴AO＝OE＝AB＝×2＝2，
连接DE，交OA于F，
∵CA平分∠DCE，
∴∠DCA＝∠ECA，
∴＝，
∴OA⊥DE，
∴DE∥AB，DE＝2EF，
∴∠OEF＝∠B＝30°，
∴EF＝OE＝，
∴DE＝2，
故答案为：2．

12．如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，过点C的直线CD与⊙O相切于点D，连接BD，若CD＝BD＝6，则线段AC的长是　6　．

【解答】解：连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B，
∴∠COD＝∠ODB+∠B＝2∠B，
∵CD＝BD，
∴∠B＝∠C，
∴∠COD＝2∠C，
∵CD与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CD，
∴∠C+∠COD＝90°，
∴∠C＝30°，
∴OD＝OA＝CDtan30°＝6×＝6，
∴OC＝＝＝12，
∴AC＝12﹣6＝6．
故答案为：6．

13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝120°，若⊙O的半径为2，则弦BC的长为　2　．

【解答】解：作直径BD，连接CD，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，
∴∠D＝180°﹣∠BAC＝60°，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴BC＝BD•sinD＝2，
故答案为：2．

14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝40，．O为AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆交BC于D，且⊙O与AC相切．则D到AC的距离为　15　．

【解答】解：连接OD、OE，则OE⊥AC；
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C；
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C；
∴OD∥AC；
因此OE即为所求的D到AC的距离．
OE＝OB，sinA＝＝＝＝，
解得：OE＝15．
故D到AC的距离为15．

15．如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为　　．

【解答】解：连接CO，OB，
则∠O＝2∠A＝60°，
∵OC＝OB，
∴△BOC是等边三角形，
∵⊙O的半径为2，
∴BC＝2，
∵CD⊥AB，∠CBA＝45°，
∴CD＝BC＝，
故答案为：．

16．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，BC＝4，AC＝3，CD平分∠ACB，则弦AD长为　　．

【解答】解：如图，连接BD．

∵AB是直径，AC＝3，BC＝4，
∴∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝5，
∵CD平分∠ACD，
∴＝，
∴AD＝BD，设AD＝DB＝x，
∴x2+x2＝52，
∴x＝．
故答案为：．
17．如图，已知AB为⊙O的直径，AB＝AC，⊙O交BC于D，DE⊥AC于E，⊙O的半径为2.5，AD＝3，则DE的长为　　．

【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴AC＝5，
在Rt△ADC中，∵AC＝5，AD＝3，
∴CD＝＝4，
∵×DE×AC＝×AD×CD，
∴DE＝＝．
故答案为

18．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，连接OC与半圆相交于点D，则CD的长为　2　．

【解答】解：如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，则OE⊥AC，
∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠C＝90°，
∴BC⊥AC，
∴OE∥BC，
∵AO＝OB，
∴AE＝EC＝AC＝4，
∵OA＝AB＝5，
∴OE＝3，
∴OD＝3，
在Rt△ABC中，OC是斜边AB上的中线，
∴OC＝AB＝5，
∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2．
故答案为2．

19．如图，BC是⊙O的切线，D是切点．连接BO并延长，交⊙O于点E、A，过A作AC⊥BC，垂足为C．若BD＝8，BE＝4，则AC＝　9.6　．

【解答】解：连接OD、AD、ED，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ODB＝90°，
∴∠ODE+∠BDE＝90°，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ADE＝90°，
∴∠DAE+∠AED＝90°，
∵OD＝OE
∴∠ODE＝∠OED，
∴∠BDE＝∠BAD，
∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAD，
∴＝，即＝，
解得，AE＝12，
∵∠BDO＝∠BCA，∠B＝∠B，
∴△BDO∽△BCA，
∴＝，即＝，
解得，AC＝9.6，
故答案为：9.6．

20．如图．点P为弦AB上的一点，连接OP，过点P作PC⊥OP，PC交⊙O于C．若AP＝8，PB＝2，则PC的长是　4　．

【解答】解：延长CP交圆于一点D，
∵PC⊥OP，
∴PC＝PD（垂径定理），
∴PC2＝PA•PB，
∵AP＝8，PB＝2，
∴PC2＝2×8，
解得：PC＝4．
故答案为：4．
21．如图所示，AB为圆O的直径，弦CD交AB于E，已知OE＝2，BE＝1，∠AEC＝45°，则CD＝　2　．

【解答】解：作OH⊥CD于H，连接OC．

∵OH⊥CD，
∴CH＝DH，∠OHE＝90°，
∵∠OEH＝45°，OE＝2，
∴OH＝HE＝，
∵OC＝OB＝3，
∴CH＝＝，
∴CD＝2CH＝2，
故答案为2．
22．如图，正方形ABCD内接于⊙O，AD＝2，弦AE平分BC交BC于P，连接CE，则CE的长为　　．

【解答】解：连接AC，BE，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB＝2，
∵AE平分BC，
∴BM＝CM＝1，
∵四边形ABCD为圆内正方形，
∴AC必过圆心O，且∠AEC＝∠ABC＝90°，
∵∠CME＝∠AMB，
∴△AMB∽△CME，
∴．
∵AM＝＝＝，
∴，
∴CE＝．
故答案为．

23．如图，Rt△AOB的斜边AB切⊙O于点C，OA交⊙O于点D，连接DC并延长交OB的延长线于点E．已知∠A＝∠E，若OE＝4，AB＝6，则BC的长为　2　．

【解答】解：如图，连接OC．

∵AB是⊙O的切线，
∴OC⊥AB，
∴∠ACO＝90°．
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，
∴∠ACO＝∠EOD．
又∠A＝∠E，CO＝OD，
∴△AOC≌△EDO（AAS），
∴AC＝OE＝4，
∴BC＝AB﹣AC＝2．
故答案为：2．