专题04 全等三角形旋转模型 -备战2022年中考数学复习重难点与压轴题型专项训练

备战2022年中考复习重难点与压轴题型专项训练

专题04 全等三角形旋转模型

【专题训练】

一、解答题

1．（2021·辽宁沈阳市·中考真题）在△ABC中，，点为线段延长线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，旋转角为，得到线段，连接．

（1）如图，当时，

①求证：；

②求的度数：

（2）如图2，当时，请直接写出和的数量关系为__________；

（3）当时，若时，请直接写出点到的距离为__________．

2．（2021·重庆中考真题）△ABC为等边三角形，AB=8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE= ．以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．

（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG ，求线段NG的长；

（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；

（3）连接BN．在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出△ADN的面积．

3．（2021·辽宁锦州市·中考真题）已知和都是等腰直角三角形，．

（1）如图1：连，求证：；

（2）若将绕点O顺时针旋转，

①如图2，当点N恰好在边上时，求证：；

②当点在同一条直线上时，若，请直接写出线段的长．

4．（2021·辽宁葫芦岛市·中考真题）在等腰和等腰中，，，将绕点逆时针旋转，连接，点为线段的中点，连接．

（1）如图1，当点旋转到边上时，请直接写出线段与的位置关系和数量关系；

（2）如图2，当点旋转到边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．

（3）若，在绕点逆时针旋转的过程中，当时，请直接写出线段的长．

5．（2021·山东烟台市·中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．

（问题解决）

（1）如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；

（类比探究）

（2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．

6．（2021·山东东营市·中考真题）如图1，在等腰三角形中，点分别在边上，连接点分别为的中点．

（1）观察猜想

图1中，线段的数量关系是____，的大小为_____；

（2）探究证明

把绕点顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接判断的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸

把绕点在平面内自由旋转，若，请求出面积的最大值．

7．（2021·黑龙江鹤岗市·中考真题）如图①，在中，，，点、分别在、边上，，连接、、，点、、分别是、、的中点，连接、、．

（1）与的数量关系是______．

（2）将绕点逆时针旋转到图②和图③的位置，判断与有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．

8．（2021·山东潍坊市·中考真题）如图1，在中，，点D，E分别在边上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接．

（1）当时，求证：；

（2）如图3，当时，延长交于点，求证：垂直平分；

（3）在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角的度数．

9．（2021·湖北中考真题）如图1，已知，，点D在上，连接并延长交于点F．

（1）猜想：线段与的数量关系为_____；

（2）探究：若将图1的绕点B顺时针方向旋转，当小于时，得到图2，连接并延长交于点F，则（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）拓展：图1中，过点E作，垂足为点G．当的大小发生变化，其它条件不变时，若，，直接写出的长．

10．（2021·湖南郴州市·中考真题）如图1，在等腰直角三角形中，．点是的中点，以为边作正方形，连接．将正方形绕点D顺时针旋转，旋转角为．

（1）如图，在旋转过程中，

①判断与是否全等，并说明理由；

②当时，与交于点，求的长．

（2）如图，延长交直线于点．

①求证：；

②在旋转过程中，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

11．（2021·山东威海市·中考真题）发现规律：

（1）如图①，与都是等边三角形，直线交于点．直线，交于点．求的度数

（2）已知：与的位置如图②所示，直线交于点．直线，交于点．若，，求的度数

应用结论：

（3）如图③，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，为轴上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，求线段长度的最小值