专题17 二次函数应用（解答题）-备战2021年中考数学临考题号押题（全国通用）(28376919)

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专题17二次函数应用



【2021玉林】已知抛物线与x轴交于点A，B两点（A在B的左侧）与y轴交于点C．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）将抛物线经过向下平移，使得到的抛物线与x轴交于B， 两点（在B的右侧），顶点D的对应点，若，求的坐标和抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线或上是否存在点P，使以为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）A（-3，0），B（1，0），（0，3）；（2）B（3，0），y2=-x2+4x-3；（3）P的坐标为（-2，3），（-1+，-3），（-1-，-3），（0，-3），（4，-3）．
【解析】
【分析】
（1）令y=0，即可求出A，B，令x=0，即可求出C的坐标；
（2）设B（t，0），根据由题意得y2由y1平移所得，可设y2的解析式为：y2=-（x-1）（x-t）=-x2+（1+t）x-t，求出D，判断出△BDB是等腰直角三角形，可得yD=|BB|，即可得到关于t的方程，解出t即可求出B的坐标和y2的解析式；
（3）分①若Q在B右边，②若Q在B左边：当BQ为边时和当BQ为对角线时，这几种情况讨论即可．
【详解】
解：（1）由题意得抛物线与x轴交于点A，B两点（A在B的左侧）与y轴交于点C，
∴当y=0时，
即（x+3）（1-x）=0
解得x1=-3，x2=1，
∴A的坐标为（-3，0），B的坐标为（1，0），
当x=0时，y=-02-2×0+3=3，
∴C的坐标为（0，3），
综上：A（-3，0），B（1，0），（0，3）；
（2）设B（t，0），
由题意得y2由y1平移所得，
∴a=-1，
∴可设y2的解析式为：y2=-（x-1）（x-t）=-x2+（1+t）x-t，
∴D（，），
∵B和B是对称点，D在对称轴上，∠BDB=90°，
∴△BDB是等腰直角三角形，
∴yD=|BB|，
∴=（t-1），
解得t=3，
∴B（3，0），
∴y2=-x2+4x-3；
（3）①若Q在B右边，则P在x轴上方，且CP∥BQ，
∴yP=yC=3，
此时P不在两条抛物线上，不符合题意舍去；
②若Q在B左边，
当BQ为边时，则CP∥BQ，
此时yP=yC=3，P点在y1上，
将yP=3，代入y1得，
解得x1=0，x2=-2，
∴此时P的坐标为（-2，3）；
当BQ为对角线时，则BC∥QP，
∵yC-yB=3，
∴yQ-yP=3，
∵Q在x轴上，
∴yP=-3，
将yP=-3代入y1得，
解得x1=-1+，x2=-1-，
将yP=-3代入y2得-x2+4x-3=-3，
解得x1=0，x2=4，
∴P的坐标为：（-1+，-3），（-1-，-3），（0，-3），（4，-3），
综上：P的坐标为：（-2，3），（-1+，-3），（-1-，-3），（0，-3），（4，-3）．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平行四边形的性质，结合题意灵活运用知识点是解题关键．
【2021安徽】在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．
（1）判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；
（2）求a，b的值；
（3）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．
【分析】（1）根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点B（2，3）在直线y＝x+m上；
（2）因为直线经过A、B和点（0，1），所以经过点（0，1）的抛物线不同时经过A、B点，即可判断抛物线只能经过A、C两点，根据待定系数法即可求得a、b；
（3）设平移后的抛物线为y＝﹣x+px+q，其顶点坐标为（，+q），根据题意得出+q＝+1，由抛物线y＝﹣x+px+q与y轴交点的纵坐标为q，即可得出q＝﹣﹣1＝﹣（p﹣1）2+，从而得出q的最大值．
【解答】解：（1）点B是在直线y＝x+m上，理由如下：
∵直线y＝x+m经过点A（1，2），
∴2＝1+m，解得m＝1，
∴直线为y＝x+1，
把x＝2代入y＝x+1得y＝3，
∴点B（2，3）在直线y＝x+m上；
（2）∵直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+1都经过点（0，1），且B、C两点的横坐标相同，
∴抛物线只能经过A、C两点，
把A（1，2），C（2，1）代入y＝ax2+bx+1得，
解得a＝﹣1，b＝2；
（3）由（2）知，抛物线为y＝﹣x2+2x+1，
设平移后的抛物线为y＝﹣x+px+q，其顶点坐标为（，+q），
∵顶点仍在直线y＝x+1上，
∴+q＝+1，
∴q＝﹣﹣1，
∵抛物线y＝﹣x+px+q与y轴的交点的纵坐标为q，
∴q＝﹣﹣1＝﹣（p﹣1）2+，
∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，题目有一定难度．
【2021北京高级中学】在平面直角坐标系中，为抛物线上任意两点，其中．
（1）若抛物线的对称轴为，当为何值时，
（2）设抛物线的对称轴为．若对于，都有，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线解析式得抛物线必过（0，c），因为，抛物线的对称轴为，可得点M，N关于对称，从而得到的值；
（2）根据题意知，抛物线开口向上，对称轴为，分3种情况讨论，情况1：当都位于对称轴右侧时，情况2：当都位于对称轴左侧时，情况3：当位于对称轴两侧时，分别求出对应的t值，再进行总结即可．
【详解】
解：（1）当x=0时，y=c，
即抛物线必过（0，c），
∵，抛物线的对称轴为，
∴点M，N关于对称，
又∵，
∴，；
（2）由题意知，a＞0，
∴抛物线开口向上
∵抛物线的对称轴为，
∴情况1：当都位于对称轴右侧时，即当时，恒成立
情况2：当都位于对称轴左侧时，即＜时，恒不成立
情况3：当位于对称轴两侧时，即当时，要使，必有，即
解得，
∴3≥2t，
∴
综上所述，．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的性质．解题的关键是学会分类讨论的思想及数形结合思想．
【2021福建】已知直线交轴于点，交轴于点，二次函数的图象过两点，交轴于另一点，，且对于该二次函数图象上的任意两点，，当时，总有．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若直线，求证：当时，；
（3）为线段上不与端点重合的点，直线过点且交直线于点，求与面积之和的最小值．
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）的最小值为．
【解析】
【分析】
（1）先根据坐标轴上点的坐标特征由一次函数的表达式求出A，B两点的坐标，再根据BC=4，得出点C的坐标，最后利用待定系数法可求二次函数的表达式；
（2）利用反证法证明即可；
（3）先求出q的值，利用，得出，设，然后用含t的式子表示出的面积，再利用二次函数的性质求解即可．
【详解】
解：（1）对于，
当时，，所以；
当时，，，所以，
又因为，所以或，
若抛物线过，则当时，随的增大而减少，不符合题意，舍去．
若抛物线过，则当时，必有随的增大而增大，符合题意．
故可设二次函数的表达式为，
依题意，二次函数的图象过，两点，
所以，解得
所求二次函数的表达式为．
（2）当时，直线与直线不重合，
假设和不平行，则和必相交，设交点为，
由得，
解得，与已知矛盾，所以与不相交，
所以．
（3）如图，

因为直线过，所以，
又因为直线，所以，即，
所以，，
所以，所以，
设，则，
，
所以，
所以


所以当时，的最小值为．
【点睛】
本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的性质与判定、三角形面积等基础知识，注意函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与整合思想的运用．
【2021金昌】如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且，点是第三象限内抛物线上的一动点．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若，求点的坐标；
（3）连接，求面积的最大值及此时点的坐标．

【答案】（1）；（2）（，）；（3）面积的最大值是8；点的坐标为（，）．
【解析】
【分析】
（1）由二次函数的性质，求出点C的坐标，然后得到点A、点B的坐标，再求出解析式即可；
（2）由，则点P的纵坐标为，代入解析式，即可求出点P的坐标；
（3）先求出直线AC的解析式，过点P作PD∥y轴，交AC于点D，则，设点P为（，），则点D为（，），求出PD的长度，利用二次函数的性质，即可得到面积的最大值，再求出点P的坐标即可．
【详解】
解：（1）在抛物线中，
令，则，
∴点C的坐标为（0，），
∴OC=2，
∵，
∴，，
∴点A为（，0），点B为（，0），
则把点A、B代入解析式，得
，解得：，
∴；
（2）由题意，∵，点C为（0，），
∴点P的纵坐标为，
令，则，
解得：，，
∴点P的坐标为（，）；
（3）设直线AC的解析式为，则
把点A、C代入，得
，解得：，
∴直线AC的解析式为；
过点P作PD∥y轴，交AC于点D，如图：

设点P 为（，），则点D为（，），
∴，
∵OA=4，
∴，
∴，
∴当时，取最大值8；
∴，
∴点P的坐标为（，）．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数的性质进行解题，注意利用数形结合的思想进行解题．



二次函数此类问题是中考重难题型之一，通常以函数应用及不等式综合考查！一方面考察学生对综合知识的掌握长度，另一方面考察数学知识的灵活运用。


此类题应该首先明确它的考题特点，避免盲目和无从下手，同时明确题目所涉及的数学知识及应用，明确题目问题是什么要解决什么样的问题，再结合我们所学习的知识合理解答。


1.平面直角坐标系中，抛物线过点，，，顶点不在第一象限，线段上有一点，设的面积为，的面积为，．
（1）用含的式子表示；
（2）求点的坐标；
（3）若直线与抛物线的另一个交点的横坐标为，求在时的取值范围（用含的式子表示）．
【答案】（1）；（2）或；（3）当时，有＜＜
【解析】
【分析】
（1）把代入：，即可得到答案；
（2）先求解抛物线的对称轴，记对称轴与的交点为，确定顶点的位置，分情况利用，求解，从而可得答案；
（3）分情况讨论，先求解的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，再利用一元二次方程根与系数的关系求解 结合二次函数的性质可得答案．
【详解】
解：（1）把代入：，


（2）
抛物线为：
抛物线的对称轴为：
顶点不在第一象限，
顶点在第四象限，
如图，设＜ 记对称轴与的交点为，
则

，






当＞同理可得：
综上：或
（3）

当，设为：

解得：
为

消去得：
由根与系数的关系得：
解得：

当时，
当时，
当时，，
当时，有＜＜
当，
同理可得为：

同理消去得：

解得：

此时，顶点在第一象限，舍去，
综上：当时，有＜＜
【点睛】
本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，二次函数的解析式，二次函数图像上点的坐标特点，二次函数的性质，同时考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．
2．如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（-3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶点为D．

（1）求解抛物线解析式；
（2）连接AD，CD，BC，将△OBC沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到，点O、B、C的对应点分别为点，，，设平移时间为t秒，当点O'与点A重合时停止移动．记与四边形AOCD的重叠部分的面积为S，请直接写出S与时间t的函数解析式；
（3）如图2，过抛物线上任意一点M（m，n）向直线l：作垂线，垂足为E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得ME-MF=？若存在，请求F点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）；（3）存在，．
【解析】
【分析】
（1）运用待定系数法解答即可；
（2）分0