专题13 二次函数中的图形运动最值问题-备战2022年中考数学复习重难点与压轴题型专项训练

备战2022年中考复习重难点与压轴题型专项训练

专题13 二次函数中的图形运动最值问题

【专题训练】

一、解答题

1．（2021·浙江绍兴市·九年级其他模拟）已知：如图，△ABC是等腰直角三角形，，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，AB方向匀速移动，P的速度是，Q的速度是，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为，解答下列问题：

（1）当t为何值时，是直角三角形？

（2）问：是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积与面积差最小？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；

（3）设PQ的长为，试确定y与t之间的关系式；写出当t分别为何值时，PQ达到最短和最长，并写出PQ的最小值和最大值．

2．（2021·武汉二中广雅中学九年级二模）有一根直尺短边长4cm，长边长10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长为16cm，如图甲，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合．将直尺沿射线AB方向平移，如图乙，设平移的长度为xcm，且满足0≤x≤12，直尺和三角形纸板重叠部分的面积为Scm2．

（1）当x＝0cm时，S＝______；当x＝4cm时，S＝_____；当x＝12cm时，S＝_____．

（2）当4＜x＜8（如图丙），请用含x的代数式表示S．

（3）是否存在一个位置，使重叠部分面积为28cm2？若存在求出此时x的值．

3．（2021·四会市四会中学九年级二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA＝4，OC＝3．动点P从点C出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点O出发，沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动．设点P、Q的运动时间为t秒

（1）当t＝2秒时，求tan∠QPA的值；

（2）当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM＝2AM时，求t的值；

（3）连结CQ，当点P，Q在运动过程中，记与矩形OABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式；

（4）直接写出∠OAB的角平分线经过边上中点时的t值．

4．（2021·揭阳市实验中学九年级期中）如图，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm．P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A出发沿A→B方向运动，速度为每秒1cm，到达点B停止运动；点Q从点B出发沿B→C→A方向运动，速度为每秒2cm，到达点A停止运动．它们同时出发，设出发时间为t秒．

（1）当t=________秒时，PQ∥AC；

（2）设△PQB的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）当点Q在边CA上运动时，直接写出能使△BCQ为等腰三角形的t的值．

5．（2021·云南昆明市·九年级其他模拟）矩形管在我们日常生活中应用广泛，石油、天然气的运输，制造建筑结构网架，制造公路桥梁等领域均有应用．如图，若矩形管的两边长，

若点分别从同时出发，在边上沿AB方向以每秒的速度匀速运动，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为秒，的面积为．求面积的最大值；

若点在边上，从点出发，沿方向以每秒的速度匀速运动，点在边上，从中点出发，沿方向以每秒的速度匀速运动，当点运动到中点时，点开始向上运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．设点运动时间为秒，的面积为．求与的函数关系式．

6．（2021·银川唐徕回民中学九年级二模）如图，在锐角三角形ABC中，BC=12，△ABC的面积为48，D，E分别是边AB，AC上的两个动点（D不与A，B重合），且保持DE∥BC，以DE为边，在点A的下方作正方形DEFG．

（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，求正方形DEFG的边长；

（2）设DE=x，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并求出y的最大值．

7．（2021·广东惠州市·九年级二模）如图1，已知Rt中，，，点由点出发沿方向向点匀速运动，同时点由点出发沿方向向点匀速运动，速度均为，连接，设运动的时间为（单位：）．

              图1                  图2            

（1）当时，_____；

（2）设的面积为（单位：），当为何值时，取得最大值，并求出最大值；

（3）如图2，取点关于的对称点，连接，，得到四边形，是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．

8．（2021·新疆和田地区·九年级二模）如图，在矩形中，，点从点出发沿边向点以1个单位每秒的速度移动，同时点从点出发沿边向点以2个单位每秒的速度移动。如果两点在分别到达两点后就停止移动，设运动时间为秒，回答下列问题：

（1）运动开始后第几秒时，的面积等于；

（２）设五边形的面积为，写出与的函数关系式，当为何值时最小？求的最小值．

9．（2021·苏州市吴江区南麻中学）(本题满分10分)如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3cm．动点Q以1cm/s的速度在△ABC的边上按A→B→C的路线匀速移动，当点Q到达C点时停止移动，动点P在△ABC的边上按C→A的路线匀速移动，当点P到达A点时停止移动．已知点P、点Q同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）．设动点P移动的时间为t（s），△APQ的面积为S（cm2），S与t的函数关系如图②所示．

（1）图①中AB＝　　　cm，图②中n＝　　　cm2；

（2）求S与t的函数表达式，并求S的最大值；

（3）当t为何值时，△APQ为等腰三角形．

10．（2021·吉林延边朝鲜族自治州·九年级一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2cm，AB=4cm．点P从点A出发，沿AB以1cm/s的速度向终点B运动．当点P与点A、B不重合时，过点P作PQ⊥AB交射线AC于点Q，以AP，AQ为邻边向上作平行四边形APMQ．设点P的运动时间为x（s），解答下列问题．

（1）∠A=　   　°；

（2）当点M在BC上时，x的值为　   　；

（3）设平行四边形APMQ与△ABC的重叠部分图形的面积为y（cm2），求y与x之间的函数关系式；

（4）整个运动过程中，直接写出△ABM为直角三角形时x的值．

11．（2021·吉林长春市·九年级一模）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿向终点运动，同时点从点出发，以相同的速度沿向终点运动，过点作于点，连结，以、为邻边作矩形，当点运动到终点时，整个运动停止，设矩形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒．

（1）①的长为          ；

②用含的代数式表示线段的长为          ；

（2）当的长度为10时，求的值；

（3）求与的函数关系式；

（4）当过点和点的直线垂直于的一边时，直接写出的值．

12．（2021·广东广州市·九年级一模）如图，在ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点M、Q分别是边AB、BC上的动点（点M不与A、B重合），且MQ⊥BC，过点M作MN∥BC．交AC于点N，连接NQ，设BQ＝x．

（1）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，并说明理由；

（2）当BM＝2时，求x的值；

（3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值．

13．（2021·山东青岛市·九年级二模）如图，在菱形ABCD中，AB=5cm，BD=8cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s．过点P作PN∥BC分别交BD，CD于点M,N，连接QM，QN．设运动时间为．解答下列问题：

（1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？

（2）设的面积为，求与的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使的面积为菱形面积的，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；

（4）是否存在某一时刻，使为等腰三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．

14．（2021·广东佛山市·九年级三模）如图1，矩形OABC的顶点O是直角坐标系的原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（8，4），将矩形OABC绕点A顺时针旋转得到矩形ADEF，D、E、F分别与B、C、O对应，EF的延长线恰好经过点C，AF与BC相交于点Q．

（1）证明：△ACQ是等腰三角形；

（2）求点D的坐标；

（3）如图2，动点M从点A出发在折线AFC上运动（不与A、C重合），经过的路程为x，过点M作AO的垂线交AC于点N，记线段MN在运动过程中扫过的面积为S；求S关于x的函数关系式．

15．（2021·江苏苏州市·九年级一模）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．点D，E分别是边AC，BC上的动点，连接DE．设CD＝x（x＞0），BE＝y，y与x之间的函数关系如图②所示．

（1）求出图②中线段PQ所在直线的函数表达式；

（2）将△DCE沿DE翻折，得△DME．

①点M是否可以落在△ABC的某条角平分线上？如果可以，求出相应x的值；如果不可以，说明理由；

②直接写出△DME与△ABC重叠部分面积的最大值及相应x的值．

16．（2021·江苏苏州市·九年级一模）如图①，中，，点从点出发沿方向匀速运动，速度为1点是上位于点右侧的动点，点是上的动点，在运动过程中始终保持，cm．过作交于，当点与点重合时点停止运动．设的而积为，点的运动时问为，与的函数关系如图②所示：

（1）=_______，=_______；

（2）设四边形的面积为，求的最大值；

（3）是否存在的值，使得以，，为顶点的三角形与相似？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由．

17．（2021·银川市回民中学九年级二模）如图，在中，，，，点是边上由向运动（不与点重合）的一动点，点的速度是，设点的运动时间为，过点作的平行线交于点，连接．

（1）请用含有的代数式表示线段和线段的长；

（2）当为何值时，的面积等于面积的三分之一；

（3）在点的运动过程中，是否存在某一时刻的的值，使得的面积有最大值，若存在请求出的值并计算最大面积；若不存在，请说明理由．

18．（2021·山东青岛市·九年级一模）已知：如图，在四边形中，．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向在的延长线上匀速运动，速度为；当点到达点时，点停止运动．过点作，交于点．连接．设运动时间为，解答下列问题：

连接，当为何值时，

设四边形的面积为，求与的函数关系式；

在运动过程中，是否存在某一时刻，使四边形的面积为四边形面积的，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；

在运动过程中，是否存在某一时刻， 使若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

19．（2021·南岸区·重庆第二外国语学校九年级二模）如图，直角三角形中，，为中点，将绕点旋转得到．一动点从出发，以每秒1的速度沿的路线匀速运动，过点作直线，使．

（1）当点运动2秒时，另一动点也从出发沿的路线运动，且在上以每秒1的速度匀速运动，在上以每秒2的速度匀速运动，过作直线使，设点的运动时间为秒，直线与截四边形所得图形的面积为，求关于的函数关系式，并求出的最大值．

（2）当点开始运动的同时，另一动点从处出发沿的路线运动，且在上以每秒的速度匀速运动，在上以每秒2的速度匀度运动，是否存在这样的，使为等腰三角形？若存在，直接写出点运动的时间的值，若不存在请说明理由．

20．（2021·河北九年级二模）已知Rt△OAB，∠OAB=90o，∠ABO=30o，斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60o，如图1，连接BC．

(1)ΔOBC的形状是               ；

(2)如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；

(3)如图2，点M、N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止.已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒.设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？(结果可保留根号) ．