专题16 二次函数中周长与面积的最值问题-备战2022年中考数学复习重难点与压轴题型专项训练

备战2022年中考复习重难点与压轴题型专项训练

专题16 二次函数中周长与面积的最值问题

【专题训练】

一、解答题

1．（2020·山东滨州市·中考真题）如图，抛物线的顶点为A(h，－1)，与y轴交于点B，点F(2，1)为其对称轴上的一个定点．

（1）求这条抛物线的函数解析式；

（2）已知直线l是过点C(0，－3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P(m，n)到直线l的距离为d，求证：PF＝d；

（3）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时DFQ周长的最小值及点Q的坐标．

2．（2020·辽宁朝阳市·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线，点C坐标为．

（1）求抛物线表达式；

（2）在抛物线上是否存在点P，使，如果存在，求出点P坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，若点P在x轴上方，点M是直线BP上方抛物线上的一个动点，求点M到直线BP的最大距离；

（4）点G是线段AC上的动点，点H是线段BC上的动点，点Q是线段AB上的动点，三个动点都不与点重合，连接，得到，直接写出周长的最小值．

3．（2020·云南九年级一模）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P，点M为抛物线的对称轴上的一个动点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）当点M在x轴的上方时，求四边形COAM周长的最小值；

（3）在平面直角坐标系内是否存在点N，使以C，P，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

4．（2020·海南海口市·九年级三模）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3），且OB＝OC＝3AO．直线y＝x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E．设直线AD上方的抛物线上的动点P的横坐标为t．

（1）求该抛物线的表达式及点D的坐标；

（2）如图1，当t为何值时，S△PAD＝S△DAB；

（3）如图2，过点P作PF∥x轴，交直线AD于点F，PG⊥AD于点G，GH⊥x轴于点H．

①求△PFG的周长的最大值；

②当PF＝GH时，求t的值．

5．（2020·河南九年级其他模拟）如图，抛物线y=ax2+bx(a≠0)的图象过原点O和点A(1，)，且与x轴交于点B，△AOB的面积为．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若抛物线的对称轴上存在一点M，使△AOM的周长最小，求M点的坐标；

(3)点F是x轴上一动点，过F作x轴的垂线，交直线AB于点E，交抛物线于点P，且PE=，直接写出点E的坐标(写出符合条件的两个点即可)．

6．（2020·山西九年级专题练习）如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.

（1）求抛物线的解析式；   

（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；   

（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

7．（2020·甘肃九年级一模）如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，若．

（1）求抛物线的解析式．

（2）抛物线对称轴上有一动点，当最小时，求出点的坐标，

（3）如图2所示，连接，是线段上（不与、重合）的一个动点．过点作直线，交抛物线于点，连接，，设点的横坐标为．当为何值时，的面积最大？最大面积为多少？

8．（2020·佛山市三水区三水中学附属初中九年级二模）如图（1），抛物线y＝ax2+bx经过A和B（3，﹣3）两点，点A在x轴的正半轴，且OA＝4．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线上一动点，且在直线OB的下方（不与O、B重合），过M作MK⊥x轴，交直线BO于点N，过M作MP∥x轴，交直线BO于点P，求出△MNP周长的最大值及周长取得最大值时点M的坐标；

（3）如图（2），过B作BD⊥y轴于点D，交抛物线于点C，连接OC，在抛物线上是否存在点Q使得S△OCD：S△OCQ＝3：2，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

9．（2020·浙江高照实验学校）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．

（1）求二次函数的表达式；   

（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；   

（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．

10．（2020·北京八中乌兰察布分校八年级期末）如图，已知抛物线与轴交于点、，顶点为M．

（1）求抛物线的解析式和点M的坐标；

（2）点E是抛物线段BC上的一个动点，设的面积为S，求出S的最大值，并求出此时点E的坐标；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以A、P、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

11．（2020·辽宁朝阳市·九年级二模）如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和点B(﹣3，0)，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；

(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

(4)如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

12．（2020·广西百色市·九年级一模）如图，在平面直角坐标系中，Rt△的边在轴上，，以为顶点的抛物线经过点（3，0），交y轴于点（0，3），动点在对称轴上．

（1）求抛物线解析式和顶点坐标；

（2）若点从点出发，沿→方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点停止，设运动时间为秒，过点作交于点，过点平行于轴的直线交抛物线于点，连接，．当为何值时，△的面积最大？最大值是多少？

（3）若点M是平面内的任意一点，在轴上方是否存在点P，使得以点P，M，，为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．

13．（2020·全国九年级专题练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（－4，0），B（0，－4），C（2，0）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、 O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

14．（2020·四川成都市·九年级其他模拟）图①，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），并且与直线y＝x﹣2相交于坐标轴上的B、C两点，动点P在直线BC下方的二次函数的图象上．

（1）求此二次函数的表达式；

（2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值；

（3）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由．

15．（2020·湖南邵阳市·九年级二模）如图①，已知抛物线经过坐标原点和轴上另一点，顶点的坐标为，矩形的顶点与点重合，、分别在轴、轴上，且，

（1）求该抛物线的解析式；

（2）将矩形以每秒1个单位长度的速度从图①所示位置沿轴的正方向匀速平行移动，同时一动点也以同样的速度从点出发向点匀速移动，设它们运动的时间为秒，直线与该抛物线的交点为（如图②所示）

①当时，判断点是否在直线上，并说明理由；

②设以P、N、C、D为顶点的四边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，若不存在，说明理由．