初中第二十一章 代数方程第三节 无理方程习题

专项21.5无理方程

姓名：___________考号：___________分数：___________

（考试时间：100分钟  满分：120分）

一、 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

    1．在下列所给出的方程中，无理方程是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

解：A、根号内不含有未知数，不是无理方程，故本选项错误；

B、没有根号，不是无理方程，故本选项错误；

C、根号内不含有未知数，不是无理方程，故本选项错误；

D、根号内含有未知数，是无理方程，故本选项正确．

故选：D．

2．下列方程中有实数解的是（　　）

A．x2+3x+4＝0 B．+1＝0 C．＝ D．＝﹣x

【答案】D

解：A、x2+3x+4＝0，

△＝32﹣4×1×4＝﹣7＜0，

即此方程无实数解，故本选项错误；

B、可得＝﹣1，

∵算术平方根是一个非负数，

∴此方程无实数解，故本选项错误；

C、＝，

方程两边都乘（x﹣3）得：x＝3，

∵x＝3代入x﹣3＝0，

∴x＝3是原方程的增根，即原方程无解，故本选项错误；

D、＝﹣x，x＝x2，解得x1＝0，x2＝1（是增根，舍去），故本选项正确；

故选：D．

3．下列方程中，有实数解的是（    ）．

A．； B．； C．； D．．

【答案】B

A、，，方程没有实数解；
B、两边平方得，解得，经检验为原方程的解；
C、，则没有实数解；
D、去分母得，经检验原方程无解．
故选：B．

4．下列关于x的方程中，一定有实数根的是（　　）

A．ax+1＝0 B．x5﹣a＝0 C． D．＝a

【答案】B

A、当a＝0时，方程ax+1＝0无解；

B、x5＝a，则x＝；

C、去分母得x＝a，检验x＝a时，x﹣a＝0，所以原方程无解；

D、当a＜0时，方程＝a无解．

故选：B．

5．下列方程中，无理方程是（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

解：A、是一元一次方程，故A不符合题意；
B、是分式方程，故B不符合题意；
C、是无理方程，故C符合题意；
D、是一元一次方程，故D不符合题意；
故选：C．

6．下列四个方程中，有一个根是的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

A、由分式方程的分母不能为0可得，则不是原分式方程的根，此项不符题意

B、将代入得：，经检验，是原方程的根，此项符合题意

C、当时，无意义，则不是原方程的根，此项不符题意

D、当时，无意义，则不是原方程的根，此项不符题意

故选：B．

7．下列方程中，有实数根的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

A．当x=0时，=0，故符合题意；

B．∵x2+1≥1，∴，故不符合题意；

C．∵，，故不符合题意；

D．若，则x+3=0，x-3=0， 显然矛盾，故不符合题意；

故选A．

8．下列方程中，有实数根的方程是(       )

A． B． C． D．

【答案】C

解：A. 分式方程去分母得：x＝1，经检验x＝1是增根，不符合题意；

B. 方程变形为，

∵，

故没有实数根，不符合题意；

C. 解方程得，符合题意；

D. ∵，

∴且，

∴且，故不符合题意；

故选：C．

9．下列关于x的方程中，一定有实数根的是（      ）

A．+1=0 B．=-x

C． D．=

【答案】B

解：A. ∵，

∴，

∵，

∴无解；

B. 当时，，

∴一定有实数根；

C. ∵，

∴，

∵，

∴无解；

D. 分式方程去分母得：，

经检验是增根，原分式方程无解；

故选：B．

10．下列方程中，有实数根的是（      ）

A． B． C． D．．

【答案】A

解：由得：，所以，

解得：，经检验：是原方程的根，故A正确，

由，去分母得：，经检验：不是原方程的根是增根，故B错误，

由算术平方根不是负数得：无解，故C错误，

由，得无解，故D错误．

故选A．

11．下列方程中，有实数解的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

解：A、，所以方程无实数解，故A错误；

B、方程变形为，，∴方程无实数解，故B错误；

C、方程无解，故C错误；

D、方程变形为，解得，经检验，x=-1是原方程的解，故D正确，

故答案为：D．

12．下列无理方程中，有实数解的是（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

解：．由知，此方程无实数解；

．知，此方程有实数根；

．由知，而时，得到，故此方程无实数根；

．由无解可知此方程无实数根；

故选：．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

        13．方程的解为：__．

【答案】．

解：原方程可化为：，

即：，

，

解得：，，

经检验，当时，方程左右两边不相等，舍去，

所以是原方程的解，

故答案为：．

14．方程的根为____．

【答案】

解：方程两边同时平方得：，

∴，

即，

∴x1=x2=1，

经检验，x=1是原方程的根，

故答案为：x=1．

15．若方程有实数解，那么的范围为______

【答案】

由方程得，

∵方程有实数解

∴

∴

解得

故答案为：．

16．已知方程组，则____________．

【答案】3

解：设a＝，b＝，

则x+y＝（x+1）+（y﹣2）+1＝20，

所以，（x+1）+（y﹣2）＝19，

即a2+b2＝19，

因此，方程组可化为，

①平方得，a2+2ab+b2＝25③，

③﹣②得，2ab＝6，

解得ab＝3，

所以，＝•＝ab＝3．

故答案为：3．

17．方程的根是____________．

【答案】

解：两边平方得：（4-x）（5-x）=0
解得：，
经检验是原方程的增根，舍去；是原方程的解，
所以原方程的解为；
故答案为：．

18．方程组的解是_____．

【答案】或

解：设x＋1＝a，y−1＝b，则原方程可变为，

由②式又可变化为，

把①式代入得，这又可以变形为，

再代入又得，

解得ab＝−27，

又因为a＋b＝26，

所以解这个方程组得 或，

于是（1） ，解得；

（2） ，解得 ．

故答案为：或．

三、解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

19．解方程：

（1）                    （2）

【答案】（1）；（2），

解：（1）

经检验是原方程的解．

（2）

令，

则原方程变形为

∴，

当时，，无解；

当时，

整理得，

∴，

经检验，，是原方程的解．

20．(1)解方程：         (2)解方程：

【答案】（1）；（2）或．

解：（1）方程两边同时乘以得：，

整理得：，

解得：或，

当时，，故是原方程的解，

当时，，故是增根，

所以原分式方程的解为：；

（2）移项得：，

两边同时平方得：，整理得：，

解得：或，

经检验，或都是原方程的解，

故原方程的解为：或．

21．解下列方程

（1）                      

（2） 

（3）  

（4）

【答案】（1）x=2或x=-4；（2）x=10；（3）x=4；（4）

解：（1）因为

去分母得：

整理得：

所以

解得：

经检验：都是原方程的根，所以方程的解是．

（2）因为两边平方得：

整理得：， 所以

解得： ，经检验：是原方程的增根，所以方程的解是．

（3）因为，所以 两边平方得：

，整理得： ，

两边平方并整理得，经检验：是原方程的根，

所以原方程的解是．

（4）因为，

所以

去分母得：

整理得：，解得；

经检验：是原方程的解，所以原方程的解是．

22．已知实数满足，求的值．

【答案】4035

由题意知，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

故答案为：4035．

23．信息1：我们已经学完了解分式方程，它的一般步骤为：确定最简公分母、化为整式方程、求出整式方程的解、进行检验（第一，代入最简公分母验证是否为零，第二代入分式方程的左右两边检验是否相等）、确定分式方程的解.其中代入最简公分母验证这一步也就是在验证所有分式在取此值时是否有意义；

信息2：遇到这种特征的题目，可以两边同时平方得到；

信息3：遇到这种特征的题目，可以将左边变形，得到，进而可以得到或.

结合上述信息解决下面的问题：

问题1：如果.可得：；

问题2：解关于b的方程：.

【答案】，

解：问题1：，

问题2：

两边同时平方得：

或

检验：当时，右边=﹣1，由于

∴不符合题意（舍去）

∴.

24．阅读材料：求解一元一次方程，需要根据等式的基本性质，把方程转化为的形式；求解二元一次方程组，需要通过消元把它转化为一元一次方程来解；求解三元一次方程组，要把它转化为二元一次方程组来解；求解一元二次方程，需要把它转化为连个一元一次方程来解；求解分式方程，需要通过去分母把它转化为整式方程来解；各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到一种共同的基本数学思想——转化，即把未知转化为已知来求解.

用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程.

例如，解一元三次方程，通过因式分解把它转化为，通过解方程和，可得原方程的解.

再例如，解根号下含有来知数的方程：，通过两边同时平方把它转化为，解得：. 因为，且，所以不是原方程的根，是原方程的解.

（1）问题：方程的解是，__________，__________；

（2）拓展：求方程的解.

【答案】（1）；（2）

（1）∵x3+x2-2x=0，

∴x（x-1）（x+2）=0

∴x=0或x-1=0或x+2=0，

∴x1=0，x2=1，x3=-2，

故答案为1，-2；；

（2），（）

给方程两边平方得：

解得：，（不合题意舍去），

∴是原方程的解；